Niepewność informacji a priori

max

, ε y y ε

y     (4.28)

 

_{Cl c}

 

_{Cl c}

 

_{Cl c p}

 

_{Cl c}

 

_Cl

p

c i i i i i

out out

out out

out

max ,

max

, ε y y ε

y     (4.29)

Wykorzystując oznaczenia wprowadzone w podrozdziale 4.2.1 modele niepewności informacji pomiarowej dostarczanej z urządzeń pomiarowych wielkości hydraulicznych i jakościowych w SDWP (4.24) - (4.29) przyjmują następujące postaci:

 

hyd q

 

hyd q

 

hyd

q i i ^ i

 y y

y (4.30)

 

hyd hl

 

hyd hl

 

hyd

hl i i ^ i

 y y

y (4.31)

 

_{hyd p}

 

_{hyd p}

 

_hyd

p i i ^ i

 y y

y (4.32)

 

_{Cl c}

 

_{Cl c}

 

_Cl

c i i i

źr źr

źr



 y y

y (4.33)

 

_{Cl c}

 

_{Cl c}

 

_Cl

c i i i

zb zb

zb



 y y

y (4.34)

 

_{Cl c}

 

_{Cl c}

 

_Cl

c_out i _out i ^_out i

 y y

y (4.35)

4.3.3 Niepewność informacji a priori

Zdefiniowany w podrozdziale 4.3.1 błąd modelowania jest ograniczony (patrz zależność (4.8)). Szacując wartości ε^max_M naturalnym jest przyjęcie założenia, iż długości rurociągów są znane na tyle dokładnie, że ich wpływ na wartość ε^max_M jest pomijalny. Niemniej jednak wpływ pozostałych czynników na błąd modelowania powoduje, iż w dalszym ciągu

oszacowanie wartości ε^max_M jest zadaniem nietrywialnym. W wyniku przeprowadzonych eksperymentów związanych zarówno z doborem minimalnego kroku jakości TQ,min oraz maksymalnej liczby segmentów w obrębie danego rurociągu Nl,max, których wyniki zaprezentowano w załączniku 1, jak również z wpływem poszczególnych niepewności (patrz podrozdziały 4.2.2 i 4.2.3) na jakość estymacji zaobserwowano, iż wpływ błędu modelowania można znacznie zredukować. Innymi słowy, odpowiedni dobór Nl,max oraz TQ,min pozwala na przyjęcie założenia, iż błąd modelowania może zostać zaniedbany. Powyższe założenie zostało wykorzystane w dalszej części rozprawy.

Pomiary stężeń chloru w węzłach oraz w zbiornikach dokonywane są w chwilach pomiarowych iCl. Pojawia się zatem konieczność interpolacji tych wartości pomiędzy poszczególnymi chwilami pomiarowymi. W celu ich interpolacji zakłada się, że:

Założenie A

Przedział czasowy pomiędzy kolejnymi chwilami pomiarowymi iCl, oznaczany w dalszej części niniejszej rozprawy przez TQP, jest na tyle mały, że można przyjąć, iż wartości stężeń chloru w obrębie przedziału czasu TQP są stałe.

Dodatkowo wprowadza się:

Założenie B

Maksymalne wartości błędów pomiarowych (patrz zależności (4.21) - (4.23)) w każdej pomiarowej chwili czasu iCl są takie same.

Ponadto, w oparciu o założenie A przyjmuje się, iż w obrębie przedziału czasu TQP

maksymalne wartości błędów pomiarowych są takie same jak w pomiarowych chwilach czasu iCl.

W wyniku wprowadzenia założenia B zależności (4.21) - (4.23) przyjmują następujące postaci:

 

^max_źr

źr Cl c

c i ε

ε  (4.36)

 

^max_zb

zb Cl c

c i ε

ε  (4.37)

 

^max_out

out Cl c

c i ε

ε  (4.38)

Wykorzystując założenia A i B można powiedzieć, iż pomiary stężeń chloru w węzłach oraz w zbiornikach dostępne są w każdej chwili czasu t. Zatem, nierówności (4.34) i (4.35) można napisać w postaci:

 

t _zb

 

t _zb

 

t

zb c c

c



 y y

y (4.39)

 

t

 

t

 

t

out out

out c c

c



 y y

y (4.40)

gdzie:

 

_,

 

^max ;

 

_,

 

^max

zb p

zb zb

zb p

zb

zb c c c c c

c t y t ε y t y t ε

y^   ^   (4.41)

 

_out,p

 

^max_out ; _out

 

_out,p

 

^max_out

out c c c c c

c t y t ε y t y t ε

y^   ^   (4.42)

Natomiast pomiary stężeń chloru w źródłach wody, są wartościami stężenia chloru na wyjściu ze stacji uzdatniania. Dodatkowo, w związku ze specyfiką stacji uzdatniania (patrz podrozdział 2.2.2), można założyć, iż na rozważanym horyzoncie czasu wartości stężenia chloru na wyjściu ze stacji uzdatniania są stałe. Powyższa informacja wraz z wykorzystaniem nierówności (4.36) pozwala na przeformułowanie zależności (4.33) do postaci:



_źr  _cźr  _cźr

c y y

y (4.43)

gdzie:

max max

,

,_{p źr} ; _{źr źrp źr}

źr

żr c c c c c

c y ε y y ε

y^   ^   (4.44)

W przypadku gdy w SDWP występują węzły ze sterowaniem stężeniem chloru (patrz podrozdział 3.2.1) naturalnym jest przyjęcie założenia, iż dodatkowo znane są wartości stężenia chloru dozowanego do tych węzłów. Zgodnie z przyjętym w podrozdziale 3.2.1 oznaczeniem stężenia chloru dozowanego do n-tego węzła, wektor stężeń chloru dozowanych do węzłów w całym SDWP oznaczany będzie w dalszej części rozprawy jako c_in

 

t .

