Modelowanie pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi i wielousługowymi ´zródłami ruchu

Wydział Elektroniki i Telekomunikacji

Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych

Maciej Sobieraj

Modelowanie pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi i wielousługowymi ´zródłami ruchu

Rozprawa doktorska przedłożona

Radzie Wydziału Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej

Promotor: dr hab. inż. Mariusz Głąbowski, prof. nadzw.

Poznań, 2014

Wykaz wa˙zniejszych oznacze´ n v

Streszczenie ix

Abstract x

1. Wst ˛ ep 1

1.1. Wprowadzenie . . . . 1

1.2. Cel i zakres pracy . . . . 5

2. Modelowanie systemów z zale˙znym od stanu procesem przyjmowania zgłosze´ n 7 2.1. Strumienie ruchu. . . . 7

2.1.1. Strumień ruchu Erlanga . . . . 7

2.1.2. Strumień ruchu Engseta . . . . 7

2.1.3. Strumień ruchu Pascala . . . . 8

2.2. Systemy wielousługowe z jednousługowymi źródłami ruchu . . . . 10

2.2.1. Systemy z niezależnym od stanu procesem napływania zgłoszeń . . . . 10

2.2.2. Systemy z zależnym od stanu procesem napływania zgłoszeń . . 14

2.3. Systemy wielousługowe z wielousługowymi źródłami ruchu . . . . 17

2.3.1. Struktura ruchu . . . . 17

2.3.2. Rozkład zajętości . . . . 20

2.3.3. Prawdopodobieństwo blokady . . . . 24

2.3.4. Prawdopodobieństwo strat . . . . 24

3. Modelowanie wi ˛ azek ł ˛ aczy pól komutacyjnych z mechanizmami pro- gowymi 25 3.1. Modele wiązek bez mechanizmów progowych . . . . 25

3.1.1. Model wiązki pełnodostępnej . . . . 25

i

3.1.2. Model wiązki z ograniczoną dostępnością . . . . 27

3.2. Modele wiązek z mechanizmami rezerwacji . . . . 32

3.2.1. Model wiązki pełnodostępnej z rezerwacją . . . . 32

3.2.2. Model wiązki z ograniczoną dostępnością i rezerwacją . . . . . 36

3.3. Modele wiązek z właściwymi mechanizmami progowymi . . . . 41

3.3.1. Model wiązki pełnodostępnej z właściwymi mechanizmami progo- wymi . . . . 41

3.3.2. Model wiązki z ograniczoną dostępnością i właściwymi mechani- zmami progowymi . . . . 47

3.4. Modele wiązek z mechanizmami progowymi z histerezą . . . . 51

3.4.1. Model wiązki pełnodostępnej z mechanizmami progowymi z histe- rezą . . . . 51

3.4.2. Model wiązki z ograniczoną dostępnością i mechanizmami progo- wymi z histerezą . . . . 60

4. Modelowanie wielousługowych pól komutacyjnych 65 4.1. Podstawowe założenia . . . . 65

4.1.1. Budowa pola komutacyjnego. . . . 65

4.1.2. Struktura oferowanego ruchu . . . . 66

4.1.3. Algorytm wyboru drogi połączeniowej w polu z selekcją punkt- grupa . . . . 66

4.1.4. Algorytm wyboru drogi połączeniowej w polu z selekcją punkt- punkt . . . . 67

4.2. Efektywna dostępność w polu komutacyjnym. . . . 67

4.3. Rozkład dostępnych łączy . . . . 69

4.4. Rozkład dostępnych łączy komutatora. . . . 70

4.5. Metody wyznaczania prawdopodobieństwa blokady w polach komutacyj- nych . . . . 70

4.5.1. Metoda PGB . . . . 71

4.5.2. Metoda PPB . . . . 72

4.5.3. Metoda PPD . . . . 73

4.5.4. Metoda PGPPBRec . . . . 75

4.5.5. Porównanie przedstawionych metod wyznaczania prawdopodobień- stwa blokady w polach komutacyjnych . . . . 78

5. Modelowanie wielousługowych pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi 87 5.1. Podstawowe założenia . . . . 87

5.1.1. Mechanizmy progowe w polu komutacyjnym . . . . 87

5.2. Pole z mechanizmem rezerwacji . . . . 88

5.2.1. Metoda PGB-R . . . . 90

5.2.2. Metoda PPB-R . . . . 90

5.2.3. Metoda PPD-R . . . . 91

5.2.4. Metoda PGPPBRec-R . . . . 92

5.2.5. Porównanie przedstawionych metod wyznaczania prawdopodobień- stwa blokady w polach komutacyjnych . . . . 92

5.3. Pole z właściwymi mechanizmami progowymi . . . . 101

5.3.1. Metoda PGB-T . . . . 103

5.3.2. Metoda PPB-T . . . . 104

5.3.3. Metoda PPD-T . . . . 104

5.3.4. Metoda PGPPBRec-T . . . . 105

5.3.5. Porównanie przedstawionych metod wyznaczania prawdopodobień- stwa blokady w polach komutacyjnych . . . . 106

5.4. Pole z mechanizmami progowymi z histerezą . . . . 114

5.4.1. Metoda PGB-H . . . . 115

5.4.2. Metoda PPB-H . . . . 116

5.4.3. Metoda PPD-H . . . . 117

5.4.4. Metoda PGPPBRec-H . . . . 117

5.4.5. Porównanie przedstawionych metod wyznaczania prawdopodobień- stwa blokady w polach komutacyjnych . . . . 118

6. Ogólny model pola komutacyjnego z mechanizmami progowymi i ru- chem BPP 127 6.1. Zagadnienia podstawowe . . . . 127

6.2. Uogólniony model łączy międzysekcyjnych w polach komutacyjnych z me- chanizmami progowymi . . . . 128

6.3. Metody wyznaczania prawdopodobieństwa blokady całkowitej w uogól- nionym modelu pola komutacyjnego z mechanizmami progowymi . . . 134

