MODELE MATEMATYCZNE I FIZYCZNE

Ze względu na występowanie dużych odkształceń, asymetrycznie rozłożonych w walcowanym paśmie o złożonym, często nieoczekiwanym kształcie, teoretyczna analiza procesów AR jest znacznie trudniejsza niż w przypadku konwencjonalnego walcowania symetrycznego. Jednak już w latach czterdziestych ubiegłego wieku pojawiły się pierwsze prace dotyczące wpływu asymetrii walcowania na rozkład odkształceń na grubości walcowanych blach [104, 106]. W pracach tych wykorzystywano prosty model jednorodnie odkształcanej płyty (ang. slab method – model płyty). W późniejszych latach do analizy

38 procesu walcowania asymetrycznego wykorzystano coraz dokładniejsze modele matematyczne [102, 103] oraz wyniki obliczeń komputerowych [113]. Zwiększenie wydajności komputerów umożliwiło znaczny postęp dzięki zastosowaniu trójwymiarowych modeli wykorzystujących metodę elementów skończonych (MES) [101, 105]. Stosując tą technikę możliwe jest badanie wpływu parametrów materiałowych i technologicznych (takich jak charakterystyka umocnienia odkształceniowego walcowanego materiału, geometria kotliny walcowniczej, wartość współczynnika tarcia, czy prędkość walcowania) nie tylko na rozkład odkształceń i zmiany kształtu walcowanego pasma, lecz również na rozkład na poszczególne walce sił, momentów i mocy walcowania. Syntetyczne ujęcie historyczne wybranych, najistotniejszych wyników pozwalających zrozumieć proces AR przedstawiono w dalszej części obecnego rozdziału.

W roku 1947 G. Sachs i L. J. Klingler opublikowali wyniki zastosowania modelu płyty do procesu walcowania na gorąco w klatce walcowniczej w której silnik napędzał tylko jeden z współpracujących walców roboczych (proces AR-SD) [104]. Stwierdzili, że w takim przypadku w walcowanym materiale można wyróżnić obszary leżące przy przeciwległych odcinkach łuku styku metalu z walcami, w których siły tarcia są skierowane we wzajemnie przeciwległych kierunkach. Obszary takie zostały przez nich nazwane strefami poprzecznego ścinania. Metoda płyty była i jest nadal często stosowana w publikacjach dotyczących AR [114]. W latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku model Sachsa i Klinglera został poprawiony przez Holbrooka i Zorowskiego [106]. Założyli oni, że asymetria walcowania wynika z różnic rozkładu nacisku walców na walcowany materiał. Przy tym założeniu, dla przyjętego kryterium płynięcia plastycznego, z równań równowagi możliwym stało się obliczenie krzywizny walcowanego pasma. Równania równowagi dla procesu walcowania asymetrycznego z różnymi kątami wprowadzania walcowanego pasma do klatki walcowniczej wyprowadził Mischke [115]_. Model Holbrooka i Zorowskiego rozwijali Salimi i jego współpracownicy. Najpierw wyznaczyli oni krzywiznę pasma dla różnych warunków

AR (procesy w których asymetrię walcowania uzyskano poprzez zróżnicowanie średnic

lub prędkości brotowych walców roboczych, albo współczynników tarcia walców o walcowany materiał), następnie wyliczyli siły i momenty sił walcowania asymetrycznego [116] oraz zastosowali algorytmy genetyczne do wyznaczenia ugięcia walcowanego pasma [117]. W stosowanym przez nich modelu płyty uwzględniano niejednorodny rozkład w kotlinie walcowniczej zarówno naprężeń normalnych jak i naprężeń stycznych. Do analizy wartości sił i momentów walcowania asymetrycznego, zarówno

39 na zimno jaki i na gorąco, metodę płyty wykorzystał również Zhang i współpracownicy [103] oraz Hwang i Tzou [107]_. W pracy [107] wykazano, że wraz ze wzrostem współczynnika asymetrii zmniejsza się całkowita siła walcowania, natomiast wartość momentu sił wzrasta. Hwang i Tzou [107] wyznaczyli między innymi rozkład naprężeń stycznych wzdłuż łuku styku walców (o średnicy 400 mm) z walcowanym metalem oraz położenie i wymiary strefy neutralnej dla asymetrii (z przedziału A=1,02-1,10), wywołanej zróżnicowaniem prędkości walców. Stwierdzili, że w przebadanym zakresie A, długość strefy neutralnej zwiększa się prawie 10 krotnie (wynik uzyskany dla 20% redukcji przekroju i prędkości walcowania 50 mm/s). Ponadto wykazali oni, że w miarę zwiększania asymetrii siła walcowania maleje. Największy efekt (ok. 30 % obniżenie siły walcowania) dotyczył 20 % redukcji grubości i silnie malał on wraz ze wzrostem redukcji grubości tak, że dla 40 % redukcji grubości redukcja siły walcownia nie przekraczała 10%.

