ZESZYTY NAUKOWE Z/
SEKCJA MATEMATYKI
N R 4
E K . M A T.
ATOW ICE
N IC T W O „P R A C E N A U K O W E W S P ” . K A T O W I C E 1964
4 4 OGÓLNEGO ZBIORU NR 21
ZESZYTY NAUKOWE
S E K C JA MATEMATYKI
N R 4
W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P ” . K A T O W I C E 1964
O G Ó LN EG O ZBIO R U N R 21
Wydawca:
W YŻSZA SZK O ŁA PED A G O G IC ZN A W KATOW ICACH ul. Szkolna 9
Przewodniczący Komitetu Wydawniczego J A N ZAREMBA
Sekretarz Komitetu Wydawniczego AD AM JARO SZ
Redaktor naukowy A N TO N I W AKULICZ
Sekretarz Redakcji KAZIM IERZ SZYM ICZEK
Redaktor techniczny J A N FRĄCKOWIAK
W SZELK IE PRAWA ZASTRZEŻO NE
W Y D A W N IC TW O „PRACE N A U K O W E W SP“ - K ATO W ICE 1964
Wyd. 1. Nakład 300 egz. + 50 nadbitek autorskich. Ark. wyd. 6,5. Ark. druk. 5,75.
Format B5 Papier druk. sat. 111/80 70 x 100. Skład. rozp. 1. X II. 63. Druk ukończ,
w wrześniu 1964 r. Cena zł 15 ,—
Zakłady Graficzne im. Marcina Kasprzaka w Poznaniu, ul. Wawrzyniaka 39 Zam. 2219/63-0-8
1. A. W a k u lic z : Zarys teorii wyznaczników i układów równań liniowych w oparciu o po
jęcie iloczynu skalarnego... 5 2. A. W a k u lic z : O pewnych związkach w elementarnej teorii l i c z b ... 11 3. K. S zy m ic ze k : O pewnych równaniach diofantycznych związanych z liczbami trój
kątnymi 17
4. M. P a n c z a k ie w ic z : Pojęcie f u n k c j i ... 23 5. J. B laż i Al. R o z m u s: Uwaga w związku z pewnym twierdzeniem T. Ważewskiego 39 6. M. K u c h a rz e w s k i: Pewne uogólnienie twierdzenia o wartości średniej... 43 7. K. Z im a: O pewnym zastosowaniu metody A . Bieleckiego do układu równań różnicz
kowych z opóźnionym argumentem ... 51 8. K. Z im a: O pewnym układzie równań różniczkowych z opóźnionym argumentem . . 55 9. T . D ło tk o : O pewnym równaniu różniczkowym z opóźniającym się argumentem . . 63 10. T. D lo tk o : Własności asymptotyczne rozwiązań pewnych równań różniczkowych I I rzędu
z przesuniętym argumentem ... T i 11. T. D ło tk o : O istnieniu rozwiązań pewnego równania różniczkowego z wyprzedzają
cym a rg u m e n te m ... 79 12. J. B laż: O pewnym układzie równań różniczkowo-całkowych z wyprzedzającym argu
mentem ... 85
1. A. W a k u lic z : A synopsis of the theory of determinants and systems oj linear eąuations based on the notion of scalar p r o d u c t ... 5 2. A. W a k u lic z : On some connections in the elementary nutnber t h e o r y ... 11 3. K. S z y m ic z e k : On some Diophantine eąuations connected toith triangular numbers 17 4. M. P a n c z a k ie w ic z : Der F u n ktio n sb e g riff... 23 5. J. B łaż et M. R o z m u s: Retnarąue a propos d ’un theoreme de T. Ważetuski . . . . 39 6. M. K u c h a rz e w s k i: Some generalization oj the mean value th e o r e m ... 43 7. K. Z im a : Sur un'application de la methode de Al. A . Bielecki dans le systeme d ’equa-
tions differentielles a argument r e ta r d e ... 51 8. K. Z im a : Sur une systeme d ’equations differentielles d l'argument r e ta r d e ... 55 9. T. D lo t ko: Sur une eąuation differentiells a V argument retarde... 63 10. T . D lo tk o : S u r l'allure asym ptotiąue des Solutions de l ’equation differentiele da second
ordre a 1'argument d e p l a c e... 73 11. T. D lo tk o : Sur l’existence des Solutions d ’une eąuation differentielle a 1'argument
a c c e le re ... 79 12. J.B laż: Sur un systbme d ’equations integro-diffórentielles d argument a v a n c e ... 85
ZESZYTY N A U K O W E WYŻSZEJ SZKOŁY PED A G O G IC ZN EJ W KATO W ICACH SEKCJA M A T E M A T Y K I, NR 4 (OG. ZB. N R 21) 1964
ANTONI WAKULICZ
ZARYS T E O R II W YZNACZNIKÓW I U K ŁA D Ó W RÓ W N A Ń LINIOW YCH W O P A R C IU O P O JĘ C IE ILO C ZY N U SK A LA R N EG O
Algebra wektorów w przestrzeni dwu i trójwymiarowej prowadzi w sposób na
turalny do pojęcia wyznacznika, jako pewnego iloczynu skalarnego oraz wzo
rów Cramera dla układów równań o dwóch i trzech niewiadomych. Uogólnienia na większą ilość wymiarów' nasuwają się bezpośrednio i dają przejrzystą teorię wiążącą się z podstawowymi pojęciami przestrzeni Euklidesa (iloczyn skalamy, układy ortogonalne wektorów).
Znaczenie metodyczno-naukowe tego ujęcia teorii wyznaczników i równań liniowych uzasadnia przedstawienie tych rozważań w krótkim zarysie w niniej
szym artykule.
Rozważania dzielą się na dwie części: 'wzory Cramera oraz zależność liniowa wektorów i układy równań o wyznaczniku równym zeru.
CZĘŚĆ I.
W Z O R Y C R A M E R A
1. W EKTORY NA PŁASZCZYŹNIE. W ZORY C R A M ERA DLA D W Ó CH RÓW NAN O D W Ó CH NIEW IAD O M YCH
Mnożenie wektorów na płaszczyźnie przez liczby rzeczywiste i dodawanie otrzymanych wektorów prowadzi do zadania odwrotnego: rozłożyć dany wektor według dwóch danych wektorów niekolineamych. Zadanie to możemy napisać w postaci: (1)... a x + by = ~c, gdzie a , b, ~c są danymi wektorami na płaszczyźnie, a , b nie są kolinearne, zaś a , y są szukanymi liczbami rzeczywistymi.
