Pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć wiedzy matematycznej, albowiem w tym pojęciu, jak w zarodku, tkwi idea opanowania zjawisk przyrody i procesów techniki przy pomocy aparatu matematycznego. W nauczaniu mate
matyki w szkołach średnich i wyższych obserwujemy bardzo wiele rozmaitych definicji funkcji, które najczęściej nie są zgodne ze współczesnym, naukowym pojęciem funkcji. Celem tego artykułu jest 1) krytyka tradycyjnego sposobu nauczania pojęcia funkcji w szkołach i 2) przedstawienie współczesnego, nauko
wego pojęcia funkcji.
Współczesne pojęcie funkcji ma swoje źródło w definicji Dirichleta, który w r. 1837 podał taką jej definicję: y jest jednoznaczną funkcją zmiennej x w prze
dziale (a, b), jeżeli każdej wartości x tego przedziału odpowiada określona war
tość y (bez względu na to, w jaki sposób dokonuje się przyporządkowania war
tości y poszczególnym wartościom *). Najczęściej spotykamy jednak w podręcz
nikach następującą definicję funkcji jednej zmiennej: „funkcja jest określona, gdy dane jest prawo, przyporządkowujące każdej wartości pewnej zmiennej określoną wartość innej zmiennej". Otóż definicja taka nie jest całkiem jasna, ani też nie jest poprawna pod względem logicznym. Definicja powinna bowiem określać, czym jest funkcja, nie zaś formułować warunki, przy których spełnieniu funkcja jest określona. N ie wiadomo, co to jest wartość zmiennej i w jaki sposób zmienna może przyjąć wartość stalą. Pojęcie prawa jest dość nieokreślone i co najmniej w tym stopniu domaga się określenia, co samo pojęcie funkcji. Symbo
lika służąca do zapisywania funkcji budzi też poważne wątpliwości. Jeśli piszemy równanie: y — f (x), to niewiadomo, co ono oznacza. Jedni mówią, że sym
bol / ( * ) jest symbolem funkcji, inni zaś, że równanie: y = / (x) określa funkcję.
Tymczasem z naukowego punktu widzenia ani jedno, ani drugie nie jest prawdą.
Symbol f ( x ) jest bowiem symbolem wartości funkcji / dla argum entu x czyli symbol f (x) jest n.p. nazwą liczby, o ile „x“ jest nazwą liczby, a więc sym
bol f ( x ) nie jest symbolem funkcji w znaczeniu powyżej cytowanej definicji, według której funkcja jest to prawo przyporządkowania. Również równanie:
y — f 0*0 n ie )est funkcją w znaczeniu tej definicji, gdyż równanie y = / (*) jest to funkcja zdaniowa o 2 zmiennych wolnych, która po podstawieniu w miejsce tych zmiennych nazw określonych przedmiotów (n.p. liczb) staje się zdaniem prawdziwym albo fałszywym, mówiąc zaś o funkcji matematycznej mamy na
*) Wyjątek z pracy pt. „Pojęcie funkcji w nauce i w nauczaniu” .
myśli tylko te pary zmiennych x , y , które powyższe równanie spełniają czyli przez funkcję matematyczną rozumiemy zbiór tych par uporządkowanych (:x , y ) dla których spełnia się równanie: y = / ( * ) . Widzimy stąd, że w nauczaniu po
jęcia funkcji występuje pomieszanie ze sobą trzech rzeczy: pojęcia wartości funkcji, pojęcia funkcji jako zbioru par uporządkowanych spełniających rów
nanie: y — f (x) i pojęcia funkcji jako równania funkcyjnego y — f (*). To pomie
szanie ze sobą różnych pojęć dotyczących funkcji stanowi jedną z głównych przyczyn niedostatecznej znajomości matematyki u naszych absolwentów szkół średnich, a nieraz także u absolwentów szkół wyższych.
