Każdy lewy A – moduł jest modułem ilorazowym swobodnego lewego A- modułu

Dowód. Niech M – będzie lewym A- modułem. Weźmiemy M w charakterze zbioru bazowego i niech ( A<M>, δ ) – niech będzie odpowiednim uniwersalnym obiektem. Odwzorowaniu tożsamościowemu :

id : M → M

odpowiada następujący diagram przemienny :

gdzie f = (id )* jest lewym odwzorowaniem A – liniowym, generowanym przez odwzorowanie tożsamościowe id.

Ze swej konstrukcji odwzorowanie f jest epimorfizmem, tak że M = A<M> /ker f

Uwaga. Dla danego modułu należy rozróżniać jego F- liniową bazę tj. jego bazę jako przestrzeni liniowej nad F, oraz jej A – liniową bazę tj. jej bazę jako lewego A- modułu.

Przykład 1.5.3 Niech X – będzie przestrzenią liniową nad F i dimF X – będzie jej wymiarem (liczbą elementów jej bazy ).

Jest określony (zobacz przykład 1.5.2 ) lewy A – moduł : M = A ⊗F M = dimF X

a jego wymiar jako przestrzeni liniowej nad F jest to : dimF M = dimF A ^• dimF X

Iloczyny tensorowe.

Niech A – będzie unitalną przemienną algebrą asocjatywną.

Iloczyny tensorowe w kategorii lewych A – modułów budujemy zgodnie z tymi samymi zasadami, co w przypadku lewych modułów nad pierścieniami z oczywistymi modyfikacjami.

Dokładniej – niech {Mi | i ∈ I } – będzie rodziną lewych A- modułów i

×

Mi – jej iloczyn prosty.

Iloczyn tensorowy :

⊗

_{Mi =}

⊗

_{i∈I Mi}

jest określony jako uniwersalny obiekt odpychający :

×

_Mi − κ →

⊗

_Mi

kategorie, której obiektami są w istocie A – wieloliniowe odwzorowania z

×

Mi w lewe A- moduły, a morfizmy z obiektu :

×

_Mi − f → N w obiekt :

×

_Mi − g → P

są to odwzorowania A- liniowe : N − φ → P

z lewego A – modułu N w lewy A –moduł P, dla których następujący diagram jest przemienny :

Tak samo jak w kategoriach modułów nad pierścieniami i przestrzeni liniowych, każde odwzorowanie A- liniowe : h :

⊗

_Mi → N

jest generowane przez jednoznaczne odwzorowanie A- wieloliniowe : f :

×

_Mi → N

Mianowicie h = f dla f = h ° κ, tak że odwzorowania A- liniowe z

⊗

Mi w dany lewy A – moduł można utożsamić z odwzorowaniami A- wieloliniowym z

×

Mi w tenże moduł.

W kategorii lewych A – modułów są zachowane własności iloczynu tensorowego, ustanowione w kategoriach modułów nad pierścieniami i przestrzeni liniowych (asocjatywność, permutacje, iloczyny tensorowe rodzin odwzorowań A – liniowych i ich funktorialność )

Proponujemy sformułować i dowieść odpowiednich stwierdzeń jako ćwiczenie.

W sytuacji topologicznej pojawiające się problemy przenikają z kategorii topologicznych przestrzeni liniowych i algebr topologicznych, a ich analiza pozostaje poza ramami naszego wykładu.

Uwaga. Ponieważ każdy lewy A – moduł jest jednocześnie przestrzenią liniowa nad F, to dla zadanej rodziny { Mi | i ∈ I } lewych A – modułów należy rozróżniać jego iloczyn tensorowy w kategorii przestrzeni liniowych – oznaczymy go jako

⊗

_{F Mi}

oraz jego iloczyn tensorowy w kategorii A- modułów – oznaczymy go jako :

⊗

_{A Mi}

Przykład. 1.5.4 Niech A = F[t] – będzie algebrą wszystkich wielomianów jednej zmiennej t o współczynnikach z F.

Wtedy jej kwadrat tensorowy w kategorii przestrzeni liniowych jest to : A ⊗F A = F[s, t]

- przestrzeń liniowa (oczywiście i algebra ) wszystkich wielomianów dwóch zmiennych s, t o współczynnikach z F.

Dalej, niech M = A ⊗F Fm – będzie lewym A – modułem wszystkich kolumn o wysokości m ∈ N o elementach z A, a :

M = A ⊗F Fn – niech będzie analogicznym lewym A – modułem wszystkich kolumn o wysokości n ∈ N o elementach z A.

Iloczyn tensorowy takich modułów w kategorii przestrzeni liniowych ma postać :

- przestrzeń liniowa wszystkich (m × n ) – macierzy o elementach z A ⊗F A, jednocześnie iloczyn tensorowy w kategorii lewych A modułów ma postać :

- lewy A- moduł wszystkich (m × n ) – macierzy o elementach z A, ponieważ kwadrat tensorowy A – modułu A w kategorii lewych A – modułów ma postać :

A ⊗A A = A 1.5.3 Gradacja.

Moduły nad algebrami graduje się tak samo jak moduły nad pierścieniami. Mianowicie, niech Γ - będzie grupa abelową, A =

⊕

_γ∈Γ ^A_γ - niech będzie Γ- gradowaną algebrą asocjatywną.

Mówimy, że lewy A – moduł M jest gradowany przez grupę abelową Γ ( innymi słowy – jest Γ- gradowany ), jeśli jest on Γ - gradowany jako przestrzeń liniowa M =

⊕

_γ∈Γ ^M_γ dla pewnej rodziny przestrzeni liniowych { Mγ | γ ∈ Γ } i iloczyn : ax ∈ Mα+β dla wszystkich a ∈ Aα , x ∈ Mβ , α, β ∈ Γ

Dalej, niech :

M =

⊕

^M_γ ^{, N =}

⊕

^N_γ - będą dwoma Γ- gradowanymi lewymi A- modułami.

