Algebraiczno- geometryczne podstawy fizyki matematycznej

#################################################################################################

Algebraiczno- geometryczne podstawy fizyki matematycznej

W. W. Żarinow

Math –Net.Ru 2008

В. В. Жаринов – Алгебро-геометрические основы математической физики

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2019

Ostatnia modyfikacja : 2020-06-10 Tłumaczenie całości książki.

************************************************************************************************

************************************************************************************************

Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.

rrz – równania różniczkowe zwyczajne (układ takich równań ) rrc – równania różniczkowe cząstkowe (układ takich równań ) Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

***********************************************************************************************

************************************************************************************************

Rozdział I Algebraiczne minimum.

Na niniejszych wykładach rozpatrujemy algebraiczne i geometryczne pojęcia oraz metody, stosowane we współczesnej fizyce. W pełnej objętości podobne zadanie, oczywiście jest zbyt obszerne, dlatego przedstawiony materiał stanowi odbicie mojego doświadczenia i mojego rozumienia przedstawianego zagadnienia.

W niniejszym rozdziale maksymalnie zwięźle przedstawiam podstawowe obiekty algebraiczne i konstrukcje, najczęściej wykorzystywane we współczesnej fizyce matematycznej. Dla wygody czytelników po każdym rozdziale podaje spis rekomendowanej literatury w celu dalszego poszerzenia poruszonych tematów.

Standardowe oznaczenia.

Będziemy stosowani następujące oznaczenia : Z = {0, ±1, ±2, ... } – zbiór liczb całkowitych

Z+ = {0, 1, 2, ... } – zbiór całkowitych liczb nieujemnych N = { 1, 2, ... } – zbiór liczb naturalnych

R – zbiór liczb rzeczywistych C = R + iR – zbiór liczb zespolonych

XD =

×

D X = { x = ( ξ1,... , ξD ) ; ξi ∈ X , 1 ≤ i ≤ D } - iloczyn kartezjański D kopii zbioru X = Z, Z+ , N, R, C , ...

Będziemy również stosowali multiindeksowe oznaczenia : i = ( i1 , ... , iD ) ∈ ZD , iµ ∈ Z , 1 ≤ µ ≤ D

| i | = | i1 | + ... + | iD | ∈ Z+ dla i ∈ ZD

xi = (x1 )i1 ... (xD )iD ∈ F = R, C, ... , gdzie x = (x1, ... , xD ) ∈ FD

i = ( i1 , ... , iD ) ∈ Z+D , (xµ )iµ - składowa xµ ∈ F w potędze iµ ∈ Z+ , 1 ≤ µ ≤ D

1.1 Język kategorii

Zgodnie z Ju. I. Maninem [23] „język kategorii realizuje „socjologiczne” podejście do obiektu matematycznego : grupa lub przestrzeń rozpatruje się nie jako zbiór z wewnętrznie przysługującą mu strukturą, ale członek rodziny sobie podobnych”.

Na naszym wykładzie język ten będzie językiem naturalnym, wiążącym różnorodne obiekty i konstrukcje i pozwalającym na jasne i treściwe definicje w złożonych sytuacjach.

1.1.1 Kategorie.

* zdefiniowany jest zbiór (ściślej, klasa ) Ob K – obiektów kategorii K

* dla każdej pary A, B ∈ Ob K zdefiniowano zbiór : Mor(A, B)

morfizmów z A w B, przy czym iloczyn : Mor(A, B) ∩ Mor(C, D ) = ∅ przy (A, B) ≠ (C, D) , A, … , D ∈ Ob K

* dla każdej trójki A, B, C ∈ Ob K zdefiniowano prawo złożenia (kompozycji ) tj. odwzorowanie : Mor(A, B) × Mor(B, C ) → Mor(A, C), f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C) → g ° f ∈ Mor(A, C)

* spełnione są następujące aksjomaty

a) f ° ( g ° h ) = ( f ° g ) ° h dla wszystkich h ∈ Mor(A, B) , g ∈ Mor(B, C), f ∈ Mor(C, D) ( łączność ) b) dla każdego A∈ Ob K istnieje morfizm :

idA ∈ Mor(A, A) taki, że :

idA ° f = f , g ° idA = g

dla wszystkich f∈ Mor(B, A), g ∈ Mor(A, B) (morfizm tożsamościowy )

Sumę

∪

_{A,B ∈ Ob K} Mor(A, B) wszystkich morfizmów kategorii K oznaczamy jako Mor K.

Jeśli należy uściślić, ze chodzi o morfizmy właśnie kategorii K, będziemy pisali MorK(A, B) w miejsce Mor(A, B).

Przy opisie konstrukcji kategorialnych będziemy stosowali poglądowy zapis z użyciem diagramów.

Mianowicie : morfizm f ∈ Mor(A, B) zapiszmy jako strzałkę : A −− f → B

Kompozycje morfizmów zapiszmy jako ciąg strzałek A −− f → B −− g → C

Często morfizm f ∈ Mor(A, B) dogodnie będzie zapisywać jako f : A → B

W wielu kategoriach morfizm nazywa się homomorfizmami i w miejsce symbolu Mor pisze się symbol Hom.

Morfizmy z Mor(A, A) ,A ∈ Ob K, nazywają się endomorfizmami i często w miejsce Mor(A, A) pisze się End(A).

Morfizm f ∈ Mor(A, B) nazywa się :

* izomorfizmem (inaczej bijekcją ), jeśli istnieje taki morfizm g ∈ Mor(B, A), że : f ° g = idB oraz g ° f = idA

w tym przypadku nazywa się odwrotnością elementu f i piszemy g = f−1

Izomorfizm z End(A) nazywa się automorfizmem. Zbiór wszystkich takich automorfizmów oznacza się jako Aut(A).

* monomorfizmem ( inaczej injekcją ), jeśli równość : f ° g1 = f ° g2 , gdzie g1 ,g2 ∈ Mor(C, A) jest możliwa tylko przy g1 = g2

* endomorfizmem (inaczej surjekcją ), jeśli równość : h1° f = h2 ° f , gdzie h1 ,h2 ∈ Mor(B, D) jest możliwa tylko przy h1 = h2.

Obiekt X ∈ Ob K nazywa się uniwersalnym obiektem odpychającym kategorii K, jeśli dla dowolnego A∈Ob K zbiór Mor(X, A) składa się dokładnie z jednego elementu.

Wszystkie uniwersalne obiekty odpychające, jeśli takowe istnieją w danej kategorii, są wzajemnie izomorficzne.

Obiekt Y ∈ Ob K nazywa się uniwersalnym obiektem przyciągającym kategorii K, jeśli dla dowolnego A∈Ob K zbiór Mor(A, Y) składa się dokładnie z jednego elementu.

Wszystkie uniwersalne obiekty przyciągające, jeśli takowe istnieją w danej kategorii, są wzajemnie izomorficzne.

Przykład 1.1.1 Kategoria zbiorów S : Ob S – wszystkie zbiory,

Mor(S, T) – wszystkie odwzorowania z zbioru S w zbiór T. Każdy zbiór jednoelementowy jest uniwersalnym obiektem przyciągającym.

Odwzorowanie f ze zbioru S w zbiór T jest :

* monomorfizmem, jeśli dla dowolnych elementów x, y ∈ S, z x ≠ y, wynika f(x) ≠ f(y)

* epimorfizmem, jeśli dla każdego elementu u ∈ T istnieje element x ∈ S taki, że u = f(x).

* izomorfizmem, jeśli f jednocześnie jest i monomorfizmem i epimorfizmem.

Przykład 1.1.2 Kategoria przestrzeni topologicznych T : Ob T – wszystkie przestrzenie topologiczne, Mor(S, T) – wszystkie odwzorowania ciągłe z przestrzeni S w przestrzeń T.

Uwaga. W kategorii przestrzeni topologicznych z tego, że dany morfizm jest jednocześnie monomorfizmem i

epimorfizmem, nie wynika że są one izomorficzne, ponieważ odwzorowanie odwrotne, chociaż w tym przypadku istnieje, nie koniecznie musi być ciągłe.

Przykład 1.1.3 Kategoria S(M) wszystkich podzbiorów danego zbioru M : Ob S(M) – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M, uporządkowany częściowo względem inkluzji, dla pary podzbiorów A, B ⊂ M zbiór morfizmów Mor(A, B) składa się z jednego elementu, jeśli A ⊂ B i jest pusty w przeciwnym wypadku.

1.1.2 Użyteczne konstrukcje.

Kategoria dualna K° do danej kategorii K jest zdefiniowana następująco : Ob K° = Ob K

MorK°(A, B) = MorK(B, A) dla wszystkich A, B ∈ Ob K Prawo złożenie nie zmienia się. Dokładniej – niech : f ∈ MorK°(A, B ) = MorK(B, A)

g ∈ MorK°(B, C ) = MorK(C, B ) A, B, C ∈ Ob K° = Ob K wtedy złożenie :

f ° g ∈ MorK°(A, C ) = MorK(C, A)

Przy przejściu do kategorii dualnej, uniwersalny obiekt odpychający przechodzi w uniwersalny obiekt przyciągający i odwrotnie.

Iloczyn

Π

_{Ki =}

Π

i∈I K rodziny kategorii { Ki | i ∈ I } jest zdefiniowany następująco : obiekty tej kategorii są rodzinami obiektów :

Π

Ai = { Ai ∈ Ob Ki | i ∈ I }

a morfizmy z

Π

_{Ai w}

Π

Bi są to rodziny morfizmów :

Π

fi = { fi ∈ MorKi(Ai, Bi ) | i ∈ I } Prawo złożenia jest komponentowe tj. : (

Π

_{fi ) °} ⁽

Π

_{gi ) =}

Π

( fi ° gi )

Kategoria K nazywa się podkategorią kategorii L, jeśli obiekty Ob K ⊂ Ob L , morfizmy MorK(A, B ) ⊂ MorL(A, B ), A, B ∈ Ob K , a prawo złożenia w K jest indukowane z L

Podkategoria K nazywa się zupełną, jeśli :

MorK(A, B ) = MorL(A, B ), dla wszystkich A, B ∈ Ob K

Niech K – będzie kategorią, S ∈ Ob K Kategoria KS obiektów nad S jest zdefiniowana następująco :

obiekty tej kategorii są to morfizmy f ∈ MorK(A, S ) , A ∈ Ob K ,morfizmy z obiektu f ∈ MorK(A, S ) w obiekt g ∈ MorK(B, S ) – są to morfizmy h ∈ MorK(A, B ), takie że g ° h = f.

