Rozdział II Elementy geometrii różniczkowej
Stwierdzenie 2.3.2 Dla każdego zbioru otwartego O ∈ Rm, zbiór D(O) składa się ze wszystkich jednorodnych różniczkowań operatorów pierwszego rzędu o postaci :
ξ =
Σ
zµ(x) ∂xµ = z • ∂x 1≤ µ ≤ mgdzie : Nawias Liego w algebrze Liego D(O) obliczamy zgodnie z zasadą :
[ξ, η ] = ρ gdzie :
ρ = r • ∂x , rµ = [ξ, η]µ = ξ(yµ ) − η(zµ ) ; 1 ≤µ≤ m dla wszystkich ξ = r • ∂x , η = y • ∂x ∈ D(O)
Dowód.
W istocie opis zbioru D(O) wynika z wcześniejszych konstrukcji, a część algebraiczną można łatwo sprawdzić.
Stwierdzenie 2.3.3 Dla każdej mapy :
Dowód. Ponownie należy sprawdzić tylko algebraiczną część stwierdzenia, co proponujemy wykonać w charakterze ćwiczenia.
Uwaga. Globalnie C∞(U) – moduł D(M) może nie być swobodny, ponieważ bazowe różniczkowania ∂1, ... , ∂m są określone tylko w mapach lokalnych.
Dla każdej pary zbiorów otwartych V ⊂ U ⊂ M zdefiniujemy cofnięcie : rUV : D(U) → D(U) , ξ → rUV(ξ) = ξ |
V w następujący sposób.
Niech funkcja f ∈ C∞(V). Dla dowolnego punktu p ∈ V, wybierzemy otoczenie W ∈ U(p) o zwartym domknięciu W− ⊂ V i funkcje φ ∈ C∞(M) taką, że supp(φ) ⊂ V i φ |W = 1
Również łatwo możemy sprawdzić, że rUV jest morfizmem C∞(M) – modułem, oraz :
* rUV = id dla dowolnego otwartego U ⊂ M
* rVW ° rUV = rU
W dla dowolnych otwartych W ⊂ V ⊂ U ⊂ M.
W szczególności, dla każdego punktu p ∈ M rodzina C∞(M) – modułów : { D(U) − rUV → D(U) | U, V ∈ U(p), U ⊃ V }
jest induktywnie skierowana, a jej granicę induktywną oznaczamy jako : D(p) = lim D(U)
U∈ U(p)
i nazywamy zbiorem kiełków różniczkowań w punkcie p.
Dokładniej – w sumie :
∪
D(U)U∈ U(p)
różniczkowania ξ ∈ D(U) i η ∈ D(U) ,U, V ∈ U(p)
przyjmujemy jako równoważne, jeśli pokrywają się cofnięcia : ξ | V = η |
Oprócz tego, zasada ta realizuje izomorfizm algebry Liego D(p) i algebry Liego wszystkich różniczkowaν algebry C∞(p).
2.3.4 Rozwłóknienie styczne.
Wszędzie w niniejszym podrozdziale ciało F = R.
Wektor styczny Xp w punkcie p ∈ M jest to ciągły funkcjonał liniowy na C∞(p) ( Xp ∈ C∞(p))* = HomR(C∞(p) , R )), spełniający zasadę Leibnitza :
Xp( fp • gp ) = Xp(fp ) • gp(p) + fp(p) • Xp(gp ) dla wszystkich fp , gp ∈ C∞(p)
( zauważmy, że dla każdego kiełka fp∈ C∞(p) wielkość fp(p) jest określona jako ogólna wartość w punkcie p wszystkich reprezentantów f ∈ fp )
Zbiór wszystkich wektorów stycznych w punkcie p ∈ M oznaczamy jako TpM.
Przykład 2.3.1 Niech γ : I → M – będzie krzywą gładką na M, I ⊂ R. Wektor styczny γ•(t) ∈ Tγ(t)M, t ∈ I, jest określony poprzez równanie :
γ•(t)(fγ(t) ) = d/dτ f(γ(τ)) |τ =t dla wszystkich fγ(t) ∈ C∞(γ(t)) , f ∈ fγ(t)
Z pomocą stwierdzenie 2.3.1 łatwo można sprawdzić, że każde różniczkowanie ξ ∈ D(M) dla każdego punktu p ∈ M określa wektor styczny Xp = ξ^p ∈ TpM zgodnie z zasadą :
to odpowiednie wektory styczne pokrywają się tj. : ξ^
p = η^ p
Stąd wynika, że każdy kiełek fp ∈ D(M), p ∈ M, generuje wektor styczny : Xp = ξ^p ∈ TpM
zgodnie z zasadą :
Xp(fp ) = ξp(fp )(p) dla wszystkich fp ∈ C∞(p)
Można dowieść również stwierdzenia odwrotnego – każdy wektor styczny generowany jest przez pewien kiełek różniczkowań ( faktycznie, będzie to wynikało z dalszych konstrukcji ).
