Metoda rozkładu prawdopodobieństwa/wielokrotnego skalowania

Metoda rozkładu prawdopodobieństwa/wielokrotnego skalowania (ang. probability distribution/multiple scaling), nazywana w skrócie metodą PDMS, jest techniką badań multifraktalnych ukierunkowaną na oszacowanie funkcji kowymiaru c(γ), skalowania rozkładów prawdopodobieństwa studiowanego procesu [Lovejoy i Schertzer 1990a, Schertzer i Lovejoy 1989]. Metoda ta opiera się na poniższej zależności:

, (5.10) gdzie: F – czynnik mieszczący w sobie stałe proporcjonalności słabo zależne od γ i wolno zmieniające się wraz z λ, a Pr() oznacza rozkład prawdopodobieństwa.

W celu obliczenia rozkładów prawdopodobieństwa, podobnie jak w metodzie zli-czania pudełek, odpowiedni region D-wymiarowej przestrzeni jest pokrywany przez N_λ = λD

nie-nakrywających się pudełek o objętości λ-D. Następnie zlicza się liczbę pu-dełek N_λ(γ) z natężeniem ελ ^{spełniającym warunek:}

. (5.11) Na podstawie znajomości liczby tych pudełek możliwe jest oszacowanie wartości pra-wej strony równania 5.10:

. (5.12) Operacja taka jest powtarzana dla różnych wartości osobliwości γ i dla zmniejsza-jących się wartości współczynnika skali λ. Na tej podstawie otrzymywane są kolejne wartości funkcji kowymiaru dla różnych wartości γ, po określeniu bezwzględnych war-tości nachylenia wykresów zależności logarytmu N_λ(γ)/ N_λ względem logarytmu λ.

Pomimo pozornego, dużego podobieństwa metod funkcyjnego zliczania pudełek i PDMS, różnią się one bardzo istotnie. W metodzie PDMS bada się poziomy natężenia zależne bezpośrednio od rzędu osobliwości γ w skali charakteryzowanej przez λ

(ελ ≈λγ_{), podczas gdy w metodzie funkcyjnego zliczania pudełek korzysta się z}

ustalo-nych graniczustalo-nych natężeń. Tak więc w metodzie funkcyjnego zliczania pudełek studiuje się topologiczne zbiory determinowane granicznymi wartościami natężenia, a w meto-dzie PDMS dane o natężeniu procesu są poddawane agregacji w różnych badanych skalach.

Aby przestudiować posiadane szeregi czasowe z użyciem metody rozkładu praw-dopodobieństwa/wielokrotnego skalowania, przygotowany został specjalny program obliczeniowy PDMS. Rezultaty jego działania na przykładzie szeregu czasowego po-miarów opadów z Wrocławia dla roku 1997 są zobrazowane na rysunku 5.7.

( )

( )

( )

( )

^{( )}

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 lo g (Pr (ε^λ ≥λ γ⁾⁾ log(λ) 0,04 0,08 0,12 0,28 0,4 0,52 0,6 0,72 0,8 80 minut 80 minutes 1 dzień 1 day ^{6 godzin} 6 hours Rząd osobliwości γ: Singularity γ:

Rys. 5.7. Wykres w skali podwójnie logarytmicznej zależności prawdopodobieństwa przewyż-szenia poziomów natężenia deszczu dla różnych wartości osobliwości γ względem współczynnika skali λ, otrzymany dla 5-minutowego szeregu czasowego rejestracji na-tężeń opadów z Wrocławia w 1997 r., dla skal czasowych od λ = 2304 (5 min) do λ = 1 (8 dni)

Fig. 5.7. Log-log plot of the probability of exceeding rainfall-intensity levels for different val-ues of singularity γ relation with scale parameter λ, obtained for the 5-minute rainfall intensity time-series from Wrocław in the year 1997, for time scales from λ = 2304 (5 min.) up to λ = 1 (8 days)