Innymi słowy, obiekty zbudowane tylko z kategorii KS są to w istocie strzałki : A −− f → S

a równość g ° h = f, zapisujemy jako diagram przemienny (komutatywny ) :

1.1.3 Iloczyn i suma rodziny obiektów.

Niech I – będzie pewnym zbiorem. Niech dana będzie kategoria K i rodzina jej obiektów : { Xi | i ∈ I } ⊂ Ob K

Zadajmy kategorię KI w następujący sposób : Obiekty kategorii KI są to rodziny morfizmów : { A −− fi → Xi | i ∈ I }; A ∈ Ob K

a morfizmy z obiektu { A −− fi → Xi } w obiekt

{ B −− gi → Xi }; A, B Ob K są to w istocie morfizmy A −−− h → B

kategorii K, takie, ze dla wszystkich i ∈ I następujący diagram jest przemienny :

Jeśli w kategorii KI istnieje uniwersalny obiekt przyciągający { X −− πi → Xi }, to obiekt X ∈ Ob K nazywa się iloczynem rodziny { Xi | i ∈ I }, przy czym zazwyczaj w miejsce X pisze się

Π

_{i∈I X}i ,a morfizmy

πi ∈ Mor(X, Xi ); i ∈ I, nazywają się rzutowaniami kanonicznymi z

Π

^{Xi w Xi.}

Z definicji w tym przypadku dla każdej rodziny { A −− fi → Xi } istnieje jednoznaczny morfizm A −− f →

Π

^Xi

kategorii K taki, że dla wszystkich i ∈ I słuszny jest następujący diagram przemienny :

Przykład 1.1.4 Niech S – będzie kategorią zbiorów i niech { Xi | i ∈ I } będzie rodziną jej obiektów tj. pewną rodziną zbiorów. Kategoria SI składa się z obiektów :

{ A −− fi → Xi } = { A −− fi → Xi | I ∈ I }

gdzie A – jest dowolnym zbiorem, fi – jest odwzorowaniem z A w Xi, a morfizmy z obiektu { A −− fi → Xi } w obiekt { B −− gi → Xi } są to w istocie odwzorowania A −− h → B takie, że dla każdego i ∈ I słuszny jest następujący diagram przemienny :

W SI istnieje uniwersalny obiekt przyciągający : {

×

Xk −− πi → Xi }

który nazywa się iloczynem kartezjańskim rodziny { Xi | i ∈ I }.

Zbiór

×

^{Xk =}

×

_{k×I X}k składa się ze wszystkich elementów (rodzin ) o postaci : x = (xk ) = ( xk∈ Xk | k ∈ I }, a kanoniczne rzutowania πi :

×

Xk → Xi działają zgodnie z zasadą x → πi(x) = xi, i ∈ I, dla wszystkich

x = (xk ) ∈

×

^Xk

Uniwersalność takiej konstrukcji polega na tym, że dla każdej rodziny odwzorowań { A −− fi → Xi } istnieje jednoznaczne odwzorowanie f : A →

×

Xk takie, że dla każdego i × I słuszny jest następujący diagram przemienny :

Odwzorowanie f działa zgodnie z zasadą a → x = f(a) , x = (xi ), xi = fi(a), i ∈ I dla wszystkich a ∈ A.

Niech dana będzie kategoria K i rodzina jej obiektów : { Yi | i ∈ I } ⊂ Ob K

Zadajmy kategorię KI w następujący sposób : obiekty kategorii KI są to rodziny morfizmów {Yi −− fi → A | i ∈ I }, A ∈ Ob K

a morfizmy z obiektu {Yi −− fi → A } w obiekt {Yi −− gi → B }, A, B Ob K są to morfizmy A −− h → B kategorii K takie, że dla wszystkich i ∈ I słuszny jest następujący diagram przemienny :

Jeśli w kategorii KI istnieje uniwersalny obiekt odpychający {Yi −− łi → Y }, to obiekt Y∈ Ob K nazywa się suma danej rodziny {Yi | i ∈ I }, przy czym standardowo w miejsce Y piszemy

Σ

i×I Yi , amorfizmy łi ∈ Mor(Yi , Y) nazywają się injekcjami kanonicznymi składowych Yi w

Σ

_{i×I Yi.}

Z definicji w tym przypadku dla każdej rodziny {Yi −− fi → A } istnieje jednoznaczny morfizm

Σ

_Yi −− f → A kategorii K takiej, że dla wszystkich i × I słuszny jest następujący diagram przemienny :

Przykład 1.1.5 Niech S – będzie kategorią zbiorów i niech { Yi | i ∈ I } będzie rodziną jej obiektów Kategoria SI składa się z obiektów :

{Yi −− fi → A }, gdzie A – jest zbiorem, fi − odwzorowanie z Yi w A; i ∈ I, a morfizmy z obiektu {Yi −− fi → A } w obiekt {Yi −− gi → B } są to odwzorowania g : A → B takie, że dla każdego i ∈ I słuszny jest następujący diagram przemienny :

W SI istnieje uniwersalny obiekt odpychający : {Yi −− łi →

∪

_{Yk }}

który nazywa się sumą rodziny zbiorów {Yi | i ∈ I }.

Zbiór :

∪

_{Yk =}

∪

_{k∈I Yk}

składa się ze wszystkich elementów postaci x = xk ∈ Yk , k ∈ I, a injekcje kanoniczne łi : Yi →

∪

_Yk

są to naturalne włożenia podzbioru w zbiór ; Yi ⊂

∪

_{Yk , i} ∈ I

Uniwersalność takiej konstrukcji polega na tym, że dla każdej rodziny odwzorowań : {Yi −− fi → A }

istnieje jednoznaczne odwzorowanie f :

∪

_Yk → A

takie, że dla każdego i∈ I słuszny jest następujący diagram przemienny :

Odwzorowanie f działa zgodnie z zasadą x → f(x) = fi(xi ) dla każdego x = xi ∈Yi ⊂

∪

_{Yk , i} ∈ I

W wielu kategoriach w miejsce pojęć iloczyn, suma wykorzystuje się pojęcia iloczyn prosty i suma prosta, a w miejsce symboli Π i Σ wykorzystuje się symbole × i ⊕.

1.1.4 Funktory.

Funktor kowariantny F z kategorii K w kategorię L jest to zasada, która każdemu obiektowi A ∈ Ob K przyporządkowuje obiekt F(A) ∈ Ob L i każdemu morfizmowi f ∈ MorK(A, B) przyporządkowuje morfizm : F(f) ∈ MorL(F(A), F(B))

Przy czym słuszna jest równość : F(idA ) = idF(A)

I słuszny jest następujący diagram przemienny :

dla wszystkich A, B, C ∈ Ob K , f ∈ MorK(A, B) , g ∈ MorK(B, C).

Funktor kontrawariantny F z kategorii K w kategorię L jest to zasada, która każdemu obiektowi A ∈ Ob K przyporządkowuje obiekt F(A) ∈ Ob L i każdemu morfizmowi f ∈ MorK(A, B) przyporządkowuje morfizm : F(f) ∈ MorL(F(B), F(A))

Przy czym słuszna jest równość : F(idA ) = idF(A)

I słuszny jest następujący diagram przemienny :

dla wszystkich A, B, C ∈ Ob K , f ∈ MorK(A, B) , g ∈ MorK(B, C).

Niech F, G – będą funktorami z kategorii K w kategorię L. Przekształcenie naturalne Φ z F w G jest to zasada, która każdemu obiektowi A ∈ Ob K, przyporządkowuje morfizm :

Φ(A) ∈ MorL( F(A), G(A) )

przy czym słuszny jest następujący diagram przemienny :

dla wszystkich A, B ∈ Ob K , f ∈ MorK(A, B)

Szczegóły zobacz [23, 17, 9, 10, 16, 21, 22]

1.2 Grupy, pierścienie, moduły.

1.2.1 Grupy.

Niepusty zbiór G nazywa się grupą, jeśli zdefiniowano w nim operacje grupową ( standardowo zapisywana multiplikatywnie i nazywaną mnożeniem )

G × G → G

(x, y ) → x • y, przy czym spełnione są aksjomaty :

* ( x • y ) • z = x • ( y • z ) , dla wszystkich x, y, z ∈ G (łączność )

* istnieje element jednostkowy e = eG ∈ G taki, że e • x = x • e, dla wszystkich x ∈ G

* dla każdego x−1 ∈ G istnieje element odwrotny x ∈ G, taki że x • x−1 = x−1 • x = e.

Przykład 1.2.1 Grupa trywialna jest to grupa składająca się z jednego jedynego elementu e, gdzie e • e = e = e−1 Przykład 1.2.2 Niech S – będzie dowolnym zbiorem. Zbiór Aut(S) wszystkich jego automorfizmów w kategorii zbiorów (inaczej – permutacji ) jest grupą z kompozycją w charakterze operacji grupowej :

( f ° g)(s) = f(g(s)) dla wszystkich g, g ∈ Aut(S) , s ∈ S

Prawo łączności jest oczywiście spełnione, a jednością jest odwzorowanie tożsamościowe idS

Obecność odwzorowania odwrotnego f−1∈ Aut(S) dla każdego f ∈ Aut(S) wchodzi do definicji automorfizmu.

Niech G i H – będą grupami. Odwzorowanie f : G → H nazywa się multiplikatywnym, jeśli : f(x • y ) = f(x) • f(y) , dla wszystkich x, y ∈ G

( w szczególności wynika z tego, że f(eG ) = eH )

Łatwo sprawdzić, że tak określona jest kategoria grup G, obiektami której są grupy, a morfizmami – odwzorowania multiplikatywne.

Morfizmy grup zazwyczaj nazywają się homomorfizmami, a w miejsce symbolu Mor wykorzystuje się symbol Hom.

Dalej będziemy wykorzystywali symbol Hom, ale morfizmy tak jak wcześniej będziemy nazywali morfizmami.

Zatem, zbiór wszystkich morfizmów ( odwzorowań multiplikatywnych ) z grupy G w grupę H jest to HomG(G, H).