A – liniowe odwzorowanie f : M → N nazywa się γ- jednorodnym γ ∈ Γ, jeśli obraz f(x) ∈ Mα+γ dla wszystkich x ∈ Mα ⊂ M, α ∈ Γ.

Każde A- liniowe odwzorowanie f : M → N dzieli się na składowe jednorodne (innymi słowy jest Γ - gradowane ) Zatem, została określona kategoria Γ - gradowanych lewych A- modułów, której obiektami są Γ- gradowane lewe A – moduły, a morfizmy to Γ- gradowane A- liniowe odwzorowania, przy czym kategoria ta jest pełna podkategorią kategorii lewych A – modułów.

Podmoduł N ⊂ M, gdzie M =

⊕

_γ∈Γ ^M_γ jest Γ- gradowanym lewym A- modułem, nazywa się Γ- gradowanym, jeśli N =

⊕

_γ∈Γ ^N_γ przy czym Nγ = N ∩ M, dla wszystkich γ ∈ Γ.

Niech A – będzie unitalną asocjatywna algebra komutatywną. Iloczyn tensorowy

⊗

Mi każdej rodziny { Mi | i ∈ I } Γ - gradowanych A- modułów Mi =

⊕

_{γi ∈Γ Mi, γi} posiada naturalną Γ- gradację. Mianowicie :

Tak samo jak w algebrach gradowanych, a gradowanych modułach pojawiają się nowe możliwości.

W istocie – niech Γ- będzie grupą abelową, χ - czynnik gradujacy, A =

⊕

^A_γ - unitalna asocjatywna Γ- gradowana algebra. Pozostawimy bez zmian definicję Γ - gradowanego lewego A- modułu, a w definicji Γ- gradowanego prawego A- modułu M, aksjomat prawej asocjatywności x(ab) = (xa)b zamienimy na aksjomat Γ- gradowanej prawej

asocjatywności :

* x(ab) = χ(α, β) (xa)b dla wszystkich x ∈ M, a ∈ Aα , b ∈ Aβ

Taka definicja jest poprawna, ponieważ na mocy własności czynnika gradującego : x(abc) = χ(α, β) χ(α, γ)χ(β, γ) ( (xa)b)c

dla wszystkich x ∈ M, a ∈ Aα, b ∈ Aβ , c ∈ A niezależnie od porządku obliczeń.

Dalej, jeśli algebra A – jest gradowaną algebrą przemienną, to : x(ab) = χ(αβ) x(ba) = χ(α, β) χ(β, α) (xb)a = (xb)a

dla wszystkich x ∈ M, a ∈ Aα , b ∈ Aβ , c ∈ Atak, że w tym przypadku prawe i lewe działanie faktycznie pokrywają się (z dokładnością do zapisu ) i mówimy, że zadany został Γ - gradowany moduł.

Niech Γ - będzie grupą abelową, χ - czynnik gradujący, A =

⊕

^A_γ - unitalna asocjatywna Γ - gradowana algebra przemienna. Niech :

M =

⊕

^M_γ ^{, N =}

⊕

^N_γ - będzie parą Γ - gradowanych A- modułów.

Odwzorowanie biliniowe : f : M × N → P

gdzie P =

⊕

^P_γ - jest Γ- gradowanym A- modułem, nazywa się gradowanym A- biliniowym, jeśli : f(ax, y) = af(x, y) dla wszystkich a ∈ A, x ∈ M, y ∈ N

f(x, ay) = χ(α, β) af(x, y) dla wszystkich x ∈ Mα , a ∈ Aβ , y ∈ N, α, β ∈ Γ

Definicja ta jest poprawna, ponieważ na mocy własności czynnika gradującego χ i gradowanej komutatywności algebry A :

f(ax, by) = χ(β, γ) (ab) f(x, y) dla wszystkich a ∈ Aα , x ∈ Mβ , b ∈ Aγ - niezależnie od porządku obliczeń.

W kategorii, której obiektami są Γ - gradowane A – biliniowe odwzorowania z : M × N =

⊕

_γ∈Γ ^{( M}_γ × Nγ )

w Γ - gradowane A – moduły , a morfizmy z obiektu : M × N − f → X

w obiekt : M × N − g → Y

są to A – liniowe odwzorowania : X − h → Y

z modułu X =

⊕

^X_γ w moduł Y =

⊕

^Y_γ , dla których następujący diagram jest przemienny :

istnieje uniwersalny obiekt odpychający : M × N − χ → M ⊗ N

nazywany Γ - gradowanym iloczynem tensorowym pary modułów M, N. Taki iloczyn buduje się tak samo, jak w kategorii niegradowanej, z oczywistymi modyfikacjami.

Uwaga. Γ- gradowany iloczyn tensorowy nad A można zdefiniować i dla dowolnej liniowo uporządkowanej rodziny Γ- gradowanych A – modułów.

1.5.4 Tensorowa algebra modułowa.

Niech F – będzie ciałem, A – unitalna asocjatywną komutatywną algebrą nad F, M – A- modułem.

Przyjmijmy :

Tn(M) =

⊗

n M = { M ⊗ ... ⊗ M (n czynników ) , n ∈ N { A , n = 0

(obecnie i dalej iloczyn tensorowy brany jest w kategorii A – modułów ).

Suma prosta :

T(M) =

⊕

_n∈Z+ ^Tn(M)

A- modułów Tn(M) z definicji jest A – modułem. Posiada ona dodatkową strukturę unitalnej asocjatywnej Z+ – gradowanej algebry z mnożeniem zadanym przez zasady :

dla wszystkich p, q ∈ N , x1 , ... , yq ∈ M ( wyjaśnijmy, że A ⊗ M = M ⊗ A ).

