gdzie ∆UDC jest przyrostem napięcia stałego, Po jest mocą czynną odbiornika (w chwili poprzedzającej
zwarcie), T jest przewidywanym czasem trwania zwarcia (czas pracy układu w trybie FCL – do czasu
zadziałania zabezpieczenia zwarciowego), CDCpojemność baterii kondensatorów strony DC falownika, UDC
napięcie baterii kondensatorów w chwili przed zwarciem. Kondensatory strony DC muszą być więc dobrane z uwzględnieniem tego dodatkowego wzrostu napięcia.
Szczegółowa analiza oraz wyniki symulacji numerycznych pracy przedstawionego układu zaprezentowano w pracy [38].
3.6 Metody detekcji zaburzeń napięcia
Jedną z najbardziej podstawowych funkcji układu sterowania jest wykrycie początku i końca zaburzenia napięcia – najczęściej zapadu. Funkcja ta może być wykorzystywana do raportowania wystąpienia zdarzeń, ale ma szczególne znaczenie w przypadku gdy układ szeregowy jest załączany do sieci na czas kompensa-cji zaburzenia. W dalszej części zostaną skrótowo przedstawione najczęściej stosowane metody wykrywana zapadów i wzrostów napięcia.
Metody podstawowe
Zapad napięcia jest wykrywany, jeżeli zmierzona wartość maksymalna, lub skuteczna napięcia jest mniej-sza od zadeklarowanej wcześniej wartości progowej, wynoszącej zwykle 90% wartości znamionowej. Poniżej przedstawiono publikowane metody.
Pomiar wartości szczytowej polega na zidentyfikowaniu wartości szczytowej w ciągu jednego lub połowy
okresu [108, 52]. Najprostszym rozwiązaniem jest znalezienie w zbiorze próbek napięcia tej o maksymalnej wartości bezwzględnej
U (k)max= max |u(i)| i ∈ (1, N) (3.110)
gdzie u(i) jest próbką i napięcia ze zbioru N próbek zebranych w ciągu połowy okresu, k jest numerem
próbki wartości szczytowej napięcia. Porównywane są próbka obecna U(k)max z wartością progową, lub z
próbką poprzednią U(k − 1)max – na podstawie różnicy stwierdza się wystąpienie zapadu, lub wzrostu.
Inna metoda, zwana metodą gradientową [52] opiera się wyznaczeniu wartości szczytowej na podstawie gradientu między kolejnymi próbkami napięcia.
∇ = u(t) − u(t − TT s)
s
(3.111)
gdzie u(t) jest próbką napięcia w chwili czasowej t, Tsjest okresem próbkowania. Jeżeli gradient ∇ jest równy
zeru (z zadaną dokładnością), wartość próbki napięcia związaną z tym gradientem przyjmuje się za wartość szczytową i zapamiętuje się.
Wadą przedstawionych metod jest opóźnienie czasowe wynoszące pół okresu podstawowej harmonicznej, oraz wpływ szumów i harmonicznych napięcia, mogących zakłócić pomiar.
Pomiar wartości skutecznej opisany w [155, 4, 108, 60, 61] jest metodą podobną do poprzedniej, ale opierającą
się na wyznaczeniu dyskretnej wartości skutecznej zgodnie ze wzorem
U (k)RMS= v u u t1 N N X i=1 u2(i) (3.112)
gdzie u(i) jest i. próbką napięcia ze zbioru N próbek zebranych w czasie połowy okresu podstawowej
harmo-nicznej, U(k)RMS jest k. wartością skuteczną, gdzie k zmienia się co pół okresu podstawowej harmonicznej.
Ze względu na zastosowanie okna przesuwnego o długości N próbek, wykryte w ten sposób zdarzenie jest opóźnione w stosunku do jego rzeczywistego wystąpienia o N − 1 próbek.