Niech G i H – będą grupami. Odwzorowanie f : G → H nazywa się antymultiplikatywnym, jeśli : f(x • y ) = f(y) • f(x) , dla wszystkich x, y ∈ G

( w szczególności wynika z tego, że f(eG ) = eH )

Przykład 1.2.3 Niech G – będzie grupą. Odwzorowanie G → G, x−1 → x jest antymorfizmem, ponieważ : (x • y )−1 = y−1 • x−1 dla wszystkich x ∈ G

Niech G – będzie grupą. Podzbiór H ⊂ G nazywa się podgrupą grupy G, jeśli jest on zamknięty względem operacji grupowej indukowanej z G :

* jedność e ∈ H ( w szczególności, zbiór H nie jest pusty )

* iloczyn x • y ∈ H dla wszystkich x, y ∈ H

* element odwrotny x−1 ∈ H dla każdego x ∈ H

W tym przypadku zbiór H jest grupą z operacja grupową indukowana z G, a naturalne włożenie H ⊂ G – jest morfizmem grup.

Niech f : G → H – morfizm grup, wtedy :

* jądro ker f = { x ∈ G | f(x) = eH } – jest podgrupą grupy G, morfizm f jest injektywny wtedy i tylko wtedy, kiedy ker f = eG tj. wtedy, kiedy jądro jest trywialne ( sprawdzić ! )

* obraz im f = { y = f(x) ∈ H | x ∈ G } – jest podgrupa grupy H, morfizm f jest surjektywny wtedy i tylko wtedy, kiedy im f = H.

Niech H – będzie podgrupą grupy G. Dla każdego elementu a ∈ G podzbiór : aH = { x = a • h | h ∈ H } ⊂ G

nazywa się warstwą lewostronną elementu a w grupie G.

Zasada h → a • h określa odwzorowanie ła : H → aH, który jest izomorfizmem kategorii zbiorów.

Dwie warstwy lewostronne aH i bH; a, b ∈ G, albo pokrywają się aH = bH ( w tym przypadku a−1 • b ∈ H ), albo nie przecinają się (aH ) ∩ (bH ) = ∅ ( sprawdzić ! )

Zatem, grupa G jest sumą nieprzecinających się w parach warstw lewostronnych.

Zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G względem podgrupy H oznaczymy jako (G/H)ł i zdefiniujemy izomorfizm πł : G → (G/H)ł poprzez zasadę a → aH dla wszystkich a ∈ G.

W analogiczny sposób definiuje się warstwy prawostronne Ha, posiadające takie same własności.

Niech H – będzie podgrupą grupy G. Dla zadanego elementu a∈G warstwa lewostronna aH i warstwa prawostronna Ha, nie muszą się pokrywać.

Podgrupa nazywa się podgrupa normalną, jeśli aH = Ha (lub równoważnie aHa−1= H ) dla wszystkich a ∈G.

Dokładniej, w tym przypadku dla dowolnych elementów a∈G, h ∈ H istnieje element g∈H taki, że a • h = g • a (oczywiście g = a • h • a−1 )

Niech H – będzie podgrupa normalna grupy G. W tym przypadku warstwy lewo i prawostronne pokrywają się i nazywają się po prostu warstwami, dla zadanego elementu a ∈ G jego warstwa oznacza się jako a = aH = Ha.

W analogiczny sposób : (G/H)ł = (G/H)r = G/H

Niech a, b ∈ G/H, zdefiniujemy warstwę a • b ∈ G/H przez relacje : a • b = ( a • b )H

Teraz sprawdzimy, że taka definicja jest poprawna tj. nie zależy od wyboru reprezentantów w swoich warstwach.

Niech a’ ∈ a, b’ ∈ b, wtedy : a’ = a • ha , b’ = b ^• hb dla pewnych ha , hb × H, skąd :

gdzie wykorzystaliśmy to, ze z definicji podgrupy normalnej istnieje element ga ∈ H taki, że ha ^• b = b • ga.

Łatwo można sprawdzić, że wprowadzone w ten sposób mnożenie w zbiorze G/H jest łączne, że warstwa e = H jest jednością i że warstwa a−1 = a−1H jest odwrotną do warstwy a = aH dla wszystkich a∈G.

Innymi słowy, na zbiorze warstw G/H jest określona struktura grupy.

Ze swojej konstrukcji odwzorowanie π : G → G/H, a → a jest epimorfizmem kategorii grup (im π = G/H ), przy czym ker π = H tj. Jest określony łańcuch dokładny morfizmów kategorii grup :

gdzie 1 – jest grupa trywialną, składająca się z jednej jedności.

Dokładność w członie H oznacza, że jądro odwzorowania H → G jest trywialne tj. odwzorowanie to jest włożeniem, dokładność w członie G oznacza, że jądro odwzorowania π pokrywa się z podgrupą H, a dokładność w członie G/H oznacza, że obraz odwzorowania π jest to cała grupa G/H.

Grupa G/H nazywa się grupą ilorazową grupy G względem podgrupy normalnej H, a odwzorowanie π : G → G/H nazywa się rzutowaniem kanonicznym grupy G na grupę ilorazową G/H.

Uwaga. Fakt, że jądro morfizmu π : G → G/H jest podgrupą normalną grupy G nie jest przypadkiem.

W istocie – dla dowolnego morfizmu f : G → F z grupy G w grupę F jego jądro : ker f = { x ∈ G | f(x) = eF }

jest podgrupą normalna G, ponieważ :

dla wszystkich a ∈ G i h ∈ ker f.

Niech G – będzie grupą , S – jej podzbiorem. Zbiór :

NS = { a ∈ G | aSa−1 = S } gdzie aSa−1 = { x = a • s • a−1 | s ∈S } nazywa się normalizatorem podzbioru S i posiada następujące własności :

* NS jest podgrupą grupy G dla każdego S ⊂ G

* jeśli S – jest podgrupa grupy G, to S ⊂ NS jest podgrupą normalną grupy NS, a oprócz tego NS – jest największa podgrupą w G, dla której S – jest podgrupą normalną.

* jeśli S – jest podgrupą normalną grupy G, to NS = G.

I dalej, zbiór :

ZS = { z ∈ G | z • s = s • z dla wszystkich s ∈ S }

Nazywa się centralizatorem podzbioru S i posiada on następujące własności :

* ZS jest podgrupą grupy G dla każdego S ⊂ G

* Z{s} = N{s}, kiedy S = {s } składa się z jednego elementu.

W przypadku S = G centralizator ZG nazywa się centrum grupy G.

Niech S – będzie pewnym podzbiorem i Aut(S) – grupą jego automorfizmów w kategorii zbiorów.

Działaniem lewostronnym grupy G na zbiorze S nazywa się dowolny morfizm L ∈ HomG (G, Aut(S)) a → La∈ Aut(S), wykorzystując zapis La(s) = a ^• s dla wszystkich a ∈ G, s ∈ S.

Zatem :

* La • b(s) = (a ^• b) • s = ( La ° Lb)(s) = a ^• (b • s ) = a • b • s dla wszystkich a, b ∈ G, s ∈ S

* Le(s) = e ^• s = s dla wszystkich s ∈ S, gdzie e = eG – jedność grupy g.

* La−1(s) = La−1(s) = a−1 • s dla wszystkich a ∈ G, s ∈ S

Działanie prawostronne definiuje się w sposób dualny, z zamianą morfizmu na automorfizm. Dokładniej – działanie prawostronne :

R : G → Aut(S)

jest to odwzorowanie z G w Aut(S), a → Ra, wykorzystując zapis Ra(s) = s ^• a takie, że :

* Ra • b(s) = s ^• (a • b ) = ( Ra ° Rb)(s) = (s ^• a ) • b = s • a • b dla wszystkich a, b ∈ G, s ∈ S

* Re(s) = s ^• e = s dla wszystkich s ∈ S, gdzie e = eG – jedność grupy g.

* Ra−1(s) = Ra−1(s) = s • a−1 dla wszystkich a ∈ G, s ∈ S

W obu przypadkach grupa G nazywa się grupą (lewych, prawych ) przekształceń zbioru S.

Działanie lewostronne grupy G na zbiorze S nazywa się :

tranzytywnym, jeśli dla dowolnych punktów r, s ∈ S, można znaleźć taki element że r = a • s swobodnym, jeśli równość a • s = s dla zadanych a ∈ G, s ∈ S pociąga a = e

efektywnym, jeśli równość a • s = s dla zadanego a ∈ G i wszystkich s ∈ S pociąga a = e Analogiczna terminologię wykorzystuje się również dla działania prawostronnego.

Przykład 1.2.4 Niech G – będzie grupą. Przesunięcie lewostronne : ł ∈ HomG (G, Aut(S)), a → ła

jest określone przez zasadę : ła(x) = a ^• x dla wszystkich a, x ∈ G

(przypominam, że Aut(G) – jest grupa automorfizmów zbioru G w kategorii zbiorów ) To działanie jest oczywiście swobodne i tranzytywne.

Dualnym obrazem – przesunięcie prawostronne : r : G → Aut(G), a → ra

jest określone przez zasadę : ra(x) = x ^• a dla wszystkich a, x ∈ G Oprócz tego, zasada :

a → La = ra−1 ra−1

zadaje działanie lewostronne, a zasada : a → Ra = la−1

zadaje działanie prawostronne na G.

Przykład 1.2.5 Niech G – będzie grupą. Działanie lewostronne na G, asocjatywne z przesunięciami, jest to : ad ∈ HomG (G, Aut(S)), a → ad(a) = ła ° ra−1 = ra−1° ła

jest ono nazywane działaniem dołączonym lub automorfizmem wewnętrznym.

W jawnej postaci :

ad(a)(x) = a • x • a−1 dla wszystkich a, x ∈ G

Oczywiście, że działanie to nie jest tranzytywne i nie jest swobodne, ponieważ a • e • a−1 = e dla wszystkich a ∈G.

Jak tylko co powiedzieliśmy Aut(G) – jest grupą automorfizmów zbioru G w kategorii zbiorów, jednakże w danym przypadku dla każdego elementu a ∈ G działania ad(a) jest automorfizmem grupy G w kategorii grup, ponieważ : ad(a)(x • y) = a • x • y • a−1 = ( a • x • a−1 ) • ( a • y • a−1 ) = ad(a)(x) • ad(a)(y) dla wszystkich x, y ∈ G Niech grupa G działa (lewostronnie ) na zbiorze S, (a, s ) → a • s dla wszystkich (a, s) ∈ G × S

Niech s ∈S. Zbiór : Gs = { a ∈ G | a • s = s }

jest podgrupa grupy G I nazywa się grupą izotropii (inaczej – podgrupą stabilną ) elementu s w G.

