Modelowanie niepewności

Modelowanie niepewności może odbywać się na wiele sposobów (Schweppe 1973; Milanese i Vicino 1991; Kurzhanski i Veliov 1994; Brdys i Ulanicki 1994; Milanese i inni 1996;

Ayyub i Gupta 1997; Chang i inni 2004; Rutkowski 2004; Duzinkiewicz 2005), spośród których najbardziej rozpowszechnionymi są następujące trzy modele:

I) Probabilistyczny model niepewności. W podejściu tym modelowanie niepewności oparte jest na modelach probabilistycznych wyprowadzanych przy przyjęciu określonych założeń statystycznych o zakłóceniach. Niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych losowych wylosowanych ze ściśle określonych zbiorów. Informacja o wielkościach niepewnych jest podawana za pomocą łącznej funkcji gęstości prawdopodobieństwa (lub funkcji rozkładu).

II) Rozmyty model niepewności. Modelowanie niepewności w tym podejściu bazuje na teorii zbiorów rozmytych. Niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych rozmytych, zdefiniowanych bezpośrednio przez funkcję przynależności.

III) Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych. W podejściu tym niepewne wielkości modelowane są w postaci granic - dolnej i górnej, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości. W przypadku pojedynczych zmiennych są to więc przedziały niepewności. W przypadku wielkości zmiennych w czasie nieznane ich trajektorie ograniczane są przez górną i dolną trajektorię graniczną.

Rozpatrując przedstawioną powyżej klasyfikację pod kątem wybrania sposobu modelowania niepewności w SDWP należy przede wszystkim prześledzić wymagania nakładane na system z punktu widzenia wyżej wymienionych sposobów modelowania niepewności.

Podejście probabilistyczne wymaga posiadania wiarygodnych modeli probabilistycznych. Dla uzyskania takich modeli konieczne jest posiadanie wystarczającej liczby danych gwarantujących wiarygodność przyjętych funkcji gęstości prawdopodobieństwa (Duzinkiewicz 2005). Dodatkowo niestacjonarność procesów wymusza posiadanie długich próbek danych dla uzyskania charakterystyk probabilistycznych. Jedną z najbardziej popularnych metod estymacji wykorzystujących probabilistyczne modele niepewności jest estymacja z wykorzystaniem filtru Kalmana, a w przypadku systemów nieliniowych jego zmodyfikowanej wersji w postaci rozszerzonego filtru Kalmana (ang. Extended Kalman Filter) (Kalman 1960; Jazwinski 1970; Grewal i Andrews 2001). Niemniej jednak należy zdawać sobie sprawę, iż wykorzystanie w procesie estymacji filtru Kalmana pociąga za sobą konieczność nałożenia na występującą niepewność specyficznych założeń. Typową sytuacją, w której wykorzystywane są probabilistyczne modele niepewności jest sytuacja, w której niepewność posiada rozkład Gaussa oraz nie posiada ona struktury czasowej. Jeśli niepewności występujące w systemie spełniają powyższe założenia wówczas wykorzystując filtr Kalmana uzyskuje się optymalne w sensie kowariancji błędu estymacji estymaty wielkości niemierzalnych czy też niemierzonych. Filtr Kalmana został z powodzeniem wykorzystany między innymi w procesie estymacji zmiennych stanu reaktora biologicznego oczyszczalni ścieków (Brdys i inni 2003; Konarczak 2004). Niestety, w wielu sytuacjach założenie o losowej naturze niepewności może być dyskusyjne. Wynika to z faktu, iż w warunkach rzeczywistych statystyczne właściwości błędu pomiarowego jak i błędu modelowania są rzadko znane, jeśli w ogóle można je określić. Ogólnie przyjmowane założenie o gaussowskim rozkładzie błędu nie zawsze jest poprawne w wyniku złożoności czynników wpływających na powstawanie błędów (Brdys i Ulanicki 1994).

W modelowaniu niepewności w sposób rozmyty występują podobne problemy jak w podejściu probabilistycznym (Duzinkiewicz 2005). Wynika to z faktu, iż aby rozmyte modele niepewności oddawały charakter błędu, konieczna jest znajomość jego właściwości prowadząca do odpowiedniego doboru funkcji przynależności.

Zatem, uzyskanie wiarygodnych modeli probabilistycznych lub rozmytych niepewności w SDWP jest zadaniem bardzo trudnym, przede wszystkim ze względu na ich niestacjonarny charakter i strukturę (Duzinkiewicz 2005). Dodatkowo uzyskane estymaty w oparciu o probabilistyczne lub rozmyte modele niepewności mogą być kwestionowane przy

rozwiązywaniu problemów decyzyjnych, w których wymagana jest duża pewność przewidywanych konsekwencji decyzji.

W przeciwieństwie do modeli probabilistycznych i rozmytych, modele niepewności w postaci zbiorów ograniczonych są bardziej realistyczne, gdyż potrzebują mniej informacji a priori o charakterze systemu oraz są łatwiejsze do uzyskania i interpretacji (Brdys i Ulanicki 1994).

