Modele materiałowe UHMWPE

Matematyczne modele materiałowe, używane do symulacji mechanicznego zachowania UHMWPE w alloplastyce stawów, są ciągle rozwijane i bardziej kompleksowe. Strategie przewidywania mechanicznej reakcji materiału UHMWPE zazwyczaj bazują na opisie matematycznym aktywności pacjenta, a ich implementacja czasami jest prosta, ale w niektórych przypadkach bywa niezwykle złożona. Właściwości sprężyste, odporność na odkształcenia plastyczne, podatność na pękanie (z ang. fracture toughness), zmęczenie oraz odporność na zużycie odgrywają ważną

Paweł Wojnarowski 41 rolę w oszacowaniu długości życia elementów wykonanych z UHMWPE. Specyfikacja materiału polietylenowego jest bardzo ważna w symulacji zachowania się danego elementu endoprotezy.

Właściwości mechaniczne materiałów biorących udział w procesie tarcia i zużycia mają ogromny wpływ na przebieg tego procesu. Istotna jest zależność odkształcenia materiału polietylenowego od działającego na niego naprężenia. Z racji iż materiał polietylenowy jest materiałem termoplastycznym, należałoby zastosować model lepkosprężysty. Jednak do opisu materiału polietylenowego można zastosować model sprężysto-plastyczny [51, 121] szeroko stosowany dla materiałów konstrukcyjnych. Moduł sprężystości UHWMPE jest ponad stukrotnie mniejszy od modułu dla stopów metali. W czasie styku UHMWPE z metalem, odkształcenia elementu metalowego w porównaniu z elementem UHMWPE są mniejsze, dlatego też mogą być pominięte. Polietyleny mają własności lepkosprężyste objawiające się relaksacją naprężenia oraz pełzaniem. Pod wpływem obciążeń, materiał odkształca się zarówno sprężyście, jak i niesprężyście, to jest w sposób nieodwracalny. Proces deformacji zależy również od prędkości odkształcenia, czyli efektu lepkości materiału. Zachowanie to jest związane z ruchliwością łańcuchów wokół wiązań chemicznych. Odkształcenia zależą nie tylko od sztywności materiału, ale również od czasu działania obciążenia [51], czyli efektu tak zwanego pełzania materiału i starzenia.

Do opisu reologii materiału polietylenowego stosuje się różne modele mechaniczne. Najprostszymi modelami mechanicznymi opisującymi ciało lepkosprężyste są modele Maxwella oraz Voigta-Kelvina opisane szerzej w pracy [51]. Modele te są kombinacją modeli dla materiału sprężystego i materiału lepkiego, odpowiednio w sposób szeregowy dla modelu Maxwella, i w sposób równoległy dla modelu Voigta-Kelvina.

W pracy [56] autorzy opisali różne modele mechaniczne polietylenu UHMWPE używane w obliczeniach numerycznych. Do opisu zależności pomiędzy funkcjami stanu materiału: odkształceniem i naprężeniem, co wyraża się równaniem konstytutywnym dla materiału, zastosowano zarówno proste równania liniowe dla materiału idealnie sprężystego, lub równania nieliniowe, gdzie uwzględnia się zarówno odkształcenia jak również prędkość odkształcenia. W [56] opisano modele takie jak:

– liniowo-sprężysty (z ang. linear elastic), – hypersprężysty (z ang. hyperelasticity),

Paweł Wojnarowski 42 – hybrydowy (z ang. the hybrid model).

UHMWPE, podobnie jak inne materiały termoplastyczne wykazuje złożoną nieliniową reakcję na obciążenia zewnętrzne. Stałe i funkcje materiałowe mogą się różnić dla różnych odmian UHMWPE w zależności od technologii wykonania oraz procesu sterylizacji.

