Modelowanie plazmy

− ^Ej k_BT  , (I.29)

gdzie Γ(ν) to profil linii w funkcji cz ˛estotliwo´sci, n^Z_a to koncentracja cz ˛astek typu a i stopniu jonizacji Z, U_a^Z(T) to funkcja podziału cz ˛astek a o stopniu jonizacji z, E_j to energia górnego poziomu.

I.3. Modelowanie plazmy

I.3.1. Model magnetohydrodynamiczny

Własno´sci plazmy wynikaj ˛a z własno´sci cz ˛astek, które w niej wyst ˛epuj ˛a i dominu-j ˛acej roli oddziaływa ´n kulombowskich pomi ˛edzy nimi. Na poziomie mikroskopowym dokładny opis plazmy sprowadza si ˛e do ´sledzenia zmian poło ˙ze ´n i pr ˛edko´sci ka ˙zdego rodzaju cz ˛astek, co mo ˙zna otrzyma´c z równania Fokkera-Plancka. Okazuje si ˛e jednak, ˙ze identyczne rezultaty ([121, 122]) dla zjonizowanego gazu mo ˙zna dosta´c wykorzy-stuj ˛ac prostsze w obliczeniach kinetyczne równanie Boltzmanna [123]

∂ f_j ∂t +  v·^{∂ fj} ∂r  + F m_j ^· ∂ f_j ∂v  =  ∂ fj ∂t  zd , (I.30)

gdzie f_j(r, v, t)jest funkcj ˛a rozkładu cz ˛astek rodzaju j, zdefiniowan ˛a w ten sposób, ˙ze f_j(r, v, t)d³rd³v jest liczb ˛a tych cz ˛astek w chwili t, w elemencie obj ˛eto´sci d³r wokół punktu r i o pr ˛edko´sciach w elemencie d³vwokół pr ˛edko´sci v.

Drugi i trzeci składnik lewej strony równania (I.30) opisuj ˛a odpowiednio wpływ niejednorodno´sci i zewn ˛etrznych sił makroskopowych. Prawa strona tego równania to tzw. całka zderzeniowa Boltzmanna. Opisuje ona zmian ˛e funkcji rozkładu na sku-tek wszelkiego typu zderze ´n, elastycznych i nieelastycznych, w których udział bior ˛a cz ˛astki typu j. Gdy plazma znajduje si ˛e w stanie całkowitej równowagi termodyna-micznej, to zderzenia nie zmieniaj ˛a funkcji rozkładu, ∂ f_j/∂t
_zd = 0, i przybiera ona posta´c rozkładu Maxwella. Równanie (I.30) jest trudnym problemem matematycznym i jego ´scisłe rozwi ˛azanie istnieje tylko dla szczególnych przypadków.

Kinetyczny, mikroskopowy opis plazmy mo ˙zna jednak zdecydowanie upro´sci´c wpro-wadzaj ˛ac wielko´sci makroskopowe, b ˛ed ˛ace ´srednimi odpowiednich wielko´sci mikro-skopowych po rozkładzie pr ˛edko´sci. W ten sposób dochodzi si ˛e do zasad zachowania

masy, p ˛edu i energii odpowiednio jako zerowy, pierwszy i drugi moment równa-nia Boltzmanna [123]. Tego rodzaju opis ma charakter hydrodynamiczny, a z uwagi na wyst ˛epuj ˛ace pola elektromagnetyczne nazywany jest opisem

magnetohydrodyna-micznym (MHD). Równania MHD uzupełnione o równanie ci ˛agło´sci pr ˛adu i równania

Maxwella stanowi ˛a kompletny zestaw równa ´n opisuj ˛acych plazm ˛e.

I.3.2. Model zderzeniowo-radiacyjny

Najwa ˙zniejszym momentem równania Boltzmanna jest moment zerowy, który spro-wadza si ˛e do równania ci ˛agło´sci

∂n_j,i

∂t + ∇ ·^n_j,iv^d_j,i^= R_j,i, (I.31)

gdzie vd

j,i = R

vj,if(v)d3v to ´srednia pr ˛edko´s´c dryfu, a R_j,i oznacza funkcj ˛e ´zródłow ˛a b ˛ed ˛ac ˛a ró ˙znic ˛a pomi ˛edzy szybko´sci ˛a produkcji i destrukcji cz ˛astek typu j w stanie i.

Zestaw równa ´n (I.31) dla wszystkich rodzajów cz ˛astek i dla wszystkich ich sta-nów nazywany jest modelem zderzeniowo-radiacyjnym. W przypadku plazmy stacjo-narnej (v^d_j,i = 0) oraz przyjmuj ˛ac, ˙ze zmiana obsadze ´n stanów dokonuje si ˛e głównie w wyniku procesów promienistych i zderze ´n z elektronami, równanie (I.31), opisuj ˛ace zmian ˛e liczby cz ˛astek typu j w okre´slonym stanie i, przyjmuje posta´c

dn_j,i

dt ^{= −}

∑

k6=i

[(n_j,iA_ik−n_j,kA_ki) + (n_j,iB_ik−n_j,kB_ki)ρ(ν_ik)

