Zanim zajmiemy się kryształami neutronowymi, godzi się przypomnieć oddziaływania w zwykłych kryształach, utworzonych z atomów (lub jonów). Krzywe 1 i 2 na rys. 24 wyobra żają dwa możliwe przypadki przebiegu potencjału wzajemnego oddziaływania dwóch atomów, z których pierwszy znajduje się w początku układu współrzędnych, drugi zaś przemieszcza się radialnie względem niego. Ponieważ energię potencjalną określamy z dokładnością do stałej addytywnej, wolno nam przyjąć V = 0 gdy r -* °°. Siła działająca na atom w punkcie odda lonym o r od początku układu wynosi:
F = - grad V(r) = ’ (42)
Rys. 24. Schem atyczny przebieg potencjału oddziaływ ania m iędzy dwoma atomami: 1 - odpychanie przy każdej od ległości, 2 - odpychanie zastąpione przyciąganiem przy w iększych odległościach
Krzywa 1 odpowiada sytuacji, w której atomy w dowolnej odległości wzajemnej odpychają się | ^ - < o j . Krzywa 2 odpowiada sytuacji bardziej złożonej: dla r > r Q atomy przyciągają się, dla r < r Q - odpychają. Dla odległości wzajemnej r = r Q układ znajduje się w stanie
Ekstremalne stany materii w astrofizyce. Cz. IV 245
równowagi trw ałej. A tom y (jony) mogą tw orzyć trw ałą cząsteczkę lub kryształ w tedy, gdy oddziaływ anie między nimi da się przedstawić za pomocą krzywej o podobnym przebiegu co krzywa 2 na rys. 24. Oddziaływanie tego typu d a się opisać potencjałem w rodzaju:
A R
V(r) = — - — (43)
r m r n
z dodatnim i param etram i A, B, m > n. Pierwszy wyraz we wzorze (43) charakteryzuje odpy chanie, drugi - przyciąganie. Omawiany w rozdz. 15 potencjał Lennarda-Jonesa należy do tej klasy potencjałów . Z zastosowaniem tego potencjału do opisu oddziaływ ań pom iędzy ato mami gazów szlachetnych wiąże się możliwość utw orzenia przez nie kryształów kwantowych. Podczas gdy w poprzedniej części naszego a rty k u łu rozważaliśmy możliwość wytworzenia struktury krystalicznej przez jądra atom ow e, obecnie posuwamy się jak gdyby o krok dalej, analizując tworzenie sieci krystalicznej, przez neutrony. Problem ten staje się aktualny ze wzrostem gęstości materii jądrowej w kierunku centrum pulsara, kiedy to coraz wyraźniej przejawiać się będą odpvchające siły pom iędzy nukleonam i. W analogii do omówionej po przednio sytuacji, w której pow stała sieć krystaliczna jąder w wyniku ich wzajemnego silnego odpychania kuloinbowskiego, u k ład neutronów dążyć może do minimalizacji energii poprzez ułożenie się neutronów w sieć krystaliczną. H ipoteza powyższa wymaga oczywiście podbu dowania szczegółowymi rachunkami. Choć fizycy zajęli się problem atyką „zestalenia” cieczy neutronowej dopiero w latach siedemdziesiątych, analogiczny problem w odniesieniu do gazu elektronowego b y ł już rozwiązywany przed prawie czterdziestu laty (W i g n e r 1938).