Algebra ta nazywa się tensorową algebrą A – modułu M.

Niech Dane będzie A – liniowe odwzorowanie f : M → N A – modułu M w A – moduł N, wtedy zasada :

zadaje Z+ – gradowany morfizm : T(f) : T(M) → T(N)

przy czym złożenie f ° g przechodzi w złożenie T(f) ° T(g).

Innymi słowy, jest określony funktor kowariantny z kategorii A – modułów w kategorię Z+ – gradowanych algebr.

Niech M będzie A – modułem , T(M) – jego Z+ – gradowaną algebra tensorową.

Dla każdego n ∈ N jest określona grupa symetryczna Ŋn tj. grupa wszystkich permutacji σ : { 1, ... , n } → { σ(1), ... , σ(n) }

Jest również określony ciąg dokładny A – modułów :

tak, że :

Sn(M) = Tn(M) / ker πn + Przyjmijmy :

S(M) =

⊕

_n∈Z+ ^Sn(M)

i przekształćmy S(M) w Z+ – gradowaną unitalną asocjatywną komutatywną algebrę, zadając mnożenie :

¤ : S(M) × S(M) → S(M)

- jest ideałem algebry T(M) i algebra : S(M) = T(M) / ker π+

Algebra S(M) nazywa się symetryczną algebrą A – modułu M. Zauważmy, że S(M) – jest gradowaną algebrą komutatywną z czynnikiem gradującym χ = 1.

W analogiczny sposób, dla każdego n ∈ Z+ jest określone A – liniowe odwzorowanie :

Jego obraz :

Λn(M) = im πn− = { x ∈ Tn(M) | σ(x) = sign σ • x dla wszystkich σ ∈ Ŋn }

W szczególności : πn− ° πn− = πn− tj. πn− - jest projektorem.

Jest również określony ciąg dokładny A – modułów :

tak, że :

Λn(M) = Tn(M) / ker πn− Przyjmijmy :

Λ(M) =

⊕

_n∈Z+ Λn(M)

i przekształćmy Λ(M) w Z+ – gradowaną unitalną asocjatywną komutatywną algebrę, zadając mnożenie :

∧ : Λ(M) × Λ(M) → Λ(M) poprzez zasadę :

(x, y) → x ∧ y = πm+n−(x ⊗ y) dla wszystkich x ∈ Λm(M), y ∈ Λn(M)

Dalej, przyjmijmy :

π− =

Σ

_n∈Z+ πn− : T(M) → Λ(M) (tak, że π− |

Tn(M) = πn− , n ∈ Z+ )

wtedy π− jest morfizmem algebr, a jego jądro : ker π− =

⊕

_n∈Z+ ker πn−

- jest ideałem algebry T(M) i algebra : Λ(M) = T(M) / ker π+

Algebra Λ(M) nazywa się algebrą zewnętrzną A – modułu M z czynnikiem gradującym : χ(m, n ) = (−1)mn ; m, n ∈ Z+ .

W charakterze ćwiczenia proponujemy pomyśleć o uniwersalnych własnościach algebr zewnętrznych.

1.5.5 Moduły Liego.

Przypomnijmy, że lewy moduł M nad asocjatywną algebrą A zadany jest przez morfizm z algebry A w algebrę EndF(M) endomorfizmów F – liniowej przestrzeni M.

Jednakże dla algebry EndF(M) istnieje dołączona algebra Liego gl(M) ( zobacz przykład 1.4.6), co pozwala nam zdefiniować moduły nad algebrami Liego.

Niech F – będzie ciałem, A – algebrą Liego nad F. Przestrzeń F –liniowa M nazywa się modułem Liego nad A, jeśli zdefiniowano działanie algebry Liego A w przestrzeni liniowej M, tj. zadany jest morfizm algebr Liego

λ : A → gl(M)

Dokładniej – w tym przypadku każdemu a ∈ A przyporządkowano endomorfizm przestrzeni liniowych

λ(a) : M → M , x →λ(a)(x) = [ a, x ] (zapis λ(a)(x) skracamy do [a, x] , chociaż takie skrócenie nie jest powszechnie przyjęte )

przy czym spełnione są następujące warunki :

dla wszystkich α, β∈ F; a, b ∈ A; x, y ∈ M.

Ostatni warunek w standardowych oznaczeniach ma postać λ( [a, d] ) = [ λ(a), λ(b)], można go również rozpatrywać jako tożsamość Jakobiego dla modułów Liego.

Uwaga. Często w miejsce pojęcia moduł Liego wykorzystuje się pojęcie reprezentacja algebry Liego w przestrzeni liniowej.

Przykład 1.5.5 Każda przestrzeń liniowa L jest trywialnym modułem Liego nad dowolną algebrą Liego A, gdzie [a, x] = 0 dla wszystkich a ∈ A, x ∈ L.

Przykład 1.5.6 Każda algebra Liego A jest modułem Liego nad A ze względu na działanie dołączone : a → ad(a) ∈ gl(A), x → ad(a)(x) = [a, x] dla wszystkich a ∈ A, x ∈ A

Poprawność takiej definicji wynika z tożsamości Jakobiego.

Przykład 1.5.7 Niech A- będzie algebrą Liego, L – przestrzenią liniową nad F. Iloczyn tensorowy : A ⊗ L = A ⊗F L

( w kategorii przestrzeni F – liniowych )

jest modułem Liego nad A ze względu na działanie :

a → λ(a) ∈ gl(A⊗L) , b ⊗ x → [a, b ] ⊗ x dla wszystkich a, b ∈ A , x ∈ L Inaczej mówiąc :

λ(a) = ad(a) ⊗idL dla wszystkich a ∈ A.

