Modelowanie wi ˛ azek ł ˛ aczy pól komutacyjnych z mechanizmami
3.4. Modele wi ˛ azek z mechanizmami progowymi z hi- hi-sterez ˛a
3.4.1. Model wi ˛ azki pełnodost ˛ epnej z mechanizmami progowy- progowy-mi z histerez ˛a
Zaawansowaną odmianą systemów progowych są systemy progowe z histerezą, w których działanie progów zależy od kierunku zmian obciążenia. Oznacza to, że na zmianę wartości przydzielanych zasobów ma wpływ nie tylko przekroczenie żądanego progu, ale również kierunek przejścia. Zatem, w porównaniu z właściwymi systemami progowymi, każdemu progowi we właściwym systemie progowym odpowiadają dwa progi w systemie progowym z histerezą. Jeden dla kierunku zmian od małych obciążeń do dużych, drugi dla kierunku
10−5
Ruch oferowany pojedynczej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 i 3 Symulacja − klasa 2 i 3
Rys. 3.27: Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z ograniczoną
dostępnością i mechanizmami
Ruch oferowany pojedynczej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 i 3 Symulacja − klasa 2 i 3
Rys. 3.28: Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z ograniczoną
dostępnością i mechanizmami
Ruch oferowany pojedycznej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 Symulacja − klasa 2 Obliczenia − klasa 3 i 4 Symulacja − klasa 3 i 4
Rys. 3.29: Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z ograniczoną
dostępnością i mechanizmami
Ruch oferowany pojedycznej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 Symulacja − klasa 2 Obliczenia − klasa 3, 4 i 5 Symulacja − klasa 3, 4 i 5
Rys. 3.30: Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z ograniczoną
dostępnością i mechanizmami progowymi, system 4
zmian od dużych obciążeń do małych. Przekroczenie wartości danego progu w kierunku dla niego właściwym powoduje zmianę wartości parametrów ruchu. Takie rozwiązanie po-zwala zredukować liczbę przejść systemu pomiędzy sąsiednimi obszarami progowymi [82], co prowadzi do bardziej stabilnego działania systemu.
Rozważmy teraz model wiązki o pojemności VF, przedstawiony na rys. 3.31, w którym wprowadzono mechanizmy progowe z histerezą [81–83]. W rozważanym modelu przy-jęto strukturę ruchu generowanego przez źródła wielousługowe opisane w rozdziale 2.3.1.
Załóżmy, że dla zbioru H klas ruchu wprowadzono dwa progi Q1 oraz Q2 spełniające wa-runek Q2 < Q1. W przypadku wzrostu obciążenia systemu powyżej zdefiniowanej granicy Q1, następuje zmniejszenie liczby przydzielanych PJP zgłoszeniom klasy c z wartości tc,0
do tc,1. Możliwy jest także wzrost średniego czasu obsługi z wartości µ−1c,0 do µ−1c,1. Jeśli w kolejnym etapie pracy systemu jego obciążenie zmniejsza się, to do momentu, w którym obciążenie nie osiągnie drugiego progu Q2, zmniejszanie obciążenia nie będzie wpływać na liczbę przydzielanych PJP zgłoszeniom klas należących do zbioru H. Dopiero gdy obciążenie systemu przekroczy próg Q2, nastąpi zwiększenie liczby przydzielanych PJP zgłoszeniom klasy c. Możliwe też będzie zmniejszenie średniego czasu obsługi [82, 85, 99].
Zatem, z każdą klasą należącą do zbioruH związane są dwie pary parametrów: {tc,0, µ−1c,0}
oraz {tc,1, µ−1c,1}, gdzie tc,0 > tc,1 oraz µ−1c,0 ≤ µ−1c,1 (rys. 3.31).
