Nieblokowalność w wąskim sensie pól komutacyjnych typu log 2 N − 1typu log2N − 1

− 1. (5.6)

Wzór (5.6) pozwala na szybkie porównanie liczby płaszczyzn w nieblokowalnych polach typu baseline z liczbą płaszczyzn w nieblokowalnym polu typu log₂N − 1. Warunki nieblokowalności SSNB dla nowej struktury pola zostaną omówione w rozdziale 5.4.

5.4. Nieblokowalność w wąskim sensie pól komutacyjnych typu log

N − 1

Nowa struktura pola komutacyjnego typu log₂N − 1 może być rozbudowana do struktury wielopłaszczyznowej podobnie jak ma to miejsce w przypadku pola typu baseline. Nowe pole wielopłaszczyznowe oznaczone jest jako multi-log₂N − 1.

Pole typu multi-log₂N − 1 może być nieblokowalne w wąskim sensie. Decyduje o tym liczba płaszczyzn p. W rozdziale zostanie przedstawione twierdzenie o nieblokowalności w wąskim sensie nowej struktury pola oraz jego dowód. Twierdzenie i dowód zostały po raz pierwszy zaprezentowane przez autora rozprawy w pracach [36, 131].

Twierdzenie 5.2. Pole komutacyjne typu multi-log₂N − 1 jest nieblokowane w wąskim sensie dla połączeń typu punkt-punkt wtedy i tylko wtedy, gdy liczba płaszczyzn p wynosi:

p ≥

Dowód. Metoda użyta w dowodzie twierdzenia 5.2 polega na wyznaczaniu najbardziej nieko-rzystnego stanu w polu komutacyjnym i opiera się na metodzie używanej przez Lea w [98] oraz przez Shyy i Lea w [147]. Z tego też względu w dowodzie użyty zostanie graf krzyżujących się ścieżek, który stanowi podgraf grafu dwudzielnego reprezentującego daną strukturę pola komutacyjnego [97, 98, 101, 109, 169, 170].

W grafach krzyżujących się ścieżek, używanych w dowodzie, pogrubioną linią oznaczone jest rozpatrywane połączenie między daną parą wejście-wyjście. Pozostałymi linami oznaczone są ścieżki reprezentujące połączenia, które mogą być zestawione w najbardziej niekorzystnym przypadku w danej strukturze pola komutacyjnego i które mogą oddziaływać z rozpatrywanym połączeniem w jednym z węzłów grafu krzyżujących się ścieżek. Przykładowe grafy krzyżujących się ścieżek, z zastosowanymi wspomnianymi oznaczeniami, dla struktury pola komutacyjnego log₂8 − 1 oraz log₂16 − 1 przedstawione są odpowiednio na rysunku 5.4 oraz rysunku 5.5.

s₁ s₂

Rysunek 5.4. Graf krzyżujących się ścieżek dla architektury pola komutacyjnego log₂8 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem

Dowód można podzielić na cztery przypadki zależne od pojemności struktury pola komu-tacyjnego typu multi-log₂N − 1.

Przypadek 1. Pole o pojemności N = 8. Struktura tego pola składa się z dwóch sekcji (n⁰ = 2): sekcji wejściowej s₁ oraz sekcji wyjściowej s₂. Graf krzyżujących się ścieżek dla

s₁ s₂ s₃

Rysunek 5.5. Graf krzyżujących się ścieżek dla architektury pola komutacyjnego log₂16 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem

tej struktury pola komutacyjnego przedstawiony jest na rysunku 5.4. W grafie można za-uważyć, że przez jeden węzeł grafu krzyżujących się ścieżek mogą przechodzić maksymalnie trzy ścieżki. Każda taka ścieżka reprezentuje inne połączenie w strukturze pola komutacyjnego multi-log₂8 − 1. Zatem, w jednym łączu międzysekcyjnym między sekcją s₁ a s₂ mogą spotkać się trzy różne połączenia. Każde takie połączenie w związku z tym musi być zestawione w innej płaszczyźnie aby nie kolidowało ono z pozostałymi połączeniami zestawianymi w danym łączu międzysekcyjnym. Spośród tych trzech ścieżek, jedna ścieżka jest rozpatrywaną ścieżką (zazna-czona na rysunku 5.4 pogrubioną linią), pozostałe dwie ścieżki reprezentują dowolne dwa inne możliwe połączenia, które w najbardziej niekorzystnym przypadku mogą żądać tych samych zasobów co rozpatrywane połączenie. Z tego też względu, trzy płaszczyzny są konieczne aby struktura pola komutacyjnego multi-log₂8 − 1 była strukturą nieblokowalną w wąskim sensie.

