Metody bazujące na podejściu Lagrange’a

3.4.2 Metody bazujące na podejściu Lagrange’a

Metody numeryczne bazujące na podejściu Lagrange’a polegają na śledzeniu zmian stężenia chloru w szeregu dyskretnych porcji wody podczas ich transportu przez rurociągi (Rossman i Boulos 1996; Zierolf i inni 1996; Zierolf i inni 1998; Boulos i inni 2004). Dyskretne porcje wody mogą być traktowane, podobnie jak w metodach bazujących na podejściu Euler’a, jako segmenty w obrębie rurociągu. Różnica w tych metodach polega na tym, że segmenty w obrębie danego rurociągu, wyznaczane analogicznie jak w metodzie DVM (patrz podrozdział 3.4.1.2), wraz ze wzrostem czasu (w obrębie danego TH) zmieniają swój rozmiar.

Jak już wspomniano metody bazujące na podejściu Lagrange’a dzieli się na dwa rodzaje:

sterowane czasem (TDM) oraz sterowane zdarzeniami (EDM). W metodzie TDM uaktualnianie stanu SDWP (z punktu widzenia jakości) następuje w ustalonych, sztywnych chwilach czasu (co krok jakości TQ). Natomiast w metodzie EDM uaktualnianie to następuje tylko momencie kiedy nowa, dyskretna porcja wody osiągnie koniec danego rurociągu (dotrze do węzła dolnego) i nastąpi jej zmieszanie z wodą wprowadzaną do tego węzła innymi rurociągami (Rossman i Boulos 1996; Zierolf i inni 1996; Zierolf i inni 1998). Obie metody bazujące na podejściu Lagrange’a, podobnie jak metoda DVM, wykorzystują rozwiązanie równania (3.26) postaci (3.55) (Zierolf i inni 1996; Zierolf i inni 1998).

3.4.2.1 Metoda sterowana czasem - TDM

W metodzie TDM następuje śledzenie stężenia i rozmiaru szeregu nienachodzących na siebie segmentów z wodą wypełniających każdy rurociąg w SDWP. Wraz z upływem czasu rozmiar górnego segmentu (czyli leżącego najbliżej węzła górnego) zwiększa się, a rozmiar segmentu dolnego (czyli leżącego najbliżej węzła dolnego) ulega zmniejszeniu. Rozmiary segmentów, które leżą pomiędzy segmentem górnym i dolnym pozostają bez zmian. Opisane powyżej działanie zilustrowane zostało na rysunku 3.11 (Rossman i Boulos 1996; Rossman 2000):

Rysunek 3.11 Zmiana rozmiarów segmentów w metodzie TDM: (1) Chwila czasu t, (2) Chwila czasu t + TQ

W metodzie TDM w każdym kroku jakości TQ można wyróżnić następujące fazy (Rossman 2000; Boulos i inni 2004):

1) Uaktualnianie stężenia chloru w każdym segmencie, poprzez uwzględnienie reakcji chloru zachodzącej w segmencie, w danym TQ.

2) Stężenia chloru wprowadzane do węzła (a więc stężenia w dolnych segmentach) mieszane są ze sobą w celu wyznaczenia nowych stężeń w węzłach z uwzględnieniem ewentualnych zewnętrznych źródeł (zgodnie z zależnościami (3.13) i (3.18)). Objętość wnoszona z każdego segmentu do węzła jest iloczynem kroku jakości TQ i natężenia przepływu wody w danym rurociągu. Jeżeli wyliczona objętość przekracza rozmiar segmentu wtedy segment ten jest „niszczony” i sąsiedni segment będący za nim staje się segmentem wprowadzającym objętość do węzła.

3) Stężenia chloru w zbiornikach uaktualniane są w zależności od przyjętego modelu mieszania. Jeśli przejęty model zbiornika jest typu RCW (patrz podrozdział 3.2.3) to uaktualnianie odbywa się zgodnie z zależnościami (3.40) i (3.41).

4) Nowe segmenty są tworzone w rurociągach wyprowadzających wodę z węzłów, źródeł i zbiorników (patrz rysunek 3.11)). Objętość nowego segmentu jest iloczynem natężenia przepływu wody w rurociągu oraz kroku jakości TQ, natomiast stężenie

chloru w tym segmencie równe jest stężeniu obliczonemu dla węzła (źródła lub zbiornika).