Niech M, N – będą modułami Liego nad algebrą Liego A. Odwzorowanie liniowe f : M → N nazywa się morfizmem modułów Liego, jeśli :

f( [a, x] ) = [a, f(x)] dla wszystkich a ∈ A, x ∈ M

Zatem, dla każdej algebry Liego A określona jest kategoria modułów Liego nad A. Można sprawdzić, że odpowiedniość ta jest funktorialna.

Dokładniej zobacz np. [20, 21, 27, 18].

1.6 Kohomologie.

1.6.1 Moduły różniczkowe.

Niech F – będzie ciałem, A – unitalną asocjatywną algebrą nad F, C – lewym A- modułem.

Endomorfizm ∂ ∈ EndA(C ) tj. A- liniowe odwzorowanie z C w C ) nazywa się operatorem granicznym inaczej różniczką, jeśli złożenie ∂°∂ = 0 tj. im ∂⊂ ker ∂ .

W tym przypadku para {C, ∂ } nazywa się lewym A- modułem różniczkowym, elementy modułu C nazywają się łańcuchami, elementy jądra :

ker ∂ = { x ∈ C | ∂(x) = 0 } = Z(C ) nazywają się cyklami.

Elementy obrazu :

im ∂ = { y = ∂(x) | x ∈ C } = B(C ) nazywają się brzegami.

Lewy A- moduł homologii modułu różniczkowego {C, ∂ } jest definiowany jako moduł ilorazowy (inaczej, moduł pochodny ) :

jego elementy są to homologie, tj. klasy równoważności : x = x + im ∂ ; x ∈ C

Niech {C, ∂C }, { K, ∂K } – lewe A- moduły różniczkowe. Odwzorowanie A- liniowe f : C → K nazywa się morfizmem modułów różniczkowych, jeśli :

∂K ° f = f ° ∂C

tj. następujący diagram jest przemienny :

Zatem, jest określona kategoria £DMA różniczkowych lewych A- modułów, której obiektami są lewe A- moduły różniczkowe, a morfizmami są morfizmy modułów różniczkowych.

W analogiczny sposób definiuje się kategorię prawych A- modułów różniczkowych, oraz kategorię A- modułów różniczkowych dla algebry komutatywnej A.

W sytuacji topologicznej różniczki i morfizmy przyjmowane są jako ciągłe.

Stwierdzenie 1.6.1 Niech f : C → K – będzie morfizmem modułów różniczkowych. Wtedy : f(ker ∂C ) ⊂ ker ∂K , f( im ∂C ) ⊂ im ∂K

W szczególności, określone jest odwzorowanie ilorazowe : f : H(C ) → H(K)

działające zgodnie z zasadą :

x = x + im ∂C → f(x) = f(x) + im ∂K dla wszystkich x ∈ ker ∂C

Dowód prowadzimy poprzez bezpośredni rachunek, z pomocą równości definicyjnej :

∂K ° f = f °∂C

Uwaga. Niech {C, ∂C }, { K, ∂K } – będą lewymi A- modułami różniczkowymi. Aby A- liniowe odwzorowanie f : C → K dopuszczało odwzorowanie ilorazowe f : H(C ) → H(K)

konieczne jest i wystarczające, aby spełnione były warunki : f(ker ∂C ) ⊂ ker ∂K , f( im ∂C ) ⊂ im ∂K

Zgodnie z podanym powyżej stwierdzeniem, warunkiem wystarczającym dla spełnienia tych warunków jest spełnienie warunków ∂K ° f = f ° ∂C

ale istnieją również i inne warunki wystarczające.

Fakt ten wykorzystamy dalej, przy analizie modułów biróżniczkowych i bikompleksów.

A- liniowe odwzorowanie s : C → K nazywa się homologią wiążącą morfizmy modułów różniczkowych f, g C → K

jeśli słuszny jest wzór homotopiczny :

∂K ° s + s ° ∂C = f − g

Stwierdzenie 1.6.2 Niech f, g : C → K – będzie morfizmem modułów różniczkowych, oraz s : C → K

- niech będzie wiążącą je homologią.

Wtedy, odwzorowania ilorazowe : f, g : H(C ) → H(K)

pokrywają się.

Dowód. W istocie, niech klasa :

x = x + im ∂C ∈ H(C ) gdzie x ∈ ker ∂C, f(x) = f(x) + im ∂K , g(x) = g(x) + im ∂K wtedy :

ponieważ : ∂K (s(x)) ∈ im ∂K, a s(∂C(x)) = 0.

1.6.2 Kompleksy.

W zastosowaniach często spotyka się sytuację, kiedy moduł różniczkowy {C, ∂} jest gradowany przez grupę abelową Γ : C =

⊕

_γ∈Γ ^C_γ ^, ∂ =

⊕

_γ∈Γ∂γ ^; _∂γ ^{: C}_γ→ Cγ+ ε dla wszystkich γ∈Γ

(algebra A jest trywialnie gradowana A0 = A, Aγ = 0 przy γ ≠ 0 ), tj. różniczka ∂ - jest jednorodna rzędu ε, ε ∈ Γ ( W tym przypadku warunek ∂°∂ = 0 przyjmuje postać ∂γ+ ε°∂ = 0 dla wszystkich γ∈Γ )

W najbardziej popularnej sytuacji Γ = Z, ε = ± 1, gradowany moduł różniczkowy nazywa się kompleksem, kompleksem łańcuchowym przy ε = − 1 i kompleksem kołańcuchowym przy ε = +1.

Rozpatrzmy dokładniej przypadek ε = −1.

Niech lewy a- moduł C jest gradowany ( ściślej Z – gradowany ),a różniczka ∂ - jest jednorodna rzędu −1.