Przedstawiony algorytm można zaimplementować w postaci rekurencyjnej [4, 60, 61]. Pierwsze N próbek wyznacza się z zależności
U (0)RMS=
N
X
i=1
Natomiast każdą następną wartość ze wzoru
URMS(i) =
r
URMS(i − 1) − u2(i) + u2(i − N)
N (3.114)
co pozwala wyznaczyć wartość skuteczną co okres próbkowania Ts, z oknem o czasie trwania NTs, Algorytm
według tej zależności, jest szybszy niż w oparciu o wzór (3.113) i wymaga zapamiętania tylko dwóch wielkości:
poprzedniej wartości skutecznej U(i − 1)RMS) i wartości chwilowej napięcia N próbek wcześniej u(i − N).
Pomiary w wirującym układzie współrzędnych opisany w [115, 52] polega na przekształceniu zmierzonych
na-pięć chwilowych do układu (α, β, 0) a następnie układu wirującego (d, q)według zależności 3.59 i 3.60 (strona 61). Z tego względu metoda ta jest stosowana wtedy, gdy układ sterowania również stosuje transformację do układu wirującego. Konieczna jest pętla PLL, zapewniająca synchronizację napięcia składowej d z napięciem
sieci us(t). Wartość skuteczna napięcia w układzie (d, q) jest równa
URMS(t) =q(u(d)
s )2+ (u(q)
s )2 (3.115)
a w przypadku, gdy podczas zapadu nie zmienia się faza napięcia sieci
URMS(t) =u(d)s 2 u(q)s = 0 (3.116)
Wadą tej metody jest zachowanie się wartości napięcia w układzie wirującym (d, q) w przypadku zapadów
niesymetrycznych. W tym przypadku wartości u(d,q) nie są wielkościami stałymi, lecz zawierają
składo-wą zmienną. Konieczne staje się wiec wyznaczenie wartości średniej u(d,q) za połowę okresu podstawowej
harmonicznej. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku odkształcenia napięcia.
Zastosowanie przekształcenia Fouriere’a przedstawiono w [108, 52]. Metoda może mieć zastosowanie wtedy,
gdy układ sterowania dokonuje rozkładu napięcia sieci us(t) na harmoniczne stosując algorytm FFT, lub
DFT. W przypadku korzystania z DFT (ang. discrete Fourier transform) najczęściej konieczne jest jedynie
otrzymanie amplitudy U(1)i przesunięcia fazowego ϕ(1)podstawowej harmonicznej. Można zastosować wtedy
wzory a(1)= 2 N N X k u(k) cos 2π Nk b(1)= 2 N N X k u(k) sin 2π Nk (3.117)
gdzie N jest ilością próbek na okres podstawowej harmonicznej, u(k) jest k-tą próbką napięcia ze zbioru N
próbek, Tsjest okresem próbkowania. Wartość amplitudy i fazy można wyznaczyć z zależności
U(1) =qa2 (1)+ b2 (1) ϕ(1)= arc tg a(1) b(1) (3.118) W przypadku zastosowania algorytmu FFT istotny staje się wybór funkcji okna, w celu ograniczenia niekorzystnych efektów jak przeciekanie widma itp. [58]. Algorytm ten jest łatwy do implementacji w ukła-dach cyfrowych. Zaletą jest także niewrażliwość na odkształcenie napięcia. Natura obliczeń DFT i FFT jest uśredniająca co oznacza, że możliwe jest otrzymanie bardzo dokładnych informacji o amplitudzie i fazie napięcia kosztem dokładnego czasu wystąpienia zaburzenia. Opóźnienie może wynosić do jednego okresu podstawowej harmonicznej.
Metoda brakującego napięcia przedstawiona w [155, 108] polega na badaniu różnicy między napięciem
zmie-rzonym us(t) a sygnałem wzorcowym uref(t), otrzymanym z pętli PLL. Pętla ta jest zsynchronizowana z
napięciem sieci i podczas zapadu utrzymuje fazę tego napięcia. Jeżeli napięcie sieci jest sinusoidalne, wtedy różnica też jest sinusoidalna. Można zapisać
uref(t) = A sin (ωt − ϕa)
3.6. METODY DETEKCJI ZABURZEŃ NAPIĘCIA
wtedy różnica będzie równa
e(t) = R sin (ωt − ψ) (3.120)
gdzie
R =p(A2+ B2− 2AB cos(ϕa− ϕb)) tg ψ = A sin ϕa− B sin ϕb
A cos ϕa− B cos ϕb
(3.121) W artykule [155] wykazano, że metoda ta jest lepsza niż pomiar wartości skutecznej, zwłaszcza w przypadku występowania zaburzeń nieokresowych. Metoda daje również bardziej dokładną informację o czasie trwa-nia zaburzetrwa-nia. Jednakże ze względu na konieczność określetrwa-nia amplitudy napięcia przed i po wystąpieniu zapadu, nadaje się bardziej do klasyfikacji niż detekcji zaburzeń [108].