Najnowsze prace literaturowe dotyczące modelowania AR koncentrowały się głównie na dopracowaniu modeli opracowanych wcześniej. W tym miejscu można wymienić prace Hwang'a i jego współpracowników [108] dotyczące symulacji komputerowych asymetrycznego walcowania aluminium i stali. Podczas obliczeń wykorzystywali oni zarówno tak zwaną funkcję prądu [118] jak i tradycyjny model płyty [107]. W roku 2012 Zhang i współpracownicy [103] udokładnili model Hwang’a [107] i Salimi’ego [102] (oparty na metodzie płyty), otrzymując siły i momenty walcowania, bardziej zbliżone do wyników eksperymentalnych. Z kolei Qwamizadeh [110] poprawił procedurę stosowną przez Hwang’a [108] dzięki czemu możliwym stało się przewidywanie kierunku wygięcia walcowanego pasma.

Rozkłady naprężeń i odkształceń dla założonego płaskiego stanu odkształceń można wyznaczyć w oparciu o metodę linii poślizgi i charakterystyk, której podstawy opracowano w latach dwudziestych ubiegłego wieku [119]. Do analizy wygięcia pasma walcowanego asymetrycznie metodę tą stosowali Dewhurst i współpracownicy [74, 120].

W trzeciej grupie prac stosowano techniki pozwalające na graniczne oszacowania rozwiązania problemu brzegowego – to jest oszacowanie górne oraz oszacowanie dolne (ang. upper and lower bound models). Metoda ta pozwala na oszacowanie granicznych naprężeń uplastyczniających przy założonym polu odkształceń. Do analizy walcowania asymetrycznego metody te stosowali między innymi Johnson i współpracownicy [73, 81], Pan i Sansome [75], Kiuchi i Hsiang [121] oraz Hwang i Chen [118].

40 W najnowszych pracach do modelowania walcowania asymetrycznego zwykle wykorzystywana jest metoda element skończonych (MES). Shivpuri i wsp. [122] zastosowali

MES z jawną (zamkniętą) metodą całkowania, polegającą na ekstrapolacji rozwiązania

równania ruchu z początku na koniec kroku czasowego (ang. explicite time integration). Wyznaczyli oni kształt pasma walcowanego na walcach o różnych prędkościach kątowych stwierdzając, że wygina się ono zwykle w kierunku walca o mniejszej prędkości kątowej. Z kolei Richelsen [105] stwierdził, że pasmo wygina się w kierunku tego z walców (o jednakowych średnicach i prędkościach kątowych) dla którego współczynnik tarcia o walcowany materiał jest większy. Wniosek ten wynika z obliczeń wykonanych dla ciała sprężysto-plastycznego walcowanego w płaskim stanie odkształceń.

Wpływ średnicy walców i początkowej grubości walcowanego pasma na jego krzywiznę, po walcowaniu SR-DD na gorąco z asymetrią A=1,2, badali Liu i wsp. stosując model walcowania w płaskim stanie odkształceń [101]. Stwierdzili oni, że oprócz wartości współczynnika A na kształt walcowanego pasma wpływa średnica walców, wielkość odkształcenia i początkowa grubość walcowanego materiału. Wraz ze wzrostem grubości początkowej pasmo wygina się w kierunku walca o większej średnicy, a ze wzrostem stopnia odkształcenia w stronę walca o mniejszej średnicy.

W celu przewidywania krzywizny pasma walcowanego asymetrycznie Farhat-Nia zastosowała MES z adaptacją siatki metodą ALE (ang. Arbitrary Lagrangian-Eulerian) [123]. Procedura ta pozwala na przemieszczanie się siatki MES, bez zmian jej topologii, niezależnie od zmiany kształtu symulowanego materiału. Farhat-Nia stwierdza, że krzywizna pasma wzrasta wraz ze wielkością odkształcenia jednostkowego ale można ją kontrolować poprzez zmianę prędkości walców. Akbari Mousavi i wsp. [124] modelowali walcowanie asymetryczne przy użyciu trójwymiarowego modelu MES pracującego w środowisku obliczeniowym ABAQUS/EXPLICIT. Przyjęli oni, że kryterium Tresca’i odpowiada za płynięcie plastyczne metalu z założenia umacniającego się zgodnie z prawem Hollomona (naprężenie płynięcia proporcjonalne do n-tej potęgi odkształcenia, gdzie n jest wykładnikiem umocnienia odkształceniowego) oraz Coulombowskie tarcie sztywnych walców o materiał walcowany z anizotropiami (A) z przedziału A=1-1,12, wywołanymi zróżnicowaniem prędkości kątowych walców. Stwierdzili, że w takich warunkach, dla 25 % redukcji grubości, można oczekiwać co najwyżej 10 % redukcji siły i momentu walcowania w stosunku do tych dla walcowania symetrycznego.