Inaczej mówiąc :

C =

⊕

n∈Z Cn , ∂ =

⊕

_n∈Z ∂n gdzie odwzorowania A- liniowe :

∂n : Cn − Cn−1 przy czym

∂n−1 ° ∂n = 0 tj. : im ∂n ⊂ ker ∂n−1 , n ∈ Z

W tym przypadku mówimy, że zadano kompleks : { Cn ,∂n } = {Cn , ∂n | n ∈ Z }

lewych A- modułów i zapisujemy go w postaci ciągu :

w którym złożenie dowolnych dwóch kolejnych strzałek jest równe zero.

W tym przypadku moduł pochodny jest również Z- gradowany : H(C) =

⊕

n∈Z Hn(C ) , Hn(C ) = ker ∂n / im ∂ n+1 , n ∈ Z

Elementy modułów Cn nazywa się n – wymiarowymi łańcuchami, a elementy jąder : ker ∂n = { xn ∈ Cn | ∂n(xn ) =0 } = Zn(C )

- nazywają się n – wymiarowymi cyklami.

Elementy obrazów :

- nazywają się n – wymiarowymi granicami, a elementy modułów ilorazowych Hn(C ) – nazywają się n – wymiarowymi homologiami.

Niech { Cn , (∂C )n } , { Kn ,(∂K )n } – kompleksy lewych A- modułów. Odwzorowania A- liniowe :

nazywa się morfizmem kompleksów lewych A- modułów, jeśli słuszne są następujące równości : (∂K )n ° fn = fn−1 ° (∂C )n ; n ∈ Z

tj. następujący diagram jest przemienny :

I tak, określona jest kategoria £CMA kompleksów lewych A- modułów, której obiektami są kompleksy lewych A- modułów, a morfizmy – morfizmy kompleksów lewych A- modułów.

Stwierdzenie 1.6.3 Niech :

f =

⊕

fn : C =

⊕

_Cn → K =

⊕

_Kn

- morfizm kompleksów lewych A- modułów.

Wtedy :

W szczególności, jest określone odwzorowanie ilorazowe :

działające zgodnie z zasadą :

Niech :

F =

⊕

fn , g =

⊕

gn : C =

⊕

_Cn → K

⊕

Kn – morfizmy kompleksów lewych A – modułów.

Odwzorowanie A- liniowe :

nazywa się homotopią, wiążącą morfizmy f i g, jeśli słuszne są następujące równości : (∂K )n+1 ° sn + sn−1 ° (∂C )n = fn − gn , dla wszystkich n ∈ Z

Stwierdzenie 1.6.4 Niech :

- będzie morfizmem kompleksów A- modułów, oraz :

- będzie wiążącą je homologią. Wtedy odwzorowania ilorazowe :

pokrywają się.

W analogiczny sposób definiuje się kategorię kompleksów prawych A- modułów i kategorię kompleksów A- modułów dla algebry komutatywnej A.

W sytuacji topologicznej różniczki i morfizmy zakłada się jako ciągłe.

Często spotyka się sytuację, kiedy moduły : Cn = 0 przy n = −1, −2, ...

tak, że C =

⊕

_{n∈Z+ Cn ;} ∂ =

⊕

_n∈Z+ ∂n i kompleks ma postać :

W tym przypadku mówimy, że kompleks {Cn , ∂n } = {Cn , ∂n | n ∈ Zn } jest nieujemny.

1.6.3 Kohomologie.

Niech {C, ∂ } – będzie różniczkowym A- modułem, a M – prawym A – modułem. W tym przypadku prawy A – moduł C(M) = HomA(C, M)

posiada naturalną strukturę modułu różniczkowego z różniczką : d = ∂* : C(M) → C(M)

gdzie d(φ) = φ ° ∂ : C → M dla wszystkich φ : C → M

Łatwo można sprawdzić, że d jest odwzorowaniem A- liniowym i złożenie d ° d = 0.

Zatem, określony jest prawy A- moduł różniczkowy { C(M), d }

Teraz różniczka d nazywa się operatorem kobrzegowym, elementy modułu C(M) nazywają się kołańcuchami (o wartościach w M ), elementy jądra :

ker d = { φ∈ C(M) | d(φ) = 0 }

nazywają się kocyklami, elementy obrazu : im d = { φ = d(ψ) | ψ ∈ C(M) }

nazywają się kobrzegami, a elementy modułu ilorazowego (inaczej, modułu pochodnego ) : H(C(M)) = ker d / im d

nazywają się kohomologiami.

Niech {C(M), dC }, {K(N), dK } – będą A- modułami różniczkowymi.

Morfizm z {C(M), dC }w {K(N), dK } jest odwzorowaniem A- liniowym ; F : C(M)→ K(N)

takim, że następujący diagram jest przemienny :

Wyróżnimy teraz morfizm szczególnego typu. Mianowicie, niech :

f ∈ HomA(K, C) , g ∈ HomA(M, N)

Zdefiniujmy odwzorowanie F ∈ HomA( C(M), K(N)) poprzez zasadę : φ → F(φ) = g ° φ ° f dla wszystkich φ ∈ C(M).

Łatwo można sprawdzić, ze F będzie morfizmem z { C(M) dC} w { K(N), dK }, jeśli f jest morfizmem z {K, ∂K } w {C, ∂C}.

Niech {CN, ∂N | n ∈ Z } - będzie kompleksem lewych A- modułów, a M – niech będzie prawym A- modułem.

Przyjmijmy teraz :

Cn(M) = ( Cn(M), Cn+1(M)) C(M) =

⊕

_{n∈Z C}n(M)

dn = ( ∂n+1 )* ∈ HomA( Cn(M) ,Cn+1(M)) gdzie :

dn(φn ) = φn ° ∂ n+1 dla wszystkich φn ∈ Cn(M) , d =

⊕

_{n∈Z d}n

Łatwo można sprawdzić, że :

dn+1 ° dn = 0 dla wszystkich n ∈ Z, tak że jest określony kompleks { Cn(M), dn | n ∈ Z } prawych A- modułów, który poglądowo można zapisać jako ciąg :

W tym przypadku kohomologie są gradowane :

przy czym elementy z Cn(M) nazywają się n –wymiarowymi kołańcuchami, a elementy z :

nazywają się n – wymiarowymi kocyklami.