Łatwo sprawdzić, że zbiór TpM jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej HomR(C∞(p), R ).
Przestrzeń wektorowa TpM nazywa się przestrzenią styczną w punkcie p ∈ M.
Przyjmijmy : TM =
∪
p∈M TpMi zdefiniujmy rzutowanie π : TM → M zgodnie z zasadą : Xp → π(Xp ) = p dla wszystkich Xp ∈ TM
tak, że dla każdego punktu p ∈ M włókno π−1(p) = TpM jest przestrzenią wektorową.
Zdefiniujmy na zbiorze TM strukturę gładką, wykorzystując mapy lokalne rozmaitości gładkiej M.
W tym celu rozważmy odwzorowanie : TM − π → M
Niech π−1(p) = TpM będzie włóknem nad punktem p ∈ M i {U, φ} – mapa na M, przy czym U∈U(p).
Niech wektor Xp ∈ TM. Każda klasa równoważności fp ∈C∞(p) posiada reprezentantów f ∈ C∞(U), tak że : Xp(fp ) = Xp(f)
a zasada Leibnitza ma postać:
Xp(f • g ) = Xp(f) • g (p) + f(p) • Xp(f) dla wszystkich f, g ∈ C∞(U)
Modyfikując nieco rozważania, przeprowadzone powyżej dla różniczkowań, dochodzimy do wniosku :
dla wszystkich fp ∈C∞(p), gdzie :
składowe : zµ
p = Xp(φµ) , ∂p,µ fp – pochodne cząstkowe po xµ reprezentacji f ∈ fp , f(x) ∈ C∞(φ(U)), obliczane w punkcie x = φ(p) ( oczywiście, wynik obliczeń nie zależy od wyboru reprezentacji ), 1 ≤µ≤ m.
Powyższe rozważania prowadza do następującego stwierdzenia :
Stwierdzenie 2.3.4 Dla każdego punktu p ∈ M przestrzeń styczna TpM posiada strukturę rzeczywistej m – wymiarowej przestrzeni, przy czym każda mapa {U, φ}, U ∈ U(p) zadaje bazę :
∂p = { ∂p,1, ... , ∂p,m } ⊂ TpM
a rozkład względem zadanej bazy ma postać :
dla wszystkich Xp ∈ TpM.
Dowód. W istocie należy jeszcze raz sprawdzić poprawność podanych powyżej konstrukcji, co proponujemy wykonać w ramach pożytecznego ćwiczenia.
Uwaga. Zauważmy, że każde włókno TpM, będąc skończeniewymiarową przestrzenią wektorową, posiada naturalną topologię euklidesową.
Każdej parze ( {U, φ}, O ), gdzie { U, φ} = { U →φ→ Rm } – to mapa na M, O – otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej Rm przyporządkowujemy zbiór { Xp ∈ TM | p ∈ U, Xp ∈ O }, gdzie zapisać Xp ∈ O oznacza, że w rozkładzie Xp = zp • ∂p, wektor zp ∈ O.
Przyjmując takie zbiory w charakterze bazy, zdefiniujemy na zbiorze TM separowalną topologię.
Każdej mapie {U, φ} rozmaitości M przyporządkowujemy mapę {U^, φ^ } na przestrzeni topologicznej TM, gdzie zbiór otwarty U^ = π−1(U), a odwzorowanie ciągłe :
φ^ : U^ → φ(U) × Rm
( indeksy φ, ψ wskazują w jakich współrzędnych obliczany jest wektor składowy ).
Gdzie :
y = ψ(p) = ψ( φ−1(x)) = y(x) oraz x(φ(p) = φ(ψ−1(y)) = x(y) są funkcjami gładkimi zgodnie z definicją map zgodnych na M.
W istocie mamy dwie reprezentacje : Xp = zpφ•∂pφ = zpψ•∂pψ
gdzie zpφ , ∂pψ - wektory składowe wektora stycznego Xp w odpowiednich mapach.
Zgodnie z zasadą zamiany zmiennych :
lub :
∂pφ = || ∂xy |p || •∂pψ skąd zpψ = || ∂xy |p || • zpφ gdzie :
|| ∂xy |p || - macierz Jakobiego przejścia od zmiennych ( x1,... ,xm ) do zmiennych ( y1,... ,ym ).
Posiada ona współczynniki gładkie j i jej wyznacznik (jakobian ) : det || ∂xy |p || ≠ 0
Na separowalnej przestrzeni topologicznej TM jest określona struktura gładka, przekształcająca go w rozmaitość gładką.
Łatwo możemy sprawdzić, ze rzutowanie : π : TM → M
jest gładkie odwzorowanie surjektywne.