Wykonanie 4) następuje tylko wówczas, gdy obliczone nowe stężenie chloru w węźle różni się od dopuszczalnej tolerancji. Dokładniej mówiąc wtedy, gdy różnica pomiędzy obliczonym nowym stężeniem w węźle i stężeniem w przylegającym do węzła segmencie rurociągu odpływowego przekracza założoną dopuszczalną wartość. Jeżeli różnica ta jest mniejsza od założonej tolerancji, wówczas nowy segment nie jest tworzony, a wymiar segmentu przylegającego jest zwiększany o objętość wprowadzaną do rurociągu odpływowego w kroku jakości TQ.

Cała procedura jest powtarzana dla kolejnego TQ. W momencie rozpoczęcia się kolejnego kroku hydrauliki TH kolejność segmentów w każdym rurociągu, w którym następuje zmiana kierunku przepływu wody jest przestawiana. Następuje ponowny podział rurociągów na segmenty oraz uaktualnienie stężenie chloru w nowych segmentach w sposób analogiczny jak w metodzie DVM (patrz podrozdział 3.4.1.2).

Dokładność metody TDM zależy od długości kroku jakości TQ oraz od przyjętej tolerancji ograniczającej generowanie nowych segmentów (Rossman i Boulos 1996).

3.4.2.2 Metoda sterowana zdarzeniami - EDM

Metoda EDM jest bardzo zbliżona do metody TDM z tą różnicą, iż w metodzie EDM uaktualnianie stanu całego SDWP nie następuje w sztywnych, ustalonych chwilach czasu.

Stan związany z poszczególnym węzłem/rurociągiem uaktualniany jest w momencie, gdy segment dolny danego rurociągu doprowadzającego wodę do węzła zostanie całkowicie

„zniszczony”. Innymi słowy, kiedy dyskretna porcja wody dotrze do węzła dolnego (Boulos i inni 1995; Rossman i Boulos 1996; Boulos i inni 2004). Zatem, rysunek 3.11 ilustruje również działanie metody EDM.

Metoda EDM wymaga utworzenia i utrzymywania uporządkowanej listy „czasów życia”

segmentów dolnych dla każdego rurociągu. W związku z tym, dla każdego rurociągu bazując na bieżącej liniowej prędkości przepływu wody oraz na wielkości dyskretnej porcji wody (rozmiarze segmentu) wyznaczany jest czas, po którym dolny segment ulegnie „zniszczeniu”.

Miejsce na liście poszczególnych dolnych segmentów uzależnione jest od długości ich

„czasów życia”, w kolejności od najkrótszego. Uaktualnienie stanu sieci następuje po upłynięciu najkrótszego „czasu życia”. Po tym czasie wykonywane są następujące działania:

1) Dolny segment z najkrótszym „czasem życia” zostaje „zniszczony”, a jego miejsce zajmuje segment sąsiadujący z nim w kierunku węzła górnego. Następuje uaktualnienie czasu symulacji.

2) Uaktualnienie stężenia w węźle, do którego dochodził dolny segment z najkrótszym

„czasem życia”, zgodnie z zależnością (3.13) lub (3.18). W przypadku, gdy dolny segment z najkrótszym „czasem życia” dochodził do zbiornika uaktualniane jest stężenie w zbiorniku zgodnie z zależnością (3.40).

3) Jeżeli uaktualnione stężenie w węźle z punktu 2) różni się od dopuszczalnej tolerancji tworzone są nowe segmenty w rurociągach odprowadzających wodę z tego węzła o stężeniu równym uaktualnionemu stężeniu w węźle (analogicznie jak ma to miejsce w metodzie TDM - patrz podrozdział 3.4.2.1 punkt 4)).

4) Uaktualnienie listy „czasów życia” dla dolnych segmentów poszczególnych rurociągów.

W celu zwiększenia przejrzystości, powyższe działanie zostało zobrazowane na rysunku 3.12.

Rysunek 3.12 Graficzna ilustracja metody EDM

Cały proces jest kontynuowany aż do zakończenia bieżącego TH. W momencie rozpoczęcia kolejnego kroku hydrauliki następuje uaktualnienie stężeń i kolejności segmentów w rurociągu (analogicznie jak w metodzie TDM) oraz listy „czasów życia” dolnych

Dokładność metody EDM zależy tylko od przyjętej tolerancji związanej z generowaniem nowych segmentów. Wykorzystując do rozwiązania modelu jakości wody metodę EDM mogą pojawić się błędy w momencie zmiany kierunku natężenia przepływu wody (Boulos i inni 1995; Rossman i Boulos 1996; Boulos i inni 2004).