Rys. 3.31: Model wiązki pełnodostępnej z mechanizmami progowymi z histerezą; Indeks C oznacza dowolny typ strumienia ruchu Erlanga (Er), Engseta (En) i Pascala (Pa), a indeks s dowolny zbiór źródeł Erlanga (i), źródeł
Engseta (j) i Pascala (k)
Średnie wartości ruchu AEr,i,c,0 oraz AEr,i,c,1, oferowanego przez źródła Erlanga należące do zbioru ZEr,i i generujące zgłoszenia o żądaniach tc,0 i tc,1, mogą być określone na podstawie wzoru (3.20), który w rozważanym przypadku może być zapisany następująco:
AEr,i,c,0 = ηEr,i,cλEr,i/µc,0, (3.40)
AEr,i,c,1 = ηEr,i,cλEr,i/µc,1. (3.41)
W przypadku strumieni ruchu Engseta i Pascala, wartości AEn,j,c,0(n) i AEn,j,c,1(n) ru-chu oferowanego, odpowiednio przez źródła Engseta ze zbioru ZEn,j oraz wartości APa,k,c,0(n) i APa,k,c,1(n) ruchu oferowanego przez źródła Pascala ze zbioru ZPa,k, gene-rujące zgłoszenia klasy c z żądaniami tc,0 i tc,1 PJP w stanie zajętości n, będą określone wzorem (3.21), który można zapisać:
AEn,j,c,0(n) = [ηEn,j,cNEn,j− yEn,j,c,0(n)]αEn,j,0, APa,k,c,0(n) = [ηPa,k,cSPa,k+ yPa,k,c,0(n)]βPa,k,0,
(3.42)
AEn,j,c,1(n) = [ηEn,j,cNEn,j− yEn,j,c,1(n)]αEn,j,1, APa,k,c,1(n) = [ηPa,k,cSPa,k+ yPa,k,c,1(n)]βPa,k,1.
(3.43)
Na rysunku 3.32 przedstawiono fragment dwóch łańcuchów Markowa odpowiadających zmianom obciążenia w rozważanym systemie. Na rysunku pokazano proces dotyczący
tylko jednej klasy zgłoszeń, która podlega mechanizmowi progowemu z histerezą. Zało-żono, że przydzielana liczba PJP zmniejsza się – po przekroczeniu progu Q1 – z dwóch do jednej jednostki (rys. 3.32a). Jeśli następnie obciążenie systemu zmniejszy się po-niżej progu Q2, to przydzielana liczba PJP zwiększy się z jednej do dwóch jednostek (rys. 3.32b). Zatem, w celu określenia charakterystyk ruchowych rozważanego systemu, dla każdej klasy zgłoszeń ze zbioru H trzeba rozważyć dwa różne procesy obsługi: jeden w kierunku zwiększających się obciążeń (rys. 3.32a), drugi w kierunku zmniejszających się obciążeń (rys. 3.32b).
Rys. 3.32: Fragment dwóch łańcuchów Markowa
Na podstawie analizy dwóch łańcuchów Markowa (dla dwóch kierunków zmian obcią-żenia) w [82] przyjęto, że rozkład zajętości w systemie z histerezą może być przybliżony następującym rozkładem ważonym:
[Pn]V
F = PQ1[Pn]Q
1,VF + PQ2[Pn]Q
2,VF , (3.44)
gdzie PQ1 i PQ2 są wagami, które odpowiadają prawdopodobieństwom, że proces obsługi systemu określony jest przez łańcuch Markowa odpowiadający zmianom obciążenia w kie-runku od małego do dużego (rys. 3.32a) i od dużego do małego (rys. 3.32b). Rozkłady [Pn]Q
1,VF oraz [Pn]Q
2,VF są więc rozkładami określającymi systemy z jednym progiem, równym odpowiednio Q1 oraz Q2.
Rozważmy zatem pewien system jednoprogowy z progiem równym Q wprowadzonym dla klas ze zbioru H. Rozkład zajętości w rozważanym systemie jednoporogowym może
być wyznaczony na podstawie równania (3.27), które przepiszemy w następujący sposób:
Ponieważ system jednoprogowy odpowiada systemowi pełnodostępnemu z tylko jednym mechanizmem uzależnienia od stanu (rozdział 2.2.2.), więc na podstawie (2.25) mamy:
σc,u,CałkQ (n) = σc,u,HQ (n), (3.46)
gdzie σQc,u,H(n) dla u = 0 określa stany zajętości systemu należące do obszaru przedprogo-wego⟨0, Q⟩, w których ruch jest zdefiniowany parametrami tc,0 i µc,0. Na podstawie (3.26) możemy więc napisać:
Parametr σc,u,HQ (n) dla u = 1 określa stany zajętości systemu należące do obszaru popro-gowego ⟨Q + 1, VF⟩, w których ruch jest zdefiniowany parametrami tc,1 i µc,1:
Dla wszystkich stanów większych od Q, liczba przydzielanych PJP zgłoszeniom klasy c należącej do zbioru H zmniejsza się z wartości tc,0 do wartości tc,1.
Wartości parametrów yEn,j,c,uQ (n) oraz yPa,k,c,uQ (n), określające średnią liczbę obsługiwa-nych zgłoszeń klasy c generowaobsługiwa-nych odpowiednio przez źródła należące do zbiorów ZEn,j
orazZPa,k w danym stanie zajętości systemu, mogą być wyznaczone na podstawie równań równowagi (3.28) i (3.29), które przepiszemy następująco:
yEn,j,c,uQ (n) =
yPa,k,c,uQ (n) = Zgodnie z metodą określania rozkładu zajętości w wiązce pełnodostępnej z mechani-zmami progowymi, przedstawioną w rozdziale 3.3.1., wzory (3.49) i (3.50) przepiszemy w postaci umożliwiającej wyznaczenie w l-tej iteracji wartości yQ,(l)En,j,c,u(n) i yPa,k,c,uQ,(l) (n):
yEn,j,c,uQ,(l) (n) = gdzie rozkład zajętości [Pn(l)]Q,VF w l-tym kroku iteracji zapiszemy następująco:
n[Pn(l)]
Wartości A(l)En,j,c,u(n) oraz A(l)Pa,k,c,u(n) wynikają z poprzedniego kroku iteracji. Na podsta-wie (3.33) możemy napisać:
A(l)En,j,c,u(n) = [ηEn,j,cNEn,j − yEn,j,c,uQ,(l−1)(n)]αEn,j,u, A(l)Pa,k,c,u(n) = [ηPa,k,cSPa,k+ yPa,k,c,uQ,(l−1)(n)]βPa,k,u.
(3.54)
Wartość prawdopodobieństwa blokady w rozważanym systemie jednoprogowym dla zgłoszeń klasy c może być wyznaczona jako suma prawdopodobieństw stanów blokowal-nych, w których system nie może obsłużyć nowego zgłoszenia klasy c:
Ec =
Podstawiając do wzorów (3.45)-(3.54) odpowiednie wartości progów (Q = Q1, Q = Q2) otrzymamy rozkłady zajętości [Pn]Q1,VF i [Pn]Q2,VF w systemach jednoprogowych.
Prawdopodobieństwa PQ1 i PQ2 w modelu [82] są aproksymowane na podstawie dwu-stanowego procesu Markowa, przedstawionego na rys. 3.33. Parametry α i β, zaznaczone
na rys. 3.33, są intensywnościami przełączania procesu obsługi w systemie z histerezą pomiędzy dwoma procesami obsługi w systemach jednoprogowych opisanych rozkładami [Pn]Q1,VF i [Pn]Q2,VF. Na podstawie diagramu procesu przełączeń z rys. 3.33, prawdopodo-bieństwa przebywania procesu obsługi w systemach jedmoprogowych mogą być określone następująco:
PQ1 = β
α + β, PQ2 = α
α + β. (3.56)
Intensywności α i β w przedstawionym modelu są aproksymowane intensywnościami stru-mieni, które przenoszą proces obsługi z obszaru niskiego obciążenia ⟨0, Q1⟩ do obszaru wysokiego obciążenia ⟨Q2, VF⟩ i odwrotnie.
