4. FRAKTALE I MULTIFRAKTALE
4.8. Multifraktalne transformacje fazowe
Zaczątkiem opisu multifraktalnych transformacji fazowych było odkrycie analogii pomiędzy zmiennymi termodynamicznymi systemów zrównoważonych a multifraktal-nymi wykładnikami rozpraszających się nie-zrównoważonych systemów. Celem opisu opartego na analogii względem termodynamicznych transformacji fazowych jest
jako-ściowe wydzielenie różnego typu reżimów w multifraktalach oraz ich przejść (trans-formacji) z jednego reżimu do drugiego, co jest istotne w całokształcie studiów nad multifraktalami [Schertzer i Lovejoy 1989, 1991, 1993, Schertzer i in. 1993].
Szczególnym elementem analogii pomiędzy multifraktalną dynamiką strumieni i termodynamiką jest zauważenie w obydwu przypadkach występowania par wielkości powiązanych ze sobą transformacją Legendre’a. W przypadku multifraktali, co było już
pokazane, powiązane ze sobą są funkcje K(q) i c(γ), a w przypadku termodynamiki analogiczne powiązanie istnieje pomiędzy wolną energią i odpowiadającą jej entropią. Z tego wynika analogia pomiędzy rzędem osobliwości γ i energią oraz pomiędzy funk-cją kowymiaru c(γ) i entropią. Poza tym można powiązać rząd momentu q z
odwrotno-ścią temperatury, jak również funkcję K(q) z potencjałem Massieu. Biorąc to pod uwagę
można sformułować dwie podstawowe formalne analogie pomiędzy dwoma rodzajami opisów (multifraktalnym i termodynamicznym):
1) opis prawdopodobieństwa 〈γ,c(γ)〉 jest multifraktalnym analogiem termodynamicz-nego opisu (energia, entropia);
2) opis momentów 〈q,K(q)〉 jest multifraktalnym analogiem termodynamicznego
opisu (odwrotność temperatury, potencjał Massieu).
Transformacje fazowe w termodynamice odnoszą się do nieciągłości wolnej ener-gii i potencjału termodynamicznego. Nieciągłości zauważane są także w przypadku przebiegu funkcji K(q). Po uwzględnieniu wcześniej wymienionych analogii procesów termodynamicznych i multifraktalnych przyjmuje się, że nieciągłości w pochodnych funkcji K(q) odpowiadają nieciągłościom w pochodnych potencjałów termodynamicz-nych. W przypadku nieciągłości w pierwszej pochodnej funkcji wykładnika skalowania momentów mówi się o multifraktalnych transformacjach pierwszego rzędu (ang. first- -order multifractal phase transition), odpowiednio w przypadku nieciągłości w drugiej pochodnej funkcji K(q) mówi się o multifraktalnych transformacjach drugiego rzędu (ang. second-order multifractal phase transition). Powstawanie transformacji multifrak-talnych pierwszego i drugiego rzędu jest efektem dwóch różnych mechanizmów staty-stycznych. Transformacje pierwszego rzędu wiążą się z dywergencją momentów, a transformacje drugiego rzędu są rezultatem ograniczenia liczebności zbiorów pomia-rowych.
