Każdy lewy R- moduł, jest modułem ilorazowym swobodnego lewego R- modułu

Dowód. Niech M – będzie lewym R- modułem. Weźmy M w charakterze zbioru bazowego i niech : M − δ → R<M>

− będzie odpowiednim kanonicznie swobodnym modułem. Odwzorowanie tożsamościowe : M − id → M

generuje diagram przemienny :

gdzie id* - jednoznaczny morfizm lewych R – modułów, odpowiadających odwzorowaniu tożsamościowemu id.

Ze swej konstrukcji dolny wiersz w/w diagramu jest ciągiem dokładnym, tak że M = R<M> /ker f

na mocy wniosku 1.2.1.

1.2.8 Iloczyn tensorowy rodziny modułów.

Niech R – będzie unitalnym asocjatywnym pierścieniem przemiennym.

Niech { Mi | i ∈ I } – rodzina R – modułów,

×

Mi – jej iloczyn prosty.

Dla każdego k ∈ I oznaczymy przez Mk podmoduł modułu

×

Mi składający się ze wszystkich elementów x = (xi ) ∈

×

_Mi

dla których składowa xk = 0 i będziemy przyjmowali moduł Mi jako kanonicznie włożony w iloczyn prosty

×

_Mi.

W takich oznaczeniach :

×

_{Mi = M}k ⊕ Mk dla wszystkich k ∈ I

Niech f :

×

_Mi → N – będzie odwzorowaniem iloczynu prostego

×

Mi w R- moduł N. Niech k ∈ I.

Dla każdego xk ∈ Mk określimy odwzorowanie z użyciem zasady : fxk (yk ) = f(xk + yk ) ; yk ∈ Mk.

Odwzorowanie f nazywa się R- liniowym po k- tej zmiennej, jeśli odwzorowanie fxk jest R – liniowe dla wszystkich xk ∈ Mk, oraz R – wieloliniowym, jeśli jest ono R – liniowe po każdej zmiennej.

Inaczej mówiąc, odwzorowanie f :

×

_Mi → N jest R – wieloliniowe, jeśli : dla wszystkich k ∈ I, xk ∈ Mk ; a, b ∈ R, yk , zk ∈ Mk.

Zwróćmy uwagę, że poprawne określenie R – wieloliniowości jest możliwe tylko dla pierścienia przemiennego R.

W kategorii, której obiektami są odwzorowanie R – wieloliniowe z

×

Mi w R- moduły, a morfizmy z obiektu

×

_Mi − f → N w obiekt :

×

_Mi − g → P

są odwzorowania R – liniowe N − φ → P z R – modułu N w R – moduł P, dla których następujący diagram jest przemienny :

istnieje uniwersalny obiekt odpychający, nazywany iloczynem tensorowym rodziny {Mi | i ∈ I } Niech bowiem, R<

×

Mi > - będzie swobodnym R – modułem, generowanym przez zbiór

×

_Mi

Oznaczmy przez J podmoduł, modułu R<

×

Mi >, generowany przez wszystkie elementy postaci :

z dowolnymi k ∈ I, xk ∈ Mk ; a, b ∈ R, yk , zk ∈ Mk i rozpatrzmy moduł ilorazowy

⊗

Mi = R<

×

Mi > / J Ciąg odwzorowań :

określa odwzorowanie R – wieloliniowe :

ponieważ :

dla wszystkich k ∈ I, xk ∈ Mk ; a, b ∈ R, yk , zk ∈ Mk.

Dla zadanego odwzorowanie R – wieloliniowego f :

×

_Mi → N otrzymujemy następujący diagram przemienny :

gdzie R – liniowe odwzorowanie ilorazowe f działa zgodnie z zasadą : f(x) = f*(x) , x = x + J ∈

⊗

_Mi

Odwzorowanie R – liniowe f* jest zdefiniowane na mocy uniwersalności R – modułu R<

×

Mi >, przy czym f*(x) = 0 dla dowolnego x ∈ J

na mocy R – wieloliniowości odwzorowania wejściowego J.

W istocie :

dla wszystkich k ∈ I, xk ∈ Mk ; a, b ∈ R, yk , zk ∈ Mk.

Tak, że f* = 0 na J, ponieważ takie elementy generują podmoduł J.

Zatem, obiekt :

×

_Mi − κ →

⊗

_Mi

posiada wymaganą uniwersalność i jest iloczynem tensorowym rodziny { Mi | i ∈ I }

Zazwyczaj zakłada się κ((xi)) =

⊗

xi dla każdego (xi ) ∈

×

Mi przy czym wieloliniowość odwzorowania κ sprowadza się do równości :

dla wszystkich k ∈ I, xk ∈ Mk ; a, b ∈ R, yk , zk ∈ Mk.

