3RV]XNLZDQLHUR]PLHV]F]HQLD]UyZQRZD*RQHJR jako zagadnienie optymalizacji

:WHRULL RSW\PDOL]DFML MHGQR ] SRGVWDZRZ\FK ]DGD SROHJD QD ]QDOH]LHQLX WDNLHJR SXQNWX Z NWyU\P SHZQD IXQNFMD U]HF]\ZLVWD SU]\MPLH ZDUWRü HNVWUHPDOQ ± PLQi-PXP OXE PDNVLPLQi-PXP = W\P ]DJDGQLHQLHP ]ZL]DQH MHVW WZLHUG]HQLH Weierstrassa.

Twierdzenie uogólnione Weierstrassa. .D*GD IXQNFMD FLJáD RNUHORQD QD SU]e-VWU]HQL ]ZDUWHM L SU]\MPXMFD ZDUWRFL U]HF]\ZLVWH f : X → RMHVW RJUDQLF]RQD L RVLJD VZRMH NUHV\ F]\OL ZDUWRü PLQLPDOQ L PDNV\PDOQ

64

To twierdzenie zastosujmy do modeli
   $OH ZF]HQLHM

]RVWa-nie podana definicja przestrzeni liniowej, która jest uogól]RVWa-nie]RVWa-niem przestrzeni wektorowej.

-HM HOHPHQWDPL V ZHNWRU\ DOER SXQNW\ PR*QD MH GRGDZDü OXE PQR*\ü SU]H] OLF]E Definicja. Zbiór X nazywamy

  MHOL MHVW Z QLP RNUHORQD

RSHUa-cja dodawania F]\OL ND*GHM SDU]H HOHPHQWyZ x, y ∈ XPR*QD SU]\SRU]GNRZDü HOHPHQW z QDOH*F\ GR X ]ZDQ\ VXP SU]\ F]\P EG VSHáQLRQH QDVWSXMFH ZDUXnki:

• x + y = y + x SU]HPLHQQRü,

• x + (y + z) = (x + y) + z áF]QRü,

• -HOL x + z1 = x + z2, to z1 = z2 MHGQR]QDF]QRü RGHMPRZDQLD

2SUyF] WHJR RNUHORQH MHVW *
  VNDODU F]\OL GOD ND*GHJR x∈ X

L ND*GHM OLF]E\α, αxWH* QDOH*\ GR X SU]\ F]\P VSHáQLRQH V QDVWSXMFH Zarunki: •α(βx) = (α β)x áF]QRü PQR*HQLD

• α (x+y) = αx+αy UR]G]LHOQRü PQR*HQLD Z]JOGHP GRGDZDQLD HOHPHntów),

• (α + β)x = αx+βx UR]G]LHOQRü PQR*HQLD Z]JOGHP GRGDZDQLD OLF]E

• 1x= x.

 W SU]HVWU]HQL ZHNWRURZHM ND*GHPX SXQNWRZL QD SáDV]F]\(QLH RGSo-ZLDGD ZHNWRU R SRF]WNX Z URGNX XNáDGX ZVSyáU]GQ\FK ']LDáDQLDPL QD HOHPHQWDFK SU]HVWU]HQL V GRGDZDQLH ZHNWRUyZ RUD] PQR*HQLH ZHNWRUD SU]H] VNDODU U\V 

5\V  'RGDZDQLH ZHNWRUyZ L PQR*HQLH ZHNWRUD SU]H] OLF]E

Fig. 4.8. Addition and scalar multiplication of vectors

$NVMRPDW\ SU]HVWU]HQL OLQLRZHM RSLVXM W\ONR DOJHEUDLF]QH ZáDVQRFL ± GRGDZDQLH L PQR*HQLH SU]H] VNDODU 'RSLHUR ZSURZDG]HQLH normy ± RGOHJáRFL Z WHM SU]HVWU]HQL ± SR]ZDOD QD SRVáXJLZDQLH VL WDNLPL SRMFLDPL WRSRORJLF]Q\PL MDN ]XSHáQRü F]\ ]ELH*QRü FLJX

Definicja. 

 
 WR SU]HVWU]H OLQLRZD Z NWyUHM RNUHORQR SRM-FLH GáXJRFL ZHNWRUD F]\OL 
 6SHáQLD RQD QDVWSXMFH Zarunki:

•|| x || !  MHOL x ≠ 0, || 0 || = 0,

•||α x || = |α| || x || dla wszystkich liczb rzeczywistych α, •|| x + y || ≤ || x || + || y ||.

