]DSRPRFPRGHOLSU]HVXQLüELODQVXMcych
-DN ZF]H QLHM ZVSRPQLDQR Z PRGHODFK ]UyZQRZD*RQH UR]PLHV]F]HQLH HOHPHQWyZ ]DJRVSRGDURZDQLD MHVW SRV]XNLZDQH SU]H] VWRSQLRZ Po-G\ILNDFM ZVWSQHJR UR]PLHV]F]HQLD ± PHWRG LWHUDF\MQ 1D SRF]WNX WHJR UR]G]LDáX ]RVWDá ]DPLHV]F]RQ\ RSLV PHWRG\ LWHUDF\MQHM QDVWSQLH ]DSUH]HQWRZDQR V]HUHJ SRMü JáyZQLH ] DQDOL]\ IXQNFMRQDOQHM NWyUH VWDUDQR VL RGQLH ü GR V\PXODFML PRGHODPL
.
4.1. Metoda iteracyjna
1DOH*\ ]ZUyFLü XZDJ QD IDNW QLHMHGQR]QDF]QR FL SRMFLD PHWRGD iteracyjna
(metoda * :QDMRJyOQLHMV]\P VHQVLH QD]Z\ WHM X*\ZD VL GOD SRGNUH OHQLD *H SHZQH F]\QQR FL V SRZWDU]DQH QS JG\ WZRU]\ VL NROHMQH ZHUVMH SODQX FRUD] EDUG]LHM V]F]HJyáRZH ER RSLHUDMFH VL QD SHáQLHMV]\FK GDQ\FK
ZHM FLo-wych [21, s. 161].
1D]Z W VWRVXMH VL UyZQLH* Z FHOX SRGNUH OHQLD SURFHGXU\ RSLVDQHM W\PL VDP\PL IRUPXáDPL PDWHPDW\F]Q\PL :W\P ]QDF]HQLX PR*QD M ]DVWRVRZDü GR SU]HELHJX
symulacji we wszystkich modelach SRQLHZD* Z MHM Z\QLNX
otrzymujemy kolejne poprawione rozmieszczenie zagospodarowania, zgodnie z
pew-Q IXQNFM PRGHORZ :\QLNL RVWDWQLR Z\NRQDQHM LWHUDFML VWDM VL GDQ\PL ZHM FLo-Z\PL Z LWHUDFML QDVWpnej.
:UHV]FLH Z QDMZ*V]\P VHQVLH QD]ZD WD RNUH OD W\ONR WH SRZWDU]DOQH SURFHGXU\ NWyUH Z\PDJDM E\ Z NROHMQ\FK LWHUDFMDFK QRZH SRSUDZLRQH ZDUWR FL E\á\ OLF]RQH ]D SRPRF SHZQHM IXQNFML FLJáHM
-X* Z VWDUR*\WQHM *UHFML E\áD ]QDQD LWHUDF\MQD PHWRGD UR]ZL]\ZDQLD UyZQD Wypu
x = f(x),
Metoda iteracyjnaQRV]FD WH* QD]Z PHWRG\ * (ang. method of
successive substitutions, method of iterations, method of succesive approximations, method of fixed points, niem. die Methode der sukzessiven Approximation) polega na
WZRU]HQLX FLJX
x0, x1, x2, ..., xi, xi+1, …,
gdzie x0MHVW GRZROQH D QDVWSQH ZDUWR FL OLF]RQH V ] ]DOH*QR FL
xi+1 = f(xi).
&LJ WHQ F]VWR E\ZD ]ELH*Q\ GR UR]ZL]DQLD x GOD NWyUHJR ]DFKRG]L UyZQR ü x*
= f(x*).
-H OL RJUDQLF]\ü VL GR IXQNFML U]HF]\ZLVW\FK WR UyZQDQLH x = f(x) jest równowa*-QH XNáDGRZL UyZQD
y = f(x), y = x
L ]DGDQLH VSURZDG]D VL GR ]QDOH]LHQLD WDNLHJR SXQNWX Z]JOGQLH SXQNWyZ NWyU\ MHVW ZVSyOQ\ GOD REX UyZQD F]\OL SXQNWyZ SU]HFLFLD IXQNFML ] SURVW y = x (rys. 4.1).