Przykład 1.2.34 Dla iloczynu tensorowego M ⊗ N pary R – modułów otrzymujemy :

dla wszystkich a’, a’’ ∈ R; x, x’, x’’ ∈ M, y, y’, y’’ ∈ N.

Przykład 1.2.35 Niech Rm , Rn – będą R- modułami; m, n ∈ N (zobacz przykład 1.2.33). Elementy iloczynu tensorowego : Rm ⊗ Rn = Rm×n

są prostokątnymi (m × n )- macierzami o elementach z pierścienia R.

Jest to swobodny R- moduł z bazą {eik | 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ k ≤ n }, gdzie eik – macierz, dla której na przecięciu i –tego wiersza i k –tej kolumny stoi jedność e ∈ R, a na pozostałych miejscach – zero.

Na marginesie zauważymy, że iloczyn prosty Rm × Rn = Rm+n.

Przykład 1.2.36 Poprzedni przykład posiada oczywiste uogólnienie. Niech M – będzie skończeniewymiarowym swobodnym R – modułem o bazie {e1, ... , em } , N – takim samym modułem o bazie {g1, ... , gn }.

Wtedy ich iloczyn tensorowy M ⊗ N jest skończeniewymiarowym swobodnym R – modułem o bazie {ei ⊗ gik | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n }

Z konstrukcji każde R- liniowe odwzorowanie h :

⊗

_Mi → N jest generowane przez jednoznaczne odwzorowanie R- wieloliniowe f :

×

_Mi → N, dokładnie h = f dla f = h ° κ, tak że odwzorowanie R – liniowe z

⊗

Mi w dany R – moduł jest utożsamiane z odwzorowaniem R – wieloliniowym z

×

Mi w ten moduł.

Następujące dwa stwierdzenia są słuszne dla dowolnej rodziny modułów, ale dla uproszczenia wykładu wykład prowadzimy dla rodzin skończonych.

Stwierdzenie 1.2.3 (asocjatywność iloczynu tensorowego ) Dla każdej trójki R- modułów {M1, M2, M3 } istnieją jednoznaczne izomorfizmy :

takie, że :

x1 ⊗ (x2 ⊗ x3 ) →

⊗

³_{i=1 x1} → (x1 ⊗ x2 ) ⊗ x3 dla wszystkich xi ∈ Mi ; i= 1,2, 3

Dowód. Dla każdego x1 ∈ M1 określone jest odwzorowanie R – biliniowe : fx1: M2 × M3 → M1 ⊗ M2 ⊗ M3

zgodnie z zasadą :

( x2, x3 ) → x1 ⊗ x2 ⊗ x3 dla wszystkich xi ∈ Mi ; i = 2, 3

i na mocy uniwersalności iloczynu tensorowego jest zdefiniowane odwzorowanie R – liniowe :

(* dla wszystkich *)

Zatem, jest określone odwzorowanie R- biliniowe :

zgodnie z zasadą :

(x1, y ) → fx1(y ) dla wszystkich x1∈ M1 , y ∈ M2 ⊗ M3

i na mocy uniwersalności iloczynu tensorowego jest określone odwzorowanie R – liniowe : f : M1⊗ (M2 ⊗ M3 ) → M1⊗ M2 ⊗ M3

posiadającym wymaganą własność :

x1 ⊗ ( x2 ⊗ x3 ) → x1 ⊗ x2 ⊗ x3 ; xi ∈ Mi ; i = 1, 2, 3

Łatwo sprawdzić, że taki morfizm jest izomorfizmem. Jednoznaczność takiego morfizmu wynika z tego faktu, że elementy postaci M1⊗ ( M2 ⊗ M3 ).

W analogiczny sposób budujemy i drugi morfizm.

Uwaga. Ponieważ iloczyn tensorowy, jako dowolny obiekt uniwersalny, jest określony z dokładnością do izomorfizmu, to możemy przyjąć, że :

Niektórzy autorzy, nazywają jednakże iloczynem tensorowym rodziny {Mi | i ∈ I } właśnie moduł ⊗ Mi zbudowany tak jak powyżej i w tym przypadku ma miejsce ustanowiony w stwierdzeniu 1.2.3 izomorfizm.

Stwierdzenie 1.2.4 Niech { M1, ... , Mn } – będzie rodziną R – modułów, σ - podstawieniem : {1, ... , n } → { σ(1), ... , σ(n) }

Wtedy istnieje jednoznaczny izomorfizm :

taki, że :

dla wszystkich x1∈ M1 , ... , xn ∈ Mn.

Dowód. Odwzorowanie R – wieloliniowe :

zadane przez zasadę :

( x1, ... , xn ) → xσ(1) ⊗ ... ⊗ xσ(n) , dla wszystkich xi ∈ Mi, 1 ≤ i ≤ n

na mocy uniwersalności iloczynu tensorowego definiuje odwzorowanie R – liniowe : fσ : M1 ⊗ … ⊗ Mn → Mσ(1) ⊗ … ⊗ Mσ(n)

o wymaganych własnościach.

Ponieważ każde podstawienie indeksów jest odwracalne, to jest to izomorfizm.

Jego jednoznaczność jest oczywista.

Iloczyn tensorowy, tak samo jak suma prosta i iloczyn prosty posiada własności funktorialne.

Niech £MIR – będzie wprowadzona wcześniej kategorią, dla danego asocjatywnego pierścienia R i zbioru indeksów I.

Funktor kowariantny ⊗ z kategorii £MIR w kategorię £MR zadany jest przez zasady :

gdzie ⊗ fi – jest odwzorowaniem R- liniowym, generowanym przez odwzorowanie R- wieloliniowe :

κ :

×

_Ni → ⊗ Ni - kanoniczne odwzorowanie R – wieloliniowe.

1.2.9 Dualność.

Niech R – będzie pierścieniem asocjatywnym. Niech M, N – będą lewymi R- modułami, HomR(M, N) – zbiór wszystkich odwzorowań R – liniowych z M w N :

f(ax) = af(x) dla wszystkich f ∈ HomR(M, N) ; a ∈ R, x ∈ M

Jak już zauważono wcześniej : HomR(M, N) jest grupa abelową z mnożeniem punktowym : (f + g)(x) = f(x) + g(x) dla wszystkich f, g ∈ HomR(M, N) , x ∈ M

jednakże grupa HomR(M, N) w przypadku ogólnym nie posiada jakieś naturalnej struktury R – modułu.

W analogiczny sposób, niech M, N – będą prawymi R- modułami, HomR(M, N) – zbiorem wszystkich odwzorowań R- liniowych z M w N :

f(xa) = f(x)a dla wszystkich f ∈ HomR(M, N) ; a ∈ R, x ∈ M

Ponownie HomR(M, N) – jest grupą abelowa z punktowym mnożeniem, nie posiadającą naturalnej struktury R- modułu.

Niech teraz M – będzie lewym, a N – prawym R- modułem; HomR(M, N) – zbiorem wszystkich odwzorowań R- liniowych z M w N :

f(ax) = f(x)a dla wszystkich f ∈ HomR(M, N) ; a ∈ R, x ∈ M

Zbiór HomR(M, N) jest grupą abelową z punktowym mnożeniem, a oprócz tego posiada on naturalną strukturę prawego R – modułu.

W istocie – dla każdej pary f ∈ HomR(M, N), a ∈ R zdefiniujemy odwzorowanie addytywne : fa : M → N punktowo

(fa)(x) = f(ax) dla wszystkich x ∈ M wtedy :

(fa)(bx) = f(abx) = f(x)(ab) = ( f(x)a)b = ( f(ax))b = (fa)(x)b dla wszystkich b × R, x ∈ M, tak że fa ∈ HomR(M, N)

W analogiczny sposób, niech M – będzie prawym, a N – lewym R- modułem; HomR(M, N) – zbiorem wszystkich odwzorowań R- liniowych z M w N :

f(xa) = af(x) dla wszystkich f ∈ HomR(M, N) ; a ∈ R, x ∈ M

Grupa abelowa HomR(M, N) posiada naturalną strukturę lewego R – modułu z iloczynem punktowym : (af)(x) = f(xa) dla wszystkich f ∈ HomR(M, N); a ∈ R , x ∈ M

Najbardziej użyteczne są następujące dwa przypadki.

Niech R – będzie asocjatywnym pierścieniem przemiennym. Lewe i prawe moduły różnią się tylko forma zapisu, tak że dla dowolnych R- modułów M, N zbiór HomR(M, N) wszystkich R- liniowych odwzorowań z M w N jest R- modułem z iloczynem punktowym :

(af)(x) = f(ax) dla wszystkich f ∈ HomR(M, N), a ∈ R , x ∈ M (wykorzystujemy zapis lewostronny )

Niech R – będzie pierścieniem asocjatywnym (by może nieprzemiennym ). Niech M będzie lewym R- modułem.

Rozpatrując R jako prawy R- moduł z prawostronnym działaniem dołączonym wyposażamy abelową grupę M* = HomR(M, N) w strukturę prawego R- modułu z iloczynem punktowym :

(φa)(x) = φ(ax) = φ(x)a dla wszystkich φ ∈ M*, a ∈ R, x ∈ M

Prawy R- moduł M* nazywa się dualnym (lub, inaczej sprzężonym ) modułem do lewego R- modułu M.

Zauważmy, że niekiedy dla φ ∈ M* i x ∈ M w miejsce φ(x) piszemy <φ, x >.