41 Na szczególną uwagę zasługuje praca A. Halloumi’ego [125], w której do analizy procesu walcowania asymetrycznego (zarówno na zimno jak i na gorąco) zastosowano nie tylko MES ale również metodę różnic skończonych, metodę linii płynięcia i prosty model makroskopowo jednorodnego odkształcenia w warunkach płaskiego stanu odkształceń (franc. méthode du champ uniforme). Przeanalizowano asymetrię walcowania wywołaną przez zróżnicowanie średnic i prędkości kątowych walców oraz wartości współczynnika tarcia walców i walcowanego metalu. Okazało się, że wyniki każdego z powyższych modeli dobrze opisują różne aspekty procesu walcowania asymetrycznego, ale najpełniejszy zestaw danych daje MES. Wyniki obliczeń Halloumie’go potwierdziły doniesienia literaturowe, że wprowadzenie asymetrii podczas walcowania na zimno może o około 30 % zmniejszyć siłę walcowania. Policzył on również, że wzrost asymetrii walcowania na zimno, zwiększa naprężenia styczne, ale wartość tych naprężeń jest mniejsza od wartości naprężeń normalnych. Ponadto przewidział, że w przypadku walcowania na zimno zysk energetyczny dotyczy jedynie asymetrii A nie większych niż 1,3 (0,7 w mierze asymetrii przyjętej przez Halloumie’go), a bardziej asymetryczne walcowanie wymaga większej mocy niż walcowanie symetryczne. Nie dotyczy to jednak przypadku gdy asymetria została wywołana przez zróżnicowanie tarcia. W takim przypadku (przynajmniej dla A<1,2) walcowanie asymetryczne wymaga większej mocy niż walcowanie symetryczne. Wyniki symulacji Halloumie’go dotyczące walcowania na gorąco potwierdziły, że walcowane pasmo wygina się w kierunku walca o mniejszej średnicy lub prędkości kątowej albo tego o mniejszym tarciu o walcowany materiał. Ponadto wykazały one, że kolejne przepusty walcowania asymetrycznego wywołują większe odkształcenie zastępcze, niż w przypadku walcowania symetrycznego oraz, że poprzez dobór drogi odkształcenia (sposobu składania tych odkształceń) można zminimalizować niejednorodność rozkładu odkształceń na grubości walcowanego pasma.

W Polsce analizy procesu AR za pomocą MES wykonywano w AGH [126–130] i w Politechnice Częstochowskiej [62, 63, 100, 113, 131]. Prace Wilka, Pietrzyka i współpracowników [126–130] dotyczyły asymetrycznego walcowania na zimno taśm stalowych, także w warunkach stosowania ich naciągu. Stwierdzono, że stosowanie naciągów zmienia położenie płaszczyzn neutralnych w kotlinie walcowniczej, pozwala na unikanie „buksowania” walców i częściowo neutralizuje problem wyginania się walcowanych pasm.

W pracach Kawałek i współpracowników do symulacji procesu AR wykorzystywano programy FORGE oraz ELROLL [62, 63, 100, 113, 131]. Prace te dotyczyły grubych blach

42 stalowych walcowanych na gorąco, w ostatniej lub dwóch ostatnich klatkach wykańczających, w których asymetrię uzyskiwano poprzez zróżnicowanie prędkości obwodowych walców roboczych [63, 100, 113]. Kawałek stwierdziła, że dla każdego procesu AR można określić takie warunki technologiczne, dla których walcowane pasmo będzie proste [63]. Wyginanie pasma walcowanego asymetrycznie można więc kontrolować poprzez dobór grubości początkowej walcowanego pasma, wartość współczynnika asymetrii oraz wielkości nadawanego odkształcenia [100, 113]. Kawałek przewidziała również około 10 % zmniejszenie obciążenia walców, podczas asymetrycznego walcowania stali [62, 132]. Wyniki obliczeń Kawałek zostały pozytywnie zweryfikowane w warunkach przemysłowych, w dwóch ostatnich klatkach walcowni blach huty im. T. Sendzimira w Krakowie. Podczas tych prób zarejestrowano także istotne zmniejszenie ilości braków (o 50 % z tytułu wypukłości gotowych blach, o 30 % z powodu ich falistości i o 10 % z tytułu niedowalcowań) [133].