1RUPD MHVW XRJyOQLHQLHP ]Z\NáHJR SRMFLD RGOHJáRFL 1RUP || x || interpretuje

 3U]HVWU]H OLF]E U]HF]\ZLVW\FK MHVW XQRUPRZDQ SU]HVWU]HQL ] QRUP UyZQ ZDUWRFL EH]Z]JOGQHM ] OLF]E\

.D*GD SU]HVWU]H XQRUPRZDQD MHVW SU]HVWU]HQL PHWU\F]Q Z NWyUHM RGOHJáRü

punktu x od punktu y definiowana jest jako

ρ(x, y) = || x – y ||.

7DN ]GHILQLRZDQD RGOHJáRü VSHáQLD ZV]\VWNLH DNVMRPDW\ PHWU\NL 'ODWHJR WDNLH SRMFLH MDN ]ELH*QRü SXQNWyZ RGQRVL VL UyZQLH* GR SU]HVWU]HQL XQRUPRZDQHM FR RNUHODQH MHVW MDNR ]ELH*QRü ZHGáXJ QRUP\

3U]HVWU]HQL OLQLRZ MHVW SU]HVWU]H n-wymiarowa. Dla punktu x = (x1, x2, ..., xn)

]GHILQLXMP\ QRUP Z QDVWSXMF\ VSRVyE || x ||p = ( ∑|xi|p

)^1/p MHOL p ≥ 1. Dla p = 1 otrzymujemy

|| x ||1 = ∑|xi|, a dla p  PDP\ RGOHJáRü HXNOLGHVRZ

|| x ||2 = x .₁² 3RGDMP\ MHV]F]H LQQ\ SU]\NáDG QRUP\

|| x ||max = max (|x1|, |x2|, ...|xn|).

-H*HOL y aproksymuje x, to norma || x – y || PLHU]\ EáG DSURNV\PDFML RGOHJáRü PLG]\ QLPL -H*HOL x ≠ 0 WR PR*QD VWRVRZDü EáG Z]JOGQ\ ]GHILQLRZDQ\ MDNR || x – y ||/|| x||.

3RQLHZD* QRUPD MHVW IXQNFM FLJá >@ ZLF VWRVXMH VL GR QLHM WZLHUG]HQLH We-LHUVWUDVVD NWyUH ]DSHZQLD *H GOD HOHPHQWyZ ]H ]ELRUX ]ZDUWHJR QRUPD SU]\MPLH ZDUWRü PLQLPDOQ RGSRZLDGDMF UR]PLHV]F]HQLX RSW\PDOQHPX FKRü QLH ZLDGRPR F]\ MHVW WR UR]ZL]DQLH MHG\QH

1DOH*\ SDPLWDü *H Z RJyOQ\P SU]\SDGNX PHWRGD NROHMQ\FK SU]\EOL*H ]DSHZQLD W\ONR ORNDOQ ]ELH*QRü SRQLHZD* MHM ZDG MHVW WR *H SLHUZV]H SU]\EOL*HQLH SRZLQQR E\ü GRVWDWHF]QLH EOLVNR UR]ZL]DQLD

-HOL SU]HVWU]H OLQLRZD MHVW ]XSHáQD Z QRUPLH W]Z SU]HVWU]H Banacha), to Z WUDNFLH SRV]XNLZDQLD RSW\PDOQHJR SXQNWX ZHNWRUD SRZLQLHQ E\ü JHQHURZDQ\ WDNL FLJ SXQNWyZ Z NWyU\P ND*G\ QDVWSQ\ Z\UD] EG]LH OHSV]\ RG SRSU]HGQLHJR SU]y-QDMPQLHM RG SHZQHJR PLHMVFD D SXQNW RSW\PDOQ\ MHVW MHJR JUDQLF :FHOX VSUDw-G]HQLD HIHNW\ZQRFL SRVWSRZDQLD WU]HED ]DSURSRQRZDü NU\WHULXP ]ELH*QRFL MDNLP

jest np. kryterium Cauchy’ego (por. rozdz. 6). ***

66

:SRGVXPRZDQLX QDOH*\ SRGNUHOLü

•3U]\WRF]RQH Z\*HM GHILQLFMH L WZLHUG]HQLD VWDUDQR VL RGQLHü GR PRGHOL przesu-   NWyUH PDM ]D ]DGDQLH Z\]QDF]HQLH WDNLHM VWUXNWXU\ ]DJRVSRGDUo-ZDQLD SU]HVWU]HQQHJR Z NWyUHM EG]LH ]DSHZQLRQD UyZQRZDJD Z XNáDG]LH NRQWDNWyZ FR RNUHOD UyZQDQLH d = F(d -DN ZLDGRPR UR]ZL]DQLH SRV]XNLZDQH MHVW PHWRG 
  SROHJDMF QD W\P *H Z NROHMQ\FK NURNDFK REOLF]D VL SU]\EOL*RQH UR]ZL-]DQLH ZHGáXJ WHM VDPHM SURFHGXU\ ]H Z]RUX di+1 = F(di).