Ma miejsce lokalna trywializacja : każdej mapie {U, φ} na rozmaitości M przyporządkowana jest mapa {U^, φ^ } na rozmaitości TM, realizująca izomorfizm zbioru otwartego :
U^ = π−1(U)
Na iloczyn prosty U × Rm.
Innymi słowy, zbudowaliśmy rozwłóknienie gładkie : TM = { TM − π → M } z włóknem typowym Rm.
Oprócz tego, dla każdego punktu p ∈ M włókno π−1(U) = TpM jest rzeczywistą m – wymiarową przestrzenią wektorową, izomorficzna w kategorii przestrzeni liniowych Rm.
Zatem rozwłóknienie TM jest rozwłóknieniem wektorowym rozmaitości gładkiej M.
Cięcia gładkie rozwłóknienia TM nazywają się polami wektorowymi stycznymi na rozmaitości M.
Zbiór wszystkich wektorowych pól stycznych wektorów stycznych oznaczymy jako ₤(M).
Jako zbiór cięć rozwłóknienia wektorowego jest on modułem nad algebrą C∞(M).
Ze swej konstrukcji każde różniczkowanie ξ∈ D(M) generuje pole wektorowe styczne : X ∈ ₤(M), X : M → TM
zgodnie z zasadą :
p → Xp × TpM , Xp(fp ) = ξ(f)(p) dla wszystkich p ∈ M, fp ∈ C∞(p) gdzie f ∈ C∞(M) – reprezentant kiełka fp.
Łatwo możemy sprawdzić ( proponuje to zrobić w charakterze ćwiczenia ), że faktycznie zasada ta określa izomorfizm C∞(M) – modułów, przy czym izomorfizm odwrotny :
₤(M) → D(M), X → ξ, zadany jest przez zasadę : ξ(f)(p) = Xp(fp ) dla wszystkich f ∈ C∞(p) , f ∈ M
gdzie fp ∈ C∞(p) – jest kiełkiem funkcji f w punkcie p, Xp= X(p) ∈ TpM – jest wartością cięcia X w tym że punkcie p.
Zatem, ustanowiliśmy następujące stwierdzenie :
Stwierdzenie 2.3.5 Istnieje naturalny izomorfizm C∞(M) – modułów : τ : D(M) ≅ ₤(M) , ξ → X = τ(ξ)
gdzie Xp(fp ) = ξ(f)(p) dla wszystkich p ∈ M, fp ∈C∞(p) , f ∈ C∞(M) – reprezentant kiełka fp.
Uwaga. Na mocy konstrukcji C∞(M) – moduł D(M) posiada dodatkową strukturę algebry Liego.
Ustanowiony powyżej izomorfizm przenosi taką strukturę na C∞(M) – moduł ₤(M). Mianowicie : [X, Y] = τ ( [τ−1(X), τ−1(Y)] dla wszystkich X, Y ∈ ₤(M)
Oprócz tego, w praktyce można przyjąć, że różniczkowania i pola styczne są to różne sposoby opisu jednego i tego samego obiektu.
Niech { U − φ → Rm } – będzie mapą na M. Zgodnie ze stwierdzeniem 2,3,3 C∞(M) – moduł D(M) jest swobodny o bazie { ∂1, ... ,∂m }, każde różniczkowanie ξ ∈ D(M) można zapisać jednoznacznie w postaci :
Z drugiej strony, każde ciecie lokalne X ∈ ₤(M) : X : U → TU
ma postać :
p → Xp∈ TpU, gdzie :
{ ∂p,1, ... ,∂p,m } – baza w TpU (zobacz stwierdzenie 2.3.4 )
Zatem C∞(M) – moduł ₤(M) jest również swobodny z bazą {σ1, ... ,σm }, gdzie : σµ : U → TU , p →∂p,µ , 1 ≤µ≤ m
ciecie X ∈ ₤(M) możemy jednoznacznie zapisać w postaci :
Zatem, izomorfizm τ : D(U) ≅ ₤(M) sprowadza się do utożsamienia bazy { ∂1, ... ,∂m } z bazą {σ1, ... ,σm } (jeśli ściśle to do zasady τ(∂µ ) = σµ , 1 ≤µ≤ m )
Niech ξ ∈ D(U), gdzie U – otwarty podzbiór rozmaitości M. Mówimy, że ξ = 0 na podzbiorze otwartym V ⊂ U, jeśli spełniony jest jeden (a znaczy, ze i pozostałe ) z równoważnych warunków :
* ξ(f) = 0 dla dowolnej f ∈ C∞(U) , supp(f) ⊂ V
* ξ |V = 0
* X |V = 0, gdzie X = τ(ξ) – wektorowe pole styczne, generowane przez różniczkowanie ξ.
Odpowiednio, nośnik różniczkowania ξ∈ D(M) definiujemy jako najmniejszy zbiór zamknięty supp(ξ) ⊂ U, poza którym ξ = 0.