6.3.1. Podstawowe założenia metod . . . . 134

6.3.2. Metoda PGB-U . . . . 135

6.3.3. Metoda PPB-U . . . . 136

6.3.4. Metoda PPD-U . . . . 136

6.3.5. Metoda PGPPBRec-U . . . . 137

6.3.6. Weryfikacja dokładności uogólnionego modelu pola komutacyjnego z mechanizmami progowymi . . . . 138

7. Symulacja pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi 157

7.1. Opis symulatora . . . . 157

7.1.1. Dane wejściowe i warunek końca eksperymentu symulacyjnego . 157

7.1.2. Model symulacyjny. . . . 159

7.1.3. Symulowanie systemu ze zbiorami źródeł Erlanga . . . . 159

7.1.4. Symulowanie systemu ze zbiorami źródeł Engseta. . . . 160

7.1.5. Symulowanie systemu ze zbiorami źródeł Pascala . . . . 161

7.2. Badania symulacyjne pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi . 162 7.2.1. Cel prowadzenia badań symulacyjnych . . . . 162

7.2.2. Sposób przedstawienia wyników . . . . 163

7.2.3. Wpływ liczby klas z mechanizmami progowymi. . . . 163

7.2.4. Wpływ zastosowanego mechanizmu progowego . . . . 169

7.2.5. Wpływ liczby prób zestawiania połączenia . . . . 176

7.2.6. Wpływ strategii zajmowania łączy . . . . 180

8. Podsumowanie 188

Bibliografia 190

η

– udział klasy c w strukturze ruchu generowanego przez źródła Er- langa należące do zbioru Z

,

η

– udział klasy c w strukturze ruchu generowanego przez źródła Eng- seta należące do zbioru Z

,

η

– udział klasy c w strukturze ruchu generowanego przez źródła Pas- cala należące do zbioru Z

,

µ

– parametr rozkładu wykładniczego czasu obsługi zgłoszeń klasy c, π

(c) – prawdopodobieństwo niedostępności komutatora ostatniej sekcji z-

sekcyjnego pola komutacyjnego dla zgłoszeń klasy c,

σ

(n) – warunkowe prawdopodobieństwo przejścia określające zależność strumienia obsługi zgłoszeń klasy c od aktualnego stanu systemu, σ

(c) – współczynnik wtórnej dostępności w z-sekcyjnym polu

komutacyjnym,

υ – liczba podgrup w wiązce z ograniczoną dostępnością, – liczba wejść/wyjść komutatora,

– liczba łączy tworzących kierunki wyjściowe,

A

– średnie natężenie ruchu oferowanego przez strumień Erlanga klasy i, A

(n) – średnie natężenie ruchu oferowanego przez strumień Engseta klasy j

w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma,

v

A

(n) – średnie natężenie ruchu oferowanego przez strumień Pascala klasy k w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma,

A

– średnia wartość ruchu generowanego przez źródła Erlanga należące do zbioru Z

,

A

– średnia wartość ruchu generowanego przez źródła Engseta należące do zbioru Z

w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma, A

– średnia wartość ruchu generowanego przez źródła Pascala należące do zbioru Z

w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma, c

– liczba klas ruchu należących do zbioru C

,

c

– liczba klas ruchu należących do zbioru C

, c

– liczba klas ruchu należących do zbioru C

,

d

(c) – efektywna dostępność dla zgłoszeń klasy c w z-sekcyjnym polu komutacyjnym,

E

– prawdopodobieństwo blokady dla zgłoszeń klasy c w wiązce pełno- dostępnej lub w wiązce z ograniczoną dostępnością,

E

(c) – prawdopodobieństwo blokady całkowitej dla zgłoszeń klasy c w wie- lousługowym polu komutacyjnym,

E

(c) – prawdopodobieństwo blokady wewnętrznej dla zgłoszeń klasy c w wielousługowym polu komutacyjnym,

E

(c) – prawdopodobieństwo blokady zewnętrznej dla zgłoszeń klasy c w wielousługowym polu komutacyjnym,

f – pojemność łącza,

m – liczba klas ruchu należących do zbioru M,

N

– liczba jednousługowych źródeł Engseta generujących zgłoszenia klasy j,

– liczba źródeł Engseta należących do zbioru źródeł ruchu Z

,

P (c, s) – rozkład dostępnych łączy kierunku wyjściowego pola komutacyj- nego dla zgłoszeń klasy c,

P (c, s ∧ 1) – rozkład dostępnych łączy komutatora dla zgłoszeń klasy c,

[P

]

– prawdopodobieństwo zajętości n podstawowych jednostek pasma w systemie o pojemności V ,

Q

– granica progu u dla zgłoszeń klasy c, Q

– górna granica histerezy,

Q

– dolna granica histerezy,

R

– granica rezerwacji dla zgłoszeń klasy c,

s

– liczba zbiorów źródeł ruchu generujących strumienie Erlanga, s

– liczba zbiorów źródeł ruchu generujących strumienie Engseta, s

– liczba zbiorów źródeł ruchu generujących strumienie Pascala, S

– liczba jednousługowych źródeł Pascala generujących zgłoszenia

klasy k,

– liczba źródeł Pascala należących do zbioru źródeł ruchu Z

, t

– liczba podstawowych jednostek pasma żądanych przez zgłoszenia

klasy c do zestawienia połączenia, V

– pojemność wiązki pełnodostępnej,

V

– pojemność wiązki z ograniczoną dostępnością, – pojemność kierunku wyjściowego,

y

(n) – średnia liczba zgłoszeń klasy i, wygenerowanych przez źródła Er- langa, obsługiwanych w systemie znajdującym się w stanie n zaję- tych podstawowych jednostek pasma,

y

(n) – średnia liczba zgłoszeń klasy j, wygenerowanych przez źródła Eng-

seta, obsługiwanych w systemie znajdującym się w stanie n zajętych

podstawowych jednostek pasma,

y

(n) – średnia liczba zgłoszeń klasy k, wygenerowanych przez źródła Pas- cala, obsługiwanych w systemie znajdującym się w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma,

y

(n) – średnia liczba zgłoszeń klasy c wygenerowanych przez źródła Eng- seta należące do zbioru Z

, obsługiwanych w systemie w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma,

y

(n) – średnia liczba zgłoszeń klasy c wygenerowanych przez źródła Pas- cala należące do zbioru Z

, obsługiwanych w systemie w stanie n zajętych podstawowych jednostek pasma,

z – liczba sekcji pola komutacyjnego,

W pracy zaproponowano przybliżone, analityczne metody, umożliwiające efektywne okre- ślenie charakterystyk ruchowych pól komutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu i zaimplementowanymi mechanizmami progowymi. Mechanizmy te umożliwiają sterowa- nie prawdopodobieństwem blokad poszczególnych klas ruchu i – w konsekwencji – lepsze wykorzystanie zasobów sieciowych.