4.8.1. Multifraktalne transformacje drugiego rzędu
Szczupłość zbiorów wyników pomiarowych zawęża naszą obserwację całej prze-strzeni prawdopodobieństwa, wykluczając możliwość zawarcia w nich ekstremalnych i rzadkich zdarzeń. Ograniczenia w wielkości obserwowanych rzędów osobliwości natężenia procesu, które nie przekraczają wartości γs, przekładają się na odgórne
ogra-niczenie funkcji kowymiaru. Co istotne, te same ograniczenia nie dotyczą funkcji wy-kładnika skalowania momentów, charakteryzującej w sposób alternatywny ten sam proces. Jak pamiętamy, obydwie funkcje wykładnika skalowania są powiązane ze sobą
transformacją Legendre’a. W wyniku transformacji Legendre’a ograniczonej odgórnie funkcji c(γ) (dla argumentów γ≤γs) uzyskiwany jest liniowy charakter wykresu funkcji
K(q) dla q>qs (gdzie qs = c’〈γs〉). Obrazuje to na rysunku 4.14 liniowy charakter funkcji
K(q) dla q>qs, który wyraźnie odbiega od przerywanej krzywej odpowiadającej teore-tycznej, nieliniowej charakteryzacji procesu odsłoniętego. W rezultacie tego funkcja wykładnika skalowania momentów procesu ubranego obserwowanego na podstawie ograniczonego zbioru pomiarowego może być opisana jako:
(4.50) W formule powyższej indeksy b oznaczają zmienne odpowiadające procesowi od-słoniętemu, a γs = γmax oznacza maksymalną możliwą do wiarygodnej obserwacji oso-bliwość w posiadanej próbie. Zależność 4.50 obowiązuje jedynie dla prób, dla których maksymalna osobliwość γmax jest mniejsza od krytycznej osobliwości γD związanej z dywergencją momentów i multifraktalną transformacją fazową pierwszego rzędu.
Rys. 4.14. Przebieg empirycznych funkcji wykładnika skalowania K(q) i c(γ) w przypadku multi-fraktalnych transformacji drugiego rzędu
Fig. 4.14. Shape of empirical scaling exponent functions K(q) and c(γ) in case of multifractal second-order phase transitions
4.8.2. Multifraktalne transformacje pierwszego rzędu
Multifraktalne transformacje pierwszego rzędu mają zwykle miejsce w przypadku procesów ubranych, obserwowanych w skalach większych od „wewnętrznej” skali procesu. Jak już wspomniano, procesy ubrane zwykle wykazują zdecydowanie mocniej-szą zmienność w porównaniu do procesów odsłoniętych. Koniecznym do tego jest
( ) (
b)( ) ( )
s s b s K q , K q q q K q , ⎧⎪ = ⎨ γ − + ⎪⎩ . s s q q q q ≤ >oczywiście „ubieranie” procesu w mało-skalową aktywność procesu na kilku pozio-mach kaskady. W końcowym rezultacie większe natężenia procesu ubranego przynoszą
dywergencję ich statystycznych momentów powyżej pewnego krytycznego rzędu qD. Co za tym idzie, przebieg funkcji wykładnika skalowania momentów K(q) dla ubranych multifraktali może być zdefiniowany jak poniżej:
. (4.51) W zależności powyższej indeks b oznacza proces odsłonięty, tak więc dla rzędów q nie przekraczających krytycznego rzędu qD przebieg krzywej procesu ubranego nie odbiega od procesu odsłoniętego.
Obraz dywergencji momentów ubranych procesów multifraktalnych jest dodatko-wo komplikowany przez nakładający się na niego efekt wynikający z obserwacji proce-su na bazie ograniczonej liczby próbek Ns. Wpływ liczebności próbek na przebieg funk-cji wykładnika skalowania jest przedstawiony graficznie na rysunku 4.15 dla funkfunk-cji kowymiaru i na rysunku 4.16 dla funkcji skalowania momentów. Zgodnie z rysunkiem 4.15 istnieje pewna charakterystyczna maksymalna obserwowalna osobli-wośćγmax, która to może być oszacowana zgodnie z relacją 4.41:
. (4.52) Z uwagi na powyższe ograniczenie co do rzędu obserwowalnej osobliwości, w wyniku transformacji Legendre’a funkcji c(γ) w funkcjęK(q), ta ostatnia będzie wy-kazywać liniowy charakter dla momentów większych niż wartość krytyczna. Przy czym możliwe jest wydzielenie dwóch przypadków: pierwszego, gdy γmax≤γD oraz drugiego, gdy γmax>γD, gdzie γD jest osobliwością odpowiadającą krytycznemu rzędowi momentu dla dywergencji momentów qD (patrz rys. 4.16). Pierwszy z przypadków prowadzi do multifraktalnych transformacji rzędu drugiego, co było już dyskutowane w poprzednim podrozdziale. W drugim z przypadków przebieg funkcji wykładnika skalowania mo-mentów K(q) ma postać:
(4.53) Zgodnie z formułą 4.53 – dla rzędów momentu q>qD wykres funkcji K(q) ma cha-rakter liniowy (patrz rys. 4.17, odstępstwo od przerywanej krzywej teoretycznej, jak dla odsłoniętego procesu). W liniowym równaniu tego segmentu wykresu K(q) wartość
jego nachylenia równa się γmax, a wyrazu wolnego, po przekształceniu z uwzglę dnie-niem równania 4.37, wynosi –c(γmax).