Niech M, N – będą rozmaitościami gładkimi. Każde odwzorowanie gładkie Φ : M → N indukuje morfizm algebr : Φ* : C∞(N) → C∞(M), g → f = Φ*(g) = g ° Φ
Taki izomorfizm dla każdej pary punktów p ∈ M, q = Φ(p) ∈ N, określa morfizm algebr (dla uproszczenia wykorzystujemy to samo oznaczenie ) :
Φ* : C∞(q) → C∞(p), gp → fp = Φ*(gp)
( wyjaśnijmy, że kiełek fp ∈ C∞(q) jest klasa równoważności funkcji f = g ° Φ ∈ C∞(U), gdzie g ∈ C∞(V) jest dowolnym reprezentantem kiełka gp ∈ C∞(q), V ∈ U(q), U = Φ−1(V) ∈ U(p))
To wszystko pozwala zdefiniować odwzorowanie styczne :
Dokładniej – wektor styczny Xp ∈ TpM odwzorowuje się w wektor styczny Yq ∈ TqN, p ∈ M, q = Φ(p) ∈ N, gdzie : Yq(gq ) = Xp(Φ*(gq )) dla wszystkich gq ∈ C∞(q)
W charakterze ćwiczenia, proponujemy sprawdzić, że takie odwzorowanie jest gładkie, oraz para : M − Φ → N, TM − Φ* → TN
jest morfizmem z rozwłóknienia stycznego : TM − πM → M
w rozwłóknienie styczne : TN − πN → N.
Należy również sprawdzić, ze w taki sposób określony jest funktor kowariantny z kategorii rozmaitości gładkich w kategorie rozwłóknień wektorowych.
Niech Φ : M → N – będzie odwzorowaniem gładkim m – wymiarowej rozmaitości M, w gładką n – wymiarową rozmaitość N i niech :
Φ* : TM → TN – będzie jego odwzorowaniem stycznym.
Niech wektor Xp ∈ TpM, wtedy jego obraz Yq Φ*(Xp ) ∈ TpM , q ∈ Φ(p).
Jak powiedziano wcześniej dla punktu p ∈ M istnieją :
* mapa { U − φ → φ(U) ⊂ Rm } na M, p ∈ U
* mapa { V −ψ→ψ(V) ⊂ Rn } na N, Φ(U) ⊂ V takie, że :
* y = Φ~(x) - jest odwzorowaniem gładkim z φ(U) w ψ(V), gdzie Φ~ = ψ ° Φ~ ° φ−1
Jak już pokazaliśmy, mapy {U, φ} i {V, ψ} indukują mapy { U^, φ^ } i {V^, ψ^ } na rozmaitościach stycznych, przy czym :
* Xq ∈ U^ , Xp = zp • ∂pφ ,gdzie zp ∈ Rm , {∂p,1φ , ... ,∂p,mφ } – baza w TpM
* Yq ∈ V^ , Yp = up • ∂pψ ,gdzie uq ∈ Rn , {∂q,1ψ , ... ,∂q,nψ } – baza w TqN Z definicji :
dla każdego kiełka gq ∈ C∞(q), gdzie fp(x) = gq(y) | y =Φ~(x) =
Zatem :
skąd otrzymujemy wzory dla odwzorowania stycznego we współrzędnych lokalnych :
Odwzorowanie gładkie Φ : M → N w przypadku ogólnym nie prowadzi do jakiegoś odwzorowania modułów cięć :
₤(M) → ₤(N)
Można tylko mówić, że dwa ciecia X ∈ ₤(M) i Y∈ ₤(N) są Φ -zgodne, pisząc X ~Φ Y, jeśli następujący diagram jest przemienny :
tj. jeśli Φ* (Xp ) = Yp dla wszystkich p ∈ M, q = Φ(p) ∈ N.
Izomorfizmy :
D(M) ≅ ₤(M) , D(N) ≅ ₤(N)
przenoszą to pojęcie na różniczkowania.
Mówimy, że różniczkowania ξ ∈ D(M) i η ∈ D(N) są Φ - zgodne, pisząc ξ ~Φ η, jeśli następujący diagram jest przemienny :
tj. jeśli ξ ° Φ* = Φ* ° η.
Stwierdzenie 2.3.6 Niech ξi ∈ D(M), ηi ∈ D(N), przy czym ξi ~Φ ηi , dla i = 1, 2.
Wtedy komutatory : [ ξ1, ξ2 ] ~Φ [ η1, η2 ]
Dowód. W istocie, w tym przypadku :
co oznacza, że komutatory [ ξ1, ξ2 ] i [ η1, η2 ] są Φ - zgodne.
Wniosek 2.3.1 Niech Xi ∈ ₤(M) , Yi ∈ ₤(N), przy czym Xi ~Φ Yi, dla i = 1, 2.