W pierwszej części pracy przeprowadzono analizę różnych typów wiązek z wielousługo- wymi źródłami ruchu i mechanizmami progowymi (wiązka pełnodostępna, wiązka z ogra- niczoną dostępnością). Zaproponowane metody analityczne, umożliwiające określenie prawdopodobieństwa blokady w takich wiązkach, mogą być następnie wykorzystane do modelowania wielousługowych pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi, w szcze- gólności do modelowania łączy międzysekcyjnych i kierunków wyjściowych pola.

W drugiej części pracy zaproponowano zbiór metod umożliwiających analityczne okre- ślenie prawdopodobieństwa blokady całkowitej punkt-grupa i punkt-punkt w polach ko- mutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu i wprowadzonymi mechanizmami progo- wymi. Wyszczególniono trzy grupy modeli pól komutacyjnych: z wprowadzonymi me- chanizmami rezerwacji, z właściwymi mechanizmami progowymi oraz z mechanizmami progowymi z histerezą. Wszystkie trzy typy mechanizmów określane są jako mecha- nizmy progowe. Podstawą zaproponowanych modeli jest metoda efektywnej dostępno- ści, polegająca na sprowadzeniu obliczeń prawdopodobieństwa blokady w wielosekcyjnym polu komutacyjnym z ruchem wielousługowym do obliczeń prawdopodobieństwa blokady w ekwiwalentnym modelu pola obsługującego ruch jednokanałowy.

Wszystkie zaproponowane w pracy metody są metodami przybliżonymi. W celu oceny dokładności proponowanych metod, wyniki obliczeń analitycznych wybranych, wielousłu- gowych pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi, porównano z danymi uzyskanymi na podstawie eksperymentów symulacyjnych.

Przeprowadzone badania porównawcze potwierdziły dużą dokładność proponowanych metod i tym samym poprawność wszystkich przyjętych założeń teoretycznych.

ix

The approximate and analytical methods for effective determination of the traffic charac- teristics of multiservice switching networks with multiservice traffic sources and threshold mechanisms that are proposed in the present work make it possible to control the bloc- king probability for particular traffic classes to find solutions to improve usage of network resources

The first part of this work involves an analysis of different groups with multiservice so- urces and threshold mechanisms (full-availability group, limited-availability group). The presented analytical methods for blocking probability calculation in these groups are then used in modelling switching networks with threshold mechanisms, in particular for mo- delling interstage links and outgoing directions.

In the second part of the work, a set of methods for analytical calculation of total point- to-group and point-to-point blocking probability in multiservice switching networks with multiservice sources and threshold mechanisms is proposed. Three groups of methods for determining the total blocking probability in respective multiservice switching networks with the reservation mechanism, proper threshold mechanisms and threshold mechanisms with hysteresis are introduced. All the three types of mechanisms are called threshold mechanisms. The proposed methods are based on the method of effective availability which involves a reduction of the blocking probability calculation in multiservice switching network with multiservice traffic to the blocking probability calculation in an equivalent model of switching network servicing one-channel traffic only.

All methods, that are proposed in the work are approximate methods. In order to evaluate the accuracy of the proposed analytical methods, the results of the analytical calculations of selected multiservice switching networks are compared with the simulation data.

The comparison study carried out by the Author has confirmed that the proposed methods are characterized by high accuracy and therefore verify and substantiate the set of theoretical assumptions adopted in this study.

x

Wst ˛ ep

1.1. Wprowadzenie

Największy wpływ na rozwój sieci telekomunikacyjnych ma zapotrzebowanie abonentów na nowe rodzaje usług. Do niedawna sieć telekomunikacyjna była projektowana i rozwi- jana w głównej mierze dla zaspokojenia potrzeb tylko jednej usługi – telefonii. Wprowa- dzenie technik multimedialnych oraz znaczny wzrost zapotrzebowania na usługi transmisji danych, związany z dynamicznym rozwojem Internetu, spowodował potrzebę rozwoju no- wych technologii transmisji i komutacji w kontekście rosnących wymagań użytkowników.

Koniecznym stało się wprowadzenie technologii integrujących transmisję głosu, transmisję danych oraz usług multimedialnych. Dzięki zastosowaniu nowych technologii współcze- sne sieci telekomunikacyjne mają charakter wielousługowy, który bezpośrednio wpływa na metodologię modelowania systemów sieciowych.

Analityczne określanie charakterystyk ruchowych systemów sieci wielousługowych jest możliwe na podstawie trzech niezależnych grup modeli:

• modeli opartych na analizie równań stanu wielowymiarowego procesu Markowa [1, 9, 55, 71, 79, 87],

• modeli opartych na aproksymacji wielowymiarowego procesu obsługi przez jedno- wymiarowy łańcuch Markowa [4, 63, 75, 76, 88],

• modeli wykorzystujących tzw. algorytm splotowy [17–21,55,56].

Pierwsza grupa modeli ma praktyczne zastosowanie w modelowaniu systemów o nie- wielkiej pojemności. W przypadku systemów o większych pojemnościach liczba stanów, w których może znajdować się wielowymiarowy proces Markowa, istotnie wzrasta [62].

W konsekwencji takie podejście prowadzi do wykładniczego wzrostu złożoności oblicze- niowej modelu, uniemożliwiającego jego zastosowanie praktyczne. Druga grupa modeli umożliwia określenie rozkładu zajętości w systemach wielousługowych za pomocą prostej

1

rekurencji, tzw. wzoru Kaufmana-Robertsa [63,75]. Trzecia grupa modeli polega na zasto- sowaniu tzw. algorytmów splotowych do określenia charakterystyk ruchowych sieciowych systemów wielousługowych. Biorąc pod uwagę dokładność uzyskiwanych wyników oraz złożoność obliczeniową tych trzech grup modeli można wykazać [22, 77], że najbardziej efektywne jest wykorzystanie modeli należących do grupy drugiej.