Rys. 3.33: Dwustanowy przełączający proces Markowa
Parametr α może być określony na podstawie modelu jednoprogowego z progiem Q1 (rys. 3.34):
α =
Q1
∑
n=Q1−tmax+1
( 1
∑
u=0
(s
∑I
i=0 c∑Er,i
c=0
AEr,i,c,uσQc,u,Całk1 (n− tc,u)tc,u +
+
sJ
∑
j=0 c∑En,j
c=0
AEn,j,c,u(n)σc,u,CałkQ1 (n− tc,u)tc,u+
+
sK
∑
k=0 c∑Pa,k
c=0
APa,k,c,u(n)σc,u,CałkQ1 (n− tc,u)tc,u
))
. (3.57)
Parametr β z kolei jest określony na podstawie modelu jednoprogowego z progiem Q2
Rys. 3.34: Strumienie ruchu użyte w procesie przełączania pomiędzy obszarami
⟨0, Q1⟩ i ⟨Q2, VF⟩
(rys. 3.35):
Rys. 3.35: Strumienie obsługi użyte w procesie przełączania pomiędzy obszarami⟨Q2, VF⟩ i ⟨0, Q1⟩
We wzorze (3.58), każdemu strumieniowi obsługi yEr,i,c,u(n), yEn,j,c,u(n) i yPa,k,c,u(n) w stanie n przyporządkowane jest prawdopodobieństwo przejścia σc,u,CałkQ2 (n−tc,u) ze stanu (n − tc,u). Takie przyporządkowanie wynika z następującego rozumowania: strumień zwrotny danej klasy w stanie n istnieje tylko wtedy, gdy do stanu n „wchodzi” stru-mień zgłoszeń tej klasy, wychodzący ze stanu n− tc,u. W takich warunkach spełnione są równania lokalnej równowagi, będące podstawą wyprowadzenia rozkładu zajętości (3.45) w systemach jednoprogowych [64, 97].
Biorąc pod uwagę powyższe zależności, metoda MIM-MSS, służąca do określania roz-kładu zajętości w wiązce pełnodostępnej z mechanizmami progowymi z histerezą oraz z wielousługowymi źródłami Erlanga, Engseta i Pascala, może być zapisana w postaci metody MIM-MSS-FAG-H (ang. Multiple Iteration Method – Multi-service Sources – Full-availability Group – Hysteresis).
Metoda MIM-MSS-FAG-H
1. Wyznaczenie rozkładu zajętości [Pn]Q1,VF dla systemu jednoprogowego z progiem Q1 przy użyciu metody MIM-MSS-FAG-T dla σc,u,P(n) = σc,u,HQ1 (n) (wzory (3.47) i (3.48)).
2. Wyznaczenie rozkładu zajętości [Pn]Q2,VF dla systemu jednoprogowego z progiem Q2 przy użyciu metody MIM-MSS-FAG-T dla σc,u,P(n) = σc,u,HQ2 (n) (wzory (3.47) i (3.48)).
3. Określenie ważonego rozkładu zajętości [Pn]V
F w rozważanym systemie z histerezą – wzór (3.44).
4. Wyznaczenie prawdopodobieństwa blokady dla zgłoszeń klasy c – wzór (3.55).
W celu oszacowania dokładności proponowanego modelu wiązki pełnodostępnej z wie-lousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami progowymi z histerezą, rezultaty obliczeń porównano z danymi uzyskanymi na podstawie eksperymentów symulacyjnych. Badania przeprowadzono dla 4 wiązek pełnodostępnych. Pojemności wiązek oraz struktury ruchu oferowanego zostały przedstawione w tab. 3.7.
Tab. 3.7: Pojemność oraz struktura ruchu w badanych wiązkach pełnodostępnych z histerezą
System 1
Pojemność: VF = 30 PJP, Liczba klas ruchu: 3,
Struktura ruchu: t1,0= 1 PJP, µ−11,0 = 1, t2,0 = 2 PJP, µ−12,0= 1, t3,0 = 4 PJP, µ−13,0 = 1, t3,1 = 2 PJP, µ−13,1= 2, Q1 = 23 PJP, Q2 = 15 PJP,H = {3},
Zbiory źródeł: CEr,1 ={1, 2}, ηEr,1,1 = 0, 6, ηEr,1,2 = 0, 4,CEn,2={2, 3}, ηEn,2,2 = 0, 7, ηEn,2,3= 0, 3, NEn,2= 60.
System 2
Pojemność: VF = 50 PJP, Liczba klas ruchu: 3,
Struktura ruchu: t1,0= 1 PJP, µ−11,0 = 1, t2,0 = 3 PJP, µ−12,0= 1, t3,0 = 5 PJP, µ−13,0 = 1, t3,1 = 3 PJP, µ−13,1= 1, 667, Q1= 38 PJP, Q2= 25 PJP, H = {3},
Zbiory źródeł: CEr,1 = {1}, ηEr,1,1 = 1, 0, CEn,2 ={1, 2}, ηEn,2,1 = 0, 6, ηEn,2,2 = 0, 4, NEn,2= 50, CPa,3={2, 3}, ηPa,3,2 = 0, 7, ηPa,3,3 = 0, 3, SPa,3= 50.