Dodatkowo z punktu widzenia podejmowania decyzji o prowadzeniu systemu, informacja w postaci dolnych i górnych ograniczeń wartości zmiennych często jest bardziej wartościowa niż dokładna ich wartość. Ponadto, taki model niepewności umożliwia uzyskanie krzepkich estymat poszukiwanych zmiennych oraz gwarantowanego oszacowania błędu estymacji.

Wymienione w bieżącym podrozdziale cechy każdego ze sposobów modelowania niepewności miały kluczowe znaczenie odnośnie wyboru sposobu modelowania niepewności wykorzystywanego w rozprawie. Wybrany został model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych. Takie podejście do modelowania niepewności wykorzystane zostało w problemach estymacji zarówno w systemach wodociągowych (Brdys i Kang 1994; Brdys i Chen 1995; Chen i Brdys 1995; Brdys i Chen 1996; Chen 1997; Brdys 1999; Brdys i inni 2001a; Brdys i inni 2001b; Duzinkiewicz 2006) jak i w systemach ściekowych (Rutkowski i inni 2003; Rutkowski 2004; Rutkowski i Brdys 2008).

4.2.1 Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych

Modelowanie niepewności w postaci zbiorów ograniczonych jest szeroko opisane w literaturze, np. w (Brdys i Ulanicki 1994; Milanese i inni 1996; Rutkowski 2004;

Duzinkiewicz 2005). Jak już wspomniano (patrz podrozdział 4.2), w podejściu tym niepewne wielkości modelowane są w postaci granic - dolnej i górnej, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wartości. Rozważmy, więc pewną rzeczywistą zmienną w czasie, niepewną wielkość s_r

 

t . Wykorzystując modelowanie niepewności w postaci zbiorów ograniczonych, w oparciu o informację pomiarową s_p

 

t oraz informację o błędzie pomiarowym 

 

t uzyskuje się trajektorie ograniczające wartość rzeczywistej zmiennej s_r

 

t . Sytuację tę przedstawiono na rysunku 4.1. Biorąc pod uwagę fakt, iż informacja pomiarowa

 

t

s_p obarczona jest błędem pomiarowym 

 

t można napisać następującą zależność:

 

t s

   

t t

s_p  _r  (4.1)

Następnie zakładając ograniczoność błędu 

 

t :

 

^max

 t  (4.2)

zachodzi nierówność (4.3):

 

t ^max s

 

t s

 

t ^max

s_{p r p} (4.3)

Wprowadzając oznaczenia: s_r^

 

t s_p

 

t ^max oraz s_r^

 

t s_p

 

t ^max nierówność (4.3) można zapisać w formie (4.4):

 

t s

 

t s

 

t

s_r^  _r  _r^ (4.4)

Zatem, trajektorie ograniczające rzeczywistą trajektorię wielkości s_r

 

t można przedstawić w postaci odpowiednich trajektorii ograniczających: dolnej s_r^

 

t oraz górnej s_r^

 

t (patrz rysunek 4.1).

s(t)

t

 



 

^max

 t s t

s_{r p}

 

t s_r

 



 

^max

 t s t

s_{r p}

Rysunek 4.1 Graficzna interpretacja modelowania niepewności w postaci zbiorów ograniczonych

Analogiczny sposób postępowania można przedstawić dla wielkości s_r

 

t w przypadku, gdy nie dysponujemy informacją pomiarową, a jedynie informacją z modelu systemu. Nierówność (4.3) przyjmuje wówczas postać (4.5):

 

^mod,max

 

_mod

 

^mod,max

mod t  s t s t 

s _r (4.5)

gdzie:

 

t

s_mod - informacja uzyskana z modelu systemu,

max

mod, - wartość ograniczająca błąd modelowania.

Wykorzystując przedstawione powyżej modelowanie niepewności w postaci zbiorów ograniczonych, w wyniku rozwiązania zadania estymacji uzyskuje się również trajektorie graniczne wielkości estymowanych. Dla przykładowej estymowanej wielkości 

 

t na rysunku 4.2 przedstawiono trajektorie dolnej estymaty ˆ^

 

t i górnej estymaty ˆ^

 

t ograniczające odpowiednio z dołu i z góry trajektorię nieznanej wielkości  . Dodatkowo

 

t na rysunku 4.2 przedstawiono trajektorię centrum Chebysheva - ^*

 

t wyznaczonego zgodnie z zależnością (4.6):

     

2 ˆ

* ˆ t t

t



 

 

 (4.6)

Trajektorie graniczne wyznaczane są w trakcie procesu estymacji i pomiędzy nimi na pewno znajduje się trajektoria zmiennej estymowanej 

 

t .

 (t)

t

 

t

ˆ

 

t

ˆ

 

t ˆ*



 

t



Rysunek 4.2 Wyniki estymacji przy wykorzystaniu modelu niepewności w postaci zbiorów ograniczonych

W dokumencie Algorytmy alokacji punktów monitorowania jakości w systemach dystrybucji wody pitnej : rozprawa doktorska (Stron 136-141)