W stęp
W ostatnim okresie czasu obserwuje się duże zainteresowanie zagadnieniami automatyki. W związku z tym , powstaje konieczność dostosow ania aparatu m ate
m atycznego opisującego urządzenia samoregulujące do now ych zagadnień. Pro
wadzi to do tzw . równań różniczkow ych z opóźniającym się argum entem , które w najprostszej postaci m ożna zapisać następująco:
(1) 9' « = / ( « , < p ( A ( f » ) ,
w którym funkcje / (r, x ) i h (t) < t są dane, zaś cp (t) oznacza funkcję szukaną.
Równanie (1) opisuje proces, w którym na stan prędkości w chw ili t ma w pływ stan procesu w chw ili h (t).
Równanie różniczkowe z opóźniającym się argum entem wydaje się również ciekawe z punktu w idzenia teorii — jako uogólnienie zwykłych równań różnicz
kowych ( h (t) = r).
W teorii równań różniczkow ych z opóźniającym się argum entem praktyka nasuwa konieczność posłużenia się ogólniejszym i postaciam i aniżeli (1). U żyw a się m ianowicie równań postaci
t
. . <p'(r) = J / ( r , <p(5)) dsr(t, s) dla t > 0
' ' MD
cp(t) — w {t) dla U O ,
w którym funkcje h (f), / (t, x ) , r (t, s) i w i i ) są funkcjami danym i, zaś 9 (r) oznacza funkcję szukaną. Równanie (2) pozwala na uw zględnienie w pływ u roz
wiązania 9 (f) z całego przedziału < h (f), t > (m oże być h ( t ) = — 00), na wartość pochodnej rozwiązania w punkcie r. U żyw anie postaci (2) jest jednakże uciążliwe, ze w zględu na dużą ilość funkcji występujących w całce Stieltjesa.
Prof. A. Bielecki w pracy [1] zaproponował pew ien typ równania, który obej
muje równania (1) i (2) i jest łatwiejszy w użyciu. M ianow icie zapis (3) 9' ( 0 = P {? ( s ) } W)<s<t dla t > 0,
rozum iem y w ten sposób, że na wartość pochodnej funkcji 9 (t) mają w pływ wartości rozwiązania z przedziału < h (t), r > . Funkcja F przyporządkowuje funkcji 9 (5) zlokalizowanej do przedziału < h (r), t > (m oże być układ funk
cji 9 i ( s ) ,..., 9„(s)) liczbę (m oże być układ liczb) 9'(r). N ieco mniej dogodny sposób zapisu aniżeli (3) zaproponował A. Krasowski w pracy [3].
D o każdej z postaci (1), (2), (3) należą jeszcze tzw. warunki początkowe.
Jedynym sensow nym warunkiem początkow ym dla równań różniczkowych z opóź
niającym się argum entem jest tzw . funkcja początkowa (4) <p(r) = w {t) dla t < 0.
W pracy tej podaję tw ierdzenie gwarantujące istnienie rozwiązania równa
nia (3) przy warunku początkow ym (4), tw ierdzenie o przedłużaniu rozwiązań, odległości i jednoznaczności oraz ciągłej zależności od warunków początkowych.
Są to tw ierdzenia analogiczne do tych, jakie dow odzi się dla równań bez prze
suniętego argum entu w oparciu o nierów ności różniczkowe. W szczególności przenoszę tw ierdzenie E. K am kego o jednoznaczności na równanie typu (3).
OZNACZENIA I D EFIN IC JE
N ie c h X n oznacza n wym iarową przestrzeń kartezjańską, której elem enty oznaczam y przez x = (x1 } x „ ) . Przyjm ujem y norm ę elem entu x : |x| =
= m ax (Jjcj.1, |xn|). Sym bol X 1+n = (— oo, - f oo) x X n oznacza iloczyn karte- zjański zbiorów ( — oo, - f oo) i X „ ; jego elem enty oznaczam y przez (r, x ) —
= (?, x i, ..., r n).