Analogia pom iędzy cieczą netronow ą a inną cieczą kwantową złożoną z fermionów, 3He, o której wiemy, że ulega przejściu do stanu krystalicznego, okazać się może nader przydatna. 3He przechodzi w stan krystaliczny w pobliżu T = 0°K i pod ciśnieniem rzędu 30 atmosfer. Czy materia neutronow a, poddana ogromnym ciśnieniom we w nętrzu pulsarów, ulec może w analogiczny sposób zestaleniu? Zdania w tej kwestii przez dłuższy czas b y ły podzielone, w chwili obecnej wyniki obliczeń dokonanych przez różne grupy „astrofizyków ciała stałego” wydają się wskazywać na możliwość powstania struktury krystalicznej. Różnica zdań prze niosła się z płaszczyzny jakościowej na płaszczyznę ilościową: różni autorzy podają różne wartości minimalnej gęstości krytycznej, powyżej której materia neutronow a utworzy kryształ. Przegląd wyników ilościowych podany będzie w jednym z dalszych rozdziałów . W tym miejscu wspomnimy jedynie o dwóch pionierskich pracach, opublikowanych przed dziesięciu laty, w których po raz pierwszy przedstawiono możliwość utworzenia struktury krystalicznej przez układ barionów (C a z z o 1 a i w spółpr. 1966; C o 1 d w e 11 i W i l e t s 1967). Zdaniem C a z z o 1 i i w spółpr. (1966), u podstaw tej możliwości tkwi występowanie silnego odpy chania w potencjale dwunukleonowym dla m ałych odległości wzajemnych. Ów rdzeń odpy chający pozwala na lokalizację nukleonów w pewnym zakresie gęstości materii jądrowej. Gdy gęstość ta jest zbyt m ała, wtedy nukleony zlokalizować się nie dadzą, gdyż wzajemne ich odległości będą wielkie w porównaniu z rozmiarami owego rdzenia. Z drugiej znów strony, przy dostatecznie wysokiej gęstości, każdy z nukleonów mieć będzie tak wysoką energię kinetyczną, że rdzeń odpychający o skończonej wysokości nie będzie stanowić dla niego wystarczającej przeszkody, lokalizacja położeń ulegnie rozmyciu i sieć krystaliczna przestanie istnieć.
246 .1/ . S. B orcziuh . B K uchow ie:
Niejednokrotnie wspominaliśmy o analogii pom iędzy układem neutronów a cieczą kwan tową w rodzaju 3He. w której oddziaływ ania opisane są przy użyciu potencjału Lennarda- -Jonesa. Warto przytoczyć rozumowanie przedstawione przez P a l m e r a l 1975). co pozwoli nam wychwycić zasadnicze podobieństwa i różnice pom iędzy układam i atomów' gazów szlachetnych a układam i nukleonów. Biorąc u k ład 3He przy dostatecznie wysokiej gęstości p(o=r 3) zauważamy, że istotną rolę w potencjale oddziaływ ania danym wzorem (37) odgrywać będzie pierwszy wyraz ( o c r ~ 1 *). odpowiedzialny za odpychanie. Ze wzrostem gęstości p wyraz ten rośnie jak p 4 . Tymczasem energia kinetyczna rośnie proporcjonalnie do p ~ '3 (a w obszarze relatywistycznym - proporcjonalnie d a p 1 3 ). Z powyższego przebiegu zależności widać, że ze wzrostem gęstości p energia potencjalna l'/ri dominować będzie w wyrażeniu dla energii całkow itej. 17rj zależy jedynie od w spółrzędnych, osiągając minimum w fazie uporządkowanej, krystalicznej. Z rozumowania tego wynika nieuchronność zestalenia się helu przy dostatecznie dużej gęstości. Argument powyższy można, zdaniem P a 1 m c r a, za stosować do każdego układu kwantowego, scharakteryzowanego przez spełnienie dwóch wa runków:
(IV ,) posiadanie potencjału z dostatecznie silnym rdzeniem odpychającym proporcjonalnym do r . gdzie a > 2.
(IV.,) potencjał oddziaływania pom iędzy dwiema cząstkami z takiego układu zależy tylko od ich wzajemnej odległości.