Jeśli a = ia1-j- j a 2, b — ib} + jb 2, Z = icx + jc2 — kanoniczne rozkłady da
nych wektorów, to równanie (1) jest równoważne układowi
(2) \ a1x + b 1y = cl
\ a2x + b 2y — c2
dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych. Stosując metodę przeciwnych współczynników do układu (2) dla obliczenia wartości x mnożymy te równania odpowiednio przez b2, —bx, i dodajemy. Jest to oczywiście równoważne pom no
żeniu skalarnemu równania (1) przez wektor d i b 2 — jb 1} który jest prosto
padły do wektora b id powstaje przez obrót wektora ó o + Otrzymujemy
- _ _ ' _ _ _ 2 1 (d-~c)
{d ■ a) x = {d ■ c) oraz d ■ a 0 skoro a, b nie są kolinearne, więc x =-W — -.
(d ■ d )
Podobnie, obierając F = ia2 — j a x i mnożąc skalarnie obie strony (1) przez V otrzymujemy: ( F • b) y — ( V -~c) więc y ( F - c )
nego wektora ~w {wy, w2\ bęc
! iwx
= iw2 jw\. Wyrażenie j
(F -6 )
ziemy zapisywać w postaci
Wektor prostopadły do da- i wx
j w 2 tzn. i w x
\ jw i \
df
będziemy nazywali wyznacznikiem wektorowym drugiego stopnia. Jeśli F = ivx + j v 2, to iloczyn skalarny F iwx
jw 2 (ivx + j v 2) (;iw2 — j w x) = v xw2 — v2wx. Iloczyn ten będziemy oznaczali konsekwentnie sym
bolem ©i wx
|©2 w2 tzn. ©i wx
©2 W 2
df v x w2 — v2w1. Wyrażenie ©i w i
i ©2 w2 będziemy nazy
wali wyznacznikiem drugiego stopnia. Otrzymane rozwiązanie równania (1) możemy zatem zapisać w postaci:
! cx bx Ci Cli
| c2 b2 'U — #2 !
ax bx y bx ax
a2 b2 b2 a2
Zauważamy proste reguły rachunków na wyznacznikach drugiego stopnia np.
bx ax j
b2 d o
ai bi u2 b2
«i by }
! ,
i ^2 ^2 !
! ax a±
= 0 (ostatnia równość wła- ax &2
^2 i | ^2 ^2
śnie wyraża twierdzenie o iloczynie skalarnym dwóch wektorów prostopadłych) i inne.
N ietrudno także zauważyć, że wartość bezwzględna wyznacznika równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a, b.
dx bx
I d2 b2 jest
2. W EK TORY W P R Z E S T R Z E N I TRÓJW YM IAROW EJ. UKŁADY RÓW NAŃ O TR ZEC H NIEW IA DO M YCH
Rozpatrując w przestrzeni trójwymiarowej rozkład danego wektora d według trzech danych wektorów niekomplanarnych ~a, b, Z otrzymujemy równanie:
(3)... ax -f- by + ~cz = d, które jest równoważne układowi równań:
dxx -f bxy + cxz = dx (4) a2x + b2y + c2z = d2
d3x + b3y + c3z = d3, gdy a = iax + ja , + ka3, b = ibx + jb2 + kbz, c1 = icx + jc2 + kc3, d — idx + j d2 + kd3 . Dla wyznaczenia a: z układu (4) należałoby, rozszerzając metodę przeciwnych współczynników, wyznaczyć takie liczby v x, v 2, v 3, by bxv x + b.2v2 + b3v3 = 0 oraz
cxv x + c2©2 + c3©3 = 0 zaś a xv x + a2v2 + a3v3 =£ 0 .
Rozwiązując układ równań
b2v3 = — b3v3
(5) | M i
l CXVX+ C2v 2 = — C3V 3 otrzymujemy przy
b3 b2 _ bx b3
c3 e2 C1C 3
bx b2 Vs Z>2 —
bx b2
Ci c2 Ci c2
bx b2 C\ C2
»3
* 0
czyli
v±
v 3
b3 c2 j b3 c3 ] ci i
bo c2
v 3
bi b3
C 1C 3 I bi b3
cx c2
Wystarczy zatem obrać v x
Stwierdzamy, że te wartości spełniają układ (5) także, gdy
b3 c2 bx cx bx cx
, Vo_ = — , ^3 =
b3 C3 b3 C3 b3 c2
bx bo
Ci c2 0
Oznacza to, że wektor v (t>i; v 3, v 3) jest prostopadły do każdego z wektorów
b, c.
Zamiast układu (4) możemy rozwiązać równanie (3) mnożąc obie strony tego równania skalarnie przez wektor v .
Otrzymujemy: { v - a ) x = (v • d ). Wobec v ± b , » l c nie zachodzi v ' ± a (nie-
b2 c3
kompalarność a , b, ~c), zatem (v ■ a ) 0. S tądx £ y . mamy v — i
bx cx { V ' a )
bi
b3 c3 b2 c2
b3 c3
Prostopadłość wektora v do każdego z wektorów b, ~c nasuwa krótki zapis
i bx cx
tzn. przyjmujemy
j b2 c2 k b3 c3
\ i bx cx
\j b3 c2
\ k b 3c3
df . \ b3 c2 i bx Ci + k
bx cx
= 1 ' L — j 1
\b3 c3 b3 c3 \ u o C2
| i bx c, j
Symbol ; j b2 c2 nazywamy wyznacznikiem wektorowym trzeciego sto p nia.
[ k b3 c3
Iloczyn skalarny (v ■a ) = a x b2 c2
b3 C3 — a. bx Ci i b3 c3 + a 3
bx cx
bo Co oznaczamy konsekwentnie symbolem
clx bx cx u2 b2 c2
<^3 b3 c3
i nazywamy wyznacznikiem trzeciego stopnia.