Metoda algebraiczna
Metoda ta zaprezentowana w [52], polega na rozwiązaniu układu równań, którego niewiadomymi są amplitudy i fazy podstawowej i znaczących wyższych harmonicznych.
Zakładając, że znane są dominujące harmoniczne napięcia (dla zilustrowania metody założono, że wystę-puje jedynie 5. harmoniczna), można napisać następujący układ równań
us(k) = U(1)cos ω(1)t + ϕ(1) + U(5)cos ω(5)t + ϕ(5) us(k − 1) = U(1)cos ω(1)t − Tsω(1)+ ϕ(1) + U(5)cos ω(5)t − Tsω(5)+ ϕ(5) us(k − 2) = U(1)cos ω(1)t − 2Tsω(1)+ ϕ(1)+ U(5)cos ω(5)t − 2Tsω(5)+ ϕ(5) us(k − 3) = U(1)cos ω(1)t − 3Tsω(1)+ ϕ(1)+ U(5)cos ω(5)t − 3Tsω(5)+ ϕ(5) (3.122)
gdzie U(n), ϕ(n)jest amplitudą i fazą n. harmonicznej – w tym przypadku podstawowej i piątej, u(k) . . . u(k −
3) są próbkami napięcia, przy czym próbka k jest próbką obecnie zmierzoną, ω(n)jest pulsacją kolejnej
har-monicznej, Tsjest okresem próbkowania. W tym układzie równań występują cztery niewiadome – wszystkie
amplitudy i fazy przebiegów harmonicznych, możemy więc go rozwiązać i otrzymać jedno unikalne rozwią-zanie. W przypadku większej liczby dominujących harmonicznych, liczbę równań należy zwiększyć zgodnie z regułą: na każdą harmoniczną przypadają dwa równania. Układ równań (3.122) będzie wtedy rozbudowy-wany o składniki typu
us(k − r) = U(1)cos ω(1)t − rTsω(1)+ ϕ(1)+ · · · + U(n)cos ω(n)t − rTsω(n)+ ϕ(n) (3.123) gdzie r jest kolejnym opóźnieniem względem obecnie zmierzonej próbki k, n jest numerem harmonicznej.
Układ równań (3.122) można przedstawić w formie macierzowej i otrzymać liniowe równanie pierwszego rzędu us(k) us(k − 1) us(k − 2) us(k − 3) = 1 0 1 0
cos(Tsω(1)) sin(Tsω(1)) cos(Tsω(5)) sin(Tsω(5)) cos(2Tsω(1)) sin(2Tsω(1)) cos(2Tsω(5)) sin(2Tsω(5)) cos(3Tsω(1)) sin(3Tsω(1)) cos(3Tsω(5)) sin(3Tsω(5)) · U(1)cos ϕ(1) U(1)sin ϕ(1) U(5)cos ϕ(5) U(5)sin ϕ(5) ⇒ b = Ax (3.124)
Rozwiązanie sprowadza się do znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A. Ponieważ parametry macierzy
A nie zależą od czasu, ani od wartości napięcia, to zakładając że nie zmienią się rzędy dominujących
har-monicznych (w tym przypadku tylko 5.) operację odwracania można przeprowadzić tylko raz. Rozwiązaniem jest wektor parametrów x, natomiast b jest wektorem zawierającym zmierzone próbki napięcia.
x= A−1b (3.125)
jeżeli xi jest kolejnym elementem wektora x wartości amplitud i faz są równe
U(1)=qx2 1+ x2 2 ϕ(1)= arc tgx2 x1 U(5)=qx2 3+ x2 4 ϕ(5)= arc tgx4 x3 (3.126)
Zaletą tej metody jest możliwość uzyskania informacji także o amplitudach i fazach harmonicznych innych niż podstawowa, oraz stosunkowo małe opóźnienie – dla jednej wyższej harmonicznej wynosi ono trzy okresy próbkowania.