\ I [ \ [
5\V 3XQNW\ SU]HFLFLD Z\]QDF]DM UR]ZL]DQLH UyZQDQLD W\SX x = f (x)
Fig. 4.1. Intersection points indicate solution of an equation x = f (x)
'OD IXQNFML MHGQHM ]PLHQQHM PR*QD X*\ü PHWRG\ JUDILF]QHM .ROHMQH Z\UD]\ FLJX RWU]\PXMHP\ Z QDVWSXMF\ VSRVyE 1D RVL x ]D]QDF]DP\ SXQNW SRF]WNRZ\ x0 i
pro-ZDG]LP\ OLQL SLRQRZ GR SU]HFLFLD ] Z\NUHVHP IXQNFML f(x 1DVWSQLH RG WHJR SXQNWX U\VXMHP\ OLQL SR]LRP GR SU]HFLFLD ] SURVW 3R]LRPD ZVSyáU]GQD WHJR
punktu wyznacza punkt x1 &]\QQR FL WH SRZWDU]DP\ %XGXMF NROHMQH ÄVFKRGNL´ WZRU]\P\ W]Z GLDJUDP SDMF]\QRZ\ 0HWRG LWHUDF\MQ PR*QD RWU]\PDü ]DUyZQR FLJ ]ELH*Q\ MDN L UR]ELH*Q\ U\V
54
x0 x1
x0 x1 x2
a) b)
5\V 0HWRGD NROHMQ\FK SU]\EOL*H 3URFHGXUD JUDILF]QD D FLJ ]ELH*Q\ E FLJ UR]ELH*Q\
Fig. 4.2. The method of iterations. Graphic procedure: a) convergent sequence, b) non-convergent sequence
:LDGRPR *H MH OL IXQNFMD f MHVW IXQNFM U]HF]\ZLVW WR ]ELH*QR ü PHWRG\ LWHUa-F\MQHM ]DSHZQLD VSHáQLHQLH SU]H] IXQNFM ZDUXQNX /LSVFKLW]D FR R]QDF]D *H GOD
wszystkich par liczb x i yQDOH*F\FK GR SHZQHJR RGFLQND RUD] GOD OLF]E\ L ∈ (0,1)
]DFKRG]L QLHUyZQR ü
f(x) – f(y)≤ L x – y.
&]DVHP áDWZLHMV]D GR VSUDZG]HQLD MHVW SUDZG]LZR ü QLHUyZQR FL GRW\F]FHM
So-chodnej funkcji f
max f′ (x) < 1.
6SHáQLHQLH SRZ\*V]\FK ZDUXQNyZ ]DSHZQLD ]ELH*QR ü FLJX RWU]\PDQHJR PHWRG LWHUDF\MQ DOH LVWQLHM FLJL NWyUH V ]ELH*QH FKRü W\FK ZDUXQNyZ QLH VSHáQLDM 6 WR ZLF ZDUXQNL GRVWDWHF]QH DOH QLHNRQLHF]QH
1LH ]DZV]H MHVW áDWZR ZVND]Dü ZVWSQ ZDUWR ü x0 : H(P\ SRG XZDJ QDVWSXM-F\ SU]\NáDG :LDGRPR *H UyZQDQLH x = f(x), gdzie f(x) = x2
(czyli x = x2) ma dwa
UR]ZL]DQLD RUD] SRQLHZD* x(1 – x -H OL ]DVWRVXMH VL PHWRG LWHUDF\MQ WR GOD SRF]WNRZHM ZDUWR FL x0 NWyUD MHVW PQLHMV]D RG RWU]\PDP\ FLJ ]ELH*Q\ GR SLHUZV]HJR UR]ZL]DQLD GR ]HUD 1DWRPLDVW JG\ SU]\MPLHP\ *H x0MHVW ZLNV]H RG WR RWU]\PDP\ FLJ FRUD] ZLNV]\FK ZDUWR FL ZyZF]DV FLJ EG]LH UR]ELH*Q\ -HG\QLH SU]\MFLH ZLHONR FL x0 =1 zapewni – w jednym kroku – wyznaczenie drugiego rozwi -]DQLD RVLJQLFLH MHG\QNL >@
1LHZWSOLZLH MHGQ ] ]DOHW PHWRG\ NROHMQ\FK SU]\EOL*H MHVW áDWZR ü MHM RSURJUa-PRZDQLD 1LH WU]HED OLF]\ü SRFKRGQ\FK FR MHVW Z\PDJDQH FKRüE\ Z PHWRG]LH 1HZWRQD 1DWRPLDVW MHM ZDG MHVW F]VWR QLH]DGRZDODMFH WHPSR ]EOL*DQLD VL GR URz-ZL]DQLD >@
3R SU]HM FLX GR SU]HVWU]HQL n-wymiarowej mamy do czynienia z równaniem
wek-torowym x = F(x NWyUH PR*QD ]DSLVDü Z SRVWDFL XNáDGX UyZQD
x1 = F1(x1, x2, ..., xn), x2 = F2(x1, x2, ..., xn),
...