( )
Kb( )
q , K q , ⎧ = ⎨ ∞ ⎩ D D q q q q ≤ >(
max)
s c γ ≈ +D D( ) ( ( )) ( )
max b D b D K q , K q q q K q , ⎧⎪ = ⎨γ − + ⎪⎩ . D D q q q q ≤ >Rys. 4.15. Schematyczny przebieg funkcji c(γ) dla dwóch różnych wielkości wymiarów próbko-wania Ds1 i Ds2 wraz z odpowiadającymi im osobliwościami γs1<γD<γs2<γd,s2. Indeks d na rysunku oznacza wielkości jak dla procesu ubranego. Na wykresie oznaczona jest także prosta styczna do c(γ) o krytycznym nachyleniu qD, która to zawiera punkt (D,D), będący jej przecięciem z prostą o równaniu q = 1 [rysunek adaptowany za Schertzer i in. 1993]
Fig. 4.15. Schematic diagram of c(γ) function for two different values of sample dimensions Ds1 and Ds2 with respective singularities γs1<γD<γs2<γd,s2. Subscript d on figure stands for dressed quantities. In figure line tangent to c(γ) of critical slope qD, which contains point (D,D), being its intersection with line of equation q = 1, is marked [figure adapted from Schertzer et al. 1993]
W przypadku multifraktalnych transformacji pierwszego rzędu nieciągłości zazna-czają się także na wykresie funkcji kowymiaru. Wykres funkcji kowymiaru c(γ) ubra-nego procesu multifraktalubra-nego pokrywa się z wykresem cb(γ) procesu odsłoniętego jedynie dla γ≤γD. Dla γ>γD wykres kowymiaru ma już charakter liniowy. Zapewnia to minimalizację wartości kowymiaru, a co za tym idzie, pozwala na maksymalizację
prawdopodobieństwa. Nachylenie liniowej części wykresu kowymiaru, dla γ>γD równa sięqD, gdzie qD = c’(γD). Ostatecznie przebieg funkcji kowymiaru może być zapisany, jako: . (4.54)
( ) (
b( )) ( )
D D b D c , c q c , ⎧ γ ⎪ γ = ⎨ γ − γ + γ ⎪⎩ D Dγ γ
γ γ
≤ >Także w przypadku analizy przebiegu funkcji kowymiaru istotnym aspektem jest liczebność posiadanej próby pomiarowej. Liniowy charakter funkcji kowymiaru z uwa-gi na dywergencję momentów rzędu qD może być obserwowany jedynie dla odpowied-nio bogatych zbiorów pomiarowych, wówczas gdy wymiar efektywny D+DS≥c(γD), czy też ekwiwalentnie, gdy osobliwośćγmax>γD (patrz rys. 4.15 i 4.17).
Rys. 4.16. Schematyczny przebieg funkcji K(q) wraz z liniami o nachyleniach γs1<γD<γs2<γd,s∝
obrazującymi jej zachowanie dla wzrastającego do nieskończoności zbioru próbek Ns. Na wykresie zaznaczona jest także linia o nachyleniu D, definiująca krytyczną wartość momentu qD [rys. adaptowany za Schertzer i in. 1993]
Fig. 4.16. Schematic diagram of K(q) function with lines of slopes γs1<γD<γs2<γd,s∝ indicating its
behavior for increasing up to infinity sample size Ns. The line of slope D defining criti-cal moment value qD is also marked on plot [fig. adapted from Schertzer et al. 1993]
Rys. 4.17. Przebieg empirycznych funkcji wykładnika skalowania K(q) i c(γ) w przypadku trans-formacji pierwszego rzędu
Fig. 4.17. Shape of empirical scaling exponent functions K(q) and c(γ) in case of multifractal first-order phase transitions