Elementy z :

nazywają się n –wymiarowymi kobrzegami.

Elementy modułów ilorazowych Hn(C(M)) nazywają się n – wymiarowymi kohomologiami.

Niech {Cn(M) ,dCn }, {Kn(N) ,dKn }- będą kompleksami prawych A – modułów.

Morfizm z { Cn(M) ,dCn } w { Kn(N) ,dKn } jest odwzorowaniem A – liniowym :

takim, że następujący diagram jest przemienny :

Inaczej :

dKn ° Fn = Fn+1 ° dCn dla wszystkich n ∈ Z.

Dalej wyróżnimy morfizmy szczególnego typu. Mianowicie, niech : fn ∈ HomA(Kn , Cn ); n ∈ Z ; g ∈ HomA(M, N)

Odwzorowanie :

F =

⊕

∈ HomA( C(M), K(N)) działające zgodnie z zasadą :

φn → Fn(φn ) g ° φn ° fn dla wszystkich φn ∈ Cn(M), n ∈ Z

będzie morfizmem z {Cn(M) ,dCn } w {Kn(N) ,dKn }, jeśli dla każdego n ∈ Z słuszna jest równość : (∂K )n ° fn = fn−1 ° (∂C )n

tj. jeśli :

f = F =

⊕

fn jest morfizmem z {Kn(N) ,dKn } w {Cn(M) ,dCn }.

Niech F =

⊕

Fn , G =

⊕

Gn – będą morfizmami z {Cn(M) ,dCn } w {Kn(N) ,dKn }.

Odwzorowanie :

S =

⊕

^Sn ∈ HomA( C(M), K(N)) : Sn : Cn(M) → Kn−1(N) , n ∈ Z

nazywa się homotopią, wiążącą morfizmy F i G, jeśli słuszny jest następujący wzór homotopiczny : dKn−1 ° Sn + Sn+1 ° dCn = Fn − Gn dla wszystkich n ∈ Z

Z takimi definicjami dla kompleksów {Cn(M), dn } słuszne są wszystkie wyniki, dowiedzione wcześniej dla kompleksów {Cn, ∂n }, oczywiście z koniecznymi modyfikacjami.

Często spotykamy sytuację, kiedy moduł : Cn = 0 przy n = −1, −2, ...

tak, że :

C(M) =

⊕

_n∈Z+ Cn(M) , d =

⊕

_n∈Z+ ^dn

i kompleks ma postać :

Zazwyczaj w tym przypadku mówimy, że kompleks { Cn(M) ,dn | n ∈ Z+ } jest nieujemny.

1.6.4 Bikompleksy.

Niech F – będzie ciałem, A – unitalną asocjatywną algebrą nad F. Niech C – będzie lewym A- modułem, na którym zdefiniowano dwa operatory brzegowe :

∂’ : C → C , ∂’’ : C → C przy czym ∂’ ° ∂’ = ∂’’ ° ∂’’ = 0

W tym przypadku określone są dwa lewe A- moduły różniczkowe {C, ∂’ } i { C, ∂’’ } z modułami pochodnymi : H(C, ∂’ ) = ker ∂’ / im ∂’ oraz H(C, ∂’’ ) = ker ∂’’ /im ∂’’

Jeśli operatory brzegowe ∂’ i ∂’’ są zgodne tj. :

∂’ ° ∂’’ + ∂’’ ° ∂’ = 0 to endomorfizm :

∂ = ∂’ + ∂’’ : C → C

również jest operatorem brzegowym, ponieważ :

a to oznacza, że jest określony moduł różniczkowy {C, ∂} z modułem pochodnym : H(C, ∂) = ker ∂ / im ∂

W tym przypadku mówimy, że zadano lewy A- moduł biróżniczkowy {C, ∂’, ∂’’ }.

Na mocy warunku zgodności :

tak, że zadane jest odwzorowanie ilorazowe :

∂’’ : H(C, ∂’ ) → H(C, ∂’ ) Oczywiście :

∂’’ ° ∂’’ = 0

tak, że jest określony lewy A- moduł różniczkowy { H(C, ∂’ ), ∂’’ } z modułem pochodnym H( H(C, ∂’ ), ∂’’ ).

W analogiczny sposób definiujemy różniczki lewych A- modułów { H(C, ∂’ ), ∂’’ }, oraz jego moduł pochodny H( H(C, ∂’ ), ∂’’ ).

Niech {C ,∂’C , ∂’’C ), ( K, ∂’K , ∂’’K ) – będą biróżniczkowymi lewymi A- modułami.

Odwzorowanie A- liniowe f : C → K nazywa się morfizmem modułów biróżniczkowych, jeśli :

∂’K ° f = f ° ∂’C oraz ∂’’K ° f = f ° ∂’’C

Zatem, określona jest kategoria biróżniczkowych lewych A- modułów. W szczególności, w tym przypadku są określone odwzorowania ilorazowe :

Niech teraz moduł C jest bigradowany tj. Z2 – gradowany : C =

⊕

n,m∈Z Cmn

Operator brzegowy ∂’ – jest jednorodnym bistopniem (−1, 0), a operator brzegowy ∂’’ – jednorodnym bistopniem (0, −1), tak że :

przy czym spełnione są warunki :

dla wszystkich m, n ∈ Z

Wtedy moduł biróżniczkowy {C, ∂’, ∂’’ } jest bigradowany w bikompleks { Cmn ,∂’mn, ∂’’mn | m, n ∈ Z }, zapisywany w postaci diagramu antyprzemiennego :

gdzie dla skrócenia opuszczono indeksy operatorów brzegowych ∂’mn, ∂’’mn.