W celu umożliwienia zastosowania omawianych grup modeli do wyznaczania charak- terystyk ruchowych systemów wielousługowych, wprowadzono pojęcie tzw. modeli multi- rate [77, 78]. W modelach multi-rate określa się tzw. Podstawową Jednostkę Pasma (PJP), która powinna być mniejsza bądź równa największemu wspólnemu podzielnikowi zasobów żądanych przez poszczególne strumienie zgłoszeń [77, 78]. Takie podejście pro- wadzi do wyrażenia żądań poszczególnych klas zgłoszeń jako wielokrotności PJP.

W celu zastosowania modeli multi-rate do modelowania sieci wielousługowych, ge- nerujących strumienie zgłoszeń o zmiennej przepływności bitowej, wprowadzono pojęcie pasma ekwiwalentnego. Koncepcja ta polega na zastąpieniu zmiennej przepływności da- nego zgłoszenia pewną wartością stałą, której wartość zawiera się pomiędzy wartością średnią i wartością szczytową przepływności rzeczywistego strumienia [67].

W sieciach komórkowych z interfejsem radiowym WCDMA operowanie przepływnością jako jednostką alokacji jest niewygodne. W takiej sytuacji miarą zajętości zasobów może być procentowy poziom obciążenia interfejsu [54], a jednostkę alokacji wybiera się na podstawie jednostkowych obciążeń interfejsu przez źródła ruchu poszczególnych klas [97].

W konsekwencji, przyjęta wartość PJP jest określona przez największy wspólny podzielnik jednostkowych obciążeń, wnoszonych przez poszczególne klasy ruchu [98].

Modele systemów multi-rate mogą być klasyfikowane względem różnorodnych kryte- riów. Przyjmując za podstawę kryterium tzw. „zależność od stanu”, rozważane w litera- turze przedmiotu systemy telekomunikacyjne możemy podzielić następująco:

• systemy niezależne od stanu:

– systemy z niezależnym od stanu procesem przyjmowania nowych zgłoszeń, – systemy z niezależnym od stanu procesem napływania nowych zgłoszeń,

• systemy zależne od stanu:

– systemy z zależnym od stanu procesem przyjmowania nowych zgłoszeń, – systemy z zależnym od stanu procesem napływania nowych zgłoszeń.

W przypadku systemów całkowicie niezależnych od stanu, zarówno proces przyjmowania, jak i napływania nowych zgłoszeń nie zależny od aktualnego stanu zajętości systemu.

Przykładem takiego systemu może być model wiązki pełnodostępnej (niezależny proces

przyjmowania nowych zgłoszeń) ze strumieniem ruchu Erlanga (niezależny proces na-

pływania zgłoszeń) [63, 75]. W systemach zależnych od stanu, zależność przyjmowania

nowych zgłoszeń od stanu systemu może wynikać ze specyficznej struktury wiązki (np.

wiązka z ograniczoną dostępnością [42, 89]) lub z polityki przyjmowania nowych zgłoszeń (np. systemy z rezerwacją [23–25, 76, 78, 96, 100], systemy progowe [10, 26, 64, 72] oraz sys- temy progowe z histerezą [82–85]). Z kolei zależność procesu napływania nowych zgłoszeń od stanu systemu występuje w systemach ze skończoną liczbą źródeł ruchu. Przykła- dami takich systemów mogą być systemy, którym oferowane są strumienie ruchu Engseta i Pascala [16, 50, 55].

W pracach [15,22] wykazano, że najbardziej efektywną grupą modeli, umożliwiających analizę systemów z dowolnym typem zależności od stanu, jest grupa, której podstawą jest aproksymacja wielowymiarowego procesu obsługi przez jednowymiarowy łańcuch Mar- kowa [51, 53, 55, 57, 59–61, 63–65, 72, 73, 75–86, 102–104].

Dotychczas w literaturze przedmiotu rozważane były modele systemów wielousługo- wych, w których pojedyncze źródło danej klasy ruchu mogło generować jeden, ściśle okre- ślony strumień ruchu [10, 12, 30, 31, 42, 43, 46–48]. Modele systemów wielousługowych z jednousługowymi źródłami ruchu były podstawą analizy zarówno systemów bez wpro- wadzonych mechanizmów sterowania dostępem do zasobów [42, 43, 46–48], jak i syste- mów z wprowadzonymi mechanizmami sterowania dostępem do zasobów, takimi jak np.

mechanizmy progowe [10, 12, 22, 30, 31]. Mechanizmy sterowania dostępem do zasobów umożliwiają kształtowanie polityki jakości, zwiększają efektywność wykorzystania zaso- bów oraz zwiększają stabilność działania sieci. Termin mechanizmy progowe określa grupę mechanizmów sterowania dostępem do zasobów, w skład których wchodzą mechanizmy rezerwacji, w których część zasobów jest rezerwowana dla wybranych klas usług, oraz wła- ściwe mechanizmy progowe, w szczególności mechanizmy progowe z histerezą, w których żądania danych klas są zmniejszane – zgodnie z przyjętym algorytmem – w miarę wzrostu obciążenia systemu powyżej pewnych ustalonych granic.

W pracach [32, 33, 35–38, 40] Autor podjął badania nad opracowaniem nowych mo- deli multi-rate wielousługowych systemów telekomunikacyjnych, w których pojedyncze źródło może generować różne strumienie ruchu, odpowiadające klasom usług związanych z danym źródłem. W rozważanych modelach źródła ruchu odpowiadają rzeczywistym terminalom (urządzeniom końcowym), zapewniającym możliwość korzystania z różnego typu usług (np. usługi głosowe, wideokonferencyjne czy transmisji danych). Problem jest nowy, ponieważ dotychczas w literaturze przedmiotu rozważano wyłącznie matematyczne modele systemów wielousługowych z jednousługowymi źródłami ruchu, tj. terminalami, z którymi związany był tylko jeden typ usługi.

Prowadzone badania nad opracowaniem nowych modeli systemów wielousługowych

z wielousługowymi źródłami ruchu dotyczyły systemów z niezależnym jak i zależnym

procesem przyjmowania i napływania nowych zgłoszeń. W szczególności badano systemy

z wprowadzonymi mechanizmami progowymi, którym oferowano mieszaninę strumieni

ruchów Erlanga, Engseta i Pascala generowanych przez źródła wielousługowe.