Metoda ta zakłada uwzględnienie wszystkich dominujących harmonicznych w macierzy A. Pominięcie którejkolwiek wprowadza błąd tym większy, im większy jest rząd (częstotliwość) pominiętej harmonicznej – niewielka wartość 20. harmonicznej może mieć taki sam wpływ na wynik, jak większa od niej wartość 7.
harmonicznej. Zmniejszanie czasu próbkowania Tsdodatkowo zwiększa wrażliwość na błędy [52]. Brak jest
analizy jak znacząca powinna być harmoniczna, aby konieczne było jej uwzględnienie. Możliwe jest jednak uwzględnienie kilku składowych o zbliżonych częstotliwościach jako jedną interharmoniczną.
Do skutecznego stosowania tej metody konieczne jest rozpoznanie widma sygnału napięcia i dopiero na tej podstawie wyznaczenie wymiarów i elementów macierzy A. Następnym krokiem będzie znalezienie macierzy
odwrotnej A−1 i obliczenie amplitudy pierwszej harmonicznej z zależności (3.125) i (3.126).
Brak jest również analizy wrażliwości przedstawionej metody na szumy pomiarowe. Natura obliczeń wskazuje jednak na bardzo duży wpływ tych szumów na wynik, co może oznaczać niemożliwość skorzystania z tej metody w środowisku o silnie zakłóconych sygnałach pomiarowych. Ponieważ równanie (3.124) jest liniowe, pewnym rozwiązaniem problemu szumów może być zastosowanie metod regresji liniowej.
Metoda filtru Kalmana
Filtr Kalmana jest bardzo często wykorzystywany jako metoda wykrywania zaburzeń i określania ich źródła. Filtr Kalmana jest obserwatorem stanu, który odtwarza stan x(k) obiektu dyskretnego opisanego równaniami
x(k) = Ax(k − 1) + w(k)
y(k) = Cx(k − 1) + v(k) (3.127)
gdzie x jest wektorem stanu, A, C są macierzami odpowiednio: stanu i pomiarową, w, v są sygnałami błędu odpowiednio: modelu i pomiaru (mogą być interpretowane jako zakłócenia i szumy pomiarowe). Detekcja zapadu lub wzrostu za pomocą filtru Kalmana polega na identyfikacji podstawowej harmonicznej napięcia, a następnie porównanie jej z wartością progową.
Identyfikacja wektora stanu x przebiega w następujących etapach:
1. Obliczenie estymaty wektora stanu ˆx−(k) posługując się jedynie informacjami z poprzedniego okresu
próbkowania
ˆ
x−(k) = Ax(k − 1) (3.128)
oraz obliczenie macierzy kowariancji błędu estymacji P−(k) na podstawie okresu próbkowania k − 1
P−(k) = AP(k − 1)AT + Q(k) (3.129)
gdzie Q(k) jest macierzą kowariancji błędu modelu dla chwili czasowej k – wartość oczekiwana iloczynu
w· wT – jest zwykle macierzą diagonalną, a jej elementy są stałe i ustalane arbitralnie (bardzo często
równe zeru, co jest równoważne brakowi błędu modelu). 2. Obliczenie wzmocnienia filtru dla chwili k
K(k) = P−(k)CT CP−(k)CT + R (3.130)
gdzie R(k) jest macierzą kowariancji błędu pomiaru – jest to wartość oczekiwana v · vT, najczęściej
jest to wielkość skalarna, stała i ustalana arbitralnie.