Niech r, s ∈ S, r = g • s dla pewnego g ∈ G, wtedy :

zatem, w tym przypadku podgrupy Gr i Gs są sprzężone, a zatem są izomorficzne, ponieważ odwzorowanie : ad(g) : Gs → g Gs g−1

jest izomorfizmem grup. W szczególności, jeśli grupa G działa na zbiorze S tranzytywnie, to wszystkie grupy izotropii Gs, s∈ G są sprzężone między sobą, a jeśli swobodnie, to wszystkie one są trywialne tj. w tym przypadku Gs = {e } dla wszystkich s ∈ S.

Niech s ∈ S. Zbiór :

Gs = { t = a • s ∈ S | a ∈ G }

nazywa się orbitą elementu s. Zbiór wszystkich orbit w S względem działania grupy G oznaczamy jako S/G.

Dwie orbity Gr i Gs; r, s ∈ S, albo się pokrywają Gr = Gs ( w tym przypadku r = g • s z pewnym g ∈ G ), albo nie

przecinają się (Gs ) ∩ (Gr ) = ∅. Zatem, zbiór S rozbija się na dysjunktywną sumę orbit. Oczywiście, działanie grupy G na S jest trywialne wtedy i tylko wtedy, kiedy zbiór S/G składa się tylko z jednej orbity – samego zbioru S.

Przykład 1.26 Niech R – będzie zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, oznaczmy przez R± = { x ∈ R | x >< 0 }

- zbiór wszystkich dodatnich/ujemnych liczb. Niech G = R+ - będzie grupą wszystkich liczb dodatnich ze względu na mnożenie, niech S = R .

Grupa G w naturalny sposób działa na zbiorze S; (a , b ) → ax.

Niech s ∈ S, wtedy :

W szczególności S/G = { R−, {0}, R+ }, S = R− ∪ R+.

W przypadku, kiedy zbiór S posiada dodatkowa strukturę algebraiczną, rozpatruje się działania zgodne z taka strukturą.

I tak, niech S – będzie przestrzenią liniową nad ciałem F (np. nad ciałem liczb rzeczywistych R ) i niech GL(S, F ) ⊂ Aut(S) – grupa wszystkich jego automorfizmów w kategorii przestrzeni liniowych (tj. wszystkich odwracalnych przekształceń liniowych przestrzeni S ).

W tym przypadku działania lewostronne L ∈ HomG( G, GL(S, F )) nazywają się reprezentacjami grupy G w przestrzeni liniowej S.

1.2.2 Grupy abelowe.

Grupy przemienne nazywane są grupami abelowymi. Niepusty zbiór G nazywa się grupa abelową, jeśli określono w nim komutatywną operację grupową (zazwyczaj zapisywaną addytywnie i nazywana złożeniem ) G × G → G, (a, b) → a + b, przy czym spełnione są następujące aksjomaty :

* a + b = b + a dla wszystkich a, b ∈ G (przemienność )

* (a + b ) + c = a + ( b + c ) dla wszystkich a, b, c ∈ G (łączność )

* istnieje element zerowy 0 = 0G ∈ G taki, że a + 0 = a dla wszystkich a ∈ G

* dla każdego a ∈ G istnieje element przeciwny −a ∈ G taki, że a + (−a ) = 0.

Niech G, H – będą grupami abelowymi. Odwzorowanie f : G → H nazywa się addytywnym, jeśli : f(a + b) = f(a) + f(b) dla wszystkich a, b ∈ G

( w szczególności, wynika stąd, że f(0G ) = 0H )

Można sprawdzić, że w ten sposób została określona kategoria grup abelowych AG, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy – odwzorowania addytywne. Morfizmy grup abelowych zazwyczaj nazywa się homomorfizmami, a w miejsce symbolu Mor wykorzystuje się symbol Hom. Dalej wykorzystujemy symbol Hom, jednakże morfizmy tak jak wcześniej nazywają się morfizmami. Zatem, zbiór wszystkich morfizmów (odwzorowań addytywnych ) z grupy abelowej G w grupę abelową H jest to HomAG(G, H).

Najprostsza grupą abelową jest grupa zerowa, składająca się z jednego zerowego elementu – jest on jednocześnie uniwersalnym elementem odpychającym i uniwersalnym elementem przyciągającym kategorii AG.

Ważną grupą abelową jest zbiór wszystkich liczb całkowitych Z, ze standardowa operacją dodawania.

Niepusty podzbiór H ⊂ G jest podgrupą grupy G, jeśli jest on zamknięty względem operacji grupowej, indukowanej z G.

Niech G – będzie grupą abelową, H – jej podgrupą. Elementy a, b ∈ G nazywają się równoważnymi względem H, co zapisujemy jako a ~ b, jeśli różnica a − b ∈ H. Klasa równoważności elementu a ∈ G jest to podzbiór a = a + H ⊂ G.

Zbiór G/H wszystkich takich klas równoważności jest grupą abelową ze złożeniem indukowanym z G : a + b = a + b + H dla wszystkich a = a + H, b = b + H ∈ G/H; a, b ∈ G

Grupa ta nazywa się grupą ilorazową grupy G względem podgrupy H. Istnieje jednoznaczny izomorfizm : π : G → G/H, a → a dla wszystkich a ∈ G

Dla grup abelowych G, H zbiór morfizmów HomAG(G, H) jest grupa abelową z punktowa operacją grupową : (f + g)(a) = f(a)g(a)

dla wszystkich f, g∈ HomAG(G, H), oraz a ∈ G.

Niech f : A → B – będzie morfizmem grup abelowych. Jądro morfizmu f jest grupa abelową ; ker f = { a ∈ A | f(a) = 0 }

Obraz morfizmu f jest również grupą abelową : im f = { b = f(a) ∈ B | a ∈ A }

Oczywiście ker f – jest podgrupą w A, a im f – podgrupą w B.

Morfizm f A → B jest monomorfizmem, jeśli ker f = 0 i epimorfizmem, jeśli im f = B.

W kategorii AG morfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, kiedy jest on monomorfizmem i epimorfizmem jednocześnie.

1.2.3 Pierścienie.

Grupa abelowa R nazywa się pierścieniem, jeśli zadano w niej oprócz operacji addytywnej – dodawania, operację biaddytywną – mnożenie :

R × R → R, (a, b) → a • b dla wszystkich a, b ∈ R Tak, że :

(a + b ) • c = a • c + b • c , a •( b + c ) = a • b + a • c , dla wszystkich a, b, c ∈ R

Niech R, S – będą pierścieniami. Morfizm grupa abelowych f : S → R nazywa się morfizmem pierścieni, jeśli dodatkowo :

f( a • b) = f(a) • f(b), dla wszystkich a, b ∈ R

Łatwo sprawdzić, że w ten sposób określono kategorię pierścieni R (* ring *), której obiektami są pierścienie, a morfizm, to morfizmy pierścieni.

Przykład 1.2.7 Najprostszym przykładem pierścienia jest pierścień zerowy, składający się z elementu zerowego, jest on jednocześnie uniwersalnym odpychającym i przyciągającym - obiektem kategorii R.

Przykład 1.2.8 Ważnymi przykładami pierścieni są : pierścień liczb całkowitych Z, liczb wymiernych Q, liczb rzeczywistych R, liczb zespolonych C.

Przykład 1.2.9 Popularna klasa pierścieni posiada następującą naturę. Niech X – będzie zadanym zbiorem, R – zadany pierścień. Zbiór :

RX = Map(X, R) wszystkich odwzorowań z X w R posiada naturalną strukturę pierścienia, przy czym operacje w pierścieniu są określone punktowo :

(f + g )(x) = f(x) + g(x) , ( f • g )(x) = f(x) • g(x) dla wszystkich f, g ∈ RX, x ∈ X.

Zerem takiego pierścienia jest odwzorowanie zerowe : 0 = 0Rx : X → R , x → 0(x) = 0 = 0R dla wszystkich x ∈ X.

Przykład 1.2.10 Inną ważną klasa pierścieni jest następująca konstrukcja. Niech G – będzie grupa abelową, oraz : End(G) = EndAG(G)

- zbiór wszystkich jej endomorfizmów w kategorii grup abelowych.

Zbiór End(G) posiada również naturalną strukturę pierścienia, przy czym złożenie określone jest punktowo, a mnożenie – złożenie odwzorowań, tj. :

(f + g)(a) = f(a) + g(a) , ( f • g )(a) = ( f ° g )(a) = f(g(a)) dla wszystkich f, g ∈ End(G), a ∈ G.

Zerem takiego pierścienia jest endomorfizm zerowy :

0 = 0End(G) : G → G, a → 0(a) = 0 = 0G dla wszystkich a ∈ G.

Pierścień nazywa się unitalnym, jeśli istnieje w nim element jedność e = eR ∈ R taki, że : e • a = a • e = a dla wszystkich a ∈ R

Niech R, S – będą pierścieniami unitalnymi. Morfizm pierścieni f : R → S nazywa się morfizmem pierścieni unitalnych, jeśli dodatkowo :

f(eR ) =eS

Pierścień nazywa się asocjatywnym, jeśli :

(a • b ) • c = a • ( b • c ) dla wszystkich a, b, c ∈ R

Oczywiście w pierścieniach asocjatywnych przy zapisie mnożenia kropkę można opuścić tj. piszemy ab w miejsce a • b.

Pierścień nazywa się komutatywnym (przemiennym ), jeśli : a • b = b • a dla wszystkich a, b ∈ R

Oczywiście w pierścień RX jest unitalny, asocjatywny i przemienny, jeśli taki jest pierścień R, jednością pierścienia RX jest odwzorowanie :

e = e

RX : X → R, x → e(x) = eR dla wszystkich x ∈ X

Pierścień End(G) – jest unitalny i asocjatywny, przy czym jednością takiego pierścienia jest endomorfizm tożsamościowy : eEnd(G) = idG : G → G , a → idG(a) = a dla wszystkich a ∈ G

Mówiąc ogólnie, pierścień End(G) jest nieprzemienny.

Niech R – będzie pierścieniem. Podgrupa S abelowej grupy R nazywa się podpierścieniem, pierścienia R, jeśli jest ona pierścieniem z mnożeniem indukowanym z R, tj. a • b ∈ S, dla wszystkich a, b ∈ S.

Przykład 1.2.11 Pierścień liczba całkowitych Z, jest podpierścieniem liczba rzeczywistych R.

Ideałem lewostronnym I pierścienia R jest podgrupa abelowej grupy R taka, że R • I ⊂ I tj. a • b ∈ I dla wszystkich a ∈ R, b ∈ I. W szczególności I – jest podpierścieniem pierścienia R.

Analogicznie - ideałem lewostronnym J pierścienia R jest podgrupa abelowej grupy R taka, że J • R ⊂ R

Ideał obustronny H pierścienia R jest to podzbiorem zbioru R, który jednocześnie jest ideałem lewo- i prawo- stronnym Pierścienia R. Dalej ideały obustronne będziemy nazywali po prostu ideałami.

Przykład 1.2.12 Zbiór liczba parzystych 2Z jest ideałem pierścienia liczb całkowity Z.

Przykład 1.2.13 Niech G – będzie grupa abelową, S – jej podgrupą i niech : End(G | S ) = { f ∈ End(G) | ker f ⊃ S }

Oczywiście End(G | S ) – jest ideałem lewostronnym pierścienia End(G).

Przykład 1.214 Niech R, S – będą pierścieniami, oraz f : R ∞ S – morfizmem pierścieni.

Wtedy jądro ker f = { a ∈ R | f(a) = 0 } – jest ideałem pierścienia R, podczas , gdy obraz im f = { b = f(a) ∈ S | a ∈ R } - jest podpierścieniem pierścienia S.

Niech R – będzie pierścieniem, I – jego ideałem. W szczególności I – jest podgrupą grupy abelowej R, tak że jest określona grupa ilorazowa R/I. Oprócz tego R/I jest pierścieniem z mnożeniem indukowanym z R przez zasadę :

a • b = a • b + I dla wszystkich a = a + I, b = b + I ∈ R/I; a, b ∈ R

Pierścień R/I nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia R względem ideału I.

Istnieje naturalny morfizm pierścieni ;

π : R → R/I, a → a = a + I dla wszystkich a ∈ R.

1.2.4 Moduły.

Niech R – będzie pierścieniem asocjatywnym. Abelową grupę M nazywamy lewym R- modułem inaczej modułem lewostronnym nad R, jeśli zdefiniowano działanie lewostronne pierścienia R na grupie M, tj. zadano morfizm pierścieni : µ : R → End(M)

Dokładniej – w tym przypadku każdemu a ∈ R przyporządkowano endomorfizm grup abelowych : µ(a) : M → M, x → µ(a)(x) = ax

(zapis µ(a)(x) skracamy do ax, tak że w jawnej postaci morfizm µ nie figuruje ), przy czym spełnione są warunki : a(x + y) = ax + ay, ( a + b )x = ax + bx, (ab)x = a(bx) dla wszystkich a, b ∈ R, x, y ∈ M

Jeśli pierścień R jest unitalny (i asocjatywny), to dodatkowo nakładamy warunek : ex = x dla wszystkich x × M, e – jedność pierścienia R.

Moduły prawostronne nad pierścieniem asocjatywnym R definiujemy zamieniając działanie lewostronne na prawostronne, tj. morfizmy pierścieni – na antymorfizmy, innymi słowy, warunek :

µ(ab) = µ(a) ° µ(b)

zamieniamy na warunek dualny : µ(ab) = µ(b) ° µ(a)

I tak grupa abelowa N nazywa się prawym R – modułem (modułem prawostronnym nad R ), jeśli każdej parze a ∈ R, x ∈ N przyporządkowano element xa ∈ N, przy czym :

(x + y)a = xa + ya, x( a + b ) = xa + xb, x(ab) = (xa)b dla wszystkich a, b ∈ R, x, y ∈ N

Jeśli pierścień asocjatywny R jest również przemienny, to pojęcia działania lewostronnego i prawostronnego pokrywają się, jako następstwo tego faktu – nad pierścieniami przemiennymi pokrywają się pojęcia modułów prawo- i lewo- stronnych.

W tym przypadku wykorzystuje się ogólny termin – moduł i zapis lewostronny.

Jeśli na grupie abelowej P określono działania lewo- i prawo- stronne pierścienia asocjatywnego R, przy czym spełniony jest naturalny warunek asocjatywności :

(ax)b = a(xb) dla wszystkich a, b ∈ R, x ∈ P to P nazywa się dwustronnym R – modułem.

Przykład 1.2.15 Dowolna grupa abelowa G jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych Z, ponieważ : 0x = 0, 1x = x, 2x = x + x, ....

(−1)x = −(1x) = −x, (−2)x = −(2x), ...

dla wszystkich x ∈ G.

Przykład 1.2.16 Zerowa grupa abelowa jest modułem dwustronnym nad dowolnym pierścieniem asocjatywnym.

Przykład 1.2.17 Niech R – będzie asocjatywnym pierścieniem, I – jego ideałem lewostronnym ( w szczególności I = R ).

Lewostronne działanie dołączone : adł : R → EndAG(I )

jest określone przez zasadę :

a → adł (a) : I → I , x → adł(a)(x) = ax dla wszystkich a ∈ R, x ∈ I Zatem I można rozpatrywać jako lewy R – moduł.

W analogiczny sposób, ideał prawostronny J pierścienia R jest prawym R – modułem względem dołączonego działania prawostronnego :

adr : R → EndAG(J )

a → adr (a) : J → J , x → adr(a)(x) = xa dla wszystkich a ∈ R, x ∈ J

W szczególności, każdy ideał dwustronny pierścienia asocjatywnego można rozpatrywać jako dwustronny moduł nad tym pierścieniem.

Przykład 1.2.18 Każda grupa abelowa G jest lewym modułem nad pierścieniem jego endomorfizmów EndAG(G ) ze względu na działanie tożsamościowe :

id : EndAG(G ) → EndAG(G )

Przykład 1.2.19 Każda grupa abelowa G jest trywialnym modułem nad dowolnym pierścieniem asocjatywnym R ze względu na trywialne działanie :

ax = 0 dla wszystkich a ∈ R, x ∈ G

Przykład 1.2.20 Niech I – zbiór, R – pierścień asocjatywny, M – lewy R – moduł. Zbiór MI = Map(I, M) wszystkich odwzorowań z I w M jest lewym R – modułem, gdzie złożenie zadane jest punktowo :

(φ + ψ)(i) = φ(i) + ψ(i) dla wszystkich φ, ψ ∈ MI , i ∈ I

a lewe działanie pierścienia R jest indukowane przez jego działanie w module M : (aφ)(i) = aφ(i) dla wszystkich a ∈ R, φ ∈ MI , i ∈ I

Ważny przypadek szczególny to I = {1, 2, ... , n }, n ∈ N

W tym bowiem przypadku w miejsce M{1,2,... , n} zazwyczaj piszemy Mn, a elementy z Mn zapisywane są jako kolumny o wysokości n o składowych z M.

Dalej będziemy głownie mówili tylko o lewych modułach. Jednakże wszystkie analizy łatwo można przenieść na moduły prawe i dwustronne (proponujemy to zrobić w charakterze ćwiczenia )

Niech R – będzie asocjatywnym pierścieniem, M, N – lewe R – moduły. Morfizm grup abelowych f : M → N nazywa się morfizmem lewych R – modułów, inaczej odwzorowaniem R – liniowym, jeśli dodatkowo :

f(ax) = af(x) dla wszystkich a ∈ R, x ∈ M

Łatwo sprawdzić, że w ten sposób określono kategorię lewych modułów nad zadanym pierścieniem R.

Oznaczmy tę kategorię przez £MR a zbiór jej obiektów oznaczymy jako Ob £MR , zbiór morfizmów z modułu M w moduł N będziemy oznaczali przez Hom£MR(M, N) lub, krócej przez HomR (M, N).

I tak, każdemu asocjatywnemu pierścieniowi R ∈R przyporządkowano kategoria £MR lewych modułów nad R.

Jest to odpowiedniość funktorialna. Niech Rass – będzie kategorią pierścieni asocjatywnych (sprawdzić, że taka kategoria istnieje ).

Rozpatrzmy kategorię £M wszystkich lewych modułów. Obiekty tej kategorii – w tym kategorii £MR lewych R – modułów; R ∈Rass. Morfizmy z obiektu £MR w obiekt £MS są to w istocie funktory kowariantne z kategorii £MR w kategorię £MS. Funktor kontrawariantny z kategorii pierścieni asocjatywnych Rass w kategorię lewych modułów £M zadany jest następująco.

Każdemu pierścieniowi R ∈Rass przyporządkowujemy kategorię F(R ) = £MR, a każdemu morfizmowi pierścieni φ : R → S przyporządkujemy funktor Φ = F(φ) : £MS → £MR działający zgodnie z zasadą :

każdemu lewemu S – modułowi M o działaniu µS : S → End(M) przyporządkowujemy R – moduł Φ(M) = M, pokrywający się z M jako grupa abelowa, ale z działaniem µR : µS° φ : R → End(M, zatem każdemu S – liniowemu odwzorowaniu h : M → N; M, N ∈ £MS przyporządkowujemy R – liniowe odwzorowanie :

Φ(h) : Φ(M) → Φ(N) , gdzie Φ(h)(x) = h(x) dla wszystkich x ∈ M = Φ(M) (tak, że Φ(h) i h pokrywają się jako morfizmy grup abelowych ), przy czym :

dla wszystkich a ∈ R, x ∈ M = Φ(M).

Łatwo sprawdzić, że podane konstrukcja jest poprawna.

Niech R ∈Rass i M, N ∈ £MR Zbiór HomR(M, N) wszystkich R –liniowych odwzorowań z M w N posiada naturalna strukturę grupy abelowej, w której złożenie jest określone punktowo :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) dla wszystkich f, g ∈ HomR(M, N), x ∈ M

W szczególności, dla dowolnej rodziny { fi ∈ HomR(M, N) | i ∈ I }, gdzie I – jest skończonym zbiorem, jest określona jej suma :

Oprócz tego, punktowa zasada określa sumę Σ fi i dla nieskończonego zbioru I, przy warunku, że dla każdego x ∈ M obraz fi(x) ≠ 0 tylko dla skończonej liczby indeksów i ∈ I.

Niech R ∈Rass i M∈ £MR Grupa abelowa : EndR(M ) = HomR(M, N)

Posiada naturalną strukturę unitalnego asocjatywnego pierścienia, względem kompozycji endomorfizmów : ( f ° g )(x) = f(g(x)) dla wszystkich f, g ∈ EndR(M ); x ∈ M

Niech R ∈Rass i M ∈ £MR Podgrupa S grupy abelowej M nazywa się podmodułem modułu M, jeśli S jest lewym R – modułem ze względu na działanie, indukowane z M tj. jeśli :

ax ∈ S dla wszystkich a ∈ R , x ∈ S

Przykład 1.2.21 Podgrupa zerowa 0 i sam moduł M są trywialnymi podmodułami modułu M.

Przykład 1.2.22 Rozpatrzmy pierścień asocjatywny R jako lewy R – moduł ze względu na lewostronne działanie dołączone (zobacz przykład 1.2.17). Podzbiór I ⊂ R będzie podmodułem modułu R wtedy i tylko wtedy, kiedy I jest ideałem

pierścienia R.

Przykład 1.2.23 Niech M, N – będą R – modułami, oraz f : M → N – morfizm lewych R – modułów.

Wtedy jądro :

ker f = { x ∈ M | f(x) = 0 }

- jest podmodułem modułu M, a obraz : im f = { y = f(x) | x ∈ M }

- jest podmodułem modułu N.

Przykład 1.2.24 Niech I – będzie zbiorem ; R – pierścieniem asocjatywnym, M – lewym R – modułem. Niech φ ∈ MI (zobacz przykład 1.2.20). zbiór :

supp φ = { i ∈ I | φ(i) ≠ 0 }

nazywa się nośnikiem odwzorowania φ.

Odwzorowanie φ nazywa się skończonym, jeśli supp φ - jest zbiorem skończonym (składa się ze skończonej liczby elementów ).

Zbiór MIfin wszystkich skończonych odwzorowań z MI jest podmodułem lewego R – modułu MI.

Przykład 1.2.25 Niech M – będzie lewym R – modułem i S – podzbiór zbioru M. Zbiór R – hull{S} wszystkich skończonych R- liniowych kombinacji o postaci :

Σi aixi

gdzie, ai ∈ R, xi ∈ S, jest minimalnym podmodułem, modułu M, zawierającym S i nazywamy go podmodułem, generowanym przez podzbiór S.

Przykład 1.2.26 Niech M – będzie lewym R – modułem , { Ni ⊂ M | i ∈ I } – rodzina jego podmodułów.

Teorio- mnogościowy przekrój :

∩

_{i∈I Ni}

jest podmodułem modułu M, nazywamy go przekrojem rodziny podmodułów { Ni ⊂ M | i ∈ I } Teorio- mnogościowa suma :

∪

_{i∈I Ni}

nie posiada struktury podmodułu, ale generuje podmoduły :

nazywanych suma rodziny podmodułów { Ni ⊂ M | i ∈ I }.

Suma ta nazywa się sumą prostą, jeśli każdy element x ∈ Σi∈I Ni posiada jednoznaczne przedstawienie : x = Σi∈I xi

gdzie występuje tylko skończona liczba składowych niezerowych xi ∈ Ni, w tym przypadku w miejsce Σi∈I Ni piszemy :

⊕

_{i∈I Ni}

Niech R – będzie pierścieniem przemiennym, M – lewym R – modułem, S – podmoduł M. W szczególności, S – jest podgrupą grupy abelowej M, tak że jest określona grupa ilorazowa M/S.

Łatwo można sprawdzić, że na M/S określono działanie lewostronne pierścienia R, indukowane z M : µ : R → End(M/S ), a → µ(a) : M/S → M/S, x = x + S → µ(a)(x) = µ(a)(x) + S

( krócej a • ( x + S) = ax + S ) dla wszystkich a ∈ R, x ∈ M.

Lewy R – moduł M/S nazywa się modułem ilorazowym modułu M.

Zachodzi następujący kanoniczny morfizm lewych R – modułów π : M → M/S, działający zgodnie z zasadą : π(x) = x = a + S dla wszystkich x ∈ M

Oczywiście jądro ker π = S, a obraz im π = M/S.

Oprócz tego, morfizm π posiada następującą własność uniwersalności.

Rozpatrzmy kategorię, której obiektami są morfizmy lewych R – modułów : M − f → N

takie, że ker f ⊃ S, a morfizmy z obiektu M − f → N

w obiekt M − g → P

są w istocie morfizmami lewych R – modułów N − h → P takimi, że następujący diagram jest przemienny :

Łatwo sprawdzić, że morfizm : M − π → M/S

jest uniwersalnym obiektem odpychającym tej kategorii tj. dla dowolnego morfizmu M − f → N

takiego, że ker f ⊃ S, istnieje jednoznaczny morfizm M/S − f → N taki, że następujący diagram jest przemienny :

Oczywiste morfizm f działa zgodnie z zasadą :

x = x + S → f(x) = f(x) dla wszystkich x ∈ M

Rozpatrzmy teraz ważny przypadek szczególny. Niech S – będzie podmodułem lewego R – modułu M, T – podmoduł lewego R – modułu N, f : M → N – morfizm lewych R- modułów taki, że f(S) ⊂ T.

Zadajmy morfizm lewych R- modułów f’ : M → N/T poprzez zasadę : x → f’(x) = f(x) + T dla wszystkich x ∈ M

Oczywiste f’(S) = 0 tak, że jest określony morfizm ilorazowy : f : M/S → N/T

działający zgodnie z zasadą :

x = x + S → f(x) = f(x) + T dla wszystkich x ∈ M Jego jądro :

gdzie :

f −1(T) = f−1( im f ∩ T ) – przeciwobraz podmodułu T, a obraz :

Przypominamy, że im f = f(M).

W szczególności, f – jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, kiedy f(M) = N i f(S) = T.

Ciąg morfizmów lewych R – modułów :

nazywa się dokładnym w członie Mn, jeśli im fn−1 = ker fn, ciąg ten nazywa się dokładnym, jeśli jest on dokładny we wszystkich swoich członach.

Przykład 1.2.27 Moduł ilorazowy M/S lewego R – modułu M względem podmodułu S jest opisywany w sposób pełny przez ciąg dokładny :

gdzie strzałki 0 → i → S – są uniwersalnymi morfizmami kategorii lewych R- modułów ; S → M – jest naturalnym włożeniem,

M − π → M/S – jest kanonicznym izomorfizmem,

dokładność w członie S oznacza, że włożenie posiada trywialne jądro, dokładność w członie M oznacza, że jądro ker π = S,

dokładność w członie M/S oznacza, że obraz im π = M/S.

Przykład 1.2.28 Dla każdego morfizmu f : M → N lewych R – modułów jest określony ciąg dokładny lewych R – modułów :

gdzie strzałki 0 → i → S – są uniwersalnymi morfizmami kategorii lewych R- modułów ; ker f → M – jest naturalnym włożeniem,

N − π → N/ im f – jest kanonicznym izomorfizmem,

dokładność w członie S oznacza, że włożenie posiada trywialne jądro, dokładność w członie ker f oznacza, że włożenie posiada trywialne jądro dokładność w członie M oznacza, że jądro ker π = im f,

dokładność w członie N/im f oznacza, ze obraz im π = N/ im f

Uwzględniając ostatni fakt, moduł ilorazowy N / im f często nazywa się kojądrem morfizmu f.

W charakterze ćwiczenia z techniki diagramowej, z maksymalną dokładnością dowiedziemy następującego stwierdzenie : Lemat 1.2.1 Niech diagram przemienny lewych R – modułów :

jest acykliczny tj. wszystkie jego kolumny i wiersze są dokładne.

Wtedy istnieje jednoznaczny morfizm lewych R – modułów ν : N → Z taki, że uzupełniony diagram :

również jest przemienny i acykliczny.

Dowód. W pierwszej kolejności wyjaśnimy, że dokładność kolumn oznacza, ze λ, µ (i ν ) – są izomorfizmami, dokładność pierwszego wiersza w członie L oznacza, że f – jest monomorfizmem( ker f = 0 ),

dokładność w członie M oznacza, że im f = ker g,

dokładność w członie N oznacza, ze g – jest epimorfizmem ( im g = N ), dla dolnego wiersza – analogicznie.

Przystępujemy do dowodu.

Morfizm ν : N → Z, zbudujemy następująco : każdemu n ∈ N przyporządkujemy z = ν(n) = ( v ° µ )(m) ∈ Z gdzie m ∈ M jest takie, ze g(m) = n ( g - epimorfizm ).

Sprawdźmy poprawność takiej konstrukcji tj. jej niezależność od wyboru m ∈ M.

Niech m, m’ ∈ M sα takie, że : g(m’ ) = g(m) = n

wtedy g(m’ − m ) = 0 i m’ – m = f(ł) ; ł ∈ L ( im f = ker g ), tj. : m’ = m + f(ł), co oznacza, że :

z’ = ( v ° µ )(m’ ) = ( v ° µ )(m) + ( v °µ° f )(ł) = z + 0 = z ponieważ ( v °µ° f )(ł) = ( v ° u ° λ )(ł) = 0 ( v ° u = 0 )

Teraz sprawdzimy, że ν - jest morfizmem lewych R – modułów.

Niech :

n = a1 ^• n1 + a2 ^• n2 ; ai ∈ R ; ni ∈ N ; i = 1, 2 Wybierzemy mi ∈ M tak, aby ni = g(mi ) i przyjmiemy : m = a1 ^• m1 + a2 ^• m2

wtedy :

Z konstrukcji ν(n) = ( v ° µ )(m) dla wszystkich m ∈ M takich, że g(m) = n ∈ Z tj. : (v ° µ )(m) = (v ° g )(m) dla wszystkich m ∈ M tj. :

v ° µ = v ° g

a to oznacza iż diagram kwadratowy :

jest przemienny.

Dalej pokażemy, że ν - jest morfizmem, tj. że ker ν = 0.

Niech n ∈ N, ν(n) = 0, tj. (v ° µ )(m) = 0 gdzie g(m) = n.

Wtedy µ(m) = u(x) dla pewnego x = λ(ł) ∈ X, ł ∈ L ( ker v = im u, a λ - jest izomorfizmem ) I tak, µ(m) = (u ° λ )(ł), skąd :

m = ( µ−1 ° u °λ )(ł) = f(ł)

( µ - jest izomorfizmem, µ ° f = u ° λ ) a to oznacza, że :

n = g(m) = (g ° f )(ł) = 0 ( g ° f = 0 )

Dalej pokażemy, że ν - jest epimorfizmem. Niech z ∈ Z, wybierzemy y = µ(m) ∈ Y; m ∈ M takie, że z = v(y) = (v ° µ )(m)

( v – jest epimorfizmem, µ - jest izomorfizmem ) Z konstrukcji :

z = ν(n) dla n = g(m) ∈ N

Sprawdźmy, że izomorfizm ν jest jednoznaczny. Niech ν’ = N → Z będzie drugim izomorfizmem, dla którego powyższy diagram jest przemienny i acykliczny.

Niech n ∈ N, oraz m ∈ M, n = g(m), wtedy :

ν(n) = (v ° µ )(m) = (ν’ ° g )(m) = ν’(n) ( zgodnie z warunkiem v ° µ = ν’ ° g ) Zatem lemat został dowiedziony.

Uwaga. Podany powyżej dowód poglądowo demonstruje, ze technika diagramowa jest prosta, ale bardzo kłopotliwa w użyciu. Jest istota jest rozbicie dowodu na jednotypowe kawałki.

Wniosek 1.2.1 Jeśli ciąg lewych R – modułów :

jest dokładny, to z dokładnością do izomorfizmu N = M/ im f.

Dowód. Należy udowodnić izomorfizm ν : N → M/ im f.

W tym celu rozpatrzymy przemienny diagram acykliczny :

i wykorzystać dowiedziony wcześniej lemat.

1.2.5 Iloczyn prosty i suma prosta rodziny modułów.

Niech R – będzie pierścieniem przemiennym. W kategorii £MR lewych R – modułów są określone iloczyny proste i sumy proste dowolnych rodzin.

W istocie – niech dana będzie rodzina lewych R – modułów : { Mi | i ∈ I }

Zdefiniujemy lewy R – moduł :

×

_{Mi =}

×

_{i∈I Mi}

jako zbiór wszystkich rodzin x = (xi ) = { xi ∈ Mi | i ∈ I } z składnikowymi operacjami modułowymi :

(xi ) + ( yi ) = (xi + yi ) ; a ^• (xi ) = ( a ^• xi ) dla wszystkich (xi ), (yi ) ∈

×

_{Mi ; a} ∈ R

Rzutowania kanoniczne πk :

×

_Mi → Mk , k ∈ I, zadane przez zasadę (xi ) → πk (xi ) = xk dla wszystkich (xi )∈

×

_Mi

Zbudowana w ten sposób para {

×

_{Mi , {}πk | k ∈ I }jest właśnie iloczynem prostym rodziny { Mi | i ∈ I }.

W istocie – niech dana będzie rodzina : { N − fi → Mi | i ∈ I }

morfizmów lewych R – modułów.

Zdefiniujmy odwzorowanie f : N →

×

Mi zgodnie z zasadą y → f(y) = (xi ) = ( fi(y)) dla wszystkich y ∈ N.

Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie to jest morfizmem lewych R – modułów, oraz że diagram :

jest przemienny dla wszystkich k ∈ I, oraz że morfizm f jest jednoznaczny z taka własnością.

Niech x = (xi) ∈

×

Mi . zbiór supp x = { i ∈ I | xi ≠ 0 } nazywa się nośnikiem elementu x. Element x ∈

×

Mi nazywa się skończonym, jeśli supp x – jest zbiorem skończonym.

Zdefiniujmy lewy R – moduł

⊕

_{Mi =}

⊕

i∈I Mi jako podmoduł, modułu

×

Mi składający się ze wszystkich jego skończonych elementów, tak że :

⊕

Mi = { (xi ) ∈

×

Mi | tylko skończona liczba xi ≠ 0 }

Injekcje kanoniczne ℓk : Mk →

⊕

Mi zadane przez zasadę ℓk(xk ) = x, gdzie k ∈ I, xk ∈ Mk , x = ( δk i xk ), δk

i – symbol Kroneckera, tak że rodzina x posiada k- ta składową xk, a pozostałe zerowe.

Zbudowana w ten sposób para {

⊕

Mi , {ℓk | k ∈ I }} jest to właśnie suma prosta rodziny {Mi | i ∈ I }.

W istocie – niech dana będzie rodzina { Mi − gi → N | i ∈ I } morfizmów lewych R – modułów.

Zdefiniujmy odwzorowanie g :

⊕

_Mi → N w następujący sposób : x → y = g(x) =

Σ

i∈I gi(xi ) dla wszystkich x = (xi ) ∈

⊕

_Mi

(taka suma jest określona, ponieważ tylko skończona liczba xi ≠ 0 )

Łatwo można sprawdzić, że takie odwzorowanie jest morfizmem lewych R – modułów, oraz że diagram :

jest przemienny dla wszystkich k ∈ I, oraz że morfizm g jest jednoznaczny z taką własnością.

Utożsamiając moduły Mi z ich obrazami im ℓi w

⊕

Mi dochodzimy do bardziej standardowego zapisu elementów sumy prostej :

x =

Σ

_xi

gdzie tylko skończona liczba składowych xi ∈ Mi jest niezerowa, i ∈ I.

Z definicji

⊕

_Mi ⊂

×

Mi tj. R- moduł

⊕

Mi jest podmodułem R – modułu

×

Mi przy czym moduły te pokrywają się, jeśli rodzina { Mi | i ∈ I } jest skończona. Ale nawet w przypadku skończonym iloczyn prosty i suma prosta – są to różne obiekty, ponieważ iloczyn prosty charakteryzuje się swoimi rzutowaniami :

{

×

_Mi −πk → Mk | k ∈ I } a suma prosta – przez injekcje : { Mk − ℓk →

⊕

_{Mi | k} ∈ I }

Stwierdzenie 1.2.1 Odwzorowania R – liniowe :

tworzą zbiór zupełny projektorów ortogonalnych, tj. :

(* dla wszystkich *)

Dowód. W celu dowiedzenia stwierdzenia należy zauważyć, że złożenia :

(* dla wszystkich *)

a przy dowodzie drugiego – uwzględnić, że dla każdego x ∈

⊕

Mi obraz prk(x) ≠ 0 tylko dla skończonej liczby indeksów k ∈ I.

Iloczyn prosty i suma prosta posiadają własności funktorialne. Właśnie, dla zadanego zbioru indeksów I i pierścienia asocjatywnego R kategoria £MIR jest określona jako kategoria, której obiekty są to rodziny {Mi } = { Mi | i ∈ I } lewych R – modułów, a morfizmy z obiektu {Mi } w obiekt {Ni } są to rodziny :

{ Mi − fi → Ni }

morfizmów lewych R – modułów, a złożenie – jest komponentowe :

Funktor kowariantny

×

z kategorii £MIR w kategorię £MR zadany jest zgodnie z zasadami :

gdzie (

×

fi )(x) = y, y = (yi ), yi = fi(xi )dla wszystkich x = (xi ), i ∈ I.

Funktor kowariantny

⊕

z kategorii £MIR w kategorię £MR zadany jest przez analogiczne zasady :

gdzie (

⊕

fi )(x) = y, y =

Σ

fi (xi ) dla wszystkich x =

Σ

_xi ∈

⊕

_Mi

1.2.6 Projektywne i induktywne granice rodzin modułów.

Zbiór I nazywa się częściowo uporządkowany, jeśli dla pewnych par i, j ∈ I zdefiniowana jest relacja porządku i ≤ j, spełniająca warunki :

* i ≤ i dla wszystkich i ∈ I

* i ≤ k dla wszystkich i, j, k ∈ I; i ≤ j, j ≤ k

* i = j dla wszystkich i, j ∈ I, i ≤ j , j ≤ i

Zbiór I uporządkowany częściowo, nazywa się skierowanym wzrastająco, jeśli dla dowolnej pary i, j ∈ I znajdzie się element k ∈ I, taki że i ≤ k oraz j ≤ k.

W szczególności, w tym przypadku dla każdego skończonego podzbioru S ⊂ I istnieje k ∈ I taki, że S ≤ k , tj. i ≤ k dla wszystkich i ∈ S.

Analogicznie – zbiór I uporządkowany częściowo nazywa się skierowanym malejąco, jeśli dla dowolnej pary i, j ∈ I znajdzie się element k ∈ I, taki że k ≤ i oraz k ≤ j.

W istocie, skierowanie wzrastające i malejące różnią się tylko zapisem relacji porządku i będziemy wykorzystywali w związku z tym tylko skierowania wzrastające, nazywają je po prostu skierowaniem.

Przykład 1.2.29 Zbiory Z+ ,N, Z z naturalnym porządkiem wzrastającym są to najprostsze skierowania.

Przykład 1.2.30 Niech S – będzie pewnym zbiorem. Zbiór wszystkich jego podzbiorów, uporządkowany częściowo według naturalnego włożenia jest drugim ważnym przykładem skierowania.

Przykład ten można modyfikować, rozpatrując nie wszystkie podzbiory S, a tylko te wybrane z odpowiednimi własnościami. Należy tylko sprawdzić przy tym spełnienie drugiego warunku.

Niech R – będzie pierścieniem asocjatywnym, I – skierowaniem. Rodzina lewych R – modułów { Mi | i ∈ I } nazywa się projektywnie skierowaną (inaczej – skierowana odwrotnie ), jeśli dla dowolnych i, j ∈ I, i ≤ j, zdefiniowano

odwzorowanie R- liniowe : Mi ←φij − Mj

Przy czym spełnione są następujące warunki :

* φii = id dla wszystkich i ∈ I

* φik = φij ° φjk dla wszystkich i, j, k ∈ I, i ≤ j ≤ k

Skierowanie projektywne rodziny oznaczamy jako : { Mi ← φij − Mj }

lub, podobnie, przez :

{ Mi ← φij − Mj | i, j ∈ I, i ≤ j }

Niech { Mi ← φij − Mj } – będzie projektywnie skierowaną rodziną lewych R – modułów. Rozpatrzmy kategorię, której obiektami są rodziny R – liniowych odwzorowań :

{ F − fi → Mi | i ∈ I }

takie, że dla dowolnych i, j ∈ I, i ≤ j, następujący diagram jest przemienny :

a morfizmy z obiektu { F − fi → Mi } w obiekt { G − gi → Mi } są to odwzorowania R- liniowe h : F → G takie, że dla wszystkich i ∈ I następujący diagram jest przemienny :

W tak zbudowanej kategorii istnieje uniwersalny obiekt przyciągający : { lim Mi − πi → Mk | k ∈ I }

←

nazywany granica projektywną ( inaczej – granica odwrotną ) rodziny { Mi ← φij − Mj }.