W wyniku przeprowadzonych badań, których rezultaty zawarto w rozprawie, zapro- ponowano następujące modele:

• model wiązki pełnodostępnej z wielousługowymi źródłami ruchu [32],

• model wiązki z ograniczoną dostępnością i wielousługowymi źródłami ruchu [33],

• model wiązki pełnodostępnej z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmem rezerwacji [35],

• model wiązki z ograniczoną dostępnością, z wielousługowymi źródłami ruchu i me- chanizmem rezerwacji [36],

• model wiązki pełnodostępnej z wielousługowymi źródłami ruchu i właściwymi me- chanizmami progowymi [37],

• model wiązki z ograniczoną dostępnością, z wielousługowymi źródłami ruchu i wła- ściwymi mechanizmami progowymi,

• model wiązki pełnodostępnej z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami progowymi z histerezą [80, 82–84],

• model wiązki z ograniczoną dostępnością, z wielousługowymi źródłami ruchu i me- chanizmami progowymi z histerezą [85].

Zaproponowane modele wiązek z wielousługowymi źródłami ruchu umożliwiają wyzna- czenie rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w takich systemach. Są one również podstawą konstrukcji nowych modeli wielousługowych pól komutacyjnych z wie- lousługowymi źródłami ruchu. Modele te umożliwiają wyznaczenie prawdopodobieństwa blokady punkt-grupa oraz punkt-punkt w polach komutacyjnych z zaimplementowanymi mechanizmami progowymi.

W wyniku przeprowadzonych badań, których rezultaty zawarto w rozprawie, zapro- ponowano następujące modele:

• model pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu [38],

• model pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami re- zerwacji [25, 28],

• model pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu i właściwymi mecha- nizmami progowymi [27, 29],

• model pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami pro-

gowymi z histerezą [34, 39],

• uogólniony model pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu i mecha- nizmami progowymi.

Wysoka efektywność i dokładność zaproponowanych modeli pól komutacyjnych z wie- lousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami progowymi pozwala na ich zastosowanie praktyczne w obszarze projektowania oraz optymalizacji systemów sieciowych z zaawan- sowanymi mechanizmami zarządzania ruchem.

1.2. Cel i zakres pracy

Celem rozprawy jest opracowanie spójnej metodologii modelowania wielousługowych pól komutacyjnych obsługujących strumienie ruchu generowane przez wielousługowe źródła ruchu, w których zaimplementowano zaawansowane mechanizmy progowe sterowania do- stępem do zasobów.

Teza pracy jest następująca: Możliwe jest opracowanie modeli analitycznych, umoż- liwiających efektywne określanie charakterystyk ruchowych wielousługowych pól komuta- cyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu i zaimplementowanymi mechanizmami progo- wymi.

Praca podzielona jest na osiem rozdziałów. W rozdziale drugim przedstawiono modele systemów z zależnym od stanu procesem przyjmowania nowych zgłoszeń. Opisano pod- stawowe, wielousługowe modele Erlanga, Engseta i Pascala. Zaprezentowano także nową metodę modelowania systemów z zależnym od stanu procesem przyjmowania i napły- wania zgłoszeń obsługujących mieszaninę strumieni ruchów Erlanga, Engseta i Pascala, generowanych przez źródła wielousługowe.

W rozdziale trzecim przedstawiono modele łączy, wykorzystywane do analizy pól ko- mutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu. Zaprezentowano modele wiązek z ogra- niczoną dostępnością i mechanizmami progowymi, które służą do aproksymacji kierunków wyjściowych pola komutacyjnego z wielousługowymi źródłami ruchu. Opisano też modele wiązek pełnodostępnych, w których zaimplementowano mechanizmy progowe. Modele te umożliwiają aproksymację łączy międzysekcyjnych pola komutacyjnego. W rozdziale przedstawiono też rezultaty oceny dokładności zaproponowanych modeli analitycznych.

W rozdziale czwartym opisano strukturę rozważanych pól komutacyjnych oraz przed- stawiono algorytmy zestawiania połączeń typu punkt-grupa i punkt-punkt. Zapropono- wano nowe metody wyznaczania prawdopodobieństwa blokady punkt-grupa i punkt-punkt w polach komutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu. W celu oceny dokładności proponowanych metod, rezultaty obliczeń analitycznych porównano z wynikami ekspery- mentów symulacyjnych.

W rozdziale piątym scharakteryzowano wielousługowe pola komutacyjne z wprowa-

dzonymi mechanizmami progowymi. Zaproponowano nowe metody wyznaczania praw-

dopodobieństwa blokady punkt-grupa i punkt-punkt w polu komutacyjnym, w którym zaimplementowano mechanizm rezerwacji oraz właściwe mechanizmy progowe. Przedsta- wiono również metody określania charakterystyk pól komutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami progowymi z histerezą. W rozdziale przedstawiono także rezultaty porównawcze obliczeń analitycznych z danymi uzyskanymi na podstawie prze- prowadzonych eksperymentów symulacyjnych.

Rozdział szósty poświęcono nowemu, uogólnionemu modelowi pola komutacyjnego z mechanizmami progowymi i wielousługowymi źródłami ruchu. Opracowany model po- zwala na efektywne wyznaczenie charakterystyk ruchowych pól komutacyjnych, w których zastosowano odpowiednie algorytmy zmiany wielkości przydzielanych zasobów w łączach międzysekcyjnych i wyjściowych pola komutacyjnego. Dokonano także oceny dokładności zaproponowanej metody.

W rozdziale siódmym przedstawiono model symulatora skonstruowanego na potrzeby badań. Opisano metodę symulacji oraz algorytmy stosowane w symulatorze systemów ze źródłami ruchu Erlanga, Engseta i Pascala. Przedstawiono także wyniki badań symula- cyjnych, mających na celu określenie wpływu odpowiednich parametrów (np. liczby klas podlegających mechanizmowi progowemu, zastosowanego mechanizmu progowego, liczby prób zestawiania połączenia, strategi zajmowania łączy, itp.) na wartości prawdopodo- bieństwa blokady poszczególnych klas zgłoszeń w rozważanych polach komutacyjnych.

Pracę kończą wnioski oraz uwagi na temat zaproponowanych w rozprawie metod mo-

delowania pól komutacyjnych z wielousługowymi źródłami ruchu i mechanizmami progo-

wymi.