3. Wyznaczenie aktualnej estymaty na podstawie pomiaru y(k)
ˆ
x(k) = ˆx−+ K(k) y(k) − Cx−(k) (3.131)
4. Obliczenie macierzy błędu estymacji dla próbki k
P(k) = I − K(k)P− (3.132)
Tak zdefiniowany algorytm filtru Kalmana można wykorzystać do obliczania wartości np. podstawowej harmonicznej napięcia, jeżeli tylko właściwie przedstawi się model czyli macierze A, C. Można to zrobić na wiele sposobów np. dla sygnału napięcia opisanego funkcją
3.6. METODY DETEKCJI ZABURZEŃ NAPIĘCIA
można wprowadzić następujące zmienne stanu [60]
x1=√U
2cos ϕ
x2=√U
2sin ϕ
(3.134)
i wtedy macierze modelu są następującej postaci
A=
1 0
0 1
C=h√2 sin (ωkT ) , √2 cos (ωkT )i (3.135)
Natomiast w [95] zaproponowano następujące macierze
A= cos2π N − sin2πN sin2π N cos2π N C= [1, 0] (3.136)
gdzie N jest liczbą próbek na okres podstawowej harmonicznej napięcia (w pracy [95] jest równa 16). Am-plituda napięcia wynosi
U =
q
x2
1+ x2
2 (3.137)
gdzie x1, x2są elementami wektora x i mogą być zinterpretowane jako składniki: rzeczywisty i urojony (lub
sinusowy i kosinusowy).
Model ten może być rozbudowany tak, aby móc identyfikować większą liczbę harmonicznych. W przypad-ku pominięcia pewnej harmonicznej napięcia w modelu, zidentyfikowana amplituda wykazuje tendencję do pulsacji [60]. Ponadto metoda jest wrażliwa na kąt wystąpienia zaburzenia (point on wave). Wprowadzenie odpowiednio dobranych wag do macierzy Q może poprawić zbieżność algorytmu, oraz zmniejszyć oscylacje. W pracy [60, 61] zaproponowano również połączenie metody filtru Kalmana z obliczaniem dyskretnej wartości skutecznej za połowę okresu. Zapad zostaje rozpoznany, jeżeli wartość napięcia otrzymana z któ-rejkolwiek z metod jest mniejsza niż wartość progowa.
W pracy [95] zaproponowano specjalną metodę obliczania macierzy kowariancji Q(k) i P(k) w każdym okresie próbkowania k. Tak zmodyfikowany algorytm filtru Kalmana wykazuje lepsze własności dynamiczne, czyli możliwe jest bardzo szybkie wykrycie zmiany amplitudy podstawowej harmonicznej. Przedstawiony algorytm nie został jednak wykorzystany do wykrywania zapadów i wzrostów napięcia, lecz do identyfikacji amplitudy określonej harmonicznej sygnału.
Metoda minimalizacji kwadratu błędu
Metoda ta zaprezentowana w [177, 178, 108] opiera się na przeprowadzeniu minimalizacji kwadratu błędu
między zmierzonym napięciem sieci us(t) a sinusoidalnym sygnałem wzorcowym o nieznanej amplitudzie U,
fazie δ i pulsacji ω
s(t) = U sin (ωt + δ) (3.138)
Napięcie sieci można przedstawić w postaci
us(t) =X∞
n
U(n)sin ω(n)t + ϕ(1)
+ n(t) (3.139)
gdzie U(n), ω(n), ϕ(n) są parametrami n-tej harmonicznej, n(t) jest szumem. Wprowadzając sygnał błędu
równy
e(t) = us(t) − s(t) (3.140)
można zastosować algorytm gradientowy w celu jego minimalizacji, czyli znalezienia takich wartości
para-metrów U, δ, ω, aby e2 było minimalne. Problem ten można opisać równaniem macierzowym
dr(t)
gdzie r jest wektorem szukanych parametrów sygnału s(t), k jest wektorem zawierającym stałe określające szybkość zbieżności algorytmu. Równanie (3.141) można rozpisać na składniki i przedstawić w postaci układu równań różniczkowych
˙U = k1e(t) sin φ
˙ω = k2e(t)U cos φ
˙φ = k3e(t)U cos φ + ω e(t) = us(t) − s(t)
s(t) = U sin φ
(3.142)
gdzie k1, k2, k3 są pewnymi stałymi arbitralnymi (wzmocnieniami), określającymi szybkość zbieżności
al-gorytmu. Równania te można zinterpretować jako równania pewnego filtru pasmowego tłumiącego wszelkie składniki o częstotliwości innej niż ω. Filtr ten jest adaptacyjny – może zmieniać w czasie wartość środka pasma ω. Równania (3.142) można poddać dyskretyzacji np. metodą różnicy wstecznej i otrzymać postać łatwą do zaimplementowania w układzie cyfrowym
U (k) = U (k − 1) + 2Tsk1e(k − 1) sin φ(k − 1)
ω(k) = ω(k − 1) + 2Tsk2e(k − 1)U(k − 1) cos φ(k − 1)
φ(k) = φ(k − 1) + 2Ts2k2k3e(k − 1)U(k − 1) cos φ(k − 1) + 2Tsω(k − 1) e(k) = us(k) − s(k)
s(k) = U (k) sin φ(k)
(3.143)
gdzie Ts jest okresem próbkowania, U(k), φ(k), ω(k) kolejnymi próbkami wartości poszukiwanych
parame-trów, e(k), s(k) są próbkami sygnałów błędu i sygnału wzorcowego, us(k) jest próbą napięcia sieci.