Materia jądrow a spełnia na pewno warunek ( H 'j), w ystępują w niej jednak oddziaływ ania naruszające warunek ( W2) ~ jak siły tensorowe, siły zależne od m om entu pędu oddziałujących nukleonów (patrz tab. 5) i oddziaływ ania trój- oraz czterocząstkowe (o których dla prostoty w ykładu w rozdziale poprzednim nie wspominaliśmy, a które odgrywają pewną rolę w roz ważaniach nad materią jądrową). Gdyby udało się wykazać, iż wszystkie wspomniane oddzia ływania naruszające warunek (IV,,) można w praktyce zaniedbać, wtedy sprawa krystalizacji materii neutronowej z miejsca by łab y pozytywnie rozstrzygnięta. Tak niestety nie jest. fizyka jądrow a nie pozwala nam tak postąpić. Trzeba rozstrzygnąć problem krystalizacji materii neutronowej na drodze rachunkowej, stosując realistyczną postać oddziaływania wzajemnego nukleonów. W większości prac na tem at krystalizacji materii jądrowej stosowane są metody mikroskopowe (standardow a teoria materii jądrowej stosująca określoną postać oddziaływania wzajemnego pom iędzy dwoma nukleonami). Obok tego przydatną m etodą analizy pół- ilościowej okazuje się podejście A n d e r s o n a i P a l m e r a ( A n d e r s o n i P a l m e r
1971; P a l m e r i A n d e r s o n 1974), którzy wykorzystują kwantowe prawo stanów odpo wiednich ( d e B o e r 1948). Omówienie wyników wszystkich powyższych prac teoretycznych poprzedzić jednak trzeba choćby niewielką dygresją na tem at obserwacyjnych możliwości sprawdzenia hipotezy o krystalizacji materii jądrowej. Materii tej, oczywiście, bezpośrednio obserwować się nie da. Czy jednak pewne właściwości pulsarów nie mogą być konsekwencjami posiadania przez te obiekty w swym w nętrzu krystalicznego jądra?
21. DANE OBSERWACYJNE A POJAWIENIE SIĘ STRUKTURY KRYSTALICZNEJ W JĄDRZE PUI.SARA
Obserwacje pulsarów od samego początku dostarczały astrofizykom zdumiewających danych, na których podstawie wysuwano niemniej zdumiewające hipotezy teoretyczne.
Ekstremalne stany materii w astrofizyce. Cz. I V 247
Rys. 25. S chem atyczny przebieg okresu pulsara T w czasie obejm ującym chw ilę skokow ej zm iany
P oczątkow o ch arak tery sty czn ą osobliw ością pulsarów w y d aw ała się n ie zw y k ła regularność em isji sygnałów . N aw et zaobserw ow anie system atycznego w y d łu ża n ia się okresu (w w iększości p rzy p a d k ó w o stum ilionow e części sekundy na ro k ) nie b y ło w stanie zachw iać w yobrażenia o pulsarach ja k o precy zy jn y ch zegarach kosm icznych. D opiero obserw acje n a g ły c h , skokow ych zm ian okresu w 1969 r. (i dalszych latach) dla pulsarów w M gław icy K rab i w gw iazdozbiorze Żagle p o d w a ż y ły tę w iarę. 1 ta k w lu ty m 1969 r. zauw ażono ca łk ie m nieoczekiw aną zm ianę okresu pulsara PSR 0 8 3 3 - 4 5 (w Żaglach) o stokilkadziesiąt pikosekund, we w rześniu zaś tegoż roku o k res pulsara NP 05 3 2 (w M gław icy K rab) zm ien ił się nagle o kilkadziesiąt p ikosekund. W ob u przy p ad k ach b y ły to skrócenia okresu, przy czym nadal w y stę p o w a ło charak tery sty czn e dla w szystkich pulsarów zjaw isko system atycznego, pow olnego w y d łu ż a n ia o kresu. Przebieg okresu pulsara w czasie w ygląda przy ty m schem atycznie ja k na rys. 25. P aram etry opisujące skoki okresu dla o b u w spom nianych pulsarów p rzytaczam y w ślad za R u d e r m a n e m
T a b e l a 6
Param etry skokow ych zmian okresu pulsarów (za R u d e r m a n e m 1972) Wielkość t'izvczna Pulsar NP 0532 (u M gławicy Krab) Pulsar PSR 0 8 3 3 - 45 (w Żaglach) ze w zoru (44) 29 wrześ. 1969 p a ź d z . 1971 luty 1969 sierpień 1971 A f t n 7 • 1 0 ” 9 ' 2 ■ 1 0 - 9 2.3 1 0 ~ 6 2 • 1 0 ~ 6 A f t ń O O c 7 ■ 1 0 ~ 3 7 4 - 7 dni 1.2 lal Q ■ ( A f t ) ( A f i) 0.9 0.145
248 M. S. Borczuch, H. Kuchowicz
(1972), w którego artykule przeglądowym znaleźć można dalsze szczegółowe informacje o powyższym zjawisku wraz z odnośnikami do prac oryginalnych. Zainteresowanym polecamy także lekturę odpowiednich rozdziałów w przeglądach B o m e r a (1973) oraz C a m e r o n a i C a n u t o (1974).