Modelowanie systemów z zale ˙znym od stanu procesem przyjmowania

zgłosze ´ n

2.1. Strumienie ruchu

2.1.1. Strumie´ n ruchu Erlanga

Na rysunku 2.1 przedstawiono system o pojemności V PJP

, któremu oferowanych jest m

niezależnych klas poissonowskich strumieni zgłoszeń pochodzących ze zbioru I = {1, 2, ..., m

}. Jest to przykład systemu z niezależnym od stanu procesem na- pływania nowych zgłoszeń. Intensywności poszczególnych strumieni zgłoszeń wynoszą:

λ

, λ

, ..., λ

i są niezależne od stanu zajętości systemu. Liczba żądanych PJP przez zgłoszenia poszczególnych klas ruchu wynosi: t

, t

, ..., t

. Czasy obsługi zgło- szeń poszczególnych klas ruchu mają rozkłady wykładnicze o parametrach: µ

, µ

, ..., µ

. Średnie natężenie ruchu oferowanego przez strumień klasy i wyraża się wzorem:

A

= λ

/µ

, (2.1)

gdzie indeks Er określa strumień ruchu Erlanga (poissonowski strumień zgłoszeń, wykład- niczy czas obsługi) [55].

2.1.2. Strumie´ n ruchu Engseta

Rozważmy system obsługujący ruch wielousługowy generowany przez skończoną liczbę źródeł ruchu (rys. 2.2). Systemowi oferowanych jest m

strumieni zgłoszeń pochodzących ze zbioru J = {1, 2, ..., m

}. Oznaczmy przez N

liczbę źródeł generujących zgłosze-

1Podstawowa Jednostka Pasma – definiowana jako największy wspólny podzielnik zasobów żądanych przez zgłoszenia wszystkich klas ruchu oferowanych systemowi [77, 78].

7

Rys. 2.1: System z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń (poissonowskie strumienie zgłoszeń)

nia klasy j, które żądają t

PJP do obsługi. Strumień ruchu wejściowego klasy j jest rezultatem superpozycji N

źródeł ruchu, które mogą znajdować się w jednym z dwóch stanów, aktywnym stanie ON (źródło zajmuje t

PJP systemie) lub nieaktywnym stanie OFF (źródło nie zajmuje zasobów systemu). Kiedy źródło jest w stanie ON, jego inten- sywność generowania nowych zgłoszeń wynosi zero. Oznacza to, że proces pojawiania się nowych zgłoszeń jest procesem zależnym od stanu. Natężenie ruchu oferowanego przez wolne źródło (w stanie OFF) klasy j jest równe:

α

= γ

/µ

, (2.2)

gdzie γ

jest średnią intensywnością generowania nowych zgłoszeń przez wolne źródło klasy j, natomiast µ

jest parametrem wykładniczego rozkładu czasu obsługi zgłoszeń klasy j. Zatem, średni ruch klasy j, oferowany systemowi w stanie zajętości n PJP, może być określony na podstawie następującego równania [14, 22, 50, 56]:

A

(n) = (N

− n

(n))α

, (2.3) gdzie n

jest liczbą obsługiwanych źródeł klasy j w stanie n. Wprowadzony w tym modelu indeks En oznacza, że dany parametr opisuje lub odnosi się do strumienia ruchu typu Engseta.

2.1.3. Strumie´ n ruchu Pascala

Rozważmy system obsługujący strumień ruchu typu Pascala (rys. 2.3). Taki ruch ge-

nerowany jest przez m

strumieni zgłoszeń należących do zbioru K = {1, 2, ..., m

}.

Rys. 2.2: System z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń (strumienie zgłoszeń typu Engseta)

Oznaczmy przez S

liczbę źródeł generujących zgłoszenia klasy k, które żądają t

PJP do zestawienia połączenia. Każde wolne źródło (w stanie OFF) generuje zgłoszenia z in- tensywnością γ

. Czas obsługi ma rozkład wykładniczy z parametrem µ

. Ruch ofero- wany przez jedno wolne źródło klasy k jest równy:

β

= γ

/µ

. (2.4)

W odróżnieniu od strumienia Engseta, w przypadku strumienia Pascala intensywność pojawiania się nowych zgłoszeń danej klasy zwiększa się wraz ze wzrostem liczby ob- sługiwanych źródeł (tj. źródeł w stanie ON) tej klasy. W modelu Pascala przyjęto, że

Rys. 2.3: System z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń

(strumienie zgłoszeń typu Pascala)

intensywność pojawiania się nowych zgłoszeń klasy k, w stanie zajętości n PJP, jest równa (S

+n

(n))γ

, gdzie n

(n) określa liczbę obsługiwanych źródeł klasy k (tj. liczbę źródeł klasy k w stanie ON) w stanie zajętości n. Zatem, średni ruch oferowany systemowi w stanie n zajętych PJP może być określony w następujący sposób [14, 22, 50, 56]:

A

(n) = (S

+ n

(n))β

, (2.5) gdzie indeks Pa określa strumień Pascala.

2.2. Systemy wielousługowe z jednousługowymi ´zró- dłami ruchu

2.2.1. Systemy z niezale˙znym od stanu procesem napływania zgłosze´ n

Do analizy działania systemu o pojemności V , któremu oferowane są strumienie ruchu Erlanga (rozdział 2.1.1.), można wykorzystać wielowymiarowy, dyskretny proces Mar- kowa z ciągłym czasem. Fragment diagramu takiego procesu przedstawiono na rys. 2.4.