Wtedy nawiasy Liego : [ X1, X2 ] ~Φ [ Y1, Y2 ]
Dowód. Oczywiście, wystarczy wykorzystać izomorfizmy : D(M) ≅ ₤(M) , D(N) ≅ ₤(N)
Niech Φ : M ≅ N – będzie dyfeomorfizmem (izomorfizm w kategorii rozmaitości gładkich ), oraz Φ−1 : N ≅ M – odwzorowanie odwrotne.
Wtedy zasada Φ - zgodności po każdym cięciu X ∈ ₤(M), określa jednoznacznie cięcie Y ∈ ₤(N) wzorem : Y = Φ* ° X ° Φ−1
Innymi słowy, w tym przypadku jest określony izomorfizm przestrzeni liniowych :
Φ* : ₤(M) ≅ ₤(N) , X → Y = Φ* (X) = Φ* ° X ° Φ−1 tak, że :
Yq = Φ* (Xp ) dla wszystkich q ∈ N, p = Φ−1(q) Izomorfizmy :
τM : D(M) ≅ ₤(M) , τN : D(N) ≅ ₤(N) przenoszą tę zasadę na różniczkowania.
Mianowicie, każde ξ ∈ D(M) odwzorowuje się w η = τN−1( Φ* (τM(ξ ))) ∈ D(M) Łatwo sprawdzić, że teraz :
η = ( Φ* )−1 ° ξ ° Φ*
( zwróćmy uwagę, że ( Φ* )−1 = (Φ−1 )* )
Zatem, określony jest izomorfizm przestrzeni liniowych : Φ* : D(M) ≅ D(N) , ξ → η = Φ*(ξ) = (Φ* )−1 ° ξ ° Φ*
(mając na uwadze prostotę oznaczeń, wykorzystujemy jeden i ten sam symbol w analogicznych sytuacjach ) Podsumujmy uzyskane wyniki.
Stwierdzenie 2.3.7 Niech Φ : M ≅ N – będzie dyfeomorfizmem. Wtedy są określone następujące izomorfizmy algebr Liego :
* Φ* : ₤(M) ≅ ₤(N) , X → Y = Φ* (X) = Φ* ° X ° Φ−1
* Φ* : D(M) ≅ D(N) , ξ → η = Φ*(ξ) = (Φ* )−1 ° ξ ° Φ*
Niech S, M – będą gładkimi rozmaitościami o rozwłóknieniach stycznych : TS − πS → S
TM −πM → M
Niech Φ : S → M – będzie odwzorowaniem gładkim.
Oznaczmy poprzez { TSM, π0
S , ϕ } – obraz odwrotny rozwłóknienia TM − πM → M, względem odwzorowania Φ : S → M
(przyjęto tutaj TSM = S ×M TM , π0
S = πS , ϕ = Φ* , indeks 0 dodano dla wygody ) Na mocy konstrukcji TSM − π0
S → S jest rozwłóknieniem wektorowym nad S, przy czym istnieje jednoznaczne odwzorowanie gładkie :
Φ*0 : TS → TSM
dla którego następujący diagram jest przemienny :
Uwzględniając dużą liczbę strzałek tego diagramu, wypiszemy zasady według których on działa :
Ważny przypadek szczególny – rozmaitość S jest podrozmaitością rozmaitości M.
Teraz :
* Φ = ℓ : S → M – włożenie kanoniczne, p → p dla wszystkich p ∈ S.
* Φ* = ℓ : TS → TM, Xp → Yp = Xp, również jest włożeniem kanonicznym, tak że można przyjąć, że TpS ⊂ TpM dla wszystkich p ∈ S.
2.3.5 Rozwłóknienie kostyczne.
Niech M – będzie gładką m – wymiarową rozmaitością, TM − π → M – jej rozwłóknieniem stycznym.
Dla każdego punktu p ∈ M wektorowa przestrzeń styczna TpM posiada dualną (inaczej, sprzężoną ) m – wymiarową przestrzeń wektorową :
T*SM = HomR ( TpM, R )
która nazywa się przestrzenią kostyczną w punkcie p.
Elementy przestrzeni kostycznej T*pM nazywają się wektorami kostycznymi. Przyjmijmy : T*M =
∪
p∈M T*pMi zdefiniujmy rzutowanie : π : T*M → M
zgodnie z zasadą :
ωp → π(ωp) = p dla wszystkich ωp ∈ T*M
Tak jak w przypadku rozwłóknienia stycznego, na zbiorze T*M zdefiniujemy strukturę gładką, wykorzystując mapy lokalne rozmaitości gładkim M.
Niech:
{U, φ} = { U − φ → Rm } – mapa na M.