Częstość obrotu pulsara S2 0 ) , systematycznie acz nieznacznie malejąca z upływ em czasu, zwiększa się w wyniku wspomnianego skoku o wielkość Af.Z, a następnie przebieg częstości z czasem dany jest prostym wyrażeniem:
U = i l j l ) + AS2 [ + 1 (>], (44)
przy czym czas t liczony jest od skoku częstości. Wzór powyższy wskazuje na relaksacyjny charakter procesu; parametr r o wymiarze czasu nazwać można czasem relaksacji. Interpre tację parametru (,) odczytać można wreszcie z rys. 24 zaczerpniętego z pracy P a l m e r a (1975).
Istnieją różne rodzaje teorii objaśniających występowanie skokowych zmian okresu pulsara; krytyczny przegląd tych teorii podają R u d e r m a n (1972) oraz C a m e r o n i C a n u t o (1974). W tym miejscu ograniczamy się do wymienienia kilku ważniejszych grup teorii:
a) przypisujące (w rodzaju proponowanej przez S c a r g l e ’ a i P a c i n i e g o 1971) skrócenie okresu procesowi nagłego wyrzucenia części plazmy z magnetosfery,
b) wiążące owo skrócenie ze zmianą rozkładu m omentu pędu we w nętrzu pulsara (np. G r e e n s t e i n i C a m e r o n 1969),
c) wprowadzające trzęsienia pulsarów na wzór trzęsień Ziemi i przypisujące tym procesom decydującą ro ę w nagłej zmianie okresu obrotu.
Ostatnia grupa teorii najbardziej jest rozwijana*i uznawana; wyłącznie nią zajmiemy się w tym rozdziale. W chwili obecnej rozważa się dwa rodzaje „trzęsień” zestalonej materii w pulsarach: trzęsienia skorupy krystalicznej i trzęsienia krystalicznego rdzenia neutronowego (względnie neutronowo-hiperonowego) w centrum pulsara. Dopóki nie zaobserwowano drugiego kolejnego skoku okresu pulsara w Żaglach, w ystarczała hipoteza trzęsień skorupy krystalicznej, w ysunięta przez R u d e r m a n a (1969), rozwijana przez niego i innych (patrz np. B a y m i P i n e s 1971; S m o i u c h o w ś k i i W e l c h 1970). Zgodnie z tą hipotezą szybko obracający się w okół osi pulsar pokryty jest silnie spłaszczoną skorupą krystaliczną, pod którą znajduje się ciekła materia jądrowa. Z upływ em czasu pulsar obraca się coraz wolniej, tak więc malejącym siłom odśrodkowym towarzyszyć powinno stopniowe przy bieranie przez pulsar k szta łtu coraz bardziej zbliżonego do kuli. Nie b y ło b y z tym żadnego problem u, gdyby pulsar sk ład ał się w yłącznie z cieczy. Zestalona skorupa przeciwstawia się jednak takim zmianom i stopniowo m iędzy nią a cieczą jądrową narastają napięcia. Wreszcie dojść musi do czegoś, co przypominać będzie trzęsienie Ziemi. Skorupa w pewnych miejscach pęknie, w innych się wygnie, dopasowując się do zmniejszonej siły odśrodkowej, kształt zaś pulsara zbliży się do kulistego. Możliwe są też deformacje plastyczne ( S m o i u c h o w ś k i i W e l c h 1970). Na podstawie przewidywanych właściwości mechanicznych krystalicznej skorupy pulsara u d ało się ocenić, jak często powyższe „trzęsienia” zachodzić powinny w pulsarze o danej masie i częstości obrotu, jaka powinna być względna zmiana częstości A f i / f i itd. Próby wyjaśnienia zmian skokowych okresu dla obu pulsarów z tab. 6 wyjawiły istotną różnicę między obu tymi pulsarami. Niewielką względną zmianę częstości ( A f t/f i~ 1 0 ~ 9)
Ekstremalne 'ulany materii w astrofizyce. Cz. IV 240
dla pulsar-i w Mgławicy Krab udaw ało się wyjaśnić ( P i n e s i S h a li a m 1072) przyjmując model gwiazdy neutronowej o masie rzędu 0.3 M(V ze skorupą krystaliczną grubości ok. 3,0 km. Model ten (zgodnie z obserwacjami) przewidywał powtarzanie się podobnych skoków częstości obrotu co parę lat.