+n_en_j,ihσ_ikvi −n_en_j,khσ_kivi]. (I.32)

Dwa pierwsze składniki opisuj ˛a odpowiednio spadek i wzrost liczby cz ˛astek w da-nym stanie na skutek emisji spontanicznej z i do tego stanu, z prawdopodobie ´nstwami danymi przez współczynniki Einsteina A_ik, A_ki. Kolejne dwa składniki opisuj ˛a zmian ˛e obsadzenia stanu na skutek emisji wymuszonej i absorpcji, których to prawdopodo-bie ´nstwa podane s ˛a współczynnikami Einsteina B_ik, B_kia g ˛esto´s´c pola promieniowania na odpowiedniej cz ˛estotliwo´sci rezonansowej ν_ik wynosi ρ(ν_ik). Ostatnie dwa skład-niki odpowiadaj ˛a za spadek i wzrost obsadzenia danego stanu na drodze zderze ´n z elektronami o koncentracji neprzy przekrojach czynnych σ_ik, σ_ki i współczynnikach szybko´sci przej´s´chσ_kivi.

Jak wida´c, takie podej´scie wymaga znajomo´sci ogromnej liczby stałych atomowych, co w praktyce jest niemo ˙zliwe, a ponadto istniej ˛ace dane s ˛a najcz ˛e´sciej obarczone olbrzymimi niepewno´sciami si ˛egaj ˛acymi nawet 50%.

Z tych to wzgl ˛edów do opisu własno´sci plazmy powszechnie stosowane s ˛a metody fizyki statystycznej przy zało ˙zeniu okre´slonego stanu równowagi termodynamicznej rozwa ˙zanej plazmy.

I.3.3. Model termodynamiczny

Równowaga termodynamiczna to taki stan, w którym entropia układu przyjmuje warto´s´c maksymaln ˛a, a jego parametry – temperatura, ci´snienie czy skład chemiczny – s ˛a stałe w całej obj ˛eto´sci. Dodatkowo, prawdopodobie ´nstwo zaj´scia jakiegokolwiek procesu jest równe prawdopodobie ´nstwu zaj´scia procesu odwrotnego, co bezpo´sred-nio wynika z zasady równowag szczegółowych.

W stanie całkowitej równowagi termodynamicznej (CRT), z zasady maksimum en-tropii wynika, ˙ze:

• rozkłady pr ˛edko´sci ka ˙zdego ze składników plazmy s ˛a opisane rozkładem Max-wella, a koncentracja cz ˛astek danego rodzaju, maj ˛acych szybko´sci w przedziale

(v, v+dv)wynosi dn(v) =n  m 2πkBT_kin 3/2 exp  − ^mv 2 2kBT_kin  4πv²dv, (I.33)

gdzie m i n to odpowiednio masa cz ˛astki i ich całkowita koncentracja, T_kin ozna-cza ich temperatur˛e kinetyczn ˛a,

• rozkład cz ˛astek danego rodzaju – atomów, jonów b ˛ad´z molekuł – o koncentracji nr na poszczególne poziomy energetyczne o energiach E_ijest okre´slony prawem Boltzmanna n_i =n_r ^gi U(T_wzb)exp  − ^Ei k_BT_wzb  , (I.34)

gdzie g_i to waga statystyczna poziomu, T_wzb oznacza temperatur˛e wzbudze-niow ˛a, a U(T_wzb)to funkcja podziału

U(T_wzb) =

∑

• koncentracje składników plazmy w kolejnych stanach jonizacyjnych okre´sla prawo Sahy-Eggerta n_Z+1 n_Z ^ne=2 U_Z+1(T_jon) U_Z(Tjon) 2πm_ek_BT_jon h2 3/2 exp  −∆EZ ∞⁻δχ^Z k_BTjon  , (I.36)

gdzie U_Z+1, U_Z to funkcje podziału cz ˛astek dla odpowiednich stanów jonizacyj-nych, EZ

∞ ^{to energia jonizacji cz ˛astki w stanie jonizacyjnym Z, δχZto tzw. obni}

˙ze-nie energii jonizacji, a Tjon jest temperatur ˛a elektronów, jednak w celu odró ˙znie-niu jej od temperatury elektronowej wyst ˛epuj ˛acej w rozpraszaniu Thompsona b ˛edzie ona nazywana temperatur ˛a jonizacyjn ˛a,

• koncentracje poszczególnych składników reakcji chemicznych powi ˛azane s ˛a pra-wem Guldberga-Waagego (tzw. prawo działania mas),

• g ˛esto´s´c spektralna promieniowania przypadaj ˛aca na jednostkow ˛a powierzchni ˛e okre´slona jest prawem Plancka

I(ν, Tν) = 2hν³ c2

1

exp[hν/(k_BT_ν)] −1^{, (I.37)} przy czym T_ν to tak zwana temperatura promieniowania,

• wyst ˛epuj ˛ace w powy ˙zszych prawach temperatury s ˛a identyczne, tzn.

T_kin =T_wzb= T_jon=T_ν = T, (I.38)

gdzie T jest temperatur ˛a plazmy.