Jak przedstawiono powyżej, istnieje wiele modeli opisujących zachowanie materiału UHMWPE. Modele te różnią się stopniem złożoności, co przekłada się na różne koszty numeryczne (np. CPU) obliczeń oraz trudności w identyfikacji danych w badaniach eksperymentalnych, potrzebnych do określenia parametrów materiałowych. Według [56], zastosowanie prostych modeli materiału w modelu matematycznym procesu daje poprawne wyniki obliczeń o ile model uwzględnia niezbędne cechy charakterystyczne i reakcję materiału. Niestety, często nie zapewnia to zgodności wyników obliczeń z wynikami eksperymentów laboratoryjnych. Jeśli taki przypadek wystąpi, to należy zastosować bardziej zaawansowane modele materiałowe, co zwiększa koszty obliczeń. Rozwój modeli materiałowych dla polietylenu UHMWPE jest ciągle przedmiotem aktualnie prowadzonych badań. W tabeli 4 zestawiono zalety i wady modeli materiałowych dla różnych rozwiązań w modelowaniu matematycznym.

Tabela 4. Zestawienie wad i zalet modeli materiałowych wykorzystywanych w modelowaniu.

[56]

Rozwiązanie Zalety Wady

Rozwiązanie analityczne:

Model liniowo sprężysty

- szybki i prosty do zastosowania,

- tylko proste geometrie, - brak nieliniowości materiału, - może dać niedokładne wyniki,

Rozwiązanie analityczne:

Model izotropowy plastyczny

- szybki i prosty do zastosowania, - dokładniejszy niż rozwiązanie z liniowym modelem sprężystym,

- dla nielicznych geometrii i warunków obciążenia, - może dać niedokładne wyniki,

Komputerowo wspomagane analityczne rozwiązanie dla prostych geometrii

Model izotropowy plastyczny, liniowy lepkosprężysty, hypersprężysty - umożliwia porównanie różnych modeli konstytutywnych - stosunkowo łatwe do wykonania

- dla nielicznych geometrii i warunków obciążenia, - może dać niedokładne wyniki,

Paweł Wojnarowski 43

Rozwiązanie Zalety Wady

Analiza metodą elementów skończonych przy użyciu prostego modelu materiału

Model liniowy sprężysty, hypersprężysty, liniowy lepkosprężysty, izotropowy plastyczny - do zastosowania dla złożonej geometrii, - stosunkowo łatwe do wykonania

- nie bierze pod uwagę faktycznego zachowanie się materiału w ogólnych stanach deformacji,

- zazwyczaj ważna tylko dla małych odkształceń,

- może dać niedokładne wyniki,

Analizy metodą elementów skończonych przy użyciu zaawansowanego modelu materiału Model hybrydowy - do zastosowania dla złożonej geometrii, - dokładniejszy opis materiału, - umożliwia przeprowadzenie złożonych obliczeń numerycznych,

- należy napisać własny model wykorzystując podprogramy w komercyjnych aplikacjach, - wymaga doświadczenia i dokładnej wiedzy na temat zachowania materiału.

W pracach dotyczących obliczeń numerycznych dla zagadnienia zużycia UHMWPE zastosowanego w endoprotezie stawu biodrowego, które zostaną przedstawione w kolejnym podrozdziale dysertacji, autorzy wykorzystują przede wszystkim modele liniowo-sprężyste lub sprężysto-plastyczne, bazując na danych materiałowych zidentyfikowanych w próbie rozciągania. Wykorzystanie modeli liniowo-sprężystych związane jest z małym odkształceniem, kiedy stan naprężenia w punkcie materialnym nie przekracza granicy plastyczności i uwzględnia się tylko normalny chód pacjenta.

Obserwując ruchy elementów w stawie biodrowym można zauważyć, że panewka polietylenowa poddawana jest działaniu obciążenia wywieranego m.in. przez głowę kości udowej, tzn. jest naciskana przez głowę endoprotezy. Dlatego istotne jest, aby dane materiałowe zostały zidentyfikowane w próbie ściskania a nie rozciągania, ponieważ ma to wpływ na różnicę w wynikach numerycznych.

Paweł Wojnarowski 44