xn = Fn(x1, x2, ..., xn), gdzie x = (x1, x2, ..., xn), a F = (F1, F2, ..., Fn).
-H OL XGD VL SU]HNV]WDáFLü WH UyZQDQLD Z WHQ VSRVyE *H ND*GD ]H ]PLHQQ\FK xi
zo-VWDQLH Z\UD*RQD MDNR IXQNFMD SR]RVWDá\FK ]PLHQQ\FK SU]\ F]\P IXQNFMH V FLJáH L Uy*QLF]NRZDOQH WR PHWRGD LWHUDF\MQD MHVW ]ELH*QD >@
1LHVWHW\ XNáDG\ UyZQD RGSRZLDGDMFH PRGHORP nie VSHáQLDM SRGDQHJR Z\*HM ZDUXQNX SRQLHZD* PDP\ GR F]\QLHQLD ] IXQNFMDPL Z
So-staci niejawnej.
3U]HG SU]\VWSLHQLHP GR UR]ZL]\ZDQLD UyZQDQLD W\SX x = F(x QDOH*\ VSUyERZDü RGSRZLHG]LHü QD QDVWSXMFH S\WDQLD
•&]\ UR]ZL]DQLH LVWQLHMH" •-H OL LVWQLHMH F]\ MHst jedyne?
3RV]XNLZDQLH RSW\PDOQHJR UR]NáDGX DNW\ZQR FL Z XNáDG]LH RVDGQLF]\P WDNLHJR NWyUH Z ND*G\P UHMRQLH ]DSHZQL UyZQRZDJ PLG]\ ZLHONR FL ]DJRVSRGDURZDQLD
(d = (d1, d2, ..., dn D ZLHONR FL SRWU]HE F(d FR Z\UD*D UyZQDQLH d = F(d PR*QD VSURZDG]Lü ± MH OL F MHVW IXQNFM FLJá ± GR W]Z ]DJDGQLHQLD R LVWQLHQLX
e-go odwzorowania [126], przy czym w tym wypadku odwzorowanie F jest równe
IXQNFML PRGHORZHM REOLF]DMFHM OLF]E SRGUy*\ NRF]RQ\FK Z UHMRQDFK QD NWyUH
So-dzielono badany obszar.
=DGDQLH WR UyZQLH* PR*QD Z\UD]Lü Z M]\NX WHRULL RSW\PDOL]DFML ZWHG\
]ELODQVo-wane rozmieszczenie jest wyznaczone przez minimum funkcji niedopasowania
po-WU]HE GR LVWQLHMFHJR ]DJRVSRGDURZDQLD Z V\VWHPLH RVDGQiczym.
$QDOL]D IXQNFMRQDOQD L WRSRORJLD GRVWDUF]DM SRGVWDZ WHRUHW\F]Q\FK GR UR]ZL]y-ZDQLD ]DJDGQLH WHJR URG]DMX RIHUXMF QDU]G]LD GR RFHQ\ SURFHGXU REOLF]HQLRZ\FK -HGQ ] QLFK MHVW PHWRGD iteracyjna, stosowana w modelach
[54, 63, 64].