Sym bol <ł> oznacza klasę funkcji w ektorowych {m (s)}f,u, określonych w prze
działach < t , u > , przyjmujących wartości z przestrzeni X n i ciągłach w prze
dziale < t , u > . K oń ce przedziału < t , u > nie są ustalone. S ym b ol cp (r) jest skrótem ciągu <p, ( r ) , ..., <p„ (r). W zbiorze <I) określam m etrykę w ten sposób, że odległość
(5) l l v . , u ; M ..v]
rozum iem y jako odległość w sensie H ausdorffa wykresów tych funkcji będących podzbioram i przestrzeni X n+1. Pojęcie precyzują następujące definicje.
Definicja 1. O dległością punktu A od zbioru Z nazywam y liczbę rzeczywistą, nieujem ną
d — (A; Z ) = in f (A; x) dla x f Z ,
przy czym określona jest wcześniej odległość (A ; x) dw u punktów A i x.
Definicja 2. O dległością skierowaną zbioru U od zbioru V — piszem y (U, V), nazywam y sup (A ; V ) dla A e U. Podobnie (V , U) = sup (A; U) dla A f V.
Definicja 3. O dległością zbiorów U i V w sensie H ausdorffa — piszem y [U, V], nazywam y [ U, V] — m ax [(U, V); (V, U)].
Sym bol +00 oznacza klasę funkcji <p(s), określonych i ciągłych w prze
dziale (— oo, + oo), ograniczonych dla t < 0 i przyjmujących wartości z prze
strzeni X n. Sym bol 4>ó,oo, oznacza podklasę klasy funkcji 4* +oc, mających ciągłą pochodną w przedziale t > 0. Przez F oznaczam y funkcję, która elem entom zbioru przyporządkowuje punkty przestrzeni X „ i jest ciągła ze w zględu na m etrykę przyjętą w zbiorze <&. Oznacza to, że
( 6 ) n n $ u ( [ { < p } f , u ; { ó } s . v ] < § — »
(tp > O 0 8 > 0 { v } s ,,
Punkt przyporządkowany funkcji {<p}fjU oznaczam y przez F {<p}#,u. Zakładamy, że h (t) oznacza funkcję ciągłą w przedziale t 0 i —oo (t) < t dla t > 0.
Funkcja F jest taka, że jeżeli zbiór funkcji <p (?) dla ? < a < + oo jest w spólnie ograniczony, to również zbiór funkcji F {9)/,(0,/ dla ? > a jest w spólnie ogra
niczony.
Rozpatruję równanie (3) z warunkiem początkow ym (4), określone dla funkcji wektorowych {9 (s)}/,(o,f z klasy <I>. Sym bol w (?) oznacza daną funkcję począt
kową określoną, ciągłą i ograniczoną dla ? ^ 0.
Uwaga. Pow yższe założenia są w szczególności zrealizowane dla układu
t 1
(7) <p'(t) = <p,(s) d r*(r, 5) ; f<pn(s) d / n(?, »)) dla ? > 0
— 0 0 — 00
9 ((?) = a»((r) dla ? < 0 , i = 1 , ..., n,
w którym funkcje / , spełniają takie założenia, które gwarantują ciągłość całek Stieltjesa w przedziale ? > 0, gdy dane są funkcje ciągłe <pj (s) dla 5 < ? (ostatni warunek jest w szczególności spełniony, gdy jądra rj (?, s) spełniają założenia podane przez A. Bieleckiego w pracy [1]).
KILKA TW IERD ZEŃ
N a w stępie udow odnim y twierdzenie gwarantujące istnienie rozwiązań rów
nania (3) z warunkiem początkow ym (4).
L e m a t 1. D la dowolnej funkcji 9 (?) £<£. - «, ,-|.«>, funkcja 9 (0 = F {9) /,(0, / dla ? ^ 0, którą będziem y również oznaczać F 9 (?) jest funkcją ciągłą.
Dowód. Ustalm y punkt ?0 > 0 i niech 0 < ?* -> ?0. Oszacujm y różnicę
1 + ( * * ) - + 0 « ) l = /*» - ^ { ? } h ( ł . ) , f . l g d y I ' * - ' o ! < * J .