Dla każdego punktu p ∈ U przestrzeń styczna TpM posiada bazę ∂q = ( ∂p,1, ... ,∂p,m ), a dualna przestrzeń kostyczna T*pM posiada bazę dualną :
dp = ( dp1, ... , dpm ) , dpµ (∂p,ν ) = δνµ , 1 ≤ µ, ν ≤ m
Odpowiednio, każdy wektor kostyczny ωp ∈ T*pM posiada następujący rozkład :
Każdej parze ( {U, φ}, O ), gdzie {U, φ } – mapa na M, O – podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej Rm, przyporządkowujemy zbiór { ωp ∈ T*M | p ∈ U, ωp ∈ O }, gdzie ωp ∈ O oznacza, że w rozkładzie : ωp = up • dp
wektor składowy :
up = (up,1, ... , up,m ) ∈ O
Przyjmując te zbiory w charakterze bazy, zdefiniujemy na T*M topologię separowaną.
Każdej mapie {U, φ} rozmaitości M przyporządkujemy mapę {U~, φ~ } na przestrzeni topologicznej T*M, gdzie zbiór otwarty :
U~ = π−1(U)
a odwzorowanie ciągłe : φ~ : U~ → φ(U) × Rm
jest określone zgodnie z zasadą :
ωp → φ~(ωp ) = ( φ(p), up ) dla wszystkich ωp ∈ U~
gdzie up – kowektor składowy wektora kostycznego ωp w bazie dp.
Dalej sprawdzimy, ze jeśli mapy {U, φ} i {V, ψ }, U ∩ V = ∅, są gładko zgodne na M, to mapy indukowane {U~, φ~ } i {V~, ψ~ } są gładko zgodne na T*M. I tak, niech :
ωp ∈ U~ ∩ V~ = π−1(U ∩ V ) ≠∅
Wtedy :
φ~(ωp ) = ( φ(p), upφ ) , ψ~(ωp ) = ( ψ(p), upψ )
( indeksy φ, ψ wskazują w jakich współrzędnych obliczany jest wektor składowy )
Uwzględniając podane powyżej rozważania dla rozwłóknienia stycznego, należy jedynie wyjaśnić, jak przekształcają się wektory składowe.
Mamy dwie reprezentacje :
gdzie :
skąd :
upφ = || ∂xy | p || • upψ
W analogiczny sposób możemy wyprowadzić : upψ = || ∂xx | p || • upφ
Tak samo jak w przypadku rozwłóknienia stycznego, wynika stąd, że mapy {U~, φ~ } i {V~, ψ~ } są gładko zgodne na T*M.
Uwaga. Zwróćmy uwagę, że w odróżnieniu od wektorów składowych, kowektory składowe przekształcają się z pomocą odwrotnych macierzy Jakobiego.
Podsumujmy. Na separowalnej przestrzeni topologicznej T*M określona jest gładka struktura, przekształcając ją w rozmaitość gładką. Łatwo można sprawdzić, że rzutowanie :
π : T*M → M
jest gładkim odwzorowaniem surjektywnym.
Ma miejsce lokalna trywializacja : każdej mapie {U, φ } na rozmaitości M przyporządkowana jest mapa {U~, φ~ } na rozmaitości T*M, realizująca izomorfizm zbioru otwartego U~ = π−1(U) na iloczyn prosty U × Rm.
Innymi słowy, zbudowane jest rozwłóknienie gładkie : T*M = { T*M −π→ M } o włóknie typowym Rm.
Oprócz tego, dla każdego punktu p ∈ M włókno π−1(p) = T*pM jest rzeczywista m – wymiarową przestrzenią wektorową, oczywiście izomorficzną w kategorii przestrzeni liniowych przestrzeni Rm.
Zatem rozwłóknienie T*M jest rozwłóknieniem wektorowym o włóknie typowym Rm. Nazywa się ono rozwłóknieniem kostycznym rozmaitości gładkiej M.
Na mocy swej konstrukcji rozwłóknienie wektorowe T*M – jest w pełni dualne do rozwłóknienia wektorowego TM, tj.
włókno T*pM jest przestrzenią wektorową, dualną do przestrzeni wektorowej włókna TpM dla każdego punktu p ∈ M.
Gładkie cięcia rozwłóknienia T*M nazywają się kostycznymi polami wektorowymi na rozmaitości M.
Zbiór wszystkich kostycznych pól wektorowych na rozmaitości M oznaczymy jako ₤*(M).
Jako zbiór cięć rozwłóknienia wektorowego jest on modułem nad algebrą C∞(M).
Dalej C∞(M)- moduł D(M) posiada dualny C∞(M) – moduł : Ω1(M) = (D(M))* = Hom
C∞(M) ( D(M), C∞(M) ) - moduł 1- form różniczkowych.
Stwierdzenie 2.3.8 Każda 1- forma ω∈Ω1(M) jest odwzorowaniem lokalnym tj. : supp(ω(ξ)) ⊂ supp(ξ) dla wszystkich ξ ∈ D(M)
Dowód.