P O JĘ C IE ZM IENNEJ
Zanalizujemy teraz pojęcie zmiennej i pojęcie wartości zmiennej. W naucza
niu spotykamy się z trojakim rozumieniem zmiennych:
1) zmienne występujące w równaniu tożsamościowym n.p a -j- b = * + a, nazywają się liczbami ogólnymi;
2) zmienne występujące w równaniu nietożsamościowym np. x 2 — 5x = 0 nazywają się niewiadomymi;
3) zmienne występujące w równaniu określającym funkcję np. y = 2X, nazy
wają się: x zmienną niezależną, y zmienną zależną.
T o rozróżnienie zmiennych nie istnieje jednak w logice matematycznej. Zmienne są to po prostu litery, za które można według pewnych reguł podstawiania podstawiać nazwy przedmiotów z pewnego zbioru. Można tylko powiedzieć, że zmienne w różnych warunkach mogą pełnić różne role. Tak np. zmienne a,b, występujące w zdaniu ogólnym II TI (a -j- * = * + a) są związane przez
kwan-a b
tyfikatory ogólne. Zmienna x, występująca w równaniu x2 — 5x = 0 odnosi się do zbioru rozwiązań równania x 2 — 5x = 0 w zakresie liczb rzeczywistych i wtedy w symbolu {x \xe R ■ x 2 — 5x = 0} zmienna x jest związana przez sym
bol / \ oznaczający operację tworzenia zbioru rozwiązań równania. Wresz
cie mówiąc o funkcji: y — 2X mamy na myśli zbiór par uporządkowanych i(x^y)\xeR • y = 2X} i wtedy zmienne x , y są też związane przez operację two
rzenia zbioru par uporządkowanych. Jak widać z powyższego, nauka nie zna pojęcia wartości zmiennej, o jakim jest mowa w podanych wyżej definicjach funkcji.
P O JĘ C IE PRZY PO RZĄD KOW AN IA
Słabą stroną definicji funkcji według Dirichleta jest to, że zacieśnia ona to pojęcie do funkcji liczbo-liczbowych i wiąże je z pojęciem continuum liczb rzeczywistych. Ogólniejszą definicję podaje Cantor (1883 r. Grundlagen einer allgemeinen Manngfaltigkeitslehre) w ten sposób: Funkcją nazywamy przypo
rządkowanie, które każdemu elementowi mnogości X wyznacza dokładnie jeden element mnogości Y. Definicja Cantora opiera się na intuicji idei przyporządko
wania, którego bliżej nie objaśnia. N ie wiadomo więc, czy funkcja jest to czyn
ność przyporządkowania, związana z pewnym określonym sposobem przypo
rządkowania, czy też funkcja jest to wynik czynności przyporządkowania w postaci zbioru par elementów sobie przyporządkowanych. Kuratowski i Mostowski w swojej „ Teorii mnogości“ przestrzegają przed przykrym pomieszaniem pojęć funkcji i przyporządkowania tymi słowy: przez przyporządkowanie rozumiemy funkcję zdaniową <I> (x, y) o 2 zmiennych wolnych o tej własności: mają zakres zmienności nieograniczony, to funkcja w znaczeniu podzbioru ilo
czynu kartezjańskiego nie istnieje, chociaż funkcja zdaniowa: y = x, jest przy
porządkowaniem. Zatem nie można określać funkcji jako przyporządkowania jednoznacznego, jeżeli chcemy być w zgodzie z naukowym pojęciem funkcji.
Określenie funkcji jako podzbioru iloczynu kartezjańskiego o tej własności, że II (xRyx ■ x R y 2-+ y x = y 2), też nie jest zadowalające nod względem
Bardzo często w nauczaniu matematyki uważa się funkcję za określoną dopiero wtedy, jeśli podany jest jakiś wzór matematyczny, czy jakieś wyrażenie anali stopnia przyczynę, dla której współczesna matematyka koncentruje swą uwagę
raczej na funkcjach jako zbiorach par uporządkowanych, niż na funkcjach trak
towanych jako wartości funkcji. W badaniach dotyczących ciągłości, różniczko- walności i całkowalności funkcji nie trzeba wyróżniać t.zw. zmiennej niezależnej, dopóki jest mowa o funkcjach jako zbiorach par uporządkowanych, lecz gdy przechodzi się do wartości funkcji, trzeba starannie wyróżniać zmienną nieza
leżną czyli argument funkcji.
Jak widać z powyższej analizy z pojęciem funkcji wiąże się cały szereg nie
jasności i wątpliwości, których rozwikłanie postawiłem sobie jako cel mej pracy naukowej. W tym celu zbadałem szczegółowo, jak przedstawia się pojęcie funkcji we współczesnej nauce. Pojęcie to występuje obecnie prawie wszędzie na tle aksjornatycznego systemu teorii mnogości, która jest dyscypliną podstawową dla całej matematyki. Dlatego też w pracy swojej uwzględniłem wszystkie waż
niejsze systemy teorii mnogości, z wyjątkiem kierunku intuicjonistycznego.
Systemy te powstały po odkryciu t.zw. antynomii w intuicyjnej teorii mnogości stworzonej przez Cantora i mają na celu dopuszczenie jako zbiorów tych klas, które najczęściej są używane w matematyce, przy równoczesnym niedopusz
czeniu jako zbiorów tych klas, które występują w antynomiach Russella, Can
tora czy Burali-FortPego.
Zreferowałem w swej pracy: 1) kierunek typów logicznych Russella, przyj
mujący, że dowzolone jest tylko tworzenie klas elementów jednorodnych o okre
ślonym typie logicznym oraz spokrewniony z nim kierunek stratyfikacji Quine’a- -Rosser’a; 2) dalej omówiłem kierunek aksjomatyczny stworzony przez Zer- melo i przyjmujący, że w systenie istnieje jeden zbiór pusty i istnieją także inne indywidua tj. przedmioty nie będące zbiorami; 3) wreszcie zreferowałem kie
runek aksjomatyczny stworzony przez Fraenkla, rozwinięty przez Neumanna, Bernays’a i Bourbaki, przyjmujący, że w systemie istnieje jeden zbiór pusty, lecz nie ma żadnych innych indywiduów. W swoim systemie teorii mnogości zajmuję też to stanowisko ostatnie, ponieważ okazało się, że dla zbudowania podstaw matematyki wystarcza przyjąć istnienie tylko jednego indywiduum zbioru pustego, nie ma zaś potrzeby przyjmowania innych indywiduów. W sy
stemie Fraenkla zdanie: x s y czytamy i rozumiemy tak: „zbiór x jest elemen
tem zbioru y “. Ponieważ wszystkie przedmioty badane w systemach typu 3 są zbiorami, przeto pojęcie pierwotne „zbiór“ jest w tych systemach zbyteczne.
Zbadałem w swej pracy naukowej szczegółowo, jak przedstawia się pojęcie funkcji w systemach teorii mnogości zreferowanych przeze mnie i doszedłem do wniosku, że żaden z tych systemów nie może być przyjęty bez zmian jako przystępna podstawa metodycznego wprowadzenia pojęcia funkcji w szko
łach. Dlatego postanowiłem zbudować nowy system teorii mnogości, w którym chciałem zachować wszystkie pozytywne elementy systemów zreferowanych, a równocześnie chciałem usunąć wszystkie jednostronności i trudności dy
daktyczne powyższych systemów. Budując nowy system, postawiłem sobie 3 cele: 1) system ma być fragmentem teorii mnogości wystarczającym do opar
cia na nim teorii funkcji, 2) system powinien być całkowicie poprawny pod względem logicznym i powinien uwzględniać wyniki najnowszych badań mate
matyków i logików, 3) system powinien być możliwie naturalny, zgodny z po
tocznymi intuicjami, formalnie możliwie prosty. Przyjmuję, że wszystkie przed
mioty badane w matematyce są zbiorami, czyli, że nie istnieją żadne indywidua z wyjątkiem zbioru pustego. Jako pojęcia pierwotne systemu przyjmuję: symbol równości = , symbol przynależności e i symbol pary uporządkowanej (,). Dzięki wprowadzeniu tego ostatniego symbolu jako pierwotnego unikam sztucznego wprowadzania par przez definicję Kuratowskiego-Wienera (a,b) = [{a),{a,b}\, gdyż uważam, że w szkole para uporządkowana to jest para uporządkowana, a więc dane są dwa elementy, jeden jest pierwszy, pozostały zaś jest drugi i na tym koniec. Aksjomatyka wystarczająca do zbudowania teorii funkcji składa się z 5 aksjomatów dotyczących równości:
ściwym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów. W wypadku ogólnym funk
cja zdaniowa $ może oprócz zmiennej * zawierać jeszcze inne zmienne y , , y 2,
Aksjomat ten gwarantuje istnienie przynajmniej jednego przedmiotu, będą
cego zbiorem niepustym.
AS. TT 1T U TI [(x,y) - (x',y ’) ^ (* = *'• v = y')]
x x ' y y '
Aksjomat ten stwierdza, że para uporządkowana jest jednoznacznie wyzna
czona przez swój początek i swój koniec.
D e f i n i c j a IV.
G raf G nazywa się funkcyjny, jeśli do każdego x istnieje najwyżej jedno y takie, że (x, y ) s G.
D e f i n i c j a V.
G raf G jest funkcją odwzorowującą zbiór A w zbiór B wtedy i tylko wtedy, jeśli G jest grafem funkcyjnym, pierwszy rzut grafa G jest identycznie równy zbiorowi A , drugi zaś rzut grafu G zawiera się w zbiorze 8 .
D e f i n i c j a VI.
G raf G jest funkcją odwzorowującą zbiór A na zbiór B wtedy i tylko wtedy, jeśli G jest grafem funkcyjnym, pierwszy rzut grafu G równa się zbiorowi A , drugi rzut grafu G równa się zbiorowi B.
T w i e r d z e n i e : Jeśli graf G jest funkcją odwzorowtijącą zbiór A w zbiór B i jeśli element x należy do zbioru A , to zachodzi równoważność:
y = G (x) (x ,y ) eG, przy czym G(x) = (ry) (x, y ) z G.
Zanim podam ostatni aksjomat A9, muszę wpierw podać ścisłą definicję term u i funkcji zdaniowej.
D e f i n i c j a V II.
Określenie zmiennej:
a) x jest zmienną;
b) jeśli \ jest zmienną, to Ęj jest też zmienną;
c) jedynymi zmiennymi są te, które są określone przez a) i b).
Otrzymujemy więc przeliczalny ciąg zmiennych: x , x x, x u ,xm..., który zapi
sujemy zwykle w postaci: x , y , z, t , ...
d) każda zmienna jest termem;
e) jeśli « i p są termami, to (a, (3) jest też termem;
f) jeśli a i [i są termami, to „ a = p“ i „ aep “ są funkcjami zdaniowymi;
g) jeśli (1> i 'P są funkcjami zdaniowymi, to
O', <I> v VF, <!> • T , <(> -> Y , O -«-*■ VF są funkcjami zdaniowymi;
h) jeśli x jest zmienną i 4> jest funkcją zdaniową, to !! d> i (3 x)<h są funk
cjami zdaniowymi;
i) jeśli <1> jest funkcją zdaniową jednostkową względem x, to (i x) <1> jest termem, przy czym symbol ( u ) d> oznacza jedyny przedm iot x, mający własność <h;
j) jeśli O jest funkcją zdaniową, a termem, x zmienną, to (ajx) 4> jest funk
cją zdaniową;
k) jeśli a i p są termami i x zmienną, to (pjx) a jest termem.
( Uwa ga : symbol „(a|x) <3>“ oznacza wynik podstawienia symbolu a w miejsce litery x do wyrażenia O.)
Podałem łączną definicję termów i funkcji zdaniowych. Jest to definicja induk
cyjna, podpadająca pod ogólny schemat definicji najmniejszego zbioru zawiera
jącego inny jakiś zbiór i zamkniętego ze względu na pewne operacje. Zbiorem zawartym w zbiorze wszystkich termów i funkcji zdaniowych jest zbiór wszyst
kich zmiennych nazwowych, operacjami są np. Tworzenie implikacji, dołączanie na początku kwantyfikatorów itd.
W nauce algebry szkolnej posługujemy się ciągle terminem: „wyrażenie alge- braiczne“ . Uczniowie domagają się wyjaśnienia, co się rozumie przez wyrażenie algebraiczne. Stąd wynika konieczność wprowadzenia do nauczania szkolnego pojęcia term u. W tym celu należałoby wprowadzić najpierw pojęcie funkcji przedmiotowej, przy czym przez funkcję przedmiotową rozumiem dowolne wy
rażenie zawierające przynajmniej jedną zmienną wolną, które po wstawieniu w miejsce zmiennych nazw przedmiotów z pewnego określonego zbioru U prze
chodzi w nazwę dokładnie jednego przedmiotu ze zbioru U. N a przykład funk
cjami przedmiotowymi są: x + 3 , - , log (x + y).
Każdej funkcji przedmiotowej odpowiada pewien zbiór określoności o tej własności, że, jeśli podstawimy w miejsce zmiennej nazwę przedmiotu, który nie należy do zbioru określoności danej funkcji przedmiotowej, otrzymujemy wyrażenie bez sensu, jak np. -J-, log (— 1 — 2). W szkole można by przyjąć następującą definicję termu: termami są a) wszystkie nazwy przedmiotów, b) wszystkie funkcje przedmiotowe.
Przy pomocy pojęcia term u można zdefiniować równanie: równaniem wzglę
dem x jest wyrażenie o postaci: t1 = r2, gdzie tx i t2 są termami, z których przy
najmniej jeden zawiera zmienną x. Zajmujemy się też w szkole przekształce
niami termów na równoważne, przy czym term t l jest równoważny termowi t2 w zbiorze P wtedy i tylko wtedy, gdy równanie: rx = t2 jest równaniem tożsa
mościowym w zbiorze P. N. p. term (2x — 3y)2 — (2x + 3y)2 jest równoważny termowi — 24xy w zbiorze liczb rzeczywistych. Rachowanie t.zw. liczbami ogólnymi jest to nic innego, jak przekształcanie termów ze zmiennymi na termy równoważne.
D e f i n i c j a VIII.
Zdanie: „Istnieje zbiór przedmiotów spełniających funkcję zdaniową <I> (x)“ jest równoważne zdaniu: (3 Z ) II [xe.Z «-»■ <1> (x)].
Wniosek: jeśli istnieje zbiór przedmiotów spełniających funkcję zdaniową <l> (x), to jest on jedyny na podstawie aksjomatu A l. Jedyny zbiór przedmiotów speł
niających funkcję zdaniową <E> (x) oznaczamy symbolem {xj4>(x)} czyli {xjO>(x)} = OZ) II [xzZ +-*■ <£>(x)]
T w i e r d z e n i e : Jeśli istnieje zbiór przedmiotów spełniających funkcję zda
niową 4> (x), to zachodzi wzór: II [4>(x) x s {x!4> (x)}].
X
Dowód polega na tym, że przedm iot zdefiniowany jako opis jednostkowy spełnia warunek definiujący.
T w i e r d z e n i e a). Jeśli 4> (x) jest funkcją zdaniową określoną dla elementów zbioru A i jeśli wyrażenie: „<1> (x) -> x s A ” jest twierdzeniem, to istnieje zbiór przedmiotów spełniających funkcję zdaniową <E> (x).
Dowód’. N a podstawie tautologii (p -> q) -> (p -> p ■ q) otrzymujemy wniosek:
że istnieje zbiór przedmiotów spełniających funkcję zdaniową O (x).
Podaję teraz aksjomat A9.
A 9. n ( 3 B )II t.y zB +-+ ( 3 x ) (xzA ■y = T)\,
A y
gdzie symbol T oznacza term nie zawierający zmiennej wolnej y . Aksjomat ten gwarantuje istnienie zbioru przedmiotów y spełniających funkcję zdaniową:
(3 x) (xzA ■ y = T ); zbiór ten oznaczamy symbolem: {y|(3 r) (xzA - y = T)}
i nazywamy zbiorem przedmiotów o formie T dla x zA . N . p. niech A będzie zbiorem liczb naturalnych, T niech ma postać x 2. W tedy istnieje zbiór R, którego elementy y spełniają funkcję zdaniową: (3 x) (xzA - y — x2). Jest to zbiór kwa
dratów liczb naturalnych. Aksjomat ten nie jest właściwym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów. Jeśli term T zawiera oprócz zmiennej x inne zmienne Graf, jeśli istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie na podstawie aksjomatu Al 1 nazywa się grafem funkcji zdaniowej l*(x, y ) lub zbiorem reprezentującym
otóż z założenia mamy: 4>(x,y)-> (x,y )sZ 0, stąd na podstawie tautologii:
( P ¢ ) ( P P ' y) ntamy wniosek:
2) <ł>(x, y ) <t>(x, y) • (x, y ) z Z u Z 1) wynika, że
3) z z Z ' z z Z n ■ (3 x) (3 y ) [z — (x, y ) ■ &(x, y)j z 3) wynika, że
(x ,y )sZ ' (x,y)eZ„ • (H x) (3 y )[(x ,y) = (x, y ) • <l>(x, y)J —*
4) (x, y ) z Z n • <J>(x, y ) • (3 x) (x = x) • (3 y ) ( y = y ) (x,y)sZ„ ■ <I>(x,y) stąd na podstawie 2) mamy: (x ,y )sZ ' 4>(x,y), c -b ^ d -o .
Dowód, że zbiór Z ' jest grafem, jest następujący:
z z Z ' -> (3 x ) (3 y ) [z = (x, y ) ■ 4>(x, y)j -> (3 x ) (3 y ) [z = (x, y)], stąd z z Z ' -> (3 x) ( 3 y ) [z = (x,y)], skąd na podstawie definicji I wnioskujemy, że zbiór Z ' jest grafem.
T w i e r d z e n i e y ) .
Jeśli T jest termem nie zawierającym zmiennej wolnej y i jeśli A jest zbiorem jeśli nadto symbol <I> oznacza funkcję zdaniową: „xsA - y — T “, to funkcja zdaniowa <E> ma swój graf F ze względu na x i y ; graf F jest funkcyjny, r z y F —
= A , r z 2 F = { y [ (3 x) (xsA ■ y = T)}. Dla każdego xsA jest: F (x) = T.
Dowód. Z definicji symbolu <I> wynika: <P(x,y)*~>xeA ■y — T 1)
Z 1) wynika: < ł > ( x , y ) x s z l 2)
Z 1) wynika też: <l>(x,y) (3 x) (xzA ■ y = T) 3) Z aksjomatu A9 wynika istnienie zbioru przedmiotów o formie T dla xzA.
Oznaczmy ten zbiór przez B. Jest więc B = {y | (3 x) (xsA ■ y — T)} 4) Z 4) wynika: (3 x) (xzA • y = T) -> y z B 5)
Z 3) i 5) wynika: <ł>(x,y) y zB 6)
Z 2) i 6) wynika: 4>(x,y) xzA ■ y e B lub <5>(x,y)-> x , y ) z A x B 7) Z 7) wynika: (3 Z) 1 1 [ x z A • y = T -*■ (x,y)sZ ]
y
Na podstawie twierdzenia (¾) wnioskujemy, że funkcja zdaniowa 9> ma swój graf F ze względu na x i y.
Zatem jest: II [xs A - y — T (x ,y ) z F ]
*,y
czyli F = {(x7y)jxsZ ■ y = T)
rz yF = {x |(3 y) (x,y) zF} = (x j (3 y ) (xzA - y = T)} =
= (x j xzA • (3 y) (y = T)} = {x | x z A j = A
r z 2 F — { y | (3 x) (x,y)sF} = {y | (3 x) (xsA ■ y = 7)} = B Jeśli xsA , to F(x) = (1 y) (x , y ) z F = (i y) (xzA ■ y = T ) — T
Uwaga: Wynik podstawienia symbolu a w miejscu zmiennej x do term u T zapisujemy symbolicznie w ten sposób: (a | x) T. Jeśli zastosujemy regułę pod
stawiania do uznanej już za prawdziwą funkcji zdaniowej: xzA F{x) = T, otrzymujemy wniosek S) następujący: azA -> F{a) = (a | x)T.
Jeśli C jest zbiorem takim, że B c C, to 3 zbiory F, A, C takie, że F jest
tematyczną a przyporządkowaniem. Przyporządkowanie jednoznaczne nie jest jeszcze funkcją w sensie teorii mnogości czyli nie jest zbiorem par uporządko
wanych, jak o tym poucza przykład przyporządkowania: y — x. Jeśli jednak dany jest zbiór A i przyporządkowanie fl> (x, y ) jednoznaczne względem y , to przyjmując definicję: F(x) = 0 y) <t>(x, y ) , mamy równoważność: y = F(x)*-+
<-*<&(x,y).
Na podstawie twierdzenia y) wnioskujemy o istnieniu funkcji określonej przy pomocy zbioru A i term u F (x ). Jest nią zbiór:
N a podstawie powyższego twierdzenia wnioskujemy o istnieniu jednej funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach argumentu. Twierdzenie to ma wielkie znaczenie metodyczne, ponieważ zwykle uczniowie sądzą, że ma
ma swój graf względem x i z, graf ten jest funkcyjny, jego pierwszym rzutem jest zbiór A , jego drugi rzut zawiera się w zbiorze C. Oznaczając ten graf przez H, mamy: H = {(x)-s')i ( 3 y ) [(x,y) z F • ( y , z) sG] G raf H jest więc funkcją odwzorowującą zbiór A w zbiór C. Nazywamy go funkcją złożoną z funkcji F i G i piszemy: H = G°F.
Dowodu tego twierdzenia również nie podaję, gdyż zająłby dużo miejsca.
Ponieważ dla x sA jest: (x, y ) z F y — F (x) i dla y z B jest: (y, z)zG z =
= G(y), przeto zachodzą następujące równoważności:
(3 y ) [(x,y)sF ■ ( y , z)zG] (Ry) [y = F(x) ■ z = G(y)] (3 y ) [ y =
= F(x) ■ z — G (F{x))] +~+z = G(F{x)) ■ (g y ) [y = +-+z = G(F{x)) Zatem G °F = { ( x ^ z ) \ z = G(F(x))}
D e f i n i c j a X.
Grafem odwrotnym do danego grafu G nazywamy graf G taki, że:
G = !(yTx) | ( x ,y)sG}, stąd ( y , x) sG (x,y)zG.
Z definicji X wynika, że wykres grafu odwrotmego G otrzymujemy, tworząc obraz symetryczny wykresu grafu G względem dwusiecznej kąta pierwszej ćwiartki układu współrzędnych prostokątnych.
T w i e r d z e n i e . Jeśli G jest funkcją odwzorowującą zbiór A na zbiór B w spo
sób różnowartościowy (tj. x x ^ x 2 G(x4) ^ G (x2)), to G jest funkcją odwzo
rowującą zbiór B na A w sposób różnowartościowy.
D e f i n i c j a X I.
Funkcją tożsamościową zbioru A nazywamy funkcję, która każdemu elementowi zbioru A przyporządkowuje ten sam element zbioru A. Oznaczamy ją symbo
lem I A. Jest więc : I A = A <x~*x) A.
T w i e r d z e n i e . Jeśli G jest funkcją odwzorowującą zbiór A na B w sposób różnowartościowy, to G°G = I A i G°G = I B
DZIAŁANIA W Y M IERNE NA FU N K CJA C H RZECZY W ISTYCH ZMIENNEJ RZECZYW ISTEJ
Są to funkcje odwzorowujące zbiór liczb rzeczywistych R lub jego podzbiór w zbiór liczb rzeczywistych. Niech będzie F x = A (i * Ti) R , gdzie A r C R i Ti jest termem arytmetyki liczb rzeczywistych, nie będącym parą liczb rze
czywistych. Podobnie niech będzie F 2 = A{x^ Ti> R, gdzie A., c R i T 2 jest termem arytmetyki liczb rzeczywistych, nie będącym parą liczb rzeczywi
stych. W tedy dla a z A x jest Fi(a) = (a | x )7 \ dla as A., jest F 2(a) = (a | x ) T 2 Określamy F x + F 2 = {(óćyy) \ (xzA x r\ A 2) ■ (y — T x T 2)}, gdzie symbol A x ^ A 2 oznacza iloczyn mnogościowy zbiorów A , i A 2. czyli F x + F2 =
= A x r\ A (2 "'T' + Tl) R. Zbiór taki istnieje na podstawie twierdzenia y). Jeśli azA i rs A 2, to (F, + F 2) (a) = (a | x) (T, + Ty. = (a j x ) T x + (a | x ) T 2 =
= Fi(a) + F 2(a) czyli wartość funkcji sumowej F r + F 2 dla argumentu a.
A , n A 2 równa się sumie wartości funkcji F, i F 2 dla argumentu a. Podobnie określamy: F j • F 2 = A , A 2<x~*r ,' Ts) R. Jeśli „ c “ oznacza liczbę rzeczywistą, to cF1 = A 1<x+ c' t,} R.
D e f i n i c j a funkcji ilorazowej: F l/F.i = A 1 r ^ A « — K u ~*1'll,)R, gdzie K jest to zbiór rozwiązań równania: F 2 = 0. Definicja funkcji stałej: niech li
tera c oznacza liczbę rzeczywistą. Przez funkcję stałą [c] rozumiemy funkcję określoną przy pomocy zbioru R i term u c. Jest więc [c] = R (x c) R =
— {(*30 | x zR • y — c). Dla dowolnej liczby rzeczywistej a jest: [c] (a) =
= (a \ x)c = c. Widzimy zatem, że co innego jest funkcja stała jako zbiór par uporządkowanych, a co innego jest liczba, będąca wartością funkcji stałej.Funkcję tożsamościową zbioru liczb rzeczywistych R będziemy oznaczać krótko symbo
lem 7. Jest więc: / = F u">x)F . Przyjmujemy też następujące definicje: 7° = [1]
/" = R(x->xn> F , w-liczba naturalna.
D e f i n i c j a funkcji wielomianowej:
caI n + Cl • 7n_1 + c2 ■ 7"-2 + ... + [cn] = R (*+**n + «*n ^ + - +«») R Definicja funkcji wymiernej ułamkowej:
Jeśli F j = c0 • 7" + cx ■ 7" *+ ... -j- [cn] i F 2 = dQ ■ I m + dx • 7'" 1 + ... + [dm],
Co x n + Ci x n ~ 1 4 - ... + cn \
to Fi/F* = R - K ' .(■ d‘*m + d*x'" 1 + ■•■ + dm/ F , gdzie TT jest to zbiór rozwiązań równania:
d0 • + ... + dm — 0 .
PO Z O ST A Ł E AKSJOM ATY
Podaję teraz pozostałe aksjomaty mojego systemu teorii mnogości.
A 10. Każdy niepusty zbiór a zawiera element b taki, że a i b nie mają żadnego elementu wspólnego czyli symbolicznie:
n {(3*) (xsa) (3 b) [bza ■ II (yza ■ yzb)'}\
a y
Aksjomat ten gwarantuje, że nie istnieje zbiór o własności: s z s, gdyż wtedy zbiór {5} zaprzeczył by aksjomatowi A 10, podobnie nie istnieją zbiory s i t o tej własności, że s s t i t z5, gdyż wuedy zbór {s, t\ zaprzeczył by aksjomatowi A 10;
podobnie nie istnieje zbiór {jl5 s2, s3... sn, sn+1, ...} o własności następującej:
. . . Sn-j-1 ZSn £Sn — i Z . . . £52^13 gdyż zbiór ten zaprzeczył by aksjomatowi A 10.
A 11. Do dowolnego niepustego zbioru a istnieje zbiór, którego elementami są elementy elementów zbioru a i tylko one. Nazywamy ten zbiór sumą łączną zbioru a i oznaczamy go symbolem I J a. Symbolicznie zapisujemy aksjomat A l i w tej postaci:
II {(3y) (yza) - > (3 2 )II [zvzz (3 u) (m a ■ wzu)]) .
Z aksjomatu A l i wynika aksjomat A3 przy pomocy aksjomatu A2, albowiem U {a , b} — a w b
A12. Do dowolnego zbioru a istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie
A12. Do dowolnego zbioru a istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie