6 Matematyczny model naprężeń własnych w blachach
6.2 Model cieplny
6.2.2 Model wymiany ciepła w kręgu
Model MES chłodzenia kręgu wykorzystuje osiowo symetryczne rozwiązanie równania Fouriera w cylindrycznym układzie współrzędnych [71]:
𝑐𝑝(𝑡)𝜌(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝜏= 𝜆𝑟( 𝜕2𝑡 𝜕𝑟2+1 𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝑟) + 𝜆𝑧 𝜕2𝑡 𝜕𝑧2+ 𝑞𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 (6.14)
gdzie: 𝜆𝑟, 𝜆𝑧 – przewodność cieplna kręgu odpowiednio w kierunku promieniowym i osiowym.
Schemat domeny obliczeniowej kręgu przedstawiono na Rys. 6.3. Wymianę ciepła podczas zwijania taśmy w krąg uwzględniono w sposób uproszczony. Wyniki rozkładu temperatury na przekroju poprzecznym taśmy uzyskane po chłodzeniu laminarnym są przenoszone do modelu chłodzenia kręgu i następnie symulowana jest wymiana ciepła kręgu z trzpieniem oraz otoczeniem. W kolejnym etapie modelowana jest wymiana ciepła podczas chłodzenia kręgu na powietrzu.
57
W rozwiązaniu równania (6.14) zastosowano warunek brzegowy uwzględniający konwekcyjną i radiacyjną wymianę ciepła w warunkach chłodzenia naturalnego. Współczynnik wymiany ciepła (radiacja i konwekcja), wyznaczony w funkcji temperatury na powierzchni taśmy, przyjęto na podstawie literatury [72]:
𝛼 = 𝑒𝑥𝑝(3.285 + 1.57 ∗ 10−3𝑡) (6.15)
Rozwiązanie równania (6.14) wymaga znajomości przewodności cieplnej kręgu. Nawinięcie blachy powoduje, że krąg jest układem wielu równoległych warstw zwojów taśmy oraz tlenków znajdujących się na ich powierzchniach, a także powietrza występującego pomiędzy nimi, w związku z czym przewodność cieplna kręgu w kierunku promieniowym i osiowym jest różna. Ze względu na bardzo małą grubość warstwy powietrza (10-100 µm) oraz tlenków (7-10 µm) [73] w porównaniu do grubości taśmy, przyjmuje się, że efektywna przewodność cieplna kręgu w kierunku osiowym jest równa przewodności cieplnej materiału taśmy [74]. Z uwagi na dużą masę i wielowarstwową strukturę kręgu, proces jego chłodzenia przebiega nierównomiernie zarówno wzdłuż szerokości, jak i długości taśmy. Wielowarstwowa struktura kręgu powoduje, że przewodzenie ciepła w kierunku promieniowym ma złożony charakter uwarunkowany od czynników, które wzajemnie na siebie oddziałują. Są to: temperatura, charakterystyka powierzchni taśmy, naprężenia kontaktowe pomiędzy przylegającymi zwojami taśmy powstające w wyniku procesu zwijania i gradientu temperatury oraz grubości poszczególnych warstw: taśmy, tlenków oraz szczeliny powietrznej. Z tego powodu określenie własności cieplnych kręgu w kierunku promieniowym jest kluczowe dla przeprowadzenia dokładnej analizy rozwoju naprężeń własnych.
6.2.2.1 Efektywna promieniowa przewodność cieplna kręgu
W literaturze [74, 75, 76, 77, 78, 79] efektywna przewodność cieplna kręgu w kierunku promieniowym jest wyznaczana na podstawie analizy oporu cieplnego elementarnej komórki, która reprezentuje jego niejednorodną wewnętrzną strukturę. Oznacza to, że efektywna promieniowa przewodność cieplna (EPPC) w określonej temperaturze i lokalizacji w kręgu, jest równa przewodności cieplnej komórki elementarnej. Schemat reprezentatywnej komórki elementarnej kręgu, która składa się z dwóch warstw blachy, warstw tlenków oraz szczeliny powietrznej występującej pomiędzy nimi, pokazano na Rys. 6.4.
Dla reprezentatywnej komórki elementarnej kręgu, efektywny współczynnik przewodności cieplnej można wyznaczyć z równania:
58 𝜆𝑟 = ℎ𝑏+ 2ℎ𝑡+ ℎ𝑠
2𝑅𝑏+ 2𝑅𝑡+ 𝑅𝑠 (6.16)
gdzie: ℎ𝑏, ℎ𝑡, ℎ𝑠 – odpowiednio grubość warstwy blachy, tlenków i szczeliny powietrznej, 𝑅𝑏, 𝑅𝑡, 𝑅𝑠 – odpowiednio opór cieplny warstwy blachy, tlenków i szczeliny powietrznej.
W szczelinie ciepło przekazywane jest na drodze promieniowania, przewodzenia kontaktowego oraz przewodzenia w warstwie powietrza. Całkowity opór cieplny szczeliny powietrznej wyraża równanie [80, 81]:
𝑅𝑠 = (1 𝑅𝑘+ 1 𝑅𝑝+ 1 𝑅𝑟) −1 = (1,13𝐴 0,94𝜆𝑏𝑂ś𝑟 𝑂𝑠𝑝 + (1 − 𝐴)𝜆𝑠 ℎ𝑠 + 4(1 − 𝐴)𝜀𝑆𝑡 3) −1 (6.17)
gdzie: 𝑅𝑘 – opór przewodzenia kontaktowego, 𝑅𝑝 – opór cieplny powietrza, 𝑅𝑟 – opór cieplny promieniowania, 𝐴 – współczynnik kontaktu, 𝑂𝑠𝑝 – odchylenie standardowe wysokości profilu chropowatości powierzchni blachy, 𝑂ś𝑟 – średnia bezwzględnego pochylenia profilu, 𝜀 – emisyjność, 𝜆𝑏, 𝜆𝑡, 𝜆𝑠 – odpowiednio przewodność cieplna stali, tlenków i warstwy powietrza.
Rys. 6.4. Schemat komórki elementarnej kręgu [79].
Wyznaczenie EPPC kręgu wymaga wiedzy na temat grubości szczeliny powietrznej ℎ𝑠 oraz współczynnika kontaktu 𝐴 pomiędzy przylegającymi zwojami taśmy. Wartości tych parametrów wyznaczono według poniższych wzorów [79, 82]:
ℎ𝑠 = 42,7 × 10−6𝑒𝑥𝑝(−0,05𝜎𝑐) (6.18)
𝐴 = 𝜎𝑐
𝜎𝑐 + 𝐻𝑣 (6.19)
gdzie: σc – naprężenie kontaktowe, 𝐻𝑣 – mikrotwardość taśmy.
Biorąc pod uwagę całkowity opór cieplny i grubość komórki elementarnej, zależność na EPPC kręgu przybiera następującą postać [83]:
59 𝜆𝑟 = ℎ𝑏+ 2ℎ𝑡+ ℎ𝑠 ℎ𝑏 𝜆𝑏+2ℎ𝑡 𝜆𝑡 + (1,13𝐴0,94𝜆𝑏𝑂ś𝑟 𝑂𝑠𝑝 +(1−𝐴)𝜆𝑠 𝑏𝑠 + 4(1 − 𝐴)𝜀𝑆𝑡3) −1 (6.20)
Na podstawie równań (6.18) – (6.20) wykreślono zależności wpływu naprężenia kontaktowego na EPPC kręgu w zakresie temperatur 20 – 700°C, dla grubości taśmy stalowej ℎ = 4 mm (Rys. 6.5a) oraz dla ℎ = 2 mm (Rys. 6.5b). Jak wynika z przedstawionych wykresów, wartość EPPC kręgu w zależności od grubości taśmy, temperatury oraz naprężenia kontaktowego znacznie się zmienia. Wpływ naprężeń kontaktowych na EPPC kręgu związany jest z ich wpływem na grubość szczeliny powietrznej, a w szczególności na wartość współczynnika kontaktu. Przy wzroście naprężeń kontaktowych, zwiększa się wartość współczynnika kontaktu pomiędzy przylegającymi zwojami taśmy, co prowadzi do wzrostu przewodności cieplnej kręgu w kierunku promieniowym.
Rys. 6.5. Efektywna przewodność cieplna komórki elementarnej kręgu w zależności od naprężen kontaktowych dla: a) ℎ = 4 mm, b) ℎ = 2 mm.
Ze względu na silną zależność EPPC kręgu od naprężeń kontaktowych, uzasadnionym jest rozbudowanie modelu wymiany ciepła w kręgu o model EPPC, który będzie uwzględniał wpływ naprężeń kontaktowych.
6.2.2.2 Metamodel EPPC kręgu
Początkowa wartość naprężeń kontaktowych (promieniowych) pomiędzy poszczególnymi zwojami w kręgu uzależniona jest od procesu zwijania w tym m.in. od zastosowanych sił zwijania, grubości zwijanej taśmy oraz całkowitej liczby zwojów. Wpływ tych parametrów na rozkład naprężeń promieniowych w kręgu, a tym samym na początkową wartość EPPC, uwzględniono na podstawie uproszczonego modelu zwijania, opartego na
60
teorii Lameg’o [84]. W modelu tym założono, że przekrój poprzeczny zwijanej taśmy jest prostokątny. W procesie zwijania, dla aktualnie nawijanego zwoju 𝑗 przyjęto, że wartość naprężeń obwodowych jest równa w przybliżeniu wartości naciągu taśmy:
𝜎𝜃 ≈ 𝜎𝑇 (6.21)
W przypadku naprężeń promieniowych, ich wartość dla bieżącego zwoju 𝑗 wynosi:
𝜎𝑟(𝑟𝑗) ≈ −𝜎𝑇ℎ
𝑟𝑗 (6.22)
Podczas nawijania taśmy na trzpień, naprężenia promieniowe i obwodowe w kręgu dla danego zwoju 𝑗, można wyznaczyć z następujących zależności [84]:
𝜎𝑟(𝑗)(𝑟) = −𝜎𝑇 2 [( 𝑟𝑗+1 𝑟 ) 2 − 1] + ∑ [−𝜎𝑇 ℎ 𝑟𝑘− (𝑟𝑘 𝑟)2− 1 (𝑟𝑘 𝑟1)2− 1 (𝑝1𝑘 − 𝜎𝑇 ℎ 𝑟𝑘)] 𝑁 𝑘=𝑗+1 (6.23) 𝜎𝜃(𝑗)(𝑟) = 𝜎𝑇+ ∑ [−𝜎𝑇 ℎ 𝑟𝑘+ (𝑟𝑘 𝑟)2+ 1 (𝑟𝑘 𝑟1)2− 1 (𝑝1𝑘− 𝜎𝑇 ℎ 𝑟𝑘)] 𝑁 𝑘=𝑗+1 (6.24)
gdzie: 𝑟 ∈ [𝑟𝑗, 𝑟𝑗+1], 𝑗 – nr zwoju, 𝜎𝑇 – naciąg taśmy, 𝑁 – liczba zwojów.
Wartość 𝑝1𝑘 w równaniach (6.23) i (6.24) obliczono na podstawie zależności:
𝑝1𝑘 = 2(1 − 𝑣𝐶2)𝜎𝑇 𝐸𝐶 ℎ 𝑟𝑘 {1+𝑣𝑀 𝐸𝑀 1−(𝑟 𝑟𝑘) 2 (𝑟1 𝑟0) 2 −1[(1 − 2𝑣𝑀) (𝑟1 𝑟0)2+ 1] +1+𝑣𝐶 𝐸𝐶 [(1 − 2𝑣𝐶) (𝑟1 𝑟𝑘)2+ 1]} (6.25)
gdzie: 𝐸𝐶, 𝑣𝐶 – liczba Poissona i moduł Younga dla taśmy, 𝑣𝑀, 𝐸𝑀 – liczba Poissona i moduł Younga dla trzpienia, 𝑟0, 𝑟1 – odpowiednio promień wewnętrzny i zewnętrzny trzpienia.
Po zakończeniu procesu zwijania taśmy następuje zdjęcie kręgu z trzpienia. W wyniku tego procesu dochodzi do zmiany stanu naprężeń promieniowych i obwodowych w kręgu, którą wyznaczono z następujących zależności:
𝜎𝑟,𝜃(𝑟)𝑝𝑜 = 𝜎𝑟,𝜃(𝑟)(𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑)∓ ( 𝑟𝑁+1 𝑟 ⁄ )2 ∓ 1 (𝑟𝑁+1 𝑟1 ⁄ )2− 1 (−𝑝1) (6.26) 𝑝1 = ∑ 𝑝1𝑘 𝑁 𝑘=1 (6.27)
61
Na podstawie równań (6.21) – (6.27) opracowano numeryczny model zwijania, który zaimplementowano do metamodelu EPPC kręgu w celu określenia początkowych wartości EPPC kręgu. Przykładowy rozkład naprężeń promieniowych i obwodowych, uzyskanych po procesie zwijania i po zdjęciu kręgu z trzpienia, przedstawiono na Rys. 6.6. W obliczeniach przyjęto następujące wartości: 𝜎𝑇 = 50 MPa, ℎ = 4 mm, 𝑣𝑀 = 0,3, 𝐸𝑀 = 210 GPa, 𝑣𝐶 = 0,3, 𝐸𝐶 = 100 GPa, 𝑁 = 146, 𝑟0 = 150 mm, 𝑟1 = 380 mm.
Rys. 6.6. Naprężenia promieniowe i obwodowe w kręgu przed i po usunięciu trzpienia.
Jak wcześniej zaznaczono, mechaniczna część modelu przedstawionego w rozdziale 6.1 pozwala tylko na obliczanie naprężeń wzdłużnych. Dlatego w niniejszej pracy, w celu określenia wpływu naprężeń kontaktowych, powstających w wyniku nierównomiernego chłodzenia kręgu, na efektywną promieniową przewodność cieplną kręgu, wykorzystano komercyjne oprogramowanie ABAQUS standard, bazujące na metodzie elementów skończonych. Z uwagi na specyficzną budowę wewnętrzną kręgu oraz osiową symetrię, obliczenia MES przeprowadzono w przestrzeni 2D z wykorzystaniem osiowosymetrycznych elementów skończonych. Wpływ wielowarstwowej struktury kręgu uwzględniono jedynie w obliczeniach EPPC. Założono, że wewnętrzna budowa kręgu jest ciągła. Oprócz tego przyjęto, że deformacja podczas chłodzenia odbywa się tylko w zakresie odkształceń sprężystych. Schemat blokowy algorytmu realizowanego podczas obliczeń numerycznych przedstawiono na Rys. 6.7. Wartość EPPC kręgu jest wyznaczana w poszczególnych elementach skończonych i w kolejnych krokach czasowych, w zależności od naprężeń promieniowych 𝜎𝑟 i temperatury. Model zrealizowano z wykorzystaniem podprogramu użytkownika USDFLD, na podstawie równania (6.20). W opracowanym algorytmie przyjęto, że naprężenie kontaktowe 𝜎𝑐 jest ściskającym naprężeniem promieniowym. W przypadku,
62
gdy naprężenie promieniowe 𝜎𝑟 jest dodatnie, w obliczeniach EPPC przyjmuje się, że 𝜎𝑐 jest równe zero.
Rys. 6.7. Schemat blokowy algorytmu obliczania promieniowej przewodności cieplnej kręgu.
Początkową temperaturę kręgu przyjęto na podstawie wyników otrzymanych z części termicznej modelu naprężeń własnych. Wyznaczone współczynniki EPPC kręgu zostały zaimplementowane do modelu naprężeń własnych jako współczynnik korekcji 𝐴𝑟 zależny od czasu i współrzędnych cylindrycznych:
𝐴𝑟(𝜏, 𝑧, 𝑟) =𝜆𝑟
𝜆𝑠 (6.28)
Przykładowy rozkład temperatury i współczynnika korekcji na przekroju poprzecznym kręgu pokazano na Rys. 6.8.