Dla każdego lewego R- liniowego odwzorowania : f : M → N, gdzie M, N – są lewymi R – modułami

dualne (inaczej sprzężone ) prawe R – liniowe odwzorowanie : f* : N* → M*

określone zasadą f*(φ) = φ ° f dla wszystkich φ ∈ N*

Oczywiście złożenie g ° f : M → P, gdzie f : M → N , g : N → P, przechodzi w kompozycję : ( g ° f )* = f* ° g* : P* → M*

a odwzorowanie tożsamościowe idM : M → M przechodzi w odwzorowanie tożsamościowe idM* : M* → M* :

(idM )*(φ) = φ ° idM = φ dla wszystkich φ ∈ M*

Zatem, zasada M → M*, gdzie M – jest lewym R – modułem f → f*, gdzie f ∈ HomR(M, N), określa kontrawariantny funktor dualności, odwzorowujący kategorię lewych R- modułów w kategorię prawych R- modułów.

1.2.10 Gradowanie.

Mówimy, że grupa abelowa G, gradowana grupą abelową Γ (inaczej Γ- gradowana ), jeśli : G =

⊕

^G_γ ⁼

⊕

_γ∈Γ ^G_γ

Dla pewnej rodziny grup abelowych { Gγ | γ ∈ Γ }(należy wyjaśnić, że grupy abelowe są w istocie Z- modułami, tak że są dla nich określone sumy proste i iloczyny – proste i tensorowe )

W tym przypadku składowe Gγ nazywają się jednorodnymi stopnia γ (inaczej, γ- jednorodnymi ) składowymi grupy G.

Niech G =

⊕

_γ∈Γ ^G_γ ^{, H =}

⊕

_γ∈Γ ^H_γ - będą dwiema Γ - gradowanymi grupami abelowymi, morfizm f ∈ HomAG(M, N) nazywa się jednorodnym stopnia γ (inaczej γ- jednorodnym ), γ ∈ Γ, jeśli f(a) ∈ Hα+γ dla wszystkich a ∈ Gα ⊂ G, α ∈ Γ Każdy morfizm f ∈ HomAG(M, N) rozkłada się na γ- jednorodne składowe (innymi słowy jest Γ - gradowany )

Dla każdej pary α, γ ∈Γ przyjmiemy :

fγ,α = prα+γ° f ° ℓα : Gα → H (zobacz stwierdzenie 1.2.1 )

wtedy, na mocy uniwersalności sumy dla dowolnego γ ∈ Γ istnieje jednoznaczny morfizm fγ : G → H, dla którego następujący diagram jest przemienny :

dla wszystkich α ∈ Γ.

Łatwo możemy sprawdzić, ze morfizmy fγ są γ- jednorodne i jest określona poprawnie suma :

Σ

_γ∈Γ ^f_γ

oraz :

Σ

_γ∈Γ ^f_{γ = f}

( w przypadku skończonej grupy gradującej Γ problem z określeniem

Σ

_γ∈Γ ^fγ nie występuje, ponieważ HomAG(G, H) jest grupą abelową, a jeśli grupa gradująca Γ jest nieskończona, to dla każdego x ∈ G obraz fγ(x) ≠ 0 tylko dla skończonej liczby indeksów γ ∈ Γ )

Zatem, dla każdej grupy abelowej Γ jest określona kategoria AGΓ której obiektami są Γ - gradowane grupy abelowe, a morfizmy są to Γ - gradowane odwzorowania addytywne, przy czym AGΓ jest pełną podkategorią kategorii AG.

Zauważmy, że mając grupę Γ można zbudować jeszcze jedną kategorię, której obiektami są Γ - gradowane grupy abelowe, a morfizmy to 0- jednorodne (inaczej jednorodne ) morfizmy Γ- gradowanych grup abelowych.

W zastosowaniach wykorzystujemy obie możliwości.

Przykład 1.2.37 Każda grupa abelowa G jest trywialnie gradowana przez dowolną grupę abelową Γ : G =

⊕

_γ∈Γ ^G_γ

gdzie G0 = G, Gγ = 0 przy γ ≠ 0

Przykład 1.2.38 Najczęściej w charakterze grupy gradującej wykorzystuje się grupę liczb całkowitych Z.

W tym przypadku : G =

⊕

_{n∈Z Gn}

Bardzo często Gn = 0 dla n < 0, tak że faktycznie : G =

⊕

_{n∈Z+ Gn}

i w tym przypadku grupa G nazywa się Z+ -gradowaną.

Przykład 1.2.39 Bardziej szczegółowe gradowanie otrzymujemy, jeśli gradujemy grupą : ZD =

×

D Z = { n = (ν1, ... ,νD ) | ν ∈ Z , 1 ≤ i ≤ d } , D ∈ N

W dokumencie Algebraiczno- geometryczne podstawy fizyki matematycznej (Stron 28-34)