Przypadek 2. Pole o pojemności N = 16 składa się z trzech sekcji: sekcji wejściowej s1, sekcji wewnętrznej s₂ oraz sekcji wyjściowej s₃. Graf krzyżujących się ścieżek dla tej struktury pola komutacyjnego przedstawiony jest na rysunku 5.5. Również w tym przypadku, w najbardziej niekorzystnym stanie w jednym węźle grafu mogą spotkać się maksymalnie trzy ścieżki. Dla przypadku pola o pojemności N = 16 można wyróżnić w grafie dokładnie dwa takie węzły, w których spotykają się trzy różne ścieżki, gdzie jedna z nich reprezentuje rozpatrywane połącze-nie (oznaczone na rysunku 5.5 pogrubioną linią). Innymi słowy, zarówno w pierwszym jak i w drugim węźle grafu krzyżujących się ścieżek są dwie inne ścieżki, które mogą żądać tych samych zasobów co rozpatrywane połączenie. W najbardziej niekorzystnym przypadku każde połącze-nie, reprezentowane przez ścieżki w grafie, może być zestawione w innej płaszczyźnie. Dlatego też, potrzeba czterech dodatkowych płaszczyzn, oprócz płaszczyzny, w której zestawione jest

rozpatrywane połączenie. Zatem, potrzeba w sumie pięciu płaszczyzn aby można było zestawić w dowolnym momencie nowe połączenie w polu multi-log₂16 − 1.

Przypadek 3. Pole N = 32 które ma cztery sekcje: s₁, s₂, s₃ oraz s₄. Graf krzyżujących się ścieżek dla tej struktury pola komutacyjnego przedstawiony jest na rysunku 5.6. W węźle grafu odpowiadającemu łączu międzysekcyjnemu między sekcjami s₁ oraz s₂ mogą pojawić się jedynie dwie inne ścieżki żądające tych samych zasobów co ścieżka reprezentująca rozpatry-wane połączenie (zaznaczone na rysunku 5.6 pogrubioną linią). Podobna sytuacja występuje w węźle odpowiadającemu łączu międzysekcyjnemu między sekcjami s₃ oraz s₄. Mogą się w nim pojawić również dwie inne ścieżki żądające tych samych zasobów co rozpatrywana ścieżka.

W węźle środkowym grafu może się natomiast pojawić pięć takich ścieżek żądających tych samych zasobów co ścieżka reprezentująca rozpatrywane połączenie (rysunek 5.6). W najbar-dziej niekorzystnym scenariuszu, każda taka ścieżka, reprezentująca połączenie w strukturze pola komutacyjnego multi-log₂32 − 1, musi być zestawiona w innej płaszczyźnie. Do tego po-trzebna jest jeszcze jedna płaszczyzna dla rozpatrywanego połączenia. Stąd, potrzeba w sumie 10 płaszczyzn aby pole komutacyjne multi-log₂32 − 1 było nieblokowalne w wąskim sensie.

s1 s2 s3 s4

Rysunek 5.6. Graf krzyżujących się ścieżek dla architektury pola komutacyjnego log₂32 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem

Przypadek 4. Dla pól o pojemności N ≥ 64. Niech rozpatrywanym połączeniem będzie po-łączenie h0, 0i. Wszystkie pozostałe ścieżki w grafie krzyżujących się ścieżek, spotykające się z rozpatrywanym połączeniem w którymkolwiek węźle, można podzielić na dwie grupy połą-czeń. Do pierwszej grupy połączeń należą wszystkie połączenia z wejść 1, 2, . . . , 2

_{log2 N}

2



− 1 i kierowane do wyjść o numerach 2

_{log2 N}

2



, . . . , N − 2, N − 1. Liczba połączeń z drugiej grupy zależy od liczby sekcji n⁰ architektury pola komutacyjnego typu multi-log₂N − 1. Jeżeli liczba sekcji n⁰ jest parzysta, w drugiej grupie znajdują się ścieżki reprezentujące połączenia z wejść 2 Nato-miast, jeżeli liczba sekcji n⁰ jest nieparzysta, to druga grupa zawiera ścieżki reprezentujące połączenia z wejść 2 wszystkich ścieżek z drugiej grupy można określić jednym wzorem, jeżeli uwzględni się zależ-ność (5.5), definiującą parametr k. Zatem, druga grupa połączeń składa się ze ścieżek z wejść 2 najbardziej niekorzystnym przypadku, każde połączenie, które żąda tych samych zasobów które są potrzebne do zestawienia rozpatrywanego połączenia h0, 0i, musi być zestawione w osobnej płaszczyźnie. Stąd, połączenia z pierwszej grