jako ocena stopnia równowagi w systemie osadniczym

xn = Fn(x1, x2, ..., xn), gdzie x = (x1, x2, ..., xn), a F = (F1, F2, ..., Fn).

-HOL XGD VL SU]HNV]WDáFLü WH UyZQDQLD Z WHQ VSRVyE *H ND*GD ]H ]PLHQQ\FK xi

zo-VWDQLH Z\UD*RQD MDNR IXQNFMD SR]RVWDá\FK ]PLHQQ\FK SU]\ F]\P IXQNFMH V FLJáH L Uy*QLF]NRZDOQH WR PHWRGD LWHUDF\MQD MHVW ]ELH*QD >@

1LHVWHW\ XNáDG\ UyZQD RGSRZLDGDMFH PRGHORP
   nie VSHáQLDM SRGDQHJR Z\*HM ZDUXQNX SRQLHZD* PDP\ GR F]\QLHQLD ] IXQNFMDPL Z

So-staci niejawnej.

3U]HG SU]\VWSLHQLHP GR UR]ZL]\ZDQLD UyZQDQLD W\SX x = F(x QDOH*\ VSUyERZDü RGSRZLHG]LHü QD QDVWSXMFH S\WDQLD

•&]\ UR]ZL]DQLH LVWQLHMH" •-HOL LVWQLHMH F]\ MHst jedyne?

3RV]XNLZDQLH RSW\PDOQHJR UR]NáDGX DNW\ZQRFL Z XNáDG]LH RVDGQLF]\P WDNLHJR NWyUH Z ND*G\P UHMRQLH ]DSHZQL UyZQRZDJ PLG]\ ZLHONRFL ]DJRVSRGDURZDQLD

(d = (d1, d2, ..., dn D ZLHONRFL SRWU]HE F(d FR Z\UD*D UyZQDQLH d = F(d PR*QD VSURZDG]Lü ± MHOL F MHVW IXQNFM FLJá ± GR W]Z ]DJDGQLHQLD R LVWQLHQLX 

e-go odwzorowania [126], przy czym w tym wypadku odwzorowanie F jest równe

IXQNFML PRGHORZHM REOLF]DMFHM OLF]E SRGUy*\ NRF]RQ\FK Z UHMRQDFK QD NWyUH

So-dzielono badany obszar.

=DGDQLH WR UyZQLH* PR*QD Z\UD]Lü Z M]\NX WHRULL RSW\PDOL]DFML ZWHG\

]ELODQVo-wane rozmieszczenie jest wyznaczone przez minimum funkcji niedopasowania

po-WU]HE GR LVWQLHMFHJR ]DJRVSRGDURZDQLD Z V\VWHPLH RVDGQiczym.

$QDOL]D IXQNFMRQDOQD L WRSRORJLD GRVWDUF]DM SRGVWDZ WHRUHW\F]Q\FK GR UR]ZL]y-ZDQLD ]DJDGQLH WHJR URG]DMX RIHUXMF QDU]G]LD GR RFHQ\ SURFHGXU REOLF]HQLRZ\FK -HGQ ] QLFK MHVW PHWRGD iteracyjna, stosowana w modelach
  

[54, 63, 64].

3U]HVWU]HPHWU\F]QD0HWU\ND

jako ocena stopnia równowagi w systemie osadniczym

-HGQ\P ] SRMü X*\ZDQ\FK Z W\P UR]G]LDOH MHVW

 
, czyli zbiór HOHPHQWyZ SXQNWyZ RELHNWyZ ] RNUHORQ PLG]\ QLPL RGOHJáRFL -HOL

UR]PLHVz-56

F]HQLD ]DJRVSRGDURZDQLD EG UHSUH]HQWRZDQH SU]H] HOHPHQW\ SU]HVWU]HQL PHWU\Fz-QHM WR RGOHJáRü PLG]\ NROHMQ\PL ZDULDQWDPL ]DJRVSRGDURZDQLD ± RWU]\PDQ\PL Z SURFHVLH PRGHORZDQLD ± PR*QD LQWHUSUHWRZDü MDNR RFHQ VWRSQLD ]UyZQRZD*HQLD V\VWHPX RVDGQLF]HJR MDNR PLDU ]EOL*DQLD VL GR UR]ZL]DQLD Z SURFHVLH

modelo-wania.

Definicja. Zbiór X jest

 
 MHOL ND*GHM SDU]H HOHPHQWyZ x1, x2

QDOH*F\FK GR ]ELRUX X SU]\SRU]GNRZDQD MHVW metryka ρ NWyUD MHVW OLF]E QLHXMHPQ VSHáQLDMF QDVWSXMFH ZDUXQNL

•ρ(x1, x2) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2, •ρ(x1, x2) = ρ(x2, x1) (symetria),

•ρ(x1, x2) + ρ(x2, x3) ≥ρ(x1, x3) QLHUyZQRü WUyMNWD

0HWU\ND F]VWR QD]\ZDQD MHVW RGOHJáRFL -HVW OLF]ERZ PLDU G\VWDQVX PLG]\ HOHPHQWDPL RFHQLD LFK ÄEOLVNRü´

 3U]HVWU]HQL PHWU\F]Q MHVW SáDV]F]\]QD SU]HVWU]H GZXZ\PLDURZD

R² -HOL PDP\ GZD SXQNW\ A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2) i a = |y1 – y2|, a b = |x1 – x2|,

WR RGOHJáRü PLG]\ W\PL SXQNWDPL PR*QD RNUHOLü QD Uy*QH VSRVRE\ U\V 

B(x2, y2) A(x1, y1) A(x1, y1) B(x2,y2) B(x2, y2) a a A(x1, y1) a b b b

5\V  6SRVRE\ PLHU]HQLD RGOHJáRFL PLG]\ SXQNWDPL A i B QD SáDV]F]\(QLH PHWU\ND PLDVWD PHWU\ND HXNOLGHVRZD RUD] PHWU\ND PDNVLPXP

Fig. 4.3. Methods of measuring distance between point A and B on a plane (city metric, Euclidean metric, maximum metric)

:SLHUZV]\P VSRVRELH X*\ZD VL W]Z PHWU\NL PLDVWD Z NZDGUDWRZHM VLDWFH XOLF

odOHJáRü ] SXQNWX A do punktu B jest równa ρ1 (A, B) = a + b.

'UXJD PHWRGD MHVW VWRVRZDQD QDMF]FLHM L MHVW QDMEDUG]LHM LQWXLF\MQD G\VWDQV

PLe-rzony w linii prostej jest obliczany ze wzoru Euklidesa 2 2 2(A,B)= a +b

ρ .

:UHV]FLH PHWU\ND PDNVLPXP SU]\MPXMH ]D RGOHJáRü ZLNV] ] OLF]E a i b ρmax(A, B) = max(a, b).

.D*GD ] Z\PLHQLRQ\FK PHWRG REOLF]DQLD RGOHJáRFL Z\]QDF]D LQQ\ NV]WDáW VIHU\ ± RELHNWX NWyUHJR ZV]\VWNLH SXQNW\ OH* Z RGOHJáRFL r RG SRF]WNX XNáDGX

ZVSyáU]d-nych (rys. 4.4). r –r r –r r –r r r –r –r –r r

5\V  3U]\NáDG\ VIHU Z\]QDF]RQ\FK QD SáDV]F]\(QLH SU]\ SRPRF\ PHWU\Nρ1, ρ2 i ρmax

Fig. 4.4. Examples of sphere on a plane defined by metrics ρ1, ρ2 and ρmax

3U]HVWU]HQL PHWU\F]Q MHVW UyZQLH* SU]HVWU]H n-wymiarowa (Rn

 -H*HOL MHM GZD

punkty oznaczymy¹QDVWSXMFR x = (x1, x2, ..., xn), a y = (y1, y2, ..., yn WR RGOHJáRü PLG]\ QLPL PR*HP\ REOLF]\ü ]H Z]RUX . 1 gdzie | | ) , ( / 1 1 ≥     − =

∑

= p y x p p i i n i p x y ρ

:DUWR ]DXZD*\ü *H GZD SLHUZV]H SU]\NáDG\ PHWU\N SRGDQH GOD SáDV]F]\]Q\ V

równe metryce ρp, gdy p SU]\MPLH ZDUWRü  RUD]  1DWRPLDVW PHWU\N PDNVLPXP Z\UD*D UHJXáD

ρmax(x, y) = max (|x1 – y1|, |x2 – y2|, ..., |xn – yn|).

:UyüP\ GR PRGHOL
   -HOL DQDOL]RZDQ\ V\VWHP RVDGQLF]\

– aglomeracja czy region – zostanie podzielony na n UHMRQyZ WR ND*GHPX ] UHMRQyZ PR*QD SU]\SLVDü ZLHONRü ]DJRVSRGDURZDQLD :yZF]DV VWDQ ]DJRVSRGDURZDQLD

V\s-temu jest reprezentowany przez punkt w przestrzeni n-wymiarowej (punkt w

prze-VWU]HQL VWDQyZ .ROHMQH ZVSyáU]GQH SXQNWX UyZQDM VL ZLHONRFLRP SRUFML DNW\w-QRFL Z UHMRQLH    L n-tym.

6FKHPDW SRVWSRZDQLD Z WUDNFLH PRGHORZDQLD MHVW QDVWSXMF\ 1DMSLHUZ XVWDOD VL ZVWSQH UR]PLHV]F]HQLH DNW\ZQRFL Z UHMRQDFK R]QDF]P\ MH MDNR SXQNW d0 = (d1⁰, d2

0 ,..., dn

0

 1DVWSQLH Z NROHMQ\FK LWHUDFMDFK ] ]DOH*QRFL di+1 = F(di) (i = 0, 1, ...) obliczane jest nowe, poprawione rozmieszczenie di+1 = (d1ⁱ⁺¹, d2ⁱ⁺¹, ..., dn

i+1

). Funkcja modelowa F = (F1, F2, ..., Fn MHVW XNáDGHP UyZQD ZáDFLZ\P GOD RGSRZLHGQLHJR

modelu
 NWyU\ SU]HNV]WDáFD ]ELyU VWDQyZ PR*OLZ\FK UR]PLHV]F]H

]DJo-spodarowania) w nowy zbiór stanów.

1: GDOV]HM F]FL UR]G]LDáX SXQNW\ HOHPHQW\SU]HVWU]HQL PHWU\F]QHM EG R]QDF]RQH PDá\PL OLWe-UDPL Z\WáXV]F]RQ F]FLRQN

58

W modele
   ZSLVDQH MHVW *GDQLH E\ GOD ND*GHJR UHMRQX X]\VNDü ]JRGQRü OLF]E\ SU]\MD]GyZ GR UHMRQX F(di) = di+1 = (d1ⁱ⁺¹, d2ⁱ⁺¹, ..., dn

i+1

)

] OLF]E ]ORNDOL]RZDQ\FK WDP FHOyZ di = (d1ⁱ, d2ⁱ,..., dn i

 1DOH*\ ZLF EDGDü Uy*QLFH PLG]\ W\PL ZLHONRFLDPL 'R WHJR FHOX PR*QD Z\NRU]\VWDü PHWU\Nρ1 VXP ZDUWo-FL EH]Z]JOGQ\FK Uy*QLF PLG]\ ZLHONRZDUWo-FL SRWU]HE D LVWQLHMF\P

]DJRVSRGDURZa-niem, czyli ρ1(di, F(di))

∑

= + − = ⁿ k i k i k d d 1 1 | | .

.D*G\ ]H VNáDGQLNyZ VXP\ PLHU]\ ORNDOQH QLHGRSDVRZDQLH SRWU]HE GR LVWQLHMFe-JR ]DLVWQLHMFe-JRVSRGDURZDQLD Z UHMRQLH 0HWU\ND MDNR VXPD WDNLFK ZLHONRFL RFHQLD VWRSLH ]ELODQVRZDQLD Z FDá\P V\VWHPLH RVDGQLF]\P U\V 

rejon 1

rejon 2

rejon 3

F(d_i)= (d₁ⁱ⁺¹, d₂ⁱ⁺¹, d₃ⁱ⁺¹) di = (d1ⁱ, d2ⁱ, d3ⁱ)

Niedopasowanie globalne lokalne

5\V  6\VWHP RVDGQLF]\ VNáDGDMF\ VL ]  UHMRQyZ 0LDUD QLHGRSDVRZDQLD

(braku równowagi) w systemie

Fig. 4.5. The settlement system consisting of 3 zones. The measure of non-adjustment (lack of equilibrium) in system

=ELH*QRüFLJyZZSU]HVWU]HQLDFK]XSHáQ\FK

a proces modelowania

Kolejnym rozmieszczeniom zagospodarowania, które otrzymujemy podczas

mo-GHORZDQLD RGSRZLDGD FLJ SXQNWyZ Z SU]HVWU]HQL nZ\PLDURZHM &R PR*QD SRZLe-G]LHü R ]ELH*QRFL WDNLHJR FLJX" 3RMFLH RGOHJáRFL PHWU\NL SR]ZDOD QD ZSURZa-G]HQLH ]QDQHJR ] DQDOL]\ PDWHPDW\F]QHM SRMFLH * [38]. Przypomnijmy GHILQLFM

Definicja. &LJ SXQNWyZ x1, x2, ... przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest * do

punktu xQDOH*FHJR GR WHM SU]HVWU]HQL MHOLρ(xn, x) → 0, gdy n → ∞. Punkt x nazy-wamy 
 FLJX

:H(P\ SRG XZDJ SHZQ NDWHJRUL FLJyZ

Definicja. &LJ ^xn} punktów przestrzeni metrycznej nazywamy 

Cau-chy’ego MHOL RGOHJáRFL PLG]\ FRUD] GDOV]\PL Z\UD]DPL FLJX G* GR ]HUD F]\OL ρ(xi, xj) → 0 gdy i, j →∞.

= DQDOL]\ PDWHPDW\F]QHM ]QDQ\ MHVW IDNW NWyU\ MHVW UyZQLH* SUDZG]LZ\ GOD SU]e-VWU]HQL PHWU\F]Q\FK *H ND*G\ FLJ ]ELH*Q\ VSHáQLD ZDUXQHN Cauchy’ego, natomiast Z\QLNDQLH Z GUXJ VWURQ QLH ]DZV]H ]DFKRG]L

Definicja. 3U]HVWU]H PHWU\F]Q X, ρ Z NWyUHM ND*G\ FLJ Cauchy’ego jest ]ELH*Q\ F]\OL PD JUDQLF Z X QD]\ZDP\ SU]HVWU]HQL zupe.

 3U]HVWU]H OLF]E U]HF]\ZLVW\FK MHVW SU]HVWU]HQL ]XSHáQ 7 VDP Fe-FK PD SU]H] DQDORJL SU]HVWU]H Rn

 :DUWR ]DXZD*\ü *H ]DJRVSRGDURZDQLX

URz-mieszczonemu w n rejonach odpowiada punkt przestrzeni n-wymiarowej.

1DWRPLDVW RGFLQHN  QLH MHVW SU]HVWU]HQL ]XSHáQ ER QS FLJ KDUPRQLF]Q\

{1/n` PD JUDQLF UyZQ ]HUR D SU]HFLH* SXQNW ]HUR QLH QDOH*\ GR RGFLQND RWZDUWHJR

(0, 1).

3U]HVWU]HQLH Z NWyU\FK FLJL &DXFK\¶HJR V ]ELH*QH V V]F]HJyOQLH LQWHUHVXMFH SRQLHZD* PR*QD Z QLFK EDGDü ]ELH*QRü FLJyZ EH] ]QDMRPRFL LFK JUDQLF

0LDU QLHGRSDVRZDQLD RFHQ EUDNX UyZQRZDJL Z V\VWHPLH RVDGQLF]\P PR*QD SU]\Mü MDNR NU\WHULXP ]ELH*QRFL SURFHVX V\PXODF\MQHJR SRQLHZD* ρ1(di, di+1) = ∑|dk

i

– dk

i+1| &RUD] PQLHMV]H RGOHJáRFL PLG]\ NROHMQ\PL Z\UD]DPL PyZL R ]EOL*a-QLX VL GR UR]ZL]DQLD MDNLP MHVW UR]PLHV]F]HQLH RSW\PDOQH

3U]HVWU]HQL ]XSHáQ\FK GRW\F]\ Vá\QQH L EDUG]R ZD*QH Z ]DVWRVRZDQLDFK

WZLHUG]e-nie Banacha.

Twierdzenie    
 * -H*HOL SU]HVWU]H

PHWU\Fz-na (X, ρ MHVW ]XSHáQD D RGZ]RURZDQLH F:X → X jest * , czyli istnieje liczba α∈ (0, WDND *H GOD ND*GHJR x, y ∈ X]DFKRG]L QLHUyZQRü

ρ(F(x), F(y)) ≤αρ(x, y), to:

(i) Równanie x = F(x) ma   UR]ZL]DQLH x  5R]ZL]DQLH WR Qa-]ZDQH MHVW SXQNWHP VWDá\P niezmienniczym) odwzorowania.

(ii) Punkt x*MHVW JUDQLF FLJX ^xi}, gdzie x0 jest dowolnym ustalonym punktem X D QDVWSQH Z\UD]\ FLJX V REOLF]DQH LWHUDF\MQLH ] ]DOH*QRFL

xi +1 = F(xi) (i = 0, 1, 2, ... ).

60 ρ(xi, x^*) ≤ρ(x0, x1) ) 1 ( α α − i .

7ZLHUG]HQLH WR PyZL *H QLH W\ONR LVWQLHMH MHG\QH UR]ZL]DQLH DOH WDN*H SRGDMH PHWRG  
* PHWRG 
 ) jako sposób uzyskania jego przybli-*HQLD RUD] SR]ZDOD RV]DFRZDü RGOHJáRü NROHMQ\FK ZDUWRFL FLJX RG V]XNDQHJR URz-ZL]DQLD = RV]DFRZDQLD Z\QLND *H MHOL SLHUZV]H SU]\EOL*HQLH MHVW GRVWDWHF]QLH EOi-VNLH UR]ZL]DQLD WR V]\ENR VL MH X]\VNXMH 'ODWHJR ZLHOH DOJRU\WPyZ MHVW NRQVWUXRZDQ\FK Z WDNL VSRVyE E\ Z NROHMQ\FK NURNDFK QDVWSRZDáR SU]\VSLHV]HQLH

zbie*QRFL FLJX > V @

 Funkcja rzeczywista F VSHáQLDMFD ZDUXQHN Lipschitza (por. rozdz.  MHVW SU]\NáDGHP RGZ]RURZDQLD ]Z*DMFHJR =DSHZQLD WR *H FLJ RWU]\PDQ\ PHWRG NROHMQ\FK SU]\EOL*H MHVW ]ELH*Q\ GR UR]ZL]DQLD Uywnania x = F(x).

=D SRPRF MHGQHJR OXE NLONX RGZ]RURZD ]Z*DMF\FK DQJ IFS – Iterated

Function System PR*QD Z\JHQHURZDü QD SáDV]F]\(QLH fraktale2

. Fraktale to nie-typowe obiekty geometryczne, które cechuje VDPRSRGRELHVWZR F]ü fraktala MHVW SRGREQD GR FDáRFL RUD] WR *H MHJR Z\PLDU QLH MHVW OLF]E FDáNRZLW3

. Wiele

] QLFK PD QLH]Z\Ná\ NV]WDáW ZVSRPQLMP\ FKRüE\ ]ELyU Mandelbrota [61, 81, 98].

Z jednej strony tworzenie IUDNWDOL PR*H ]DVSRNDMDü HVWHW\F]QH SRWU]HE\ LFK

WZyr-ców, o których 0RUULVRQ >@ SLV]H QLHFR ]áROLZLH Ä'OD RVyE R X]GROQLHQLDFK

technicznych jest to atrakcyjna odmiana sztuki ludowej, ale stanowi tylko

niewiel-N F]ü V]WXNL PRGHORZDQLD´ QDWRPLDVW ] GUXJLHM ± IUDNWDOH SHáQL ZD*Q URO

w teorii systemów dynamicznych, wiele z nich to tzw. dziwne atraktory (por. rozdz. 8).