System 3
Pojemność: VF = 70 PJP, Liczba klas ruchu: 4,
Struktura ruchu: t1,0= 1 PJP, µ−11,0 = 1, t2,0 = 2 PJP, µ−12,0= 1, t3,0 = 4 PJP, µ−13,0 = 1, t4,0 = 7 PJP, µ−14,0= 1, t4,1= 4 PJP, µ−14,1 = 1, 75, Q1 = 53 PJP, Q2 = 35 PJP,H = {4}, Zbiory źródeł: CEr,1 ={1, 2}, ηEr,1,1 = 0, 6, ηEr,1,2 = 0, 4,CEn,2={2, 3}, ηEn,2,2 = 0, 7, ηEn,2,3 = 0, 3, NEn,2 = 70, CPa,3 = {2, 3, 4}, ηPa,3,2 = 0, 3, ηPa,3,3 = 0, 2, ηPa,3,4 = 0, 5, SPa,3= 140.
System 4
Pojemność: VF = 90 PJP, Liczba klas ruchu: 5,
Struktura ruchu: t1,0= 1 PJP, µ−11,0 = 1, t2,0 = 3 PJP, µ−12,0= 1, t3,0 = 5 PJP, µ−13,0 = 1, t4,0 = 7 PJP, µ−14,0 = 1, t4,1 = 5 PJP, µ−14,1 = 1, 4, t5,0 = 10 PJP, µ−15,0 = 1, t5,1 = 7 PJP, µ−15,1 = 1, 429, Q1 = 68 PJP, Q2 = 45 PJP,H = {4, 5},
Zbiory źródeł: CEr,1 ={1, 2}, ηEr,1,1 = 0, 6, ηEr,1,2 = 0, 4,CEn,2={2, 3}, ηEn,2,2 = 0, 7, ηEn,2,3 = 0, 3, NEn,2 = 180, CPa,3 = {3, 4, 5}, ηPa,3,3 = 0, 3, ηPa,3,4 = 0, 2, ηPa,3,5 = 0, 5, SPa,3= 90.
Na rys. 3.36-3.39 przedstawiono rezultaty badań symulacyjnych i obliczeń prawdo-podobieństwa blokady dla zgłoszeń poszczególnych klas ruchu w rozważanych systemach pełnodostępnych z mechanizmami progowymi z histerezą. Wyniki zostały przedstawione
w zależności od wartości średniej ruchu a oferowanego pojedynczej PJP wiązki pełnodo-stępnej (wzór (3.36)).
Badania przeprowadzono dla wartości natężenia ruchu oferowanego pojedynczej jed-nostce pasma z przedziału od 0,4 do 1,2 Erl. Rezultaty symulacji przedstawiono na rys. 3.36-3.39 w postaci odpowiednio oznaczonych punktów z przedziałami ufności, okre-ślonymi według rozkładu t-Studenta (przy 95-procentowym poziomie ufności) dla pięciu serii, po 1000000 zgłoszeń (klasy generującej najmniejszą liczbę zgłoszeń) w każdej serii.
10−4
Ruch oferowany pojedynczej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 i 3 Symulacja − klasa 2 i 3
Ruch oferowany pojedynczej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 i 3 Symulacja − klasa 2 i 3
Ruch oferowany pojedycznej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 Symulacja − klasa 2 Obliczenia − klasa 3 i 4 Symulacja − klasa 3 i 4
Ruch oferowany pojedycznej PJP [Erl]
Obliczenia − klasa 1 Symulacja − klasa 1 Obliczenia − klasa 2 Symulacja − klasa 2 Obliczenia − klasa 3 i 4 Symulacja − klasa 3 i 4 Obliczenia − klasa 5 Symulacja − klasa 5
Rys. 3.39: Prawdopodobieństwo blokady w wiązce
pełnodostępnej z histerezą, system 4
Rezultaty przedstawione na rysunkach 3.36-3.39 potwierdzają wysoką dokładność me-tody MIM-MSS-FAG-H dla całego zakresu obciążeń systemu. Fakt ten potwierdza moż-liwość zastosowania metody w pracach inżynierskich i projektowych.