Znacznie gorzej przedstawiała się możliwość wyjaśnienia na powyższej drodze znacznie większych zmian względnycn częstości obrotu pulsara z gwiazdozbioru Żagle (A Jł/fi ~ 10 6 ), gdyż w ym agałyby one nieprawdopodobnych wprost napięć w skorupie. O kazyw ało się dalej, że tak silne skoki częstości m ogłyby następować nie częściej niż co kilkaset lat i to jedynie dla pulsara o masie rzędu 0,1 Ma , trudno zaś wyjaśnić powstanie tak lekkiej gwiazdy neutro nowej podczas eksplozji Supernowej. Dodajmy, że już dla pulsara o masie rzędu 0,2 M0 odstęp czasu pom iędzy dwoma kolejnymi skokami częstości urastał do wielu tysięcy lat! Tymczasem kolejna, równie silna zmiana skokowa okresu pulsara w Żaglach nastąpiła zaledwie ok. 2,5 roku po pierwszej. Wyjściem z sytuacji w ydało się wtedy przeniesienie mechanizmu trzęsień w pulsarze z jego krystalicznej skorupy do krystalicznego jądra ( P i n e s i w spółpr. 1072). Kryształ neutronow y dopuszcza bowiem powstanie znacznie silniejszych naprężeń niż kulombowska sieć złożona z jąder atom ow ych; w ystępow ać on może (patrz rozdz. 22 w sprawie minimalnej gęstości niezbędnej dla krystalizacji materii neutronowej) w centralnych obszarach bardziej masywnych gwiazd neutronow ych, najprawdopodobniej o M > O , 5 M 0 . Skokowe zmiany okresu pulsara można interpretow ać jako wynik gw ałtow nych deformacji plastycznych w ograniczonym obszarze rdzenia krystalicznego, w którym naprężenia przekra czają określone wartości krytyczne ( J o n e s 1074).
Jeśli rdzeń krystaliczny pow stał w pulsarze na początku jego istnienia, gdy obrót odbyw ał się szybko, k ształt jego był silnie spłaszczony. Po kilku - czy nawet kilkunastokrotnym wzroście okresu obrotu rdzeń ten zawierać może znaczne ilości energii sprężystej - grubo więcej niż zawierać jej m ogłaby skorupa. W „trzęsieniach” rdzenia wydzielać się też może większa energia niż w „trzęsieniach” skorupy.
Proces relaksacji po skokowej zmianie okresu pulsara opisać można w sposób elem entarny, nie troszcząc się o to, co ową zmianę w yw ołało — trzęsienie skorupy czy rdzenia. Istotne jest wyobrażenie gwiazdy neutronowej jako układu zawierającego dwie słabo ze sobą sprzężone składowe: do jednej z nich zaliczamy neutrony (i protony) w stanie nadciekłym , do drugiej - resztę. W pulsarach takich jak NP 0532 (w Mgławicy Krab), w których ze względu na zbyt m ałą masę gęstość centralna jest tak niska, iż nie m ógł powstać kryształ neutronow y, większość materii stanowią nadciekłe neutrony. Pulsary masywne w rodzaju pulsara z Żagli zawierają prawdopodobnie cienką warstwę nadciekłych neutronów pom iędzy cienką skorupą, a obejmującym większą część masy jądrem krystalicznym. W obu przypadkach proces relaksacji (przedstawiony na rys. 25 łukiem CD) prowadzi do wyrównania prędkości kątowych pom iędzy obu składowym i. Określoną na rys. 25 i występującą we wzorze (44) wielkość
Q
wyrazić można ( P a l m e r 1075) jako stosunek m om entu bezwładności / cieczy neutronowej w gwieździe do m om entu bezwładnościI
całej gwiazdy:n 7"
Q = —
(45)Otrzymane z obserwacji wartości liczbowe
Q
(tab. 6) wydają się potw ierdzać przedstawione przez nas wyobrażenia o dominującym udziale cieczy neutronowej w pulsarach lekkich inie-250 M, .V Horcriuli. li Kuchowicz
wielkim jej udziale w pufsara.ch ciężkich. Szkoda, że nie mamy danych o zmianach skokowych okresu dla większej liczby pulsarów i że nie wiemy, jak wyznaczyć z obserwacji masę pulsara.