Zauważmy, że antyprzemienność diagramu stanowi graficzne wyrażenie warunku zgodności :

Taki zapis graficzny pozwala nazwać operatory ∂’mn horyzontalnymi, a operatory ∂’mn – wertykalnymi.

Moduły różniczkowe {C, ∂’ }, { C, ∂’’ } , {C, ∂ } i ich moduły pochodne H(C, ∂’ ), H(C, ∂’’ ), H(C, ∂) również są gradowane, a mianowicie :

gdzie ∂mn = ∂’mn + ∂’’mn, m, n ∈ Z

Na mocy warunków zgodności :

∂’m, n−1 ° ∂’’mn + ∂’’m −1,n ° ∂’mn = 0 otrzymujemy :

tak, że są określone odwzorowania ilorazowe :

Oczywiście :

∂’’m, n−1 ° ∂’’mn = 0

a to oznacza, że określony jest kompleks :

oraz jego moduł pochodny :

gdzie :

W analogiczny sposób określony jest kompleks :

oraz jego moduł pochodny :

gdzie :

Niech {Cmn ,(∂’C )mn , (∂’’C )mn } i {Kmn ,(∂’K )mn , (∂’’K )mn } – będą bikompleksami Odwzorowanie A- liniowe :

nazywa się morfizmem bikompleksów, jeśli :

(∂’K )mn ° fmn = fm−1,n ° (∂’C )mn , (∂’’K )mn ° fmn = fm,n−1 ° (∂’’C )mn dla wszystkich m, n ∈ Z.

Zatem, określona jest kategoria bikompleksów. W szczególności, w tym przypadku są określone odwzorowania ilorazowe :

W analogiczny sposób sprawy się mają również w przypadku kohomologii – z zamianą oczywiście lewego A- modułu C na prawy A- moduł :

C(M) = HomA(C, M)

a operatorów brzegowych ∂’, ∂’’ : C → C na różniczki : d’ m d’’ : C(M) → C(M)

d’(φ) = φ°∂’ , d’’(φ) = φ° ∂’’ dla wszystkich φ∈ C(M) Warunek zgodności :

∂’ ° ∂’’ + ∂’’ ° ∂’ = 0

w tym przypadku przyjmuje postać:

d’ ° d’’ + d’’ ° d’ = 0 ponieważ :

(d’ ° d’’ + d’’ ° d’ )(φ) = φ ° ( ∂’’ + ∂’ + ∂’ ° ∂’’ ) = 0 dla wszystkich φ ∈ C(M).

I tak, jest określony biróżniczkowy prawy A- moduł : { C(M), d’, d’’ }

W szczególności, określone są : - moduł różniczkowy :

{C(M), d’ }

z modułem pochodnym H( C(M), d’ ), - moduł różniczkowy :

{ C(M), d’’ }

z modułem pochodnym H(C(M), d’’) - moduł różniczkowy :

{ C(M), d }

z modułem pochodnym H(C(M), d ), gdzie d = d’ + d’’.

Dalej, określone są : - różniczki ilorazowe :

d’’ = H(C(M), d’ ) → H(C(M), d’ ) d’ = H(C(M), d’’ ) → H(C(M), d’’ ) - moduły różniczkowe :

{ H(C(M), d’ ), d’’ } , { H(C(M), d’’ ), d’ } oraz ich moduły pochodne :

H( H(C(M), d’ ), d’’ ) , H( H(C(M), d’’ ), d’ )

W bigradowanej sytuacji :

różniczka d’ – jest jednorodnym bistopniem (1, 0), a różniczka d’’ – jednorodnym bistopniem (0, 1) tak, że :

W wyniku otrzymujemy bikompleks :

z antyprzemiennym diagramem :

Moduły różniczkowe {C(M), d’ } ,{ C(M), d’’ }, { C(M), d } i ich pochodne są gradowane następująco :

gdzie dmn = (d’ )mn + (d’’ )mn ; m, n ∈ Z

Różniczki ilorazowe :

określają kompleksy :

wraz z modułami pochodnymi :

Zauważmy, że w praktyce często spotyka się przypadek, kiedy moduł Cmn = 0 przy m < 0 i/lub n < 0.

Szczegóły zobacz np. [16, 21, 10, 8].

1.7 Ciągi spektralne.

W niniejszym podrozdziale wszędzie, jeśli nie powiedziano inaczej :

F – ciało , A – unitalna, asocjatywna algebra nad F, pojęcie „moduł” oznacza lewy A - moduł.

1.7.1 Moduł z filtracją.

Niech C – będzie modułem. Zmniejszającą (* malejąca *) się filtracją modułu C nazywamy ciąg jego podmodułów {Cp ; p ∈ Z }

taki, że :

....

⊃

^Cp−1

⊃

^Cp

⊃

^Cp+1

⊃

^{... ;}

∪

_{p∈Z C}^{p = C}

Dualnym sposobem definiujemy filtracje zwiększająca (* wzrastająca *) się modułu C.

Dalej ograniczymy się do filtracji zmniejszających się i będziemy nazywali modułem z filtracją, dowolny moduł z zdefiniowaną dla niego filtracją zmniejszająca się.

Niech :

∪

_{p∈Z C}^{p = C}

∪

_{p∈Z K}p = K

- będą modułami z filtracją.

Odwzorowanie A- liniowe f : C → K nazywamy morfizmem modułów z filtracją, jeśli : f(Cp ) ⊂ Kp dla wszystkich p ∈ Z

Zatem, określona jest kategoria modułów z filtracją.

Niech ;

∪

_{p∈Z C}p = C – będzie modułem z filtracją.

