Rozdział 3 Modele jakości wody
3.4 Metody rozwiązywania modelu jakości wody w SDWP
3.4.1 Metody bazujące na podejściu Euler’a
3.4.1.2 Metoda objętości dyskretnych - DVM
Natomiast modele stężenia chloru dla węzłów przedstawione zależnościami (3.13) i (3.18) są równaniami statyki i w dyskretnych chwilach czasu przyjmują postaci (3.53) i (3.54) (Brdys i inni 1995b): hydrauliki, czyli na przedziałach stałych wartości wielkości hydraulicznych. W momencie rozpoczęcia kolejnego kroku TH następuje wybór nowej siatki i procedura wyznaczania stężeń chloru jest kontynuowana na nowej siatce. Stężenia chloru w nowych punktach siatki są wyznaczane w oparciu o dostępne stężenia z poprzedniego kroku TH poprzez zastosowanie interpolacji liniowej. Dokładność metody FDM ściśle zależy od długości przyjętego kroku jakości TQ (Rossman i Boulos 1996; Boulos i inni 2004).
3.4.1.2 Metoda objętości dyskretnych - DVM
W przeciwieństwie do metody FDM opisanej w podrozdziale 3.4.1.1, do określenia czasowego i przestrzennego rozkładu stężenia chloru w każdym rurociągu, metoda DVM wykorzystuje rozwiązanie równania (3.26). Rozwiązanie to dla przedziału czasu, w którym
liniowa prędkość przepływu wody jest stała (czyli w obrębie kroku hydrauliki TH) jest postaci (3.55) (Rossman i inni 1993):
l Q T
Q l l Q
l v
T z e
t T v z c T t z
c , , l Q; (3.55)
Zależność (3.55) opisuje rozprzestrzenianie się stężenia chloru (jak również innych substancji niezachowawczych) w rurociągu l w czasie t, jako adwekcyjny transport na odległość vlTQ
w przedziale czasu TQ z ekspotencjalną kinetyką zmian tego stężenia.
W metodzie DVM następuje podział każdego rurociągu na serię segmentów o jednakowych objętościach, w których zakłada się całkowite i natychmiastowe wymieszanie (Rossman i inni 1993; Rossman i Boulos 1996; Boulos i inni 2004). Procedura podziału rurociągów na segmenty Δl jest następująca (Rossman i inni 1993):
Krok 1. Dla danego kroku hydrauliki TH zostają obliczone czasy transportu wody TT przez rurociągi w oparciu o równanie (3.56):
l l l
T v
T , L (3.56)
gdzie:
l - indeks rurociągu,
Ll - długość l-tego rurociągu,
vl - liniowa prędkość przepływu wody przez l-ty rurociąg w obrębie danego TH .
Krok 2. Zgodnie z zależnością (3.55) dla chwili czasu t stężenie chloru w wodzie w obrębie danego rurociągu ulega adwekcyjnemu transportowi na odległość vlTQ w przedziale czasu TQ
z ekspotencjalną kinetyką zmian tego stężenia. Przedział czasu TQ traktowany jest zatem jako krok jakości. W celu przeciwdziałania sytuacji, w której nastąpiłby transport wody poza obręb danego rurociągu krok jakości TQ nie może być dłuższy niż najkrótszy czas transportu wody przez wszystkie rurociągi w SDWP, w obrębie danego kroku hydrauliki TH. Zatem, wartość kroku jakości TQ można wyznaczyć na podstawie zależności (3.57):
l l T
Q T
T min , (3.57)
Jak już wspomniano zakłada się, iż krok hydrauliki TH jest całkowitą wielokrotnością kroku jakości TQ (patrz zależność (3.48)); jak również wspomniano (patrz podrozdział 2.6) typowo w SDWP długość kroku jakości TQ wynosi kilka minut.