Stan procesu, nazywany mikrostanem, jest określony przez uporządkowany zbiór złożony z m

całkowitych wartości liczbowych {x

, x

, ..., x

}. Każdy element zbioru określa liczbę obsługiwanych przez system zgłoszeń danej klasy. Całkowita liczba zajętych PJP ograniczona jest pojemnością systemu i spełnia następujący warunek:

mI

∑

i=1

x

t

≤ V. (2.6)

Rys. 2.4: Fragment diagramu procesu Markowa w systemie z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń i niezależnym od stanu procesem

napływania zgłoszeń

Każdy mikrostan systemu związany jest z tzw. makrostanem n, określającym całkowitą liczbę zajętych PJP w systemie:

[P

]

=

Ω(n)

[p(x

, x

, ..., x

)]

, (2.7)

gdzie [P

]

jest prawdopodobieństwem makrostanu n, [p(x

, x

, ..., x

)]

jest prawdopo- dobieństwem mikrostanu, natomiast Ω(n) jest zbiorem wszystkich mikrostanów {x

, x

, ..., x

}, spełniających równanie:

n =

m_I

∑

i=1

x

t

. (2.8)

W celu uwzględnienia, w wielowymiarowym procesie Markowa, zależności procesu przyj- mowania nowych zgłoszeń od stanu zajętości systemu, wprowadzono do opisu procesu nowy parametr – warunkowe prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy sąsiednimi stanami σ

(x

, ..., x

, ..., x

) [4, 21, 22, 89]. Prawdopodobieństwo to określa zależność strumienia zgłoszeń od danego mikrostanu, tzn. określa tą część wejściowego strumienia zgłoszeń λ

, która będzie przeniesiona pomiędzy mikrostanami {x

, ..., x

, ..., x

} i {x

, ..., x

+ 1, ..., x

}

Wprowadzenie warunkowego prawdopodobieństwa przejścia powoduje, że wielowymia- rowy proces obsługi w systemie z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń nie zawsze jest procesem odwracalnym. Na podstawie analizy diagramu procesu Markowa z zależnym od stanu procesem przyjmowania nowych zgłoszeń (rys. 2.4) możemy spraw- dzić, czy rozważany proces Markowa jest procesem odwracalnym. Zgodnie z kryterium Kołmogorowa [68] rozważmy mikrostany przedstawione na rys. 2.4: {x

, ..., x

, ..., x

, ..., x

}, {x

, ..., x

+ 1, ..., x

, ..., x

}, {x

, ..., x

+ 1, ..., x

+ 1, ..., x

}, {x

, ..., x

, ..., x

+ 1, ..., x

} oraz strumienie cyrkulujące w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara:

λ

σ

(x

, ..., x

, ..., x

, ..., x

) µ

(x

+ 1) λ

σ

(x

, ..., x

+ 1, ..., x

, ..., x

) µ

(x

+ 1) (2.9) i w kierunku przeciwnym:

λ

σ

(x

, ..., x

, ..., x

+ 1, ..., x

) µ

(x

+ 1) λ

σ

(x

, ..., x

, ..., x

, ..., x

) µ

(x

+ 1) . (2.10) Na podstawie (2.9) i (2.10) możemy stwierdzić, że stacjonarny proces Markowa w systemie zależnym od stanu jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy związane z nim warunkowe prawdopodobieństwa przejść spełniają warunek:

σ

(x

, ..., x

, ..., x

, ..., x

) σ

(x

, ..., x

+ 1, ..., x

, ..., x

) =

= σ

(x

, ..., x

, ..., x

+ 1, ..., x

) σ

(x

, ..., x

, ..., x

, ..., x

) . (2.11)

Równanie (2.11) spełnione jest w przypadku systemów z niezależnym od stanu pro- cesem przyjmowania zgłoszeń, dla których prawdopodobieństwo σ

(x

, ..., x

, ..., x

) = 1 dla każdego mikrostanu. Należy się zatem zastanowić, w jakich warunkach proces Mar- kowa w systemach z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń można aproksy- mować procesem odwracalnym. Zwróćmy uwagę, że w zależności od realizacji stanu za- jętości systemu {x

, ..., x

, ..., x

} przez zgłoszenia poszczególnych klas, wartości wszyst- kich prawdopodobieństw przejść σ

(x

, ..., x

, ..., x

) związanych z danym makrostanem n mogą być różne. Zakładając, że różnice pomiędzy parametrami σ

(x

, ..., x

, ..., x

) w ramach jednego makrostanu są pomijalnie małe, można przyjąć następujące założe- nie [4, 89]:

• Założenie 1

σ

(x

, ..., x

, ..., x

) = σ

(n). (2.12) Przyjęcie tego założenia dla wszystkich zbiorów {x

, ..., x

, ..., x

} spełniających równanie (2.8) oznacza, że σ

(n) zależy wyłącznie od całkowitej liczby zajętych PJP i nie zależy od podziału zajętych PJP między poszczególnymi klasami obsłu- giwanych zgłoszeń. Uwzględniając założenie 1, możemy równanie (2.11) przepisać w następującej postaci:

σ

(n)

σ

(n + t

) = σ

(n)

σ

(n + t

) . (2.13)

Równanie (2.13) będzie spełnione przy następujących założeniach:

σ

(n) ≈ σ

(n + t

), (2.14)

σ

(n) ≈ σ

(n + t

). (2.15)

• Założenie 2

σ

(n) − σ

(n − 1) σ

(n − 1)

≪ 1. (2.16)

Założenie 2 wskazuje, że σ

(n) jest wolno zmieniającą się funkcją od n [4].

Dla systemów spełniających założenia 1 oraz 2, proces Markowa z zależnym od stanu pro- cesem przyjmowania zgłoszeń może być aproksymowany procesem odwracalnym. W kon- sekwencji, oznacza to możliwość traktowania wszystkich strumieni niezależnie i analizo- wanie procesu na podstawie równań równowagi lokalnej.

Rozważmy zatem lokalne równanie równowagi procesu Markowa dla dwóch sąsiednich mikrostanów, związanych ze strumieniem ruchu klasy i:

x

µ

[p (x

, ..., x

, ..., x

)]

= λ

σ

(x

, ..., x

− 1, ..., x

) [p (x

, ..., x

− 1, ..., x

)]

.

(2.17)

Uwzględniając (2.12) i zakładając niezależność strumieni oferowanych rozważanemu systemowi możemy zsumować dla mikrostanu {x

, x

, ..., x

} wszystkie m

równań typu (2.17). W wyniku elementarnych przekształceń otrzymujemy równanie:

[p (x

, ..., x

, ..., x

)]

mI

∑

i=1

x

t

=

mI

∑

i=1

A

t

σ

(n − t

) [p (x

, ..., x

− 1, ..., x

)]

. (2.18) Biorąc pod uwagę definicję makrostanu (2.7), wzór (2.18) można ostatecznie sprowadzić do postaci wzoru rekurencyjnego, określającego rozkład zajętości w systemach z zależnymi od stanu procesami przyjmowania zgłoszeń:

n [P

]

=

mI

∑

i=1

A

t

σ

(n − t

) [P

]

, (2.19)

gdzie [P

]

= 0 dla n < 0 lub n > V .