Jedna z metod kompresji obrazu stosowana w grafice komputerowej polega na

za-VWSLHQLX MHJR IUDJPHQWyZ MHGQ\P OXE NLONRPD RGZ]RURZDQLDPL ]Z*DMF\PL 3U]\ GHNRPSUHVML ]D SRPRF W\FK RGZ]RURZD ± V JHQHURZDQH SXQNW\ REUD]X >@

cie celów,
  i w modelu  we wszystkich iteracjach VWRVRZDQH MHVW WR VDPR RGZ]RURZDQLH FLJáH WD VDPD FLJáD IXQNFMD PRGHORZD GODWe-JR W\ONR LFK PRJáRE\ GRW\F]\ü WZLHUG]HQLH Banacha.

-HGQDN GRW\FKF]DVRZH GRZLDGF]HQLH ]GRE\WH Z WUDNFLH OLF]Q\FK V\PXODFML ]D SRPRF W\FK PRGHOL ZVND]XMH *H UR]PLHV]F]HQLH SRF]WNRZH PD ZSá\Z QD Z\QLN NRFRZ\ &KRüE\ ] WHJR SRZRGX WZLHUG]HQLD Banacha nie ma tu zastosowania.

2F]\ZLFLH LVWQLHM RGZ]RURZDQLD NWyUH FKRü QLH V RGZ]RURZDQLDPL

]Z*DM-cymi, to równanie typu F(x) = xPD MHGQR UR]ZL]DQLH

2

Nazwa IUDNWDO ]RVWDáD ZSURZDG]RQD SU]H] %% Mandelbrota w jego pracy pt. The Fractal

Geome-try of Nature [81]. 3

Jak wiadomo, punkt ma wymiar zero, linia 1, a kwadrat 2. )UDNWDOH SODVXM VL PLG]\ W\PL

1DOH*\ SRGNUHOLü *H SRGF]DV JG\ WZLHUG]HQLD GRW\F]FH RGZ]RURZD ]Z*DM-F\FK MDN UyZQLH* OLQLRZ\FK4

PDM FKDUDNWHU JOREDOQ\ V ZLF SUDZG]LZH Z FDáHM

przestrzeni, twierdzenia o nieliniowych odwzorowaniach – w ogólnym przypadku –

PDM MHG\QLH FKDUDNWHU ORNDOQ\ L Z VWRVXQNX GR QLFK SUDZG]LZH MHVW QDVWSXMFH

twierdzenie.

Twierdzenie. -H*HOL F MHVW FLJá\P RGZ]RURZDQLHP Z SU]HVWU]HQL ]XSHáQHM D FLJ

{xi` RWU]\PDQ\ ] ]DOH*QRFL

xi+1 = F(xi),

gdzie i     MHVW ]ELH*Q\ GR x* WR MHVW WR SXQNW VWDá\ RGZ]RURZDQLD F]\OL x* = F(x*) [100].

= WHJR WZLHUG]HQLD Z\QLND *H MHOL VNRQVWUXRZDQ\ PHWRG NROHMQ\FK SU]\EOL*H FLJ PD JUDQLF WR MHVW QL SXQNW VWDá\ 7R WZLHUG]HQLH MHVW VáDEV]H RG WZLHUG]HQLD %DQDFKD SRQLHZD* QLF QLH PyZL R W\P F]\ UR]ZL]DQLH MHVW MHG\QH UyZQLH* QLH So-GDMH RV]DFRZDQLD EáGX DSURNV\PDFML F]\OL RGOHJáRFL Z\UD]yZ FLJX RG V]XNDQHJR UR]ZL]DQLD ρ(xi, x  0R*QD MH RGQLHü GR PRGHOL
 ,


ogólne i .

W dokumencie Stan równowagi w modelowaniu systemów osadniczych za pomocą modeli przesunięć bilansujących (Stron 55-61)