Aby podnieść czytelność rysunku 5.7 na obszarze wykresu, zaznaczono zależności prawdopodobieństwa przewyższenia poziomów natężenia deszczu względem współ-czynnika skali λ, jedynie dla wybranych wartości osobliwości γ, aczkolwiek obliczenia w programie PDMS zostały przeprowadzone z większą liczbą wartości γ. Na wykresie widoczne jest występowanie generalnej zależności skalowej prawdopodobieństwa (Pr(ελ≥λγ_{)), zwłaszcza dla rzędów osobliwości} γ bliskich wartości około 0,4. Dla przy-padku γ = 0,4 na wykresie został zaznaczony przebieg liniowej zależności dopasowania

log(Pr(ε_λ≥λγ_{)) względem log(}λ), z podaniem jego nachylenia równego -0,395. Ten idealnie linowy przebieg zależności skalowej ulegał zaburzeniu zarówno dla niskich natężeń, jak również dla wysokich natężeń. Zależności skalowe dla niskich natężeń, a więc skojarzone z małymi wartościami γ (równymi na wykresie np. 0,04, 0,08 i 0,12), śledzone od lewej strony, ulegały widocznemu ugięciu ku górze, po przekrocze-niu wartości log(λ) ≈ 2,15, co odpowiada w przybliżeniu czasowi 80 minut. W przeci-wieństwie do tego zależności skalowe dla wysokich natężeń, determinowanych wyso-kimi wartościami γ (równymi na wykresie np. 0,60, 0,72 i 0,80), ulegały wyraźnemu ugięciu ku dołowi, w przedziale wartości od log(λ) ≈ 0,9 do log(λ) ≈ 1,5, co odpowiada w przybliżeniu czasom od 24 do 6 godzin. Istnienie takich charakterystycznych ugięć w wykresach zależności log(Pr(ε_λ≥λγ_{)) względem log(}λ) było także odnotowane w badaniach szeregów opadowych z Vale Formoso (Portugalia) i Nancy (Francja) przez de Limę [1998]. Autorka na tej podstawie wywnioskowała, że niskie natężenia desz-czów w posiadanych szeregach czasowych są zawyżone, a wysokie natężenia zaniżone. Refleksja ta wydaje się być także prawdziwą dla analizowanych szeregów czasowych z Wrocławia, zwłaszcza dla niskich natężeń deszczów. Trudno bowiem nie kojarzyć załamania zależności dla czasu równego 80 minut z dyskutowanymi już charaktery-stycznymi punktami załamania wykresów analizy widmowej (rys. 5.3) oraz funkcyjne-go zliczania pudełek (rys. 5.5).

Zaczynając analizę wykresu na rysunku 5.8, należy stwierdzić, że generalnie ma on charakter nieliniowy zgodny z teoretycznym przebiegiem funkcji kowymiaru dyskuto-wanym w rozdziale 4. Niemniej wyraźnie nieliniowy charakter wykresu utrzymuje się jedynie dla środkowego zakresu rzędów osobliwości od około 0,3 do około 0,50. Dla wartości osobliwości większych od 0,50 obserwowany jest już liniowy charakter wy-kresu, zgodny z kierunkiem zaznaczonym na wykresie linią przerywaną. Pozwala to przypuszczać, że widoczna nieciągłość wykresu funkcji kowymiaru jest empirycznym dowodem istnienia multifraktalnego przejścia fazowego, a wymieniona charaktery-styczna wartość osobliwości równa 0,50 jest osobliwością krytyczną, która winna być oznaczana jako γD. Jak będzie to omawiane w następnym podrozdziale, krytyczna oso-bliwość jest powiązana z krytycznym rzędem momentu qD, zależnością: γD = K’(qD) (co wynika ze wzoru 4.36).

W celu diagnozy typu multifraktalnego przejścia fazowego dokonano oszacowania wartości maksymalnej obserwowalnej osobliwości γmax. Skorzystano przy tym z wy-godnej zależności podawanej przez Schertzera i in. [1993], która łączy ze sobą trzy wielkości: całkowitą liczbę struktur w posiadanej próbie N⋅Ns, stosunek badanych skal λ oraz całkowity wymiar efektywny D+Ds:

. (5.13)

s

D D s

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 c( γ) γ (0.45,0.45)

Rys. 5.8. Przebieg empirycznej funkcji kowymiaru uzyskany dla 5-minutowego szeregu czaso-wego rejestracji natężeń opadów z Wrocławia w 1997 r., dla skal czasowych od λ = 2304 (5 min) do λ = 8 (24 godz.)