Mam}j zatem di b\ Ci d2 b2 C2 d3 b31-3
a x bi Ci
u2 b2 c2 \
^3^3^ 31
Podstawowe własności wyznaczników trzeciego stopnia, analogiczne do wła
sności wyznaczników drugiego stopnia łatwo wykazujemy w następującej kolej
ności:
1. Transpozycja wierszy i kolumn.
2. Transpozycja dwóch równoległych linii.
3. Dodawanie wyznaczników różniących się tylko w k-tym wierszu w lub w k-tej kolumnie.
4. Rozwijanie wyznacznika według dowolnej linii (wiersza lub kolumny).
Inne własności wyznacznika dają się łatwo z powyższych wyprowadzić. Do wyznaczników wektorowych stosujemy tylko przekształcenia 1, 2, 4. Dla wyzna
czenia y z równania (3) możemy obrać 10
Cii 1 ^1 j
a » j ci U3 k c3
tzn. i i a , S i ? . Stąd (w • b)
ax bi cx ci2 b2 c2
a i & 3 C 3 |
(w ■ d )
ai di Ci i d2 d2 C2 I I #3 di c3j
oraz y (w ■ d) (ze ■ b) umieszczania kolumny wyrazów wolnych.
Podobnie obierając
u =
cii bi i
\ cii b2 j mamy z = ■
z wyraźnym uzasadnieniem reguły
di bx di J b2 d2 as b3 d3 1
\ a .b o k b\ Ci
(:U ■ d) (u ■ c)
b2 c2 j CI3 b3C g j
Nietrudno jest wykazać, że wartość bezwzględna wyznacznika jest cii bi Ci ci2 b2 Cg
^3 c3
równa objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach a , b, c\
Podstawiając otrzymane rozwiązanie do układu (4) otrzymujemy równości, które po łatwych przekształceniach możemy zapisać w postaci:
di Di — bx D 2 + Ci D 3 — di Di — 0 a. Di — b2 D2 + c3 D3 — d2 D4 = 0 gdzie
a3 Di b3 Do Do do Da 0.
bx b2 b3 Ci d2 d3 i Cli ^3 U] #2 a 3
Di = Cl C2 Cg , D 2 = Ci C2 C3 > D3 — ' bi b2 b3 , d 4 = bi b2 b3
di d2 do dx d2 d3 1 c?i d 2 dg Cl c2 Cg
(1)
Równości powyższe dają sposób budowania ciągów’ współczynników D x,
—Di, D 3, —D ^ takich, że mnożąc przez nie kolejne równanie układu 4-ch rów
nań o 4-ch niewiadomych:
a, + a 2 x2 + a3 x 3 + ai x t = f 1 ■ D x bx x x -j- b2 x 2 + b3 x 3 + b3 x4 = f 2 • (—D 2) Ci x 4 + c2 x.2 + c3 x 3 + c4 x 4 —f z ■ D 3 di x x + d2 x 3 + d3 x 3 + di x 4 = f i ■ (—Di) i dodając wyrugujemy niewiadome x x, x 2, x 3.
Wprowadzając wektory cztero wymiarowe, których współrzędne tw’orzą ciągi czterech liczb rzeczywistych możemy układ (I) zapisać w postaci:
(II) v xx x + v 2x 2 + v 3x 3 + v\Xi = / gdzie vj {dx', bx, Ci, di} , v 2 [di, b2, c2, d2} j
v 3 (^3? b3‘, c3, d3}
7 { / » / * ; / M
[d-Ą, b 4, c4, d 4j ,
Rozszerzenie algebry wektorów na wektory cztero i więcej wymiarowe nie nastręcza trudności. Zachowujemy w szczególności wyrażenia iloczynu skalar
nego przez współrzędne wektorów. Wektory ex, e2, e3, e4 określamy jako wektory jednostkowe parami prostopadłe o współrzędnych ex {1, 0, 0, 0}, e2 (0, 1, 0, 0}, C3 {0, 0, 1, 0}, ex (0, 0, 0, 1 j . Mnożąc skalarnie obie strony równania (II) przez D {Dx-, D./, D 3i —Di) mamy (£T4 • D) x x ( / • D) czyli x t = ^ ^ jeśli ( v x • D) #
(®4-D)
0. Wektor D jako prostopadły do wektorów v \ , v 3 zapisujemy symbolicz
nie c 1Clx d 3 d 3
c 2 bx b2 b 3 c3 cx c2 c3
C\ d i d 2 d 3
tzn. przyjmujemy
= exdf
bi b2 b3 C1 Co C3
d i d i d$
cii a2 u3 Ci c% c3
d\ d% (fg
| cii ci2 cis j b-t bo bo i
; 1 i 3 |
1 di d2 d% I
&i Cio, Cis
b i b 2 b3 Cl c2 c3 Ci Ui U2 #3
ez bi bi b3 C3 Cj c2 c3
C \ d i d 3 d 3
Budując podobnie wektory czterowymiarowe prostopadłe do innych trójek wektorów wybranych spośród wektorów v x, v 2, v 3, v \ wyznaczamy rozwiązanie równania (II) i układu (I).
3. WYZNACZNIKI D O W O LNEG O S TO PN IA I IC H W ŁASNOŚCI
Wyznacznik wektorowy n-tego stopnia Ci Un ^ 12 ••• Cil,n— 1 ,
C2 #21 #22 ••• CL2tn-i I
... | określamy jako sumę iloczynów wersorów wystę-
| Cn #n,i Cin,2 ••• Cin,iu~i |
pujących w pierwszej kolumnie przez odpowiednie podwyznaczniki wzięte na przemian ze znakami + , —.
Mamy v n — ex A 1 — e2 A 2 + e3 A 3 — ... + ( —l)"-1 e„ A n, gdzie A/ oznacza wyznacznik utworzony z wyznacznika V n przez skreślenie pierwszej kolumny oraz i-tego wiersza. Analogicznie do wyznacznika wektorowego określamy wyznacznik n-tego stopnia przez rozwinięcie według pierwszej kolumny.
Własności wyznaczników dowodzimy indukcyjnie zakładając, że zachodzą one dla wyznaczników stopni < n, w kolejności:
1. Transpozycja wierszy i kolumn.
2. Transpozycja linii równoległych.
3. Rozwinięcie według dowolnych linii.
4. Inne własności.
W zakresie wyznaczników wektorowych rozpatrujemy tylko własności 1, 2, 3.