Badania walcowania asymetrycznego prowadzone były także w laboratoriach przemysłowych, takich jak Institut de Recherche de la Siderurgie (IRSID) – obecnie Arcelor Mittal Maiziéres Research SA w Maiziéres-lés-Metz, Lorraine (Francja) czy laboratoria firmy

SSAB w Sztokholmie (Szwecja), jednak dostęp do wyników tych prac jest ograniczony.

W oparciu o obliczenia metodą przekrojów (franc. méthode des tranches) [134]. Heurtault [135] stwierdził, że zarówno podczas walcowania na zimno jak i na gorąco, siła walcowania maleje proporcjonalnie do wzrostu różnicy prędkości liniowych współpracujących walców, zaś znaki momentów sił na obu walcach są przeciwne. W tej samej publikacji w oparciu o badania modeli wykonanych z plasteliny Heurtault pokazał, że krzywizna walcowanego pasma bardziej zależy od różnicy prędkości współpracujących walców, niż od asymetrii kotliny walcowniczej. Z kolei Vanel [64] przytacza wnioski z obliczeń i badań eksperymetalnych wykonanych w IRSID (w roku 2001), dla stali o ograniczonej zawartości pierwiastków międzywęzłowych (ang. Interstitial Free

Steels – IF). Pokazują one, że 20 % różnica prędkości kątowych współpracujących walców

roboczych umożliwia zwiększenie maksymalnego odkształcenia w klatce walcowniczej o 3-8 %. Jednakże w jego raporcie odnotowano, że w tym przypadku duża asymetria w rozkładzie mocy silników powoduje nie akceptowalne wibracje, utrudniające bezpieczną eksploatację walcarki tandem (z walcami o średnicach 480 mm) stosowanej w tym eksperymencie. Powyższe wnioski są obarczone istotnym błędem, bowiem próby przemysłowe ujawniły fakt, że w tamtym okresie rutynowa praca walcarki używanej do prób

43 (walcarka tandem oddziału SSAB w Borlänge, Szwecja) odbywała się w warunkach niekontrolowanej asymetrii wywołanej różnicami smarowania górnej i dolnej powierzchni walcowanego pasma.

W latach 2003-2006 obszerne badania asymetrycznego walcowania na gorąco stali węglowych wykonał zespół z Centrum Badawczego firmy ArcelorMittal z Maizières-lès-Metz we Francji, Centre de Recherche Métallurgique w Liége w Belgii i w Centro Sviluppo Materiali w Rzymie (Włochy) [136]. Dostępne wyniki tych badań, dotyczące modelowania z wykorzystaniem metody MES, pokazują istotne obniżenie siły podczas walcowania asymetrycznego, ale jedynie w przypadku odkształceń nie mniejszych niż 30 % redukcji grubości. Wniosek ten został potwierdzony eksperymentalnie, podobnie jak wynik wskazujący na obniżenie momentu sił i mocy, w wyniku wprowadzenia asymetrii. Ponadto wyniki modelowania wskazały, że przy odpowiednio dużym odkształceniu walcowanie asymetryczne prowadzi do bardziej jednorodnego rozkładu odkształceń na grubości pasma, niż w ten przewidziany dla walcowania symetrycznego. Dla 20 % redukcji grubości policzone rozkłady odkształceń dla porównywanych procesów walcowania nie wykazały istotnych różnic, ale były ewidentne dla 70 % redukcji grubości.

Wyniki badań eksperymentalnych procesu walcowania asymetrycznego były publikowane od dawna. W pracach tych zwykle stosowano modele wykonane z plasteliny [99] ołowiu, stali i aluminium [137]. W ten sposób wykazano, że wprowadzenie asymetrii walcowania może obniżyć siłę walcowania aż o około 40%. W oparciu o badania modeli Ghobrial [138] wywnioskował, że zróżnicowanie średnic walców nie wpływa istotnie na wielkość obszaru zlokalizowanego ścinania (obszar analogiczny do tzw. krzyża kucia) oraz, że położenie punktu maksymalnych naprężeń ściskających pochodzących od walca o mniejszej średnicy nie musi opowiadać położeniu punktu neutralnego. Modele fizyczne stosowali również Hwang i współpracownicy [108, 139], w celu weryfikacji stosowanych przez nich procedur obliczeniowych. Należy jednak zauważyć mniejszą dokładność wyników uzyskanych z badania modeli, niż tych pochodzących z obecnie stosowanych metod obliczeniowych.

W podsumowaniu można stwierdzić, że obecnie najpełniejszy zestaw wartościowych wyników dostarczają trójwymiarowe modele procesu walcowania wykorzystujące MES. Obliczenia takie można wykonywać na komputerach osobistych i z powodzeniem wykorzystywać je do przewidywania wpływu asymetrii na kształt walcowanego pasma,

44 parametry siłowo-energetyczne procesu oraz do analizy rozkładów naprężeń i odkształceń na grubości walcowanych blach. 