Ze względu na sposób działania algorytmu, jest on mało wrażliwy na szumy pomiarowe i zmiany para-metrów. W tych przypadkach algorytm wykazuje większą odporność niż algorytm oparty o filtr Kalmana [178].
Zasadniczym problemem w stosowaniu przedstawionej metody jest dobór wartości k. Im większe jest wzmocnienie k poszukiwanego parametru sygnału, bym szybsza jest zbieżność jego estymaty, a równocześnie zwiększa się błąd w stanie ustalonym – pojawiają się oscylacje sygnału. Generalnie dobre własności dyna-miczne algorytmu uzyskuje się kosztem zwiększonego błędu w stanie ustalonym. Z tego względu algorytm ten jest bardzo przydatny do szybkiej detekcji zmiany amplitudy bez konieczności określania jej dokładnej wartości.
W artykule [108] przedstawiono analizę powyższego algorytmu w zastosowaniu do detekcji zapadów, oraz wyniki badań symulacyjnych i eksperymentalnych. Przedstawione są również wyniki badań porównawczych z algorytmami opartymi o pomiar wartości szczytowej i skutecznej. Wartość amplitudy U jest zbieżna do amplitudy podstawowej harmonicznej przebiegu w czasie od 2 do 4 ms (przy zasilaniu napięciem 50 Hz i 20
próbkach na okres Ts= 1 ms), jednak wykazuje niewielkie oscylacje w stanie ustalonym.
Dokładna analiza powyższej metody przedstawiona została w [177, 178]. Możliwe jest też połączenie tej metody z metodą filtru Kalmana.
Rozdział 4
Badania symulacyjne układu szeregowego
4.1 Wstęp
Prace badawcze rozpoczęto od badań symulacyjnych układu szeregowego, których celem było zbadanie zachowania się układu szeregowego i jego skuteczności w różnych warunkach. Zbudowano modele symulacyjne o różnym stopniu uproszczenia korzystając z pakietu Matlab i Simulink. W modelach wykorzystywanych do badań odzwierciedlono strukturę układu szeregowego oraz uwzględniono w sposób uproszczony straty mocy. Wykorzystywane modele nie miały na celu odtwarzanie rzeczywistego układu.
Badania symulacyjne podzielono na dwa etapy:
1. Symulacje zachowania się układu szeregowego w różnych warunkach pracy sieci – badana jest re-akcja układu szeregowego na różne zaburzenia, oraz ładowanie kondensatorów DC. W szczególności przeprowadzono następujące symulacje:
a) ładowanie kondensatorów strony DC układu szeregowego b) kompensacja zapadu napięcia
c) kompensacja spadku napięcia na reaktancji sieci
d) kompensacja wyższych harmonicznych napięcia zasilania.
2. Symulacje pracy układu szeregowego w obecności specyficznych odbiorników – badana jest praca ukła-du szeregowego podczas pracy różnych odbiorników energii. Przeprowadzono następujące symulacje: a) rozruch silnika indukcyjnego w warunkach sieci o małej mocy zwarciowej przyłączonego po
stronie zasilania i odbiornika
b) praca odbiornika asymetrycznego liniowego przyłączonego po stronie zasilania i odbiornika.