Prostopadłość wektora v„ do wektorów kolumn A t = ex a yi + e., a2i + . . . + + e„ ant wynika z zerowania się iloczynu skalarnego
# 1 7 # 1 1 # 1 2 • •• # 1 ,7 1 —1
# 2 / # 2 1 # 2 2 * •• # 2 ,7 7 —1
(A i ■ v„) =
#771 # 7 7 1 ^77 2
dla i = 1, 2 , ..., n— \
Fakt ten jest najbardziej istotny w teorii układów równań liniowych. Otóż jeśli oznaczymy przez D k podwyznaczniki względne wyznacznika (A/ ■ v n) od
powiadające elementowi aki z pierwszej kolumny, to mamy: ( 1 ) ... au D, 4- a 2, D, + a2i D 2 + — + a„j D n = 0 dla i = 1, 2 , ..., n — 1 Stąd, gdy D„ # 0,
(2) ali ^D i + «2/ ^ D., + fln-1,1 p — = - « nD,
Układ (2) jest właśnie schematem rozwiązania układu (3) n — 1 równań li
niowych o n — 1 niewiadomych, gdy wyznacznik układu D n # 0.
(3) Clii X\ -j- @2i X2 -j- ... %n — 1 dni / C — 1, 2, ... Tl 1 j .
Mamy x t = — , gdyż jednoznaczność rozwiązania wynika z metody wyzna-
Un
czania rozwiązań przez iloczyn skalarny.
Własność 1 wyznacznika może być udowodniona arytmetycznie indukcyjnie.
Jednoznaczność rozwiązania przy wyznaczniku układu różnym od zera także daje się łatwo indukcyjnie wykazać. Podane ujęcie geometryczne wiąże teorię wyznaczników i równań liniowych z teorią przestrzeni Euklidesa.
A SY N O PSIS O F T H E T H EO R Y O F D E TE R M IN A N T S AND SYSTEM S O F LINEAR EQ U A T IO N S BA SED ON T H E N O TIO N O F SCA LAR P R O D U C T .
BY A . W AK ULICZ
S U M M A R Y
T he article presents a synopsis of the theory of determinants and leads to Cramer’s formuła for systems o f linear eąuations. T he considerations are based on a deftnition of determinant as a scalar product o f some vectors.
Oddano do Redakcji 15. 7. 63 r.
ZESZYTY N A U K O W E WYŻSZEJ SZK O ŁY PED A G O G IC ZN EJ W K A TO W IC A C H SEKCJA M A T E M A T Y K I, N R 4 (OG. ZB. N R 21) 1964
AN TO N I W AKULICZ
O PEW NYCH ZWIĄZKACH W ELEMENTARNEJ TEORII LICZB
Naturalny opis teorii matematycznej tzn. taki opis, by zapamiętywanie związ
ków nie wymagało wysiłku jest bardzo trudny z dwóch na ogół względów: rozu
mowania są często trudne i sztuczne, uporządkowanie twierdzeń i definicji rów
nież bywa nienaturalne. Ważnym powodem tego stanu rzeczy jest rozdzielanie w wykładzie pojęć i tematów, które są istotnie ze sobą związane. Przykładem tak związanego układu tematów w teorii liczb może być: teoria podzielności, kongruencje, algorytm Euklidesa i ułamki łańcuchowe.
Uwzględnienie tych związków w konstrukcji odpowiednich fragmentów ele
mentarnej teorii liczb czyni tę teorię bardziej przejrzystą. Celem niniejszego artykułu jest ilustracja tej tezy i ukazanie paru związków w elementarnej teorii liczb bądź nieznanych, bądź nieuwzględnionych w znanych podręcznikach.
1. LICZBA N A TURALNA O DANYM UK ŁADZIE R E S Z T W EDŁUG DA NYCH M O D U ŁÓ W .
FUNKCJA GA USSA. RÓW NANIE N IEOZNACZON E O D W Ó C H NIEW IADOM YCH.
Tem aty powyższe dają się łatwo rozwinąć, jeśli za punkt wyjścia obierzemy własności ciągu par reszt kolejnych liczb naturalnych n wg. mod a i mod b, gdy ( a , b ) = 1, 1 =¾ a < b, 1 ^ n ^ ab . (tabl. i)
n | 1 2 3 4 . . . . a ... b ab mod a 1 2 3 4 . . . . 0 1 2 3 . . . . 0
mod b 1 2 3 4 . . . . a , a + 1 , . . . 0 1 2 . . 0
W tabelce tej występują nieujemne reszty r wg. mod a i nieujemne reszty wg.
mod b.
Udowodnimy łatwo, że w przedziale 1 < n < ab układ konguencji n = r mod a i n = p mod b przy danych r, p posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie
naturalne n.
Innymi słowy w tabelce występują wszystkie różne pary reszt wg obranych modułów i każda para r, p występuje tylko raz. Istotnie, gdyby r. — r . oraz pfc = p;, to i poprzednie reszty musiałyby być równe tzn. ri l — r. x, pf c l = p,_t M usi się zatem powtórzyć pierwsza para reszt (1, 1) t.zn. n = 1 mod a i n = 1 mod b. Stąd n = a x + \ = b y \ więc ax = by i wobec (a, b) — 1, a/y, więc y = at, x — bt przy t naturalnym. Zatem n = abt + 1 > ab, co zachodzi poza rozpatrywanym przedziałem.
Zauważamy, że wniosek pozostaje prawdzimy także, gdy a = 1 bądź b — 1.
Otrzymaliśmy zatem
T w i e r d z e n i e 1.: Układ równań ax -\-r ~ by-\-ę> = n przy danych na
turalnych a, b, (a, b) = 1 i danych całkowitych r, p takich, że 0 ^ r < a, 0 <
< P < b posiada jedno i tylko jedno rozwiązanie w liczbach naturalnych x , y , n takich, że 1 ^ n =¾ ab, 0 ^ x < b, 0 < y < a.
Uogólnienie tego twierdzenia na układ as x x + rx = a2 x 2 + r 2 = ... = ak xk + 4- rk = n przy (a,-, aj) = 1 nie nastręcza trudności.
Twierdzenie to możemy również wypowiedzieć w postaci następującej. Dla danego układu modułów ax, a2, ... parami względem siebie pierwszych i da
nego układu nieujemnych reszt rx, r 2, ... rk według tych modułów istnieje jedna i tylko jedna liczba naturalna n taka, że n s r, mod at (i = 1, 2 , ... £) oraz
1 ^ n ^ dł a 2 ... ak .
Wracając do tabelki 1 zauważymy, że występują w niej również wszystkie różne pary reszt r, p takie, że (r, a) — (p, b) = 1 i bez powtórzeń. Każda liczba n mniejsza od ab i pierwsza względem ab posiada układ reszt r, p wg modułów a, ó taki, że (r, a) ~ 1, (p, b) = 1. Odwrotnie, każdemu układowi reszt r, p ta
kich, że (r, a) = (p, b) — 1 odpowiada liczba n taka, że (n, ab) = 1.
Otrzymujemy zatem <p (a) ■ cp (b) układów r, p takich, że (r, a) — (p, b) = 1 i tyleż liczb n pierwszych względem ab i < ab. Więc <p (ab) = cp (a) • cp (b). Stąd łatwą indukcją otrzymujemy <p (ax ■ a2 ... ak) = <p (ax) ■ cp (a2) ... <p (ak) dla hczb aly a2 ... ak parami względem siebie pierwszych. Natychmiast także otrzymu
jemy twierdzenie o nieskończonej ilości liczb pierwszych, skoro dla dowolnie wielkiego n mamy <p (px p 2 ... p n) > 1.
Równanie nieoznaczone pierwszego stopnia o dwóch niewiadomych ax + 4 by ~ c ... (3) możemy sprowadzić do postaci ax = by + c, gdzie a, b nat., 0 < c < b. Istotnie, możemy założyć, że jedna z liczb a, b jest naturalna np.
a, tedy ax = —by + c. Jeśli b nat., to ax = b (—y ) + c i c — qb -j- p, gdzie 0 < p < b, więc ax = b (—y + q) -f- p. Kładąc x = x x, y x — —y + q otrzymu
jemy żądaną postać axx — byx + p. Jeśli zaś b < 0, to b — — bx i mamy ax =
^ bxy -\- c, c — qbx + p, więc ax = bx ( y + q) + p. Kładąc x = x x, y + a =
= y x mamy żądaną postać axx = byx + p.
Stosując do otrzymanego równania twierdzenie 1 wnioskujemy nie tylko o istnieniu rozwiązania ale również mamy oszacowanie pewnego rozwiązania równania (3).
Jednym z krótszych sposóbow rozwiązywania równań nieoznaczonych 1-go stopnia o dwóch niewiadomych jest stosowanie kongruencji. Łatwo jest do
wieść, że równanie ax + by c jest równoważne ze względu na niewiadomą x kongruencji ax = c mod b, co rozumiemy tak: zbiór wartości x, które czynią zadość równaniu jest identyczny ze zbiorem wartości x, które czynią zadość kongruencji. T ę równoważność zapisujemy w postaci (ax + by = c) = (ax =
s c mod b).
Obierając jako moduł mniejszą z liczb | a |, | b |, otrzymamy np.: przy b > 0 a = ax c = cx mod b, więc ax x = cx mod b oraz ax x — bt = cx skąd przy ax > 0 bt = cx mod ax itd., co właściwie jest krótszym zapisem algorytmu Euklidesa dla liczb a, b lub innym zapisem sposobu podanego w [1] str. 112.
Postępowanie powyższe kończy się po jednym kroku, gdy np. a — bq + 1.
Analogicznie rozwiązujemy równania nieoznaczone z wielu niewiadomymi.
Np. \2x + 1 5 ^ + l z ~ 11. Zakładając istnienie rozwiązania otrzymamy y + +- 5x = 4 mod 7, więc y = 4 — 5x -f It. Wstawiając do danego równania ma
my \2x + 15 • 4 —15 • 5x + 15 ■ I t + I z = 11 ... (4), skąd z — 9x — 1 — It.
Stwierdzamy, że przy dowolnych całkowitych wartościach x, t otrzymane war
tości y , z spełniają dane równanie, (wynika to właśnie z równości (4)).
Twierdzenie o istnieniu rozwiązań równania nieoznaczonego 1-go stopnia o wielu niewiadomych daje się sprowadzić do odpowiedniego twierdzenia dla równania o dwóch niewiadomych. Istotnie, jeśli mamy równanie a, x x T a2 x 2 -f-
+ ... a„ xn — b, to możliwe są dwa przypadku:
1. Istnieje para współczynników ah aj takich, że (ah a j ) ~ 1. Niech np.
(aj a2) — 1. Wówczas ax x x a2x 2 = —b — a3 x 3 — a s x, — ... — an xn i przy dowolnych wartościach x 3, x i } ... x n równanie posiada rozwiązanie.
2. Każda para współczynników przy niewiadomych posiada wspólny dziel
nik większy od 1. Zatem (ax a2) — d > 1. M amy alternatywę:
1) Jeśli d/aj dla i — 3, 4 ... k oraz djb to równanie posiada rozwiązanie (wg punktu 1), gdy dłb, to równanie jest sprzeczne.
2) Jeśli dtaj przy pewnym / > 3, to możemy obrać taki układ wartości x 3 x 4 ... xn, by d dzieliło prawą stronę.
Równanie jest zatem rozwiązalne.
2. A LGO RYTM E U K LID ESA I TW . T H U E G O O K O NGRUENCJI
ax = y mod m
Ułamki a/b o danej liczbie ogniw rozwinięcia łańcuchowego mogą być otrzy
mane za pomocą tabelki:
(tabl. 2)
1 | P n—1 | r n—2 r„ _ 3. . . r n |i ,
I
I q„ j (?n 1 ? n - 2 ••• 7 i i ? o
Liczymy:
P /i—2 : : t*n—1 qn 1 3 L i — 3 “ G i —2 -j- itd.
b = r„ qx T rx> a = bq(, -j- r„. Możemy tutaj przy ustalonym n dobierać dowolnie parametry rn- x, q„, qn-1, ••• qu q0- Odwrotnie, możemy także obliczyć reszty r f za pomocą danych liczb a, b oraz ilorazów q0, qx ... qt.
Wobec a = bq0 + r 15 b = r0qx + rx, r0 = rxq2 -f r 2 ... mamy a — (r0qx + + ri) q<> + >'0 = (<7o 7i + 1) r0 + q„ 1\ . Oznaczając, zgodnie ze zwyczajem, liczniki reduktów ułamka łańcuchowego P 0 = q0, P 1 = q0qx -\- 1 mamy a —
= P p 0 + iV i) więc a = I \ (rx q, + r 2) + P 0 rx = (P, q2 + P 0) rx + P x r2.
Oznaczając P 2 = P x q2 + P0 mamy a — P 2 rx -f- P x r2 i łatwą indukcję otrzy
mujemy symetryczny wzór: a = P krk~x + P k- Xrk określając za pomocą wzo
ru zwrotnego P, = P ,_ x qt + P ,_ 2 dla i P 2.
Podobnie, przyjmując Qn — 1, Qx = qx otrzymujemy b = Q x r0 + Q0 rx —
= 0.2 rx + Qi r2 przy Q 2 = S i q> 4 So i ogólnie b = Qk rk- x + Qk- Xrk przy Qi = S<-1 + S i - 2 •
r, , , , , , ( P k Vk-\ + -Pfc-1 ffc = CL . ,
Z układu rownan j możemy obhczyc rk- x, rk
rk - 1
( P k r k - x + P k - i
l Q k r k - 1 + Qk - 1
a P k - X
b Q k - l
1 - P k P k - 1
Q k S * : - i 1
1 P * S*
fc-l
s* s,
fc-ii zauważamy, ze
I _ Pk- 2 Pk- 1 Sk-2 Qk-1 Pk P k -1
Qfc Qjt-i I
■Pfc-i ~b -Pfc-2 -Pfc-i Sit-! qu + Q k -2 Qfc-i o ?i “t- 1 q« _
S i So i ?i i
Zatem r* = (bPk — aQk) (— skąd
= « S 2, - bP2l i r 8ł+1 = M>„+1 - a S 2(+1 ... (1)
Otrzymane związki (1) pozwalają podać efektywny dowód tw. Thuego o kon- Pn Oznaczamy A*. =
P k P k—i Si. Sfe-i Wobec A, - Pl
- Afc-j
1 mamy Afc = (— l)*-1
1 oraz a/m = ^ , tedy S"
gruencji ax = y m od m ([11 str. 159). Niech (a, w) istnieje takie naturalne s, że Qs ^ \ / m < Qs+X.
Jeśli 5 parzyste, to rs = aQs — mPs i aQs = rs mod rn. Otrzymujemy więc rozwiązanie kongruencji ax = y mod m w liczbach naturalnych x = Qs ^ ]/m y = rs < j/m .
Jeśli 5 nieparzyste, to rs = mPs — aQs, więc «Ss — — rs mod m. Daje to roz
wiązanie kongruencji ax = y mod m w liczbach całkowitych x = Qs < m, y = — r„ przy czym | j> | < }Im.
Rezultat ten pozwala podać efektywny dowód twierdzenia Fermata o roz
kładzie liczb pierwszych postaci 4& + 1 na sumę dwóch kwadratów, tzn. taki dowód, który wskazuje nie tylko istnienie rozkładu ale także sposób konstrukcji
składników. Zachodzi mianowicie
T w i e r d z e n i e 2. Niech p będzie liczbą pierwszą postaci \ k -f 1, a niech będzie taką liczbą naturalną, że p/a2 + 1*). Jeśli a = q0p + r 0, p — qx r 0 + r x, fo = ¢2 t'i + r2 5... jest algorytmem Euklidesa dla liczb a , p oraz Qs jest mia
nownikiem reduktu ułamka łańcuchowego ajp takim, że Qs < \ ' p < Ss+i to
(2) p = r* + Ql
Dowód przeprowadzimy podobnie jak w [1] str. 160. Z udowodnionego twier
dzenia Thuego wynika, że a Qs = (— l)s • rs (mod p), skąd (a2 + 1) Ql =
= rs + Sv (mod p) i wobec p/a2 + 1 także pjrl + Q l .
Zatem p < r] 4- Ql < p + p = 2p, skąd otrzymujemy rozkład (2).
([1] str. 158).
I p - 1 \
*) Można przyjąć a — I — - — 1 !
Zauważmy jeszcze, że, jak podaje H. Davenport w książce The Higher Arith- metic str. 120—123, znane są cztery konstrukcje x , y takich, że p = x 2 + y2.
Podali je Legendre (1808), Gauss (1825), Serret (1848) i Jacobsthal (1906).
Konstrukcja podana w twierdzeniu 2, wydaje się być prostszą do udowodnie
nia. Trudności rachunkowe można by zmniejszyć przez wyznaczenie mniej
szych rozwiązań kongruencji x 2 + 1 = 0 mod p.
LITER A TU R A
fi] W. S ie r p iń s k i: Arytmetyka teoretyczna, PW N, W-wa, 1959.
[2] H. D a v e n p o rt: The Higher Arithmetic, Hutchinson House, London, 1952.
ON SOM E CO N N ECTIO N S IN T H E ELEM ENTA RY N U M B ER T H EO R Y
B y A . W AK ULICZ
S U M M A R Y
T he article presents what advantage we have when in the elementary num ber theory we simultaneously develop subjects which are substantially connected, as theory o f divisibility and congruences, Euclid’s algorithm and continued fractions.
A new result is an effective proof o f the T hue’s theorem on the congruence ax = y (mod ni). This gives an effective construction x and y in p = X1 -\- y'1 when p is a prime o f the form 4k i- 1.
Oddano do Redakcji 15. 7. 63 r.
ZESZYTY N A U K O W E WYŻSZEJ SZK O ŁY PED A G O G IC ZN EJ W KATO W ICACH SEKCJA M A T E M A T Y K I, N R 4 (OG . ZB. N R 21) 1964
K AZIM IERZ SZYM ICZEK
O PEWNYCH RÓWNANIACH DIOFANTYCZNYCH ZWIĄZANYCH Z LICZBAMI TRÓJKĄTNYMI
l
W. Sierpiński w monografii [4] poświęconej liczbom trójkątnym sformułował wiele pytań dotyczących liczb trójkątnych ?„ — \ n (n + 1).