Krok 3. Obliczenie liczby segmentów N dla każdego rurociągu, dla danego kroku hydrauliki TH korzystając z zależności (3.58):
Q l T
l T
N T , (3.58)
gdzie:
N- operacja zaokrąglania wartości do najbliższej liczby naturalnej.Krok 4. Obliczenie długości segmentu Δl dla każdego rurociągu, dla danego kroku hydrauliki TH na podstawie zależności (3.59):
l l
l N
l L
(3.59)
W wyznaczonym podziale rurociągów, zgodnie z powyższą procedurą, następuje dla każdego kolejnego TQ w każdej objętości segmentu, najpierw reakcja chloru zgodnie z przyjętym modelem kinetyki pierwszego rzędu, a następnie transport do sąsiedniego segmentu zgodnie z kierunkiem przepływu wody (Rossman i Boulos 1996; Zierolf i inni 1996; Zierolf i inni 1998; Boulos i inni 2004). Zatem, transport następuje do sąsiedniego segmentu dolnego, w ogólności do węzła dolnego (patrz rysunek 3.6). Kiedy sąsiedni segment jest węzłem (zgodnie z kierunkiem przepływu wody - ostatni segment danego rurociągu), następuje dodanie wprowadzanej masy domieszki (stężenia chloru) oraz natężenia przepływu do stężeń i natężeń przepływów wprowadzanych do tego węzła innymi rurociągami. W związku z tym, po reakcji oraz transporcie następuje wyznaczenie stężenia chloru (zgodnie z zależnościami (3.13) i (3.18)) we wszystkich węzłach SDWP a następnie wprowadzenie tego stężenia do pierwszych segmentów rurociągów, którymi woda opuszcza węzeł. Stężenia chloru w ostatnich segmentach rurociągów wprowadzających wodę do zbiorników wykorzystywane są do wyznaczania stężeń chloru w zbiornikach zgodnie z zależnościami (3.40) i (3.41), a następnie stężenia te wprowadzane są do pierwszych segmentów rurociągów wyprowadzających wodę ze zbiorników. Cała sekwencja powtarzana jest przez kolejne TQ aż
do momentu zakończenia kroku hydrauliki TH. W momencie pojawienia się nowych warunków hydraulicznych - rozpoczęcia kolejnego TH następuje nowy podział rurociągów na segmenty. Zatem, liczba segmentów w obrębie danego rurociągu może być różna dla kolejnych TH. Działanie to powoduje powstawanie analogicznej siatki przestrzennej jak w metodzie FDM. Przebieg procedury wyznaczania stężenia chloru w rurociągu w metodzie DVM dla pojedynczego TQ przedstawiono na rysunku 3.8 (Rossman i inni 1993; Rossman i Boulos 1996; Boulos i inni 2004):
Jak już wspomniano pojawienie się kolejnego kroku hydrauliki powoduje nowy podział rurociągów na segmenty. Pojawia się zatem zadanie wyznaczenia początkowego stężenia chloru w nowych segmentach (na początku nowego TH) na podstawie stężenia chloru w starych segmentach (na końcu poprzedniego TH). Stężenie to wyznacza się poprzez
„nakładanie” stężenia chloru ze starych segmentów na nowy podział. Możliwe są dwa przypadki:
(1) dla danego rurociągu liczba segmentów w nowym podziale jest mniejsza niż w starym podziale,
(2) dla danego rurociągu liczba segmentów w nowym podziale jest większa niż w starym podziale.
W przypadku (1) objętości ze starych segmentów są bezpośrednio przenoszone do nowego segmentu, aż do momentu pełnego wypełnienia jego objętości. Następnie ustalane jest stężenie w nowym segmencie poprzez proporcjonalne określanie wpływu stężeń ze starych segmentów. Innymi słowy, początkowe stężenie w nowym segmencie jest wynikiem proporcjonalnego podziału stężeń ze wszystkich starych segmentów związanych z konkretnym nowym segmentem. Działanie to zostało zobrazowane na rysunku 3.9 (Rossman i inni 1993; Boulos i inni 2004).
Rysunek 3.9 Wyznaczanie początkowego stężenia chloru w rurociągu w przypadku (1)
W przypadku (2) objętość nowego segmentu i każdego następnego nowego segmentu jest wynikiem przekazania objętości starego segmentu z proporcjonalnym podziałem stężenia, aż
do momentu wyczerpania się objętości starego segmentu. Działanie to zostało zobrazowane na rysunku 3.10 (Rossman i inni 1993; Boulos i inni 2004).
Rysunek 3.10 Wyznaczanie początkowego stężenia chloru w rurociągu w przypadku (2)
W przestawionej powyżej metodzie DVM wyróżnia się dwa ekstremalne przypadki, które muszą być uwzględniane w procedurze podziału rurociągów. Przypadki te wynikają ze stosunku długości rurociągów i liniowej prędkości natężenia przepływu wody. Są one następujące (Rossman i inni 1993):
(a) duża liniowa prędkość przepływu wody w rurociągu o małej długości, (b) mała liniowa prędkość przepływu wody w rurociągu o znacznej długości.
Przypadek (a) powoduje, iż krok jakości TQ przyjmuje bardzo małą wartość. W wyniku tego następuje bardzo duże zwiększenie czasu obliczeń. Aby tego uniknąć wprowadza się minimalny krok jakości TQ,min. Działanie to powoduje pewną utratę dokładności uzyskiwanego rozwiązania przede wszystkim dla rurociągów z krótkim czasem transportu (będzie następowało w nich większe niż powinno zanikanie stężenia chloru).
W przypadku (b) występuje bardzo duża liczba segmentów w rurociągach, co również wydłuża czas obliczeń oraz może prowadzić do przekroczenia pamięci komputera. Aby tego uniknąć wprowadza się maksymalną liczbę segmentów w obrębie rurociągu Nl,max. Analogicznie jak poprzednio wprowadza to pewną utratę dokładności rozwiązania przede wszystkim dla rurociągów z długim czasem transportu (będzie w nich następował szybszy niż powinien transport stężenia chloru).
Warto zauważyć, iż w metodzie DVM w danym TH zawartości sąsiednich segmentów nie są mieszane ze sobą. Mieszanie to może następować tylko pomiędzy kolejnymi TH, co wynika z nowego podziału rurociągów na segmenty. Dokładność metody podobnie jak w przypadku metody FDM zależy od długości kroku jakości TQ (Rossmann i Boulos 1996).