Z ciągłości funkcji 9 (?) dla ? £ ( — 00, - f o o ) wynika, że dla dowolnej liczby e > 0, istnieje liczba S > 0 taka, że jeśli Si jest dostatecznie małą liczbą, to [{9} /,(/*>, M h <«,/.] < wtedy zgodnie z (6) jest |u ?(*) — 9 (?0)j < e.
T w i e r d z e n i e 1. Załóżm y, że sup |hj (?)| — N < -j-00. O bierzm y liczbę Af f< 0
taką, że N < M < -fo o . W ówczas istnieje przedział < 0, a > , a > 0 oraz funk
cja 9 (?) spełniająca równanie (3) w tym przedziale. Funkcja 9 (?) jest różnicz- kowalna i [9 (?)| < M dla ? 0 < 0, a > * ) .
Dowód. O bierzm y liczbę a„ > 0 i rozpatrzmy przestrzeń Banacha funkcji 9 (?) określonych, ciągłych i ograniczonych w przedziale ( — 00, a0 > z normą (91 —
= sup I9 (?)|. N iech 'F oznacza podzbiór przestrzeni Banacha, zawierający
t < a »
funkcje 9 (?) postaci
9 (?) = w (?) dla ? 5¾ 0
|9 (?)| ^ M dla ? 0 < 0, a0>
*) Równanie postaci (3) rozpatruje A. Bielecki w książce [1], Tam też można znaleźć twier
dzenie o globalnym istnieniu rozwiązań równania (3) przy specjalnych założeniach. Cytowane twierdzenie oraz twierdzenie 1 uzyskano niezależnie i w tym samym czasie.
5 Z e s z y t y N a u k o w e n r 4 — 65 —
Zbiór Y jest dom knięty, ograniczony i wypukły. Rozpatrzm y operację A okre wspólnie ograniczone wraz z pochodnymi. Ze wspólnej ograniczoności zbioru funkcji 9 (r) f Y przez liczbę M , wynika wedle założenia wspólna ograniczoność
dzi wprow adzam y następujące oznaczenia: przez
||9 (s)||a,(, = m ax [max |9f(s)|]
Ustalm y liczbę r0 nieujemną i niech h oznacza liczb ę rzeczyw istą dodatnią.
Jest t0 + h > 0. U tw órzm y iloraz różnicow y £2 = / / - 1 [j|cp (s)!|0,/,+/. — ||<p (s)l!o,f.]>
M ożliw e są dwa przypadki:
1° i? (ro)| < m ax |<p (s)| = m, wówczas z ciągłości funkcji [9 (r)| w ynika, że 09s<(,
dla wartości h dostatecznie m ałych jest m ax (9(5)) = max j<p(s)| = m, skąd o<s<f0
D ||<p (^)ii0łf0 = 0 ^ |?
(^o)l-2° i9 (?o)| = max I? (s)|- W ówczas £2 = h 1 [ m ax j<p (s)j — max j<p (s)|] =
0< s < f 0 0 < S < f , + ft 0 < s < / ,
= ih~l [<p (r0 + 0 h) — <p (r0) ] | , gdzie 0 < 0 < 1.
Zastosujm y do ostatniej równości m ałe tw ierdzenie Peano, w ów czas £2 = h 1 [ ? ' (t0) Q h + p (h0 ) © h], gdzie p (u) 0 gdy u - > 0. Z ostatniej rów
ności otrzymujemy
n < © | 9 ' (*„)| + © |p (© h)\ < |9 ' (r0) | + 0 Ip ( 0 h)\.
Jednakże p (0 h) 0 gdy h -> 0, w ięc lim sup £2 < I9' (r0)j, wykazaliśm y w ła-h-^0
sność (9) w przypadku (a). T eraz rozpatrzym y (b). O znaczm y £2* - - h - 1 [ m ax jcp (5)} — max I9 (s)|. M ogą być przypadki:
0<s<fe—h o
1° max I9 (i)| = I9 (<y)| = m, a ( < 0, r0), wówczas z ciągłości funkcji |<p (r) wynika, że dla h dostatecznie małych m ax 9 (5); = max 9 (s)j = rn
D II? 0)l!o,f, == 0 < I9' (r0)| .