Właśnie, lewy R – moduł lim Mi jest podmodułem lewego R – modułu

×

Mi, składa się on ze wszystkich elementów ←

(xi ) ∈

×

Mi, takich że φij (xj) = xi, dla wszystkich i, j ∈ I, i ≥ j.

Kanoniczne projekcje πk : lim Mi → Mk ←

są obcięciami jednowymiarowych projekcji : πk :

×

_Mi → Mk , k × I.

Dalej pokażemy, że dla każdego obiektu { Fi − fi → Mi } istnieje jednoznaczny morfizm f : F → lim Mi

←

taki, że dla wszystkich k ∈ I następujący diagram jest przemienny :

Wymagany morfizm zdefiniujemy następująco :

f(y) = (xi ), gdzie xi = fi(y) , dla wszystkich y ∈ F ,i ∈ I wtedy :

φij (xj ) = φij( fj(y)) = ( φij ° fj )(y) = fi(y) = xj dla wszystkich i, j ∈ I, i ≤ j.

co właśnie chcieliśmy pokazać.

Jednoznaczność morfizmu f o wymaganych własnościach jest teraz oczywista.

Zauważmy, że projekcje kanoniczne : πk : lim Mi → Mk

←

k ∈ I charakteryzują się następującym własnościami :

* πi = φij ° πj dla wszystkich i, j ∈ I, i ≤ j

* dla danego x ∈lim MI ←

otrzymujemy x = 0 wtedy i tylko wtedy, kiedy πi(x) = 0 dla wszystkich i ∈ I.

Przykład 1.2.31 Ciąg projekcyjny : { Mi−1 ← φi − Mi | i ∈ Z } graficznie :

lewych R – modułów Mi i odwzorowań R –liniowych φi : Mi → Mi−1 , i ∈ Z jest w istocie rodzina projekcyjną : { Mi ← φij − Mj | i, j ∈ Z , i ≤ j }

gdzie φii = Id, i ∈ Z , φij = φi+1° ... ° φj , i < j

Dualnym obrazem – niech R – będzie pierścieniem asocjatywnym, I – skierowaniem. Rodzinę lewych R – modułów { Mi | i ∈ I } nazywamy induktywnie skierowaną (inaczej – skierowana wprost ), jeśli dla dowolnych i, j ∈ I, i ≤ j, zdefiniowano odwzorowanie R- liniowe :

Mi − φij → Mj

Przy czym spełnione są następujące warunki :

* φii = id dla wszystkich i ∈ I

* φik = φjk ° φij dla wszystkich i, j, k ∈ I, i ≤ j ≤ k

Skierowanie induktywne rodziny oznaczamy jako : { Mi − φij → Mj }

lub, podobnie, przez :

{ Mi − φij → Mj | i, j ∈ I, i ≤ j }

Niech { Mi − φij → Mj } – będzie induktywnie skierowaną rodziną lewych R – modułów. Rozpatrzmy kategorię, której obiekty są to rodziny odwzorowań R – liniowych :

{ Mi − fi → F | i ∈ I }

F – lewy R – moduł, takie że dla dowolnych i, j ∈ I, i ≤ j następujący diagram jest przemienny :

a morfizmy z obiektu : { Mi − fi → F } w obiekt : { Mi − gi → G }

są to odwzorowania R – linowe h : F → G takie, że dla wszystkich i ∈ I następujący diagram jest przemienny :

W tak zbudowanej kategorii istnieje uniwersalny obiekt odpychający : { Mk − ℓi → lim Mj | k ∈ I }

→

nazywamy granicą induktywną skierowanej rodziny { Mi − φij → Mj }

Lewy R – moduł lim→ Mi budujemy następująco. Na początku zauważymy, że dla każdego : x =

Σ

_{i xi} ∈

⊕

_Mi

nośnik supp x = { i ∈ I | xi ≠ 0 } jest skończony , a zatem istnieje indeks k ∈ I taki, że supp x ≤ k, a to oznacza, że suma

Σ

_i φik (xi ) ∈ Mk

Łatwo możemy sprawdzić, że zbiór :

N = { x =

Σ

_{i xi} ∈

⊕

_{Mi | x =}

Σ

_i φik(xi ) = 0 dla pewnego k ∈ I } Jest podmodułem lewego A- modułu

⊕

Mi. Przyjmijmy :

lim→ Mi =

⊕

_{Mi /N}

morfizmy kanoniczne ψk : Mk → lim→ Mi , k ∈ I zdefiniujemy jako kompozycje ψk = π ° ℓk Przypominam, że suma prosta jest to obiekt :

{ Mk − ℓk →

⊕

_{Mi }}

a moduł ilorazowy

⊕

Mi /N charakteryzuje się ciągiem dokładnym :

Sprawdzimy teraz, że tak zbudowany obiekt jest uniwersalnym obiektem odpychającym.

Niech dany będzie obiekt : { Mi − fi → F }

Na mocy uniwersalności sumy prostej

⊕

Mi istnieje odwzorowanie R- liniowe : f’ :

⊕

_Mi → F, fi = f’ ° ℓI dla wszystkich I ∈ I

działające zgodnie z zasadą :

f’(x) =

Σ

i fi(xi ) dla wszystkich x =

Σ

_{i xi} ∈

⊕

_Mi

Niech :

x =

Σ

_{i xi} ∈ N, wtedy :

dla pewnego k ∈ I.

Zatem N ⊂ ker f’, a to oznacza, że jest określony morfizm ilorazowy : f : lim→ Mi → F

Łatwo sprawdzić, ze tak zbudowane odwzorowanie R- liniowe f jest tym którego poszukiwaliśmy, tj. dla dowolnego k ∈ I następujący diagram jest przemienny :

oraz, że odwzorowanie R- liniowe z takimi własnościami jest jednoznaczne.

Dalej zauważymy, że morfizmy kanoniczne ψk : Mk → lim→ Mi , k ∈ I charakteryzują się następującymi własnościami :

* ψi = ψj ° φij dla wszystkich i, j ∈ I, i ≤ j

* ψi(xi ) = ψj(xj ) dla zadanych xi ∈ Mi , xj ∈ Mi ; i, j ∈ I wtedy i tylko wtedy, kiedy φik(xi ) = φjk(xj) dla pewnego k ∈ I, i ≤ k , j ≤ k

*

∪

_{i lim} ψi = lim→ Mi ( przypominam, że lim ψi = ψi(Mi ) ) Przykład 1.2.32 Ciąg induktywny :

{ Mi − φi → Mi+1 | i ∈ Z } graficznie :

lewych R – modułów Mi i odwzorowań R – liniowych φi : Mi → Mi+1 , i ∈ Z, jest w istocie rodziną induktywną : { Mi − φij → Mj | i, j ∈ Z , i ≤ j }

gdzie φii = id, i ∈ Z ; φij = φj−1 ° ... ° φi ; i ≤ j

1.2.7 Moduły swobodne.

Niech I – będzie zbiorem, R – uniwersalnym pierścieniem asocjatywnym. Rozpatrzmy kategorię, której obiektami są odwzorowania φ∈ MI ; M ∈ Ob £MR ( zobacz przykład 1.2.20 ), a morfizmy z obiektu φ∈ MI w obiekt φ∈ NI;

M, N ∈ Ob £MR, są to morfizmy h ∈ HomR (M, N) takie, że następujący diagram jest przemienny :

W tej kategorii istnieje uniwersalny obiekt odpychający.

Przyjmijmy R<I> = Rifin ∈ Ob £MR (zobacz przykład 1.2.24) i zdefiniujemy odwzorowanie kanoniczne : δ = δI : I → R<I>

poprzez zasadę : i → δi , gdzie δi(k) = { e , k = i { 0 , k ≠ i

dla wszystkich i, k ∈ I; przypominam, że e = eR – jedność pierścienia.

Dalej sprawdzimy, że δ - jest uniwersalnym elementem odpychającym rozpatrywanej kategorii.

Na początku zauważymy, że odwzorowanie δ jest injektywne i określa ono włożenie zbioru I w zbiór R<I>, przy czym każdy element ζ ∈ R<I> posiada jednoznaczną reprezentację :

ζ =

Σ

_i∈I ζ(i) δi

(przypominam, że odwzorowanie ζ jest skończone )

Niech teraz φ ∈ MI i zdefiniujemy odwzorowanie φ* : R<I> → M zgodnie z zasadą : ζ → φ*(ζ) =

Σ

_i∈I ζ(i) φ(i) dla wszystkich ζ =

Σ

_i∈I ζ(i) δi ∈ R<I>

łatwo można sprawdzić, że φ* - jest morfizmem lewych R – modułów, że następujący diagram jest przemienny :

oraz, że morfizm φ* z taką własnością jest jednoznaczny.

Zazwyczaj element uniwersalny I − δ → R<I> nazywa się kanonicznie swobodnym lewym R- modułem, generowanym przez zbiór I.

Lewy R- moduł M nazywa się swobodnym lewym R- modułem, generowanym przez zbiór I, jeśli istnieje izomorfizm lewych R – modułów f : R<I> → M, a przy tym obraz B = im (f °δ ) ⊂ M nazywa się bazą modułu M.

Uniwersalność bazy B polega na tym, że każdy element x ∈ M posiada jednoznaczną reprezentację : x =

Σ

_i∈I ξi • ei

gdzie tylko skończona liczba współczynników ξi = ξi(x) ∈ R jest niezerowa, a elementy bazowe ei = f(δi ),

oraz na tym, że aby zadać morfizm lewych R – modułów z M w dowolny lewy R- moduł N, wystarczy określić go na bazie B i dalej przedłużyć na cały M zgodnie z R- liniowością.

Przykład 1.2.33 Sam pierścień R, rozpatrywany jako lewy R- moduł ze względu na lewostronne działanie dołączone (zobacz przykład 1.2.27), jest pierścieniem swobodnym z baza składająca się z jednego elementu :

e – jedności pierścienia R.

W ogólniejszej sytuacji I = { 1, ... , n }; n ∈ N, lewy R- moduł Rn (zobacz przykład 1.2.20), jest również swobodny z bazą { e1, ... , en }, gdzie ek – jest kolumną, dla której na k -tym miejscu stoi jedność e ∈ R, a na pozostałych miejscach – zero ; 1 ≤ k ≤ n.

Zatem, lewy R- moduł RI – jest swobodny dla dowolnego zbioru skończonego I. Jeśli zbiór I jest nieskończony, to swobodnym jest lewy R- moduł RfinI, a moduł RI może nie być swobodny.