Wzór (2.19) nosi nazwę uogólnionego rozkładu Kaufmana-Robertsa (URKR) [89, 93].

Na podstawie tego rozkładu możemy określić prawdopodobieństwo blokady dla strumienia zgłoszeń klasy i w systemie z zależnym od stanu procesem przyjmowania nowych zgłoszeń:

E

=

V∑−ti

n=0

[P

]

[1 − σ

(n)] +

∑V n=V−ti+1

[P

]

. (2.20)

We wzorze (2.20), różnica [1 − σ

(n)] jest dopełnieniem warunkowego prawdopo- dobieństwa przejścia i określa warunkowe prawdopodobieństwo blokady dla strumienia zgłoszeń klasy i w stanie n.

Dla systemów z niezależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń, parametr σ

(n) spełnia zawsze następującą zależność:

∧

0≤n≤V

σ

(n) = 1. (2.21)

W takim systemie, rozkład zajętości (2.19) może być zapisany w następujący sposób [63, 75]:

n [P

]

=

m_I

∑

i=1

A

t

[P

]

, (2.22) natomiast prawdopodobieństwo blokady sprowadza się do zależności:

E

=

∑V n=V−ti+1

[P

]

. (2.23)

Na rysunku 2.5 przedstawiono graficzną interpretację rozkładu (2.19) dla systemu,

któremu oferowane są dwa strumienie zgłoszeń. Zgłoszenie pierwszej klasy żąda do zesta-

wienia połączenia t

= 1 PJP, natomiast zgłoszenie klasy drugiej t

= 2 PJP. Parametry

y

(n) oraz y

(n) na rys. 2.5 określają odpowiednio średnią liczbę zgłoszeń klas 1 i 2, obsługiwanych w systemie znajdującym się w stanie n. Parametry y

(n) można określić na podstawie następującego wzoru, wynikającego z analizy równań równowagi lokalnej procesu [96]:

y

(n) =









A

σ

(n − t

) [P

]

/ [P

]

dla n ≤ V ,

0 dla n > V .

(2.24)

Rys. 2.5: Fragment jednowymiarowego łańcucha Markowa w systemie z zależnym od stanu procesem przyjmowania zgłoszeń z dwoma strumieniami

zgłoszeń (t

= 1, t

= 2)

W pracy [22] wykazano, że rozkład (2.19) może opisywać system, do którego wprowa- dzono kilka niezależnych mechanizmów uzależniających proces obsługi od stanu zajętości.

W takim przypadku parametr σ

(n) jest określony następująco:

σ

(n) =

∏G g=1

σ

(n), (2.25)

gdzie σ

(n) jest g-tym mechanizmem, uzależniającym obsługę zgłoszeń klasy i od stanu n procesu.

2.2.2. Systemy z zale˙znym od stanu procesem napływania zgło- sze´ n

W celu przedstawienia podstawowych założeń metod umożliwiających określenie rozkładu zajętości i prawdopodobieństwa blokady w systemach z zależnym od stanu procesem na- pływania i przyjmowania zgłoszeń [11, 14] rozważmy model systemu, któremu oferowane są trzy typy strumieni ruchu: m

strumieni Erlanga, m

strumieni Engseta oraz m

strumieni Pascala.

Zauważmy, że wzajemna relacja pomiędzy wartością ruchu oferowanego a liczbą źródeł

będących w stanie ON w przypadku strumieni Engseta (rozdział 2.1.2.) i Pascala (roz-

dział 2.1.3.) sprawia, że bezpośrednie zastosowanie URKR (2.19) do wyznaczenia rozkładu

zajętości w rozważanym systemie jest niemożliwe.

Przeprowadzone w [14, 15, 46, 50] badania pozwoliły na modyfikację rozkładu (2.19), który uwzględnia zależność procesu Markowa od procesu napływu zgłoszeń ze źródeł typu Engseta i Pascala:

n [P

]

=

m_I

∑

i=1

A

t

σ

(n − t

) [P

]

+ +

mJ

∑

j=1

A

(n − t

)t

σ

(n − t

)

P

V

+ +

mK

∑

k=1

A

(n − t

)t

σ

(n − t

) [P

]

, (2.26)

w którym wartość ruchu Erlanga określona jest wzorem (2.1), natomiast wartości ruchu typu Engseta i Pascala określane są zmodyfikowanymi wzorami (2.3) i (2.5):

A

(n) = (N

− y

(n))α

, A

(n) = (S

+ y

(n))β

. (2.27) Modyfikacja wzorów (2.3) i (2.5), wyrażona wzorem (2.27), polega na zastąpieniu rze- czywistej liczby zajętych źródeł (w stanie ON) wartością średnią liczby zajętych źródeł y

(n) oraz y

(n) w danym makrostanie n. Zauważmy, że rozkład (2.26) umożliwia określenie wartości parametrów y

(n) oraz y

(n) w systemie z zależnym od stanu procesem napływania i przyjmowania zgłoszeń:

y

(n) =









A

(n − t

)σ

(n − t

)

P

V

/ [P

]

dla n ≤ V ,

0 dla n > V ,

(2.28)

y

(n) =









A

(n − t

)σ

(n − t

) [P

]

/ [P

]

dla n ≤ V ,

0 dla n > V .

(2.29)

Wzory (2.26), (2.27), (2.28) i (2.29) tworzą układ równań uwikłanych, który można rozwiązać w sposób iteracyjny [15,22]. Prawdopodobieństwa stanu, otrzymane na podsta- wie wzoru (2.26), stanowią bowiem dane wejściowe do kolejnej iteracji, w której określane są parametry y

(n), y

(n) i parametry A

(n) i A

(n). Wartości parametrów y

(n) oraz y

(n) w iteracji l określane są na podstawie równań (2.28) i (2.29), które przepiszemy w następujący sposób:

y

(n) =









A

(n − t

)σ

(n − t

)

P

V

/

P

V

dla n ≤ V ,

0 dla n > V ,

(2.30)