Gradowanym modułem, związanym z modułem C nazywamy moduł : G(C ) =

⊕

n∈Z Gn(C ) , gdzie Gn(C ) = Cn /Cn+1 – moduł ilorazowy z naturalną gradacją.

(obecnie i dalej termin gradowany oznacza Z- gradowany )

Z drugiej strony, niech :

C =

⊕

n∈Z Cn – będzie modułem gradowanym.

Zadajmy na C filtracje podmodułami : Cp =

⊕

_{n≥p Cn}

Wtedy moduł gradowany G(C ) ≅ C.

Niech na module C będą jednocześnie określone – gradacja i filtracja tj. : C =

⊕

_{n∈Z Cn =}

∪

_{p∈Z C}p

Mówimy, że gradacja i filtracja są zgodne, jeśli : Cp =

⊕

_{n∈Z C}p ∩ Cn dla wszystkich p ∈ Z

tj. jeśli podmoduły Cp rozkładają się na składowe jednorodne.

W tym przypadku C nazywa się modułem gradowanym z filtracją.

Mówimy również, ze filtracja jest regularna, jeśli dla każdego n ∈ Z istnieje P(n) ∈ Z takie, że : Cp ∩ Cn = 0 dla wszystkich p ≥ P(n)

1.7.2 Ciąg spektralny modułu różniczkowego z filtracją.

Niech na module C określona będzie różniczka : d : C → C , d ° d = 0

i filtracja : C =

∪

_{p∈Z C}p

Mówimy, że różniczka i filtracja są zgodne, jeśli : d Cp ⊂ Cp dla wszystkich p ∈ Z.

W tym przypadku para {C, d } = { C =

∪

_{p∈Z C}p , d } nazywa się modułem różniczkowym z filtracją.

Niech {C, dC }, {K, dK } – będą dwoma modułami różniczkowymi z filtracją.

Morfizm modułów f : C → K nazywa się morfizmem modułów różniczkowych z filtracją, jeśli f jest jednocześnie zarówno morfizmem modułów różniczkowych i morfizmem modułów z filtracją tj. jeśli :

dK ° f = f ° dC oraz f(Cp ) ⊂ Kp dla wszystkich p ∈ Z.

Zatem, określona jest kategoria modułów różniczkowych z filtracją.

Niech { C, d } – będzie modułem różniczkowym z filtracją, C−∞ = C, C∞ = 0.

Dalej będą nam potrzebne następujące moduły :

Z(C ) = ker d = { x ∈ C | dx = 0 } – cykl modułu {C, d } B(C ) = im d = dC = { x = dy | y ∈ C } – brzegi modułu {C, d } H(C ) = Z(C )/ B(C ) - homologie modułu {C, d }

Z(Cp ) = ker dp = { x ∈Cp | dx = 0 } – cykle modułu {Cp ,dp }

B(Cp ) = im dp = dCp = { x = dy ∈ Cp | y ∈ Cp } – brzegi modułu {Cp, dp } Z(Cp ) = ker dp = { x ∈Cp | dx = 0 } – cykle modułu {Cp ,dp }

H(Cp ) = Z(Cp )/ B(Cp ) – homologie modułu {Cp ,dp } gdzie dp = d |

Cp : Cp → Cp - obcięcie różniczki d : C → C na Cp ⊂ C , p ∈ Z.

Dla p ∈ Z, r ∈ Z ∪ {∞ } przyjmiemy :

w szczególności : Bpr = dZp−r

r = { x = dy | y ∈ Zpr } dla wszystkich p, r ∈ Z Zpr = Cp

dla wszystkich p ∈ Z, r ≤ 0 Bpr = dCp−r

= { x = dy | y ∈ Cp−r

} dla wszystkich p ∈ Z, r ≤ 0 Zp∞ = Z(Cp ) dla wszystkich p ∈ Z

Bp∞ = Cp ∩ dC = { x = dy ∈ Cp , y ∈ C } dla wszystkich p ∈ Z Oczywiście :

Zpr ⊃ Zpr+1 ⊃ Zp∞ dla wszystkich p ∈ Z Słuszny jest zatem następujący lemat :

Lemat 1.7.1 Dla każdego p ∈ Z moduły Bpr , r ∈ Z, tworzą zwiększającą się filtracje modułu Bp∞ tj. : Bpr ⊂ Bpr+1 dla wszystkich r ∈ Z

∪

_{r∈Z B}^p_{r = B}^p_∞

Dowód.

Lemat ten jest bezpośrednim następstwem tego faktu, ze moduły Cs , s ∈ Z tworzą zmniejszająca się filtrację modułu C.

Dokładniej – z jednej strony :

tak, że

∪

_{r∈Z B}^p_r ⊂ Bp∞

Z drugiej strony, niech x ∈ Bp∞ tj. x = dy ∈ Cp ,y ∈ C. Przyjmując : C =

∪

_{s∈Z C}s

możemy znaleźć taki indeks s ∈ Z, że y ∈ Cs. Przyjmijmy r = p − s, wtedy otrzymamy x = dy ∈ Cp , y ∈ Cp−r tj.

x ∈ Bpr a to oznacza, że : Bp∞ ⊂

∪

_{r∈Z B}^p_r

- co właśnie chcieliśmy pokazać.

Ze swej konstrukcji : Zpr ⊃ Bpr−1 oraz Zp

r ⊃ Zp+1r−1 dla wszystkich p ∈ Z, r ∈ Z ∪ {∞ } tak, że określone są moduły ilorazowe :

które łączą się z moduły Z- gradowane :

Zbudowane w ten sposób moduły tworzą ciąg :

{ Er | r ∈ Z }

który nazywa się ciągiem spektralnym modułu różniczkowego z filtracją { C =

∪

^{Cp, d }}

W dokumencie Algebraiczno- geometryczne podstawy fizyki matematycznej (Stron 48-71)