Fig. 5.8. Empirical codimension function plot obtained for the 5-minute rainfall intensity time-series from Wrocław in the year 1997, for time scales from λ = 2304 (5 min) up to λ = 8 (24 h)

W naszym przypadku iloraz N⋅Ns, czyli całkowita liczba struktur w posiadanej próbie to liczba 24-godzinnych okresów w badanym szeregu czasowym z 1997 r., a więc zgodnie z danymi tabeli 3.1: N⋅Ns = 165. Natomiast stosunek użytych skal λ dla badanego zakresu od 5 min do 24 godz. równał się ilorazowi: λ = 2304/8 = 288. Osta-tecznie, obliczony według zależności 5.11 całkowity wymiar efektywny D+Ds równał się 0,90. Co za tym idzie, odczytana na tej podstawie z wykresu na rysunku 5.8 przybli-żona wartość γmax wynosiła około 0,63. Jak łatwo zauważyć, γmax, = 0,63 było większe od γD = 0,58. Pozwala to na traktowanie uzyskanego przebiegu empirycznej funkcji kowymiaru jako rezultatu multifraktalnej transformacji pierwszego rzędu i dla opisu funkcji c(γ) wykorzystywać układ równań 4.54.

Cechą charakterystyczną multifraktalnej transformacji pierwszego rzędu jest li-niowy charakter wykresu c(γ), dla γ>γD. Obliczenie równania prostej dla tego liniowego odcinka pozwala na oszacowanie wartości qD (nachylenie prostej) oraz K(qD) (ujemna

wartość wyrazu wolnego), co wynika ze wzajemnego powiązania funkcji c(γ) i K(q) transformacją Legendre’a (patrz rys. 4.6). Obliczone nachylenie spadku prostej regresji wynosiło 2,42, a wyraz wolny równał się: -0,64, co za tym idzie: qD ≈ 2,42, a K(qD) ≈ 0,64. Zgodność tych charakterystyk z rzeczywistym przebiegiem funkcji wykładnika skalowania K(q) będzie przedmiotem dyskusji w następnym podrozdziale.

Na rysunku 5.8 zaznaczono ponadto punkt charakterystyczny o współrzędnych (0,45,0,45). Punkt ten powstał w wyniku przecięcia linii będącej przedłużeniem dysku-towanego powyżej liniowego segmentu empirycznego wykresu kowymiaru z prostą o równaniu c(γ) = γ. Zgodnie z rysunkiem 4.15 punkt ten może być traktowany jako oszacowanie wymiaru fraktalnego geometrycznej „podstawy” wystąpień deszczów D ≈ 0,45. Wartość ta jest nieco mniejsza od oszacowania D ≈ 0,58 według metody funkcyjnego zliczania pudełek (patrz poprzedni podrozdział). Komentując tę rozbież-ność, można, po pierwsze, zwrócić uwagę na fakt, że podobnej skali rozbieżności były w przypadku obydwu metod obserwowane także na przykład przez wspominaną już de Limę [1989] dla zbioru z Vale Formoso. Po drugie, warto pamiętać, że jak już to było wyjaśniane, metoda funkcyjnego zliczania pudełek pozwala na jedynie ogólne oszaco-wanie wartości całej hierarchii wymiarów fraktalnych procesu na różnych poziomach jego intensywności, w tym także przy intensywności zerowej skojarzonej z „podstawą” wystąpienia deszczów.

Ostatnim elementem, na który warto zwrócić uwagę przy analizie rysunku 5.8, jest przebieg prostej o równaniu c(γ) = γ względem empirycznych wartości funkcji miaru. Prosta ta, jak widać, jest prawie styczną do wykresu empirycznej funkcji kowy-miaru, co świadczy o w przybliżeniu zachowawczym charakterze studiowanego procesu (miara stopnia niezachowawczości H ≈ 0, patrz rys. 4.11). Dla uzyskania dokładnej styczności prosta powinna być przesunięta nieznacznie w prawą stronę, co sugeruje niewielką ujemną wartość parametru H (szersze omówienie wartości parametru H bę-dzie prowadzona w podrozdziale 5.5).