Na mocy stwierdzenia 2.3.8 zasada ta jest poprawna.
Oprócz tego, zasada ta realizuje izomorfizm C∞(M) – modułów Ω1(M) i ₤*(M), przy czym odwzorowanie odwrotne :
₤*(M) → Ω1(M)
zadane jest poprzez zasadę :
σ → ω, ω(ξ)(p) = σp(ξ^p ) dla wszystkich σ ∈ ₤*(M), ξ ∈ D(M) , p ∈ M
gdzie σp ∈ T*pM – wartość cięcia σ w punkcie p, ξ^p – wektor styczny w punkcie p, generowany przez różniczkowanie ξ.
Gładkość pojawiających się tutaj funkcji i cięć należy sprawdzić lokalnie, tj. w odpowiednich mapach.
Na koniec C∞(M) – moduł ₤(M), również posiada dualny C∞(M) – moduł : ( ₤(M))* = Hom
C∞(M)( ₤(M),C∞(M) )
jest oczywiście izomorficzny C∞(M) – modułowi ₤*(M), izomorfizm taki zadany jest punktowo : każdemu kostycznemu polu wektorowemu σ ∈ ₤*(M) przyporządkowujemy ciecie σ~( ₤(M))*, gdzie :
σ~(X )(p) = σp(Xp ) dla wszystkich X ∈ ₤(M), p ∈ M
σp ∈ T*pM – wartość cięcia σ w punkcie p, Xp ∈ T*pM – wartość ciecia X w punkcie p.
Zatem, ustanowiliśmy następujące stwierdzenie :
Stwierdzenie 2.3.9 Istnieje naturalny izomorfizm C∞(M)- modułów : Ω1(M) ≅ ₤*(M) ≅ (₤(M) )*
Niech
{U − φ → Rm } – mapa na M. Zgodnie z stwierdzeniem 2.3.3 C∞(M)- moduł D(M) – jest swobodny o bazie { ∂1, ... ,∂m }. Zatem, dualny C∞(M)- moduł Ω1(M) również jest swobodny o bazie dualnej :
{ d1, ... , dm } , dµ(∂ν ) = δµν , 1 ≤µ, ν≤ m
każda 1- forma ω∈Ω1(M) może być jednoznacznie zapisana w formie : ω =
Σ
ωµ• dµ , ωµ ∈ C∞(U), 1 ≤ µ ≤ mZ drugiej strony, każde cięcie lokalne : ω∈ ₤(U) , ω : U → T*U
W takich oznaczeniach izomorfizm Ω1(M) ≅ ₤*(M) ≅ (₤(M) )* sprowadza się do utożsamienia baz : { d1, ... , dm }, { σ1, ... , σm } i { s1, ... , sm }
Uwaga. W praktyce C∞(M)- moduły Ω1(M), ₤*(M) i (₤(M))* zazwyczaj utożsamia się, przyjmując je jako różne opisy jednego i tego samego obiektu.
Niech M, N – będą rozmaitościami gładkimi Φ : M → N – odwzorowaniem gładkim.
Odwzorowanie kostyczne :
Łatwo można sprawdzić, że zasady te w szczególności, określają funktor kontrawariantny z kategorii rozmaitości gładkich w kategorię przestrzeni liniowych, gdzie każdej rozmaitości gładkiej przyporządkowujemy przestrzeń liniową (a dlaczego nie moduł ? ) cieć gładkich rozwłóknienia kostycznego, a każdemu odwzorowaniu gładkiemu – odpowiednie
odwzorowanie kostyczne.
Uwaga. Na mocy stwierdzenia 2.3.9 odwzorowanie kostyczne jest określone na 1- formach. Zauważymy również, że odwzorowanie kostyczne :
Φ* : T*N → T*M
w przypadku ogólnym nie jest określone ( porównaj z odwzorowaniem stycznym – zobacz stwierdzenie 2.3.7 ) 2.3.6 Pola tensorowe.
Niech M będzie rozmaitością gładką, ₤(M) – moduł cięć gładkich rozwłóknienia stycznego,
₤*(M) – moduł cięć gładkich rozwłóknienia kostycznego (teraz i dalej pod pojęciem „moduł” rozumiemy C∞(M) – moduł )
(teraz i dalej w niniejszym podrozdziale, jeśli nie powiedziano inaczej, iloczyn tensorowy i suma prosta brane są w kategorii C∞(M) – modułów )
Wyjaśnijmy, że mnożenie w algebrze tensorowej T(M) zadane jest zasadą :
( X ⊗ ρ ) • ( Y ⊗ χ ) = (X ⊗ Y ) ⊗ ( ρ ⊗ χ ) dla wszystkich X ⊗ ρ ∈ Tpq(M) , Y ⊗ χ ∈ Trs(M) tak, że :
( X ⊗ ρ ) • ( Y ⊗ χ ) ∈ Tp+rq+s(M)
Pola tensorowe na M można również zdefiniować w inny, równoważny sposób, z pomocą włóknistego iloczynu tensorowego rozwłóknień – stycznego i kostycznego.