2° max I9 (j)| — I9 (?0)| — m i 19 (s)| < m dla 5 ( < 0, ta). W ówczas £2* = o<s<f9
= h - 1 [|9 (r„)| - max I9 (5)!] ^ Ih- 1 [9 (r0) - 9 (r0 - /z )]|.
Z ciągłości funkcji (9 (01 wynika, że dla h dostatecznie małego lim sup O* < I9 ' (r0)| .
ft-M)
O becnie udow odnim y w oparciu o własność (9) kilka twierdzeń dotyczących rozwiązań równania (3).
T w i e r d z e n i e 2. Rozpatrzmy równanie (3) i załóżm y, że posiada ono roz
wiązanie, określone w przedziale < 0, (ł), (3 < + 00. N iech ponadto spełnione są założenia poprzedniego twierdzenia. Załóżm y, że istnieje funkcja co (r, u) określona, ciągła i nieujemną w obszarze D {t > 0, u ^ 0} taka, że równanie różniczkowe
(1 0) u' (t) = 60 ( t , u (r>),
posiada wszystkie rozwiązania górne w ysycone w prawo, określone w całym przedziale t > 0. Jeżeli dla 9 (r) (t>_oo, +c® sp ełn io n y jest jeszcze warunek ( U ) IF {9)/.(0.( I < co (?> II? Wllo.0 dla t > 0,
to dow olne rozwiązanie równania (3), określone w przedziale <0, (3), (3 < -j- oo, m ożna przedłużyć na cały przedział t > 0.
Dowód. Z ałóżm y, że rozwiązanie 9 (t) o którym m owa, istnieje tylko w prze
dziale < 0, (ł). W eźm y przedział < 0, T > , T > (i. W ówczas z nierówności (9) i (11) otrzym ujem y
ll<P(s)l|o,f < !l?W||o,f) 1 i < °>
Z godnie z tw ierdzeniem 2 z pracy [6], str. 124, otrzym ujem y II? (s)lio,( =¾ a(t) dla r ę < 0 , r < ,
gdzie a (?) oznacza całkę górną równania (10), w yznaczoną przez warunek p o czątkowy (0, m0), przy czym u0 > | |w (z)l I—oo,# - Funkcja a (r) jest ograniczona dla t e < 0 , T > w ięc również funkcja H9 (s)|!(U jest ograniczona w tym prze
dziale. Stąd wynika już, że istnieją granice skończone lim 9 (t) i lim 9' (?) dla
t - > (3 — 0 (nie m oże b yć lim in f m(r) ^ lim sup 9 (?) dla t [3 — 0, gdyż wtedy lim sup 9' (?) == + 00, co nie zachodzi. Bow iem zgodnie z założeniem , z ogra
niczoności funkcji 9 (?) wynika ograniczoność funkcji F {9)/,(0,(. Skoro istnieje lim 9 (?) gdy t -> (¾ — 0, to zgodnie z lem atem , istnieje lim 9 '(?) gdy t -> (3 — 0).
O becnie m ożem y przedłużyć rozwiązanie 9 (t) na przedział < 0, (¾ + s > , s < 0. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
Uw aga i . Ostatnie tw ierdzenie m ożna bez trudu stosować do układów rów
nań rozpatrywanych przez A. D . M yszkisa [7]. Otrzymane tw ierdzenie pozwala szacować norm ę rozwiązania równania (3) przez odpow iednie rozw iązanie rów
nania (10). M o że to m ieć znaczenie praktyczne, ze w zględu na to, że rozwiąza
nie równania (10) jest naogół znacznie łatwiejsze aniżeli rozwiązanie równania (3).
O statnie tw ierdzenie uogólnia analogiczny wynik, dotyczący równania 9' (?) =
= / ( ? , 9 (?)), zawarty w pracy [2].
Uwaga 2. Jeżeli prawdziwe jest poprzednie tw ierdzenie i odpow iednie roz
wiązanie równania (10) jest ograniczone, to również funkcja ||<p(j)||0, ? jest ograniczona dla t > 0.
T w i e r d z e n i e 3. Załóżm y, że rozwiązania równania (3) istnieją w prze
dziale < 0 , a), a < + 0 0 i ponadto
(12) |F {9(5))/,(0,/ - F {4/(5)),.(0,, K co (?, j|9 (s) - (5)((0,/), * € <0» «)>
gdzie 9 i ó oznaczają dwa różne rozwiązania równania (3), w yznaczone przez funkcje początkowe w ( t ) i w (t) *).
W ówczas H9 (i) — 4 (5) ||o,/ < « (0 dla t ę < 0, a), gdzie a(r) oznacza roz
wiązanie górne równania (10), w yznaczone przez warunek początkow y (0, w0) i || OT (s) — o t ( s ) II —00,0 <
Mo-*) Wystarczy, by warunek (12) byl spełniony dla dowolnych funkcji cp(t) i 440) ciągłych w przedziale ( —co, + 00). Warunek (12) jest trywialnie spełniony dla układów liniowych, jak też dla równań spełniających warunek Lipschitza. W wypowiedziach tego twierdzenia, jak też twierdzeń 4, 5, 6 można lewą stronę warunku (12) zastąpić przez
l!^{?}/i(s),s FiWttsUWo.t
Twierdzenia w tej właśnie formie uzyskał niezależnie ode mnie p. K. Zima, który również sformułował podobne twierdzenia z normami typu całkowego. Twierdzenia podobne do twier
dzeń 3 —6, w których jednak występują nieco silniejsze założenia (monotoniczność funkcji o>(f, u) ze względu na u) można znaleźć w skrypcie [1],
Dowód. Rozpatrzmy funkcję ciągłą j|<p ( 5 ) — y ( 0 | | o , f dla t f < 0 , a). Według (9) i (1 2)
D-- II ę(s) — <K0 llo,» < w(f> !! 9 (0 — 'KO llo.f) dla t £ <0, a).
Jeśli więc |«0| > | \zv (s) — w (r)| i « (t) oznacza całkę górną równania (10) wyznaczoną przez warunek początkowy (0, un), to zgodnie z [6], str. 124 jest
(13) j|9(r) — < K i ) | | o , < a ( 0 dla t £ < 0 , a).
Uwaga. Ostatnie twierdzenie uogólnia znany wynik, dotyczący odległości dwu rozwiązań o i ó równania
(14) ?'(t) = / ( r , 9(0) dla t C < 0, a ) ,
wychodzących z tego samego punktu ([5], tom I, rozdz. V III, § 2).
Jako wnioski z ostatniego twierdzenia otrzymujemy dwa dalsze:
T w i e r d z e n i e 4. Załóżmy, że spełnione są założenia poprzedniego twier
dzenia i równanie (1 0) posiada jedynie rozwiązanie « (t) = 0 dla t > 0, spełnia
jące warunek początkowy (0, 0). Wówczas dowolnej funkcji początkowej odpo
wiada dokładnie jedno rozwiązanie równania (3) w przedziale t 0.
Dowód. Załóżmy, że funkcji początkowej w (f) odpowiadają dwa różne roz
wiązania 9 (r) i ó (t) równania (3) w przedziale t > 0. W tedy zgodnie z poprzed
nim twierdzeniem H9 (s) — '9 (s) | j0,/ ^ <* (0 = 0 dla t > 0. Otrzymana sprzecz
ność kończy dowód twierdzenia.
T w i e r d z e n i e 5. Załóżmy, że dla równania (3), spełnione są założenia twierdzenia 3, oraz rozwiązania równania (10) zależą w sposób ciągły od wa
runków początkowych (0, u„), dla \u0\ < s0 — const. Ponadto a (r) = 0 dla t > 0 jest rozwiązaniem równania (10) wychodzącym z punktu (0, 0). Wówczas roz
wiązania równania (3) zależą w sposób ciągły od funkcji początkowej zo (r).
Dowód. Ustalmy przedział < 0 , T > , T — const > 0. Rozpatrzmy rozwiąza
nia 9 (r) i (r) równania (3), odpowiadające funkcjom początkowym w (t) i w (r).
Niech ponadto |jzo (r) — ~w ( 0 | | - <»,0 -> 0. Wówczas, zgodnie z warunkami (9) i (1 0) otrzymujemy
T
||? (0 —'KOIIo.f < IW O —»(011-«.,o +
J
a(0)dt dla T > t ^ 0,0
gdzie 7. (t) jest rozwiązaniem równania (1 0), wyznaczonym przez warunek po
czątkowy (0, |W ? )-W 0 ll-« > o ). Jednakże gdy |IWO- »(0!!-«-o dąży do zera,
V
wówczas 7. (r) =£ 0 gdy t ę < 0, T > , więc j a (t, « (r)) dt też dąży do zera,
0
co kończy dowód twierdzenia.
Obecnie podamy twierdzenie, które gwarantuje jednoznaczność rozwiązań rów
nania (3), w przypadku, gdy funkcja w (r, u), występująca w równaniu (10), spełnia słabsze założenia aniżeli w twierdzeniu 4 (patrz też [1], str. 101).
T w i e r d z e n i e 6. Rozpatrzmy równanie (3) i załóżmy, że rozwiązania tego równania odpowiadające funkcji początkowej w (t) istnieją w przedziale < 0 , a) a < + oo. Załóżmy, że istnieje funkcja co (f, u) określona, ciągła i nieujemna w obszarze D x {0 < t < a, u > 0} oraz dla każdej liczby a: 0 < a < a, funkcja identycznie równa zero jest jedynym rozwiązaniem równania
(15) p'(r) = o)(r, p(t))
w przedziale (0, a) spełniającym warunki
(16) lim p(r) = lim p(r)/r = 0.
f - > - + 0 ( - > + 0
Jeśli warunki (9) i (12) są spełnione dla t ¢(0, a), a > -f oo, wówczas funkcji początkowej w (t) odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie równania (3) w prze
dziale < 0, a).
Dozuód. Przypuśćmy, że istnieją dwa rozwiązania < p (t) i y (0 równania (3), odpowiadające funkcji początkowej w (t). Rozpatrzmy funkcję p (t) = (j«p (5) —
— + (s)| |0,f dla t ( < 0 , a). Istnieje liczba a, 0 < a =¾ a taka, że p (<r) > 0. Zgod
nie ze znanym twierdzeniem istnieje lewa półcałka dolna pm (r) równania (15), wyznaczona przez warunek początkowy (er, p (n)). Wykażemy, że dla tych war
tości t z przedziału (0, a), dla których istnieje pm (t), prawdziwa jest nierówność
(17) Pm(0 < P { t ) •
W przeciwnym razie istniałby punkt •/] : rt < a taki, że (18) pm(v]) = p {7 ]) i p m ( r ) > p ( t ) dla t < vj
z pewnego lewego sąsiedztwa S„ punktu r;. Zgodnie z poczynionymi założe
niami pm (rj) = p (7]) oraz
D | | c p ( r ) - 4 > ( i ) | | 0 , f | ? ' ( 0 — + ' ( 0 1 = { ? } h ( 0 , f
-- t ! < « ( t, ||<p(r) — +(s)!|0,f) dla 0 < t < 7).
Z [6], tw. 2 str. 124 otrzymujemy
(19) pm(r) <C p(t) dla t < vj.
Relacje (18) i (19) są sprzeczne. Więc nierówność (17) jest prawdziwa. Funk
cja pm (t) jest dodatnia dla 0 < t < rh gdyż w przeciwnym razie istniałby punkt a', taki, że 0 < a' < a i funkcja
| 0 dla r (( < 0, er')
= l Pn,(0 dla t ę (u', a)
byłaby rozwiązaniem równania (15) w przedziale < 0 , o > , spełniającym wa
runki (16). Nierówność (17) możemy uzupełnić
(2 0) 0 <
pm(t)
< p ( 0 dla t £ < 0, c > ,gdyż rozwiązanie pm (r) można przedłużyć na cały przedział (0, a). Jest lim p (t) — 0 f-^0
oraz 0 < pm (r) < p (r) dla r ę < 0, <i>, więc lim pm (f) = 0, oznaczmy Pm (0) = 0. Z (20) otrzymujemy
(2 1) 0 < Pm (t)/t < /> (r)/r dla t <C (0, <r>, skąd
(22) p (t)jt = ] | c p (s) - «p (0) - ( | ( s ) - 4/ (0)) ||0.f/r <
< l|[<P W — 9 (0) + + (0)]/i||o.f - > 0 gdy f - > -f 0.
Mamy bowiem 9' (0) = 9' (0) = F {w}/,(0)03 •
Więc z (21) wynika, że lim pm (t)/t = p'm+ (0) = 0. Wykazaliśmy, że pm (l) jest rozwiązaniem równania (15) dla 1 ()(0, o), spełniającym warunek (16) w tym przedziale i pm (r) 0. otrzymana sprzeczność z założeniem dowodzi twier
dzenia.
LITERATURA
[1] A. B iele ck i: Równania różniczkowe zwyczajne i pewne ich uogólnienia, (skrypt), PAN, Biuro Kształcenia i Doskonalenia Kadr Naukowych, Warszawa, 1961.
[2] T. D lo t ko: Sur Vallure asym ptotiąue des Solutions de V eąuation differentielle ordinaire du second ordre, Ann. Polon. Math, X I (1962), str. 261 — 272.
[3] A. A. K p a c o n c K H : ffetcoropw e 3adanu reo p u u ycrounuB ocru deumcenusi, M ocKBa 1959.
[4] A . H. M m i i i k m c : Jlu n e u u b te duę/bępepetm uaAH ue y p a B u e n u n 3 3a n a3dueaK>tu,UM apzyM enroM , M ocK Ba 1951.
[5] G. S ans one: Eąuazioni Differenziali Nel Campo Reale, Parte Prima, Parte Seconda Bologna 1948/49.
[6] T. W ażew sk i: Systimes des eąuations et des inegalites differentielles ordinaires aux deuxi£mes membres tnonotones et leurs applications, Ann. Soc. Pol. Math., 23 (1950), str. 112—167.
R E S U M E
Dans cette no te j’ examine l’equation differentielle a argument retarde de la formę (3), dans laąuelle h (r) est une fonction donnee. La fonction F est definie pour les systemes des fonctions 9 (r) = 9* (s), cp2 (s), ... 9n (s) 0 11 s f < h (t), t > , t > 0 et F {<p (s)}h(t),t designe un point dans 1’espace carthesien a n dimensions.
Nous comprenons par solution de l’equation (3) pour r > 0 chaque fonc
tion 9 (t) = 9j ( t ) ,..., 9n (l), satisfaisante a l’equation (3) pour t > 0 et 9 (t) =
= w (t) pour t 0; w (t) etant une fonction donnee. Je demontre les theoremes suivants: theoreme prem ier sur ł’existence locale des Solutions de l’equation (3) avec la condition (4). Nous admettons que la fonction F est continue au sens de Hausdorff et w (t) designe une fonction bomee.
Les raisonnements posterieurs sont basćs sur 1’inegalite (9). Le second theoreme garantit l’existence des Solutions de l’equation (3) dans tout l’mtervalle < 0 , oo), si la condition (11) se trouve satisfaite. Les theoremes 3 —5 concernent les distances des deux Solutions de (3), 1’unicite de cette eąuation et la dependence continuelle de la fonction initiale w (r). Nous posons dans ces theoremes la condition (12). Le dernier theoreme concem ant (3) est une generalisation du theoreme sur 1’unicite de E. Kamke.
Oddano do Redakcji 15. 7. 63 r.
ZESZYTY N A U K O W E WYŻSZEJ SZKOŁY PE D A G O G IC ZN EJ W K ATOW ICACH SEKCJA M A T E M A T Y K I, N R 4 (OG. ZB. N R 21) 1964
T A D E U S Z D ŁO TK O
W ŁASNOŚCI ASYM PTOTYCZNE ROZWIĄZAŃ PEW NYCH RÓWNAŃ