Rozdział len zakończyć możemy ostrożną konkluzją: dane obserwacyjne dla pulsara PSR 0833 45 (w Żaglach) dają się najrozsądniej wyjaśnić przy .wykorzystaniu hipotezy o obecności krystalicznego jądra w tym pulsarze.
12. K R Y S T A L IZ A C JA M A T ER II N EU TRO N O W EJ:
P R Z E G LĄ D W YN IKÓ W T EO RET YC ZN YC H
Możliwość wystąpienia materii neutronowej w stanie krystalicznym wymaga nie tylko potwierdzenia dalszymi obserwacjami pulsarów. Rozstrzygnąć trzeba i na drodze teoretycznej, czy układ neutronów (bądź też ogólniej układ barionów) ulec może zestaleniu przy ciśnieniu i gęstości tego rzędu co we wnętrzach wielu gwiazd neutronowych. Na gruncie teorii materii jądrowej odpowiedź na to pytanie zależy od przebiegu potencjału dwunukleonowego na bardzo małych wzajemnych odległościach. Znajomość tego potencjału dla bardzo małych odległości wciąż jest jeszcze niepełna, stąd też wynika konieczność prowadzenia obliczeń przy użyciu różnych potencjałów coraz to lepiej oddających wyniki doświadczeń. Stan rozwoju teorii materii jądrowej pozwala już obecnie na prowadzenie rachunków dla ustalenia krytycznych wartości parametrów fizycznych, przy których ciecz neutronowa przejdzie w stan krystaliczny.
Zaczniemy od przedstawienia wyników podejścia p ó ł e m p i r y c z n e g o opartego na wykorzystaniu t e o r i i k w a n t o w e j s t a n ó w o d p o w i a d a j ą c y c h , rozwiniętej przez de B o e r a (1448). Teoria ta pozwoliła na przewidywanie właściwości 3He (d c B o e r i L u n b e c k 1948) zanim jeszcze jakiekolwiek ilości tej rzadkiej odmiany helu dostępne były do badań. W teorii tej rozważa się grupę substancji, w których oddziaływania opisane są dwu parametrowym potencjałem postaci V(r) = £ f(r/o). Potencjałem tego typu jest potencjał Lennarda-Jonesa przedstawiony wzorem (37) w rozdz. 15, używany do opisu oddzia ływania między atomami gazów szlachetnych. Gdy odległość r między tymi atomami maleje, część odpychająca tego potencjału rośnie jak r ~ l ~, gdy odległość zaś rośnie, część przy ciągająca dąży do zera jak r~ . To zachowanie się potencjału Lennarda-Jonesa usprawiedliwia nazwę potencjału 6- 12, nadaną mu przez stosujących go autorów ( A n d e r s o n i P a l m e r 1971; P a l m e r i A n d e r s o n 1974), którą w ślad za nimi będziemy się posługiwać.
Parametr £ ma wymiar energii, parametr c — wymiar długości. Oba te parametry służą do ustalenia charakterystycznej skali energii i odległości dla określonej substancji. Oznaczmy przez
Vo objętość przypadającą ną jedną cząstkę substancji, przezP — ciśnienie, T - temperaturę, k
— stałą Boltzmanna. Odpowiednie wielkości bezwymiarowe oznaczmy gwiazdką:
V p..3
ł .(/* = — p* = —— T* = —- (46)
o 3 ’ r £ ' e ' K
a
Dwuparametrowym potencjałem K(r) posługujemy się w ramach mechaniki kwantowej dla cząstek o masie m. Miarą ważności efektów kwantowych jest bezwymiarowy parametr de Boera A wprowadzony już przy omawianiu kryształów i cieczy kwantowych w rozdz. 15.