Mianowicie, dla wszystkich r,s ∈ Z+ przyjmiemy : TrsM =
∪
p∈M (Trs )pM , (Trs )pM = (
⊗
r TpM ) ⊗ (⊗
s T*pM ) - gdzie iloczyny tensorowe brane są w kategorii przestrzeni wektorowych.Podobnie do tego jak to było zrobione w przypadku rozwłóknień – stycznego i kostycznego, wyposażymy zbiór TrsMw strukturę rozwłóknienia wektorowego :
TrsM −π→ M
i określimy pola tensorowe bistopni (r, s ) jako cięcia gładkie takiego rozwłóknienia.
Można pokazać, że zbudowany w ten sposób moduł cięć będzie izomorficzny ( w kategorii C∞(M) – modułów ) wprowadzonemu powyżej modułowi Trs(M).
2.4 Formy różniczkowe.
2.4.1 Zewnętrzna algebra różniczkowań.
Niech M – będzie gładką m – wymiarową rozmaitością.
Niech :
∧ D(M) =
⊕
p∈Z+ ∧p D(M)- będzie zewnętrzną algebrą C∞(M) – modułu D(M), gdzie :
∧p D(M) = { C∞(M) , p = 0
{ D(M) ∧ ... ∧ D(M) , p ∈ N --- p czynników ---
(iloczyn tensorowy brany jest w kategorii C∞(M) – modułów, w celu skrócenia zapisu będziemy pisali dalej w miejsce
∧C∞(M) po prostu symbol ∧ )
Niech { U − φ → Rm } – będzie mapą na M. Zgodnie ze stwierdzeniem 2.3.3 moduł D(M) jest swobodny z bazą { ∂1, ... ,∂m }. Zatem, dla każdego p ∈ N moduł ∧p D(M) jest również swobodny z bazą :
{ ∂µ1∧ ... ∧ ∂µp | 1 ≤ µ1 < ... < µp ≤ m }
każdy element V ∈ ∧p D(M) posiada jednoznaczną reprezentację :
W praktyce dogodniej jest wykorzystywać inną, alternowaną (inaczej skośną ) reprezentację :
gdzie współczynniki Vµ1... µp mogą być skośniesymetrycznie przedłużone na wszystkie wartości indeksów.
Vσ(µ1... µp ) = sing σ • Vµ1... µp dla wszystkich σ ∈ Σp , 1 ≤ µ1 < ... < µp ≤ m Uwaga. Teraz i dalej σ(µ1... µp ) = ( µσ(1) ... µσ(p) )
Mnożenie w algebrze zewnętrznej ∧ D(M) zadane jest poprzez zasadę :
dla wszystkich p, q ∈ N ,1 ≤ µ1 < ... < µp+q ≤ m tak, że :
dla wszystkich :
gdzie :
- alternowana suma brana jest po wszystkich permutacjach σ liczb naturalnych 1, ..., p + q, mieszających choćby jedną liczbę z grupy 1, ... ,p w grupę p + 1 , ... , p + q.
W analogiczny sposób definiujemy algebrę zewnętrzną :
∧₤(M) = ∧
⊕
p∈Z+ ∧p ₤(M)C∞(M) – modułów ₤(M), przy czym izomorfizm τ : D(M) ≅ ₤(M) (zobacz stwierdzenie 2.3.5 ) rozciąga się również na algebry zewnętrzne :
τ : ∧p D(M) ≅ ∧p ₤(M) , τ (ξ1 ∧ .... ∧ ξp ) = τ(ξ1) ∧ .... ∧ τ(ξp ) , p ∈ N
Taki izomorfizm C∞(M) – modułów pozwala przenosić wszystkie wyniki, ustanowione dla algebry zewnętrznej różniczkowań na algebrę zewnętrzną pól stycznych i odwrotnie – w praktyce utożsamiając je.
Niech M, N – będą rozmaitościami gładkimi Φ : M → N – odwzorowaniem gładkim.
Odwzorowanie styczne : Φ* : TM → TN
indukuje odwzorowanie liniowe :
Oczywiście :
Φ* (V ∧ W ) = Φ* (V) ∧ Φ* (W) dla wszystkich V ∈ ∧p TM, W ∈ ∧q TM ; p, q ∈ N Na algebrze ∧ D(M) określone są następujące naturalne operacje :
Stwierdzenie 2.4.1 Dla każdej 1- formy ω ∈ Ω1(M) istnieje jednoznaczne skośne różniczkowanie (inaczej