Klasyfikacja multifraktali

Powszechne stosowanie różnego typu kaskad celem generacji multifraktali dopro-wadziło do wprowadzenia klasyfikacji samych multifraktali. Jedną z najważniejszych klasyfikacji multifraktalnych, kaskadowych procesów, związanych z ich naturą, jest podział na procesy odsłonięte (ang. bare) i ubrane (ang. dressed)[Lovejoy i Schertzer 1990b, Schertzer i Lovejoy 1987, 1989, 1992]. O odsłoniętych wielkościach i właś ci-wościach kaskad mówimy, jeśli są one wielkościami czy też właściwościami teoretycz-nymi, powstałymi po określonej liczbie stopni kaskady. Tak jak to przedstawia rysunek 4.4 (lewa strona) odsłonięte wielkości i właściwości powstają w obrębie kaskad w pro-cesie zstępowania od skal większych ku mniejszym, są one więc efektem procesu drob-noziarnistego (ang. fine-grained process). Przeciwieństwem tego procesu jest proces gruboziarnisty (ang. coarse-grained process), patrz rysunek 4.4 (prawa strona). Jego efektem są ubrane wielkości i właściwości, które to nie są już wielkościami czy też

właściwościami teoretycznymi, lecz otrzymanymi eksperymentalnie na drodze uś red-niania czasowego bądź też przestrzennego w określanych skalach rozdzielczości. Roz-dzielczości te z uwagi na podnoszone już ograniczenia pomiarowe są zwykle większe od skali wewnętrznej (ang. inner scale), poniżej której proces jest rzeczywiście homo-geniczny. Integracja małoskalowej zmienności procesu na kolejnych, wstępujących stopniach kaskady prowadzi do nieuniknionego „wygładzania” małoskalowych osobli-wości procesu. Niemniej, wszystkie drobne detale procesu są zawarte w ocenie ubra-nych wielkości. Z tej racji bierze się nazwa procesów ubranych, których rejestracje są

„ubrane” małoskalowymi aktywnościami. W przeciwieństwie do tego teoretyczne pro-cesy są odsłonięte, gdyż są „ogołocone” z małoskalowej aktywności.

Analizując rysunek 4.4, łatwo zauważyć, że procesy ubrane są bardziej „ż ywioło-we.” Jest to efektem znacznego wpływu ukrytej małoskalowej zmienności procesu (a więc zmienności ukrytej pomiędzy skalą obserwacji a najbardziej wewnętrzną skalą

procesu, poniżej której jest on już homogenicznym) na zmienność ubranego procesu. Przyjmuje się zatem, że dla danej skali ubrane natężenie procesu εd jest multiplikatyw-nym efektem wpływów wielko-skalowych, czyli odsłoniętego natężenia ε oraz mało-skalowych, czyli ukrytego natężenia εh:

. (4.26) W formule 4.26 udział ukrytego, mało-skalowego komponentu może być bardzo wysoki, zwłaszcza gdy D-wymiarowa integracja procesu nie wygładza wystarczająco rzadkich osobliwości wysokiego rzędu, związanych z jego wewnętrzną skalą. Dochodzi wówczas do dominacji wielkiej skali obserwacji przez małą skalę homogeniczności, a o ubranym procesie mówi się, że cechuje go bardziej „gwałtowana” (ang. violent) zmienność. Występująca wówczas duża zmienność ubranego procesu może prowadzić

do dywergencji statystyk powyżej określonego krytycznego rzędu.

Dywergencja momentów oznacza, że <ελ^q>→∝ dla wszystkich q>q_D, gdzie ελ jest zwykłym natężeniem procesu w skali rozdzielczości λ, q – rzędem momentu statystycz-nego, a q_D – jest krytycznym rzędem dla dywergencji momentów statystycznych. Za-chowanie to jest bezpośrednim następstwem opisywanej już wcześniej osobliwej grani-cy mało-skalowej kaskady. Ciekawym jest wytłumaczenie zjawiska dywergencji mo-mentów dla wartości empirycznych. W przypadku momentów tych wartości, które są średnimi z wartości empirycznych, a więc zawsze wartościami skończonymi, ich dywer-gencja oznacza, że wartości empirycznych momentów wzrastają bez granicy wraz ze zwiększaniem liczebności zbioru obserwacji. Tak więc suma niezależnych kontrybucji jest determinowana przez największe kontrybucje, a rzadkie, największe co do wartości zdarzenia mają determinujący w tym udział. Implikuje to występowanie odstających obserwacji nawet w przypadku bardzo dużych zbiorów wyników pomiarów. Dywer-gencja momentów może być też kojarzona z ogólnie znanym zjawiskiem hiperbolicz-nego spadku dystrybucji prawdopodobieństwa dla ekstremalnych zdarzeń [Lovejoy i Schertzer 1985, Schertzer i Lovejoy 1985]. Bardzo istotny w wielu przypadkach „ogon” wykresu prawdopodobieństwa określa względną częstość ekstremalnego za-chowania procesu [Mandelbrot 1982]:

, (4.27)

d h

ε = ε ⋅ε

( )

gdzie: s to zadowalająco wysoki poziom graniczny natężenia (s>>1), a q_D jest krytycz-nym rzędem dywergencji momentów statystycznych [Tessier i in. 1996, Pandey i in. 1998].

Wracając do rozważań dotyczących odsłoniętych i ubranych procesów multifrak-talnych, można stwierdzić, że o ile wszystkie odsłonięte momenty są wartościami skoń -czonymi, to dla momentów ubranych odpowiednio wysokiego rzędu obserwowana jest ich dywergencja. Wówczas na dywergencję ma wpływ wymiar D przestrzeni, wzglę -dem której proces jest integrowany, gdyż zjawisko to ma miejsce w przypadku natężeń

o rzędzie osobliwości γ>D [Mandelbrot 1974, Schertzer i Lovejoy 1987].

Dywergencja momentów jest kluczowa dla podziału multifraktali na twarde (ang. hard) i miękkie (ang. soft). W przypadku twardych multifraktali ich wysokiego rzędu momenty statystyczne ulegają dywergencji, co może być wynikiem występowania rzad-kich i gwałtownych osobliwości. Generalnie zatem ubrane wielkości wykazują bardzo silnie twarde zachowanie (analizując rys. 4.4, widać bardzo ostre i wyraźne piki na wykre-sach po prawej stronie). W przeciwieństwie do tego, dla miękkich multifraktali dywergen-cja wysokiego rzędu momentów statystycznych nie jest obserwowana.

Dyskutując klasyfikację procesów kaskadowych, należy pamiętać o zasadniczym podziale na kaskady mikrokanoniczne (ang. microcanonical) i kanoniczne (canonical). W przypadku kaskad mikrokanonicznych zapewnione jest dokładne zachowanie stru-mienia (energii czy też masy) dla każdej realizacji, podczas gdy dla kaskad kanonicz-nych zapewnione jest zachowanie tych wielkości w rozumieniu jedynie ich średnich wartości (zachowanie zbioru, ang. ensemble conservation). Różnice między powyż szy-mi typaszy-mi kaskad są szczegółowo omawiane w rozdziale 6 niniejszej pracy, gdzie te-stowana jest przydatność tych konceptualnie różniących się typów kaskad dla rozdzie-lenia sum opadów dobowych na sumy dla krótszych przedziałów czasu, dochodzących włącznie do 5 minut. Procesy multifraktalne mogą być modelowane z użyciem obydwu typu kaskad, niemniej zwykle w wyniku wyzwalania kaskad mikrokanonicznych gene-rowane są miękkie multifraktale, a w przypadku kaskad kanonicznych otrzymywane są

twarde multifraktale [Schertzer i Lovejoy 1993]. Osobliwości spełniające wymogi mikrokanonicznej zasady zachowania (γ<D) są określane mianem spokojnych (ang. calm). Osobliwości dzikie (ang. wild) (γ>D) łamią te zasady zachowania, a ich wystę -powanie w przypadku kaskad kanonicznych jest odpowiedzialne za dywergencję mo-mentów statystycznych, a więc wspomniane powstawanie twardych multifraktali.

Rys. 4.4. Po lewej stronie ilustracja konstrukcji odsłoniętego multifraktalnego procesu kaska-dowego (kaskadowy model α), poczynając od wyrównanej jednostkowej gęstości, po prawej stronie ilustracja ubranego multifraktalnego procesu kaskadowego, uzyskiwa-nego na drodze uśredniania w coraz większych skalach (rysunek modyfikowany za Lovejoyem i Schertzerem 〈1990b〉)

Fig. 4.4. On the left side illustration of bare multifractal cascade process (cascade α model) starting from uniform (unit) flux density, on the right side illustration of dressed multi-fractal cascade process, obtained on the way of averaging on the raising scales (figure modified from Lovejoy and Schertzer 〈1990b〉)