Ekstremalne stany materii w astrofizyce. Cz. IV 251
Przypomnijmy jego definicję: A = h / y j m e o 2. Podczas gdy na poziomie klasycznym równa nie stanu dla substancji z potencjałem V(r) mieć będzie postać uniwersalną:
p* = p* T* i (47) w której nie pojawia się zależność od masy m pojedynczej cząstki danej substancji, uwikłana zależność od tej masy (poprzez zależność od parametru de Boera) wystąpi w analogicznym równaniu stanu przy opisie kwantowym:
/>* = P *(V *, T *, A, statystyka). (48)
Zwróćmy uwagę na to, że opis kwantowy pozwala w zasadzie na odróżnienie układu bozonów od fermionów. (Aspekt ten nie będzie nas tu interesował). Zamiast bezwymiarowego ciśnienia P* używać możemy bezwymiarową energię swobodną F* (F*s F/f , gdzie Fjest energią swobodną przypadającą na cząstkę). Zarówno P* jak i F*są gładkimi funkcjami pa rametru A — z wyjątkiem pojedynczych punktów, odpowiadających przejściom fazowym; fakt ten tkwi u podstaw prawa stanów odpowiadających (law o f corresponding states). Prawo to, jak wskazał d e B o e r (1948), pozwala na przewidywania ilościowe różnych charakterystyk dla substancji z potencjałem V(r).
Ograniczmy się w dalszych rozważaniach do właściwości w stanie podstawowym w tempe raturze T = 0. Przybliżenie to w odniesieniu do materii neutronowej we wnętrzach pulsarów wydaje się uzasadnione; to, że gwiazdy neutronowe nawet o temperaturach centralnych rzędu setek milionów stopni są dość zimne, staje się natychmiast widoczne, jeśli energię nukleonów w ich wnętrzu wyrazić w jądrowej skali energii.
Rozważmy najpierw ciecze kwantowe w rodzaju gazów szlachetnych, czy też prostych molekuł dwuatomowych. Przy znikającym ciśnieniu i temperaturze wielkości F* i VQzależą tylko od parametru A i użytej statystyki. W zasadzie w warunkach tych substancje mogłyby występować w różnych fazach; wtedy każdej z nich odpowiadałaby inna gałąź funkcji F*i Vt traktowanych jako funkcje parametru A. Na rys. 26 przedstawiliśmy przykładowo bez wymiarową energię swobodną dla kilku substancji w warunkach T = P = 0. Wartości dla obu odmian helu wzięte są dla fazy ciekłej, dla innych substancji — odpowiadają fazie stałej. Przebieg krzywej jest dość ciągły, mimo użycia danych dla dwtr różnych faz. Z przebiegu bezwymiarowej objętości F*(A) na' rys. 27 odczytać można natomiast pojawienie się nie ciągłości (rzędu 10%) przy pewnej wartości A między 2 a 3. Nieciągłość ta wiązałaby się z przejściem fazowym od cieczy (4He) do ciała stałego (H2).
Stosunkowo gładki przebieg krzywych poprowadzonych przez punkty doświadczalne na obu rysunkach pozwala na dokonywanie interpolacji i ekstrapolacji (w tym ostatnim przypadku z dużą niepewnością, jeśli wykraczamy -daleko poza zakres wartości A objęty danymi z rysunków). Łatwo wtedy przewidywać różne właściwości substancji scharakteryzowanej określoną wartością parametru A. Zadając z góry wartości c i a (i, oczywiście, masę m cząstek substancji) dostajemy A, a następnie korzystamy z zależności empirycznych dla wielkości F*. V* i innych traktowanych jako funkcje A. Gdy, na odwrót, znamy dla pewnej substancji takie np. wielkości jak energię swobodną F w warunkach równowagi, czy też objętość VQ przy padającą na pojedynczą cząstkę, wtedy zadanie sprowadza się do wyznaczenia wartości liczbowych c , o i A poprzez rozwiązanie numeryczne układu równań:
Rys. 26. Bezwymiarowa energia swobodna F* (przypadająca na cząstkę) dla kilku substancji jako funkcja parametru
Rys. 27. Bezwymiarowa objętość V* (zajmowana przez jed