Podobnie jak pomiary wartości stężeń chloru, również pomiary wartości wielkości hydraulicznych dokonywane są w pewnych chwilach pomiarowych ihyd. Analogicznie,

pojawia się zatem konieczność interpolacji tych wartości pomiędzy poszczególnymi chwilami pomiarowymi. W celu ich interpolacji zakłada się, że:

Założenie C

Przedział czasowy pomiędzy kolejnymi chwilami pomiarowymi ihyd jest równy krokowi hydrauliki TH.

Wobec tego, wartości wielkości hydraulicznych pomiędzy poszczególnymi chwilami pomiarowymi ihyd, a więc w obrębie danego kroku hydrauliki TH są stałe.

Dodatkowo wprowadza się analogicznie do założenia B:

Założenie D

Maksymalne wartości błędów pomiarowych (patrz zależności (4.18) - (4.20)) w każdej pomiarowej chwili czasu ihyd są takie same.

Ponadto, w oparciu o założenie C przyjmuje się, iż w obrębie kroku hydrauliki TH

maksymalne wartości błędów pomiarowych są takie same jak w pomiarowych chwilach czasu ihyd.

W wyniku wprowadzenia założenia D zależności (4.18) - (4.20) przyjmują następujące postaci:

 

hyd ^maxq

q i ε

ε  (4.45)

 

hyd ^maxhl

hl i ε

ε  (4.46)

 

hyd ^maxp

p i ε

ε  (4.47)

Wykorzystując założenia C i D można powiedzieć, iż pomiary wielkości hydraulicznych dostępne są w każdej chwili czasu t. Zatem, nierówności (4.30) - (4.32) można napisać w postaci:

 

t _q

 

t _q

 

t

q



 y y

y (4.48)

 

t _hl

 

t _hl

 

t

hl



 y y

y (4.49)

 

t _p

 

t _p

 

t

p



 y y

y (4.50)

gdzie:

 

_q,p

 

^max_q ; _q

 

_q,p

 

^max_q

q t y t ε y t y t ε

y^   ^   (4.51)

 

_hl,p

 

^max_hl ; _hl

 

_hl,p

 

^max_hl

hl t y t ε y t y t ε

y^   ^   (4.52)

 

_p,p

 

^max_p ; _p

 

_p,p

 

^max_p

p t y t ε y t y t ε

y^   ^   (4.53)

W celu rozwiązania modelu jakości wody w SDWP dla celów estymacji przedstawionego w podrozdziale 3.5 niezbędna jest wiedza o wartościach następujących wielkości hydraulicznych:

natężeń przepływów wody q, objętości wody w zbiornikach Vzb,

liniowych prędkości przepływów wody v.

Jak można zauważyć, typowo w SDWP, tylko wartości natężeń przepływów wody q są dostępne pomiarowo. Wartości pozostałych dwóch wielkości można uzyskać pośrednio, na podstawie ogólnie znanych zależności poprzez wykorzystanie dostępnej informacji pomiarowej.

Zakładając, iż każdy ze zbiorników w SDWP jest walcem o niezmiennym przekroju poprzecznym, objętość wody w h-tym zbiorniku w każdej chwili t można wyznaczyć z zależności:

   

4

2 , ,

h zb h

h zb

t D hl t

V 



 

(4.54)

gdzie:

 

t

hl_h - poziom lustra wody w h-tym zbiorniku w chwili t,

h

Dzb_, - średnica h-tego zbiornika.

Ponieważ wartości poziomów luster wody w poszczególnych zbiornikach nie są znane dokładnie (patrz zależność (4.49)) oraz zakładając dokładną znajomość średnic zbiorników i pomijalny wpływ dokładności zaokrąglenia liczby π, błąd związany z pomiarem poziomu lustra wody przenosi się na objętość wody w danym zbiorniku. Zatem, objętość wody dla h-tego zbiornika szacowana jest zgodnie z nierównością (4.55):

 

t V

 

t V

 

t

Liniową prędkość przepływu wody można obliczyć pośrednio na podstawie znajomości natężenia przepływu wody w rurociągu oraz jego średnicy. Wobec tego, w każdej chwili czasu t prędkość wody w l-tym rurociągu można wyznaczyć z następującej zależności (Mays 2000):

 - pole przekroju poprzecznego l-tego rurociągu, wyznaczane z zależności: l

4 (patrz zależność (4.48)) oraz zakładając dokładną znajomość średnicy rurociągu i pomijalny wpływ dokładności zaokrąglenia liczby π, błąd związany z pomiarem natężenia przepływu wody przenosi się na liniową prędkość przepływu wody w danym rurociągu. Zatem, liniowa prędkość przepływu wody w l-tym rurociągu szacowana jest zgodnie z nierównością (4.59):

 

t v

 

t v

 

t

W dokumencie Algorytmy alokacji punktów monitorowania jakości w systemach dystrybucji wody pitnej : rozprawa doktorska (Stron 146-152)