•3UREOHP ]QDOH]LHQLD RSW\PDOQHJR UR]PLHV]F]HQLD Z\UD*RQ\ Z WHUPLQDFK SRV]u-NLZDQLD SXQNWX VWDáHJR RGZ]RURZDQLD d = F(d), gdzie F MHVW FLJáH GRW\F]\ PRGHOL
 ,
  i modelu . Odpowiednie twier-G]HQLD ]DSHZQLDM LVWQLHQLH UR]ZL]DQLD FKRFLD* QLH ZLHP\ F]\ MHVW RQR MHG\QH

• W modelu
 (
 w równaniu Oi+1 = F(Oi) funkcja modelowa nie

MHVW IXQNFM FLJá FR WáXPDF]\áRE\ EUDN ]ELH*QRFL FLJX SU]\EOL*H Z QLHNWyU\FK

symulacjach.

•:ZDULDQWDFK PRGHOL Z NWyU\FK ZSURZDG]RQR SURFHGXU\ WáXPLFH PRG\ILNu-MFH UR]PLHV]F]HQLH MHOL QDVWSLáR SU]HNURF]HQLH SURJyZ PR*H QDVWSLü DOER SU]y-VSLHV]HQLH X]\VNDQLD UR]ZL]DQLD U\V  DOER UR]ZL]DQLH EG]LH GRSXV]F]DOQH FKRü JRUV]H RG RSW\PDOQHJR L → L  L

5\V  0RG\ILNDFMD SURFHVX LWHUDF\MQHJR Z FHOX ]QDOH]LHQLD UR]NáDGX VSHáQLDMFHJR ]DáR*RQH ZDUXQNL R]QDF]RQH V]DU\P NRORUHP

6NRU\JRZDQD ZLHONRü d1 ]QDMGXMH VL EOL*HM UR]ZL]DQLD

Fig. 4.9. Modification of the iteration procedure in order to achieve a distribution fulfilling required conditions (marked by grey colour). Corrected value d1* is closer to solution

•*G\ UR]PLHV]F]HQLRP ]DJRVSRGDURZDQLD SU]\SRU]GNXMHP\ SXQNW\ SU]HVWU]HQL PHWU\F]QHM WR RGOHJáRü PLG]\ UR]PLHV]F]HQLDPL RWU]\PDQ\PL Z NROHMQ\FK

LWHUa-cjach mierzy metryka ρ1(di, di+1 ]D SRPRF NWyUHM PR*QD RFHQLDü V]\ENRü ]EOL*DQLD VL GR UR]ZL]DQLD 1DWRPLDVW MH*HOL UR]PLHV]F]HQLD DNW\ZQRFL EG UHSUH]HQWRZDQH SU]H] SXQNW\ ZHNWRU\ SU]HVWU]HQL OLQLRZHM WR W VDP URO SHáQL QRUPD ||di – di+1||,

NWyUD SU]\MPXMH QDMPQLHMV] ZDUWRü GOD SRV]XNLZDQHJR UR]PLHV]F]HQLD ]ELODQVRZa-QHJR RGSRZLDGDMFHJR UyZQRZDG]H Z XNáDG]LH NRQWDNWyZ

•0HWRGD LWHUDF\MQD VWRVRZDQD GR ]QDOH]LHQLD RSW\PDOQHJR UR]ZL]DQLD PR*H G]LDáDü ZROQR MH*HOL ]DáR*RQH QD SRF]WNX PRGHORZDQLD UR]PLHV]F]HQLH ZVWSQH ]QDMGXMH VL ÄGDOHNR´ RG V]XNDQHJR UR]ZL]DQLD 3RQLHZD* QLH PD JZDUDQFML *H URz-ZL]DQLH MHVW MHG\QH ZLF Z ]DOH*QRFL RG SU]\MFLD UR]PLHV]F]HQLD ZVWSQHJR Po-*HP\ RWU]\PDü NWyUH ] UR]ZL]D ORNDOQ\FK

• W przypadku modeli
   nie mamy do czynienia ani ] SU]HNV]WDáFHQLHP ]Z*DMF\P DQL ] OLQLRZ\P FR QLH SR]ZDOD VNRU]\VWDü ] SUDw-G]LZ\FK GOD W\FK SU]HNV]WDáFH RV]DFRZD EOLVNRFL UR]ZL]DQLD

5. Równowaga