Oto niektóre z nich:
(a) Czy prócz liczb tx = 1 , ?3 = 6, r8 = 36 istnieje inna trójka liczb trój
kątnych tworzących postęp geometryczny i czy ich ilość jest skończona, czy też nie?
(b) Jakie są wzory dla wszystkich rozwiązań w liczbach naturalnych x , y , z równania
(1) ^ J ty — tZ .
(c) Czy istnieją dwie liczby trójkątne, których zarówno suma jak i iloczyn byłyby liczbami trójkątnymi?
(d) Czy istnieją trzy liczby trójkątne takie, że suma każdych dwu z nich jest także liczbą trójkątną?
W nocie [7] wskazałem nieskończony ciąg trójek liczb trójkątnych tworzących postęp geometryczny w sposób następujący: jeśli tx = y 2 to liczby tx , tx+2y,
t3x+iy+1 tworzą postęp geometryczny.
Ponieważ t3x+4y+1 = (2x + 3y + l ) 2 jest następną po tx liczbą trójkątną będącą kwadratem liczby naturalnej (por. W. Sierpiński [4], str. 24), więc wy
chodząc z ?! = 1 otrzymujemy nieskończenie wiele trójek tworzących postęp geometryczny.
Ponieważ ?„ = ł [(2n + l ) 2 — 1], więc pytanie (a) jest równoważne pytaniu czy równanie
(2) (x2 - 1) (z2 - 1) = (y* - 1 )2
posiada nieskończenie wiele rozwiązań w różnych liczbach nieparzystych.
A. Schinzel i W. Sierpiński [3] zapytują, czy równanie (2) posiada rozwiązania w różnych liczbach parzystych x, y , z oraz czy prócz rozwiązań podanych w [7]
istnieją inne rozwiązania tego równania. Znam jedno takie rozwiązanie: (42 — - 1) (312 — 1) = ( l l 2 - l) 2.
W związku z równaniem (2) można rozpatrywać równanie ogólniejsze:
(3) (x2 - 1) (z2 - 1) = y 2 a także równanie (x'i — 1) (x\ — 1 ) ... (x2s — l)2 = y l-
2 Z e s z y t y n a u k o w e n r 4 ___ ___
Pewnych twierdzeń o tych równaniach dowodzę w punkcie 2 tej pracy.
W punkcie 3 podam pewną tożsamość, z której można otrzymać wiele znanych dotąd nieskończonych serii rozwiązań równania (1), a także przedstawię pewien sposób A. Wakulicza otrzymywania wszystkich rozwiązań równania (1).*)
Odpowiedź na pytanie (c) jest twierdząca, mamy bowiem: t9 + r13 = rie, h ^i3 = ho-
Jest nawet: r18 + r14 = r23, t18 tXi — t115 r18 r14 = t l89.
Pytanie (d) jest równoważne pytaniu, czy układ równań x 2 + y 1 = a2 + 1, x 2 + z 2 = ó2 + 1, _y2 + -s2 = c2 + 1
posiada rozwiązanie w różnych liczbach nieparzystych .r, y , z, a, b, c.
Znam jedno rozwiązanie tego układu, w którym x jest liczbą parzystą, y , z są liczbami nieparzystymi:
162 + 232 = 282 + 1, 162 + 412 = 442 + 1, 232 + 412 = 472 + 1.
2
T w i e r d z e n i e 1. Dla każdej liczby naturalnej a istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych x , y takich, że
(4) (a2 — 1) (x2 — 1) = y 2.
Dowód. Równanie (4) posiada rozwiązania w liczbach naturalnych x , y , na przykład x = a, y — a2 — 1. Jeśli zaś liczby x , y spełniają równanie (4) to
(a2 — 1) [(ax + y )2 — 1] = [(a2 — 1) x + ay]2,
czyli otrzymujemy rozwiązanie równania (4) w liczbach większych. Wynika stąd teza twierdzenia 1.
T w i e r d z e n i e 2. Dla każdej liczby naturalnej b istnieje nieskończenie wiele rozwiązań równania
(5)
w liczbach naturalnych *13 x 2, y.
Dowód. Mamy tożsamość: (b2 — 1) ((/b + l ) 2 — 1) = (b2 -j- b — l) 2 — 1 (por.
W. Sierpiński [6], str. 137). Dla a — b2 + b — 1 zgodnie z twierdzeniem 1 istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych x , y takich, że
[(b2 + b - l) 2 - 1] (x2 - 1) = / , skąd
(b2 - 1 ) ( ( 6 + l )2 - 1)(^2 - 1 ) = /
i otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań równania (5). Z twierdzeń 1 i 2 wynika
T w i e r d z e n i e 3. Niech m, s, a1}..., am, będą dowolnymi liczbami natural
nymi i m + s > 2, m ^ s. Wtedy równanie
(6) (a2x - 1) ... (u2 - 1) (x; - 1) ... ( / - 1) = /
posiada nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych x 1)...,x s, y .
*) Dziękuję prof. A. Wakuliczowi za pozwolenie umieszczenia twierdzeń 4 i 5 w tej pracy.
Dowód. Jeśli m + s = 2n, n > 1 to m < n i dla liczb al3 am, am+1, .. ., a„
gdzie am+1, ..., a„ są dowolnymi liczbami naturalnymi, istnieją na podstawie twierdzenia 1 rozwiązania równań
(a‘i - 1) O l - 1) = y \ , ..., (a2 - 1) On - 1) = y°n, skąd (a! - 1) ... (a„ - 1) Ol - 1) ... On - 1) = ( y i ... Jn)2 i twierdzenie 3 jest udowodnione.
Jeśli « + s = 2n + 3, n > 0, to wobec twierdzenia 2 i rozpatrzonego wyżej przypadku otrzymujemy także nieskończenie wiele rozwiązań równania (6).
W związku z twierdzeniem 3 powstaje pytanie: jaka jest największa liczba m taka, że przy ustalonym N = m + 5 > 2, równanie (6) posiada przy każdym układzie liczb a1} nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach x„ ..., xs.
Dla N 4 maksymalnym m jest m = mianowicie zgodnie z twier
dzeniem 3 równania (4), (5) i równanie
O i - 1 ) 0 2 - 1 ) 0 1 - 1 ) 0 2 - 1 ) = ^ 2
posiadają nieskończenie wiele rozwiązań odpowiednio przy każdych a; b; a u a 2.
Natomiast na przykład równania (22 — l ) 2 O 2 — 1) = y~ oraz (22 — 1) (32 —
— 1) (52 — 1) O 2 — 1) = y 2 nie posiadają nieskończenie wielu rozwiązań w licz
bach naturalnych x , y , gdyż są one równoważne równaniom y 2 — (3x)2 = — 9, y 2 — (24x)2 = — 242, które mają co najwyżej skończoną liczbę rozwiązań.
3
Równanie (1) jest równoważne równaniu
(2 x + l ) 2 + (2 y + l ) 2 = (2a + l ) 2 + 1,
o którym wiemy, że ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wynika to na przykład z tożsamości:
(7) (3k + 2)2 f (4k + l) 2 = (5k + 2)2 + 1 (8) (3k + l) 2 + (4k + 3)2 = (5k + 3)2 + 1 (9) (5k + l) 2 + (12* + 5)2 = (13* + 5)2 + 1 (10) (5k + 4)2 + (12* + 7)2 = (13* + 8)2 + 1 (11) (8* + l) 2 + (15* + 4)2 = (17* + 4)2 + 1 (12) (8* + 7)2 + (15* + 11)2 = (17* + 13)2 + 1 (13) (2n + l ) 2 + (w2 + n — l ) 2 = (n2 - f n + l) 2 + 1 (14) (2n2 + n f + (2«3 + l ) 2 = (2ra3 + w)2 + 1
(15) (4 n + 5)2 + (2w2 + 5 w + l ) 2 = (2«2 + 5 n + 5)2 + 1.
Tożsamości: (8), (10), (11) podał M. N. K hatri [2]; (7), (9), (12) podał R. Ven- kachatalam Iyer [8]; (13) wynika z dobrze znanej własności liczb trójkątnych:
h - i + * = ?fc, dla * = t„, (14), (15) podał W. Sierpiński ([5], str. 41, [6], str.
134).
Tożsamości: (7) — (12) są postaci
(16) (ak + r)2 + (bk + l ) 2 = {ck + r)2 + 1.
Równość ta jest spełniona dla każdego *, gdy a 2 + b2 = c2 i ar -j- b = cr.
Z pierwszej z tych równości wynika, że przy pewnych naturalnych x , y mamy a = x 2 — y 2, b = 2xy, c = ;c2 -f- y 2, z drugiej zaś, że x — ry. A więc a — (r2 — l ) y 2, b = 2ry2, c = (r2 + l)jy2. Z (16) wynika więc, że
((r2 - l ) y 2k + r)2 + (2ry2k + l) 2 = ((r2 - f 1 ) y 2k + r)2 + 1 Zastępując y 2k przez k otrzymujemy zapowiedzianą w punkcie 1 tożsamość:
(17) ((r2 - I) k + r)2 + (2rk + l ) 2 = ((r2 + 1) k + r)2 + 1
Kładąc w (17) r — 2, 3, 4, —4, 5, —5 i zamieniając ewentualnie 2k lub k ± 1 przez k otrzymujemy tożsamości (7) — (12). Tożsamości (13), (14), (15) otrzymu
jemy z (17) obierając odpowiednio:
r — — ( « -f 1), k = 1; r = 2n — 1, k = i (n -f 1); r = w + 1, k — 2.
Co do pytania (b) sformułowanego w punkcie 1 zauważmy, że jest ono równo
ważne pytaniu jakie są wzory zawierające wszystkie rozwiązania w liczbach nie
parzystych a, b, c równania
(18) " a 2 + ó 2 = c 2 + l .
Jak udowodnił L. E. Dickson [1] wszystkie rozwiązania równania x2 + y 2 —
= u2 -f v 2 zawarte są we wzorach: * = i (ms + nr), y — -} (mr — ns), u —
= i (mr + ns), v = l (ms — nr), (por. W. Sierpiński, [6], str. 83). Wynika stąd, że wszystkie rozwiązania równania (18) są postaci
(19) (ms + nr)2 + (mr — ns)2 — (mr + ns)2 + 1, gdzie
(19') ms — nr = i 1.
Problem polega na tym, by uwolnić się od dodatkowego warunku (19') i podać rozwiązania w postaci tożsamości, w której występują parametry nie związane żadnymi warunkami, podobnie jak w (17). Jednakże tożsamość (17) nie daje wszystkich rozwiązań równania (18), nie mieści się w niej na przykład rozwią
zanie 62 + 172 = 182 + 1.
A. Wakulicz wskazał pewien sposób budowania tożsamości dających rozwiąza
nia równania (18) i zawierających dowolną liczbę niezależnych parametrów.
Sposób ten można opisać następująco.
Niech liczby a, b, c będą rozwiązaniem równania (18). Istnieją więc liczby naturalne m, n, r, s takie, że
(20) a — ms + nr, b — mr — ns, c = mr + ns, i ponadto liczby m , n, r, s spełniają warunek (19').
yyi tu
Rozwijamy liczbę — na ułamek łańcuchowy: — = (qn\ q {, ..., qu), Pi(Qi niech oznacza i — ty redukt tego ułamka. Jak wiadomo, mamy mQk-i — nPk-i = ± 1 i ogólne rozwiązanie (19') w liczbach r, s ma postać:
(21) r = Pk—i + mt, s — gfc-i + nt, t = 0, ± 1 , ± 2 , ...
Biorąc pod uwagę, że m = Pk, n = Qk, widzimy, że każde rozwiązanie rów
nania (18) jest postaci:
a = Pk ( & _ ! + Qkt) + Qk (Pk- X + Put), b = P k (Pu-! + Pul) - Qu (Qu- 1 + Qkt), c = Pk (Pk- 1 + Pkt) + Qk (Qk- 1 + QkP) >
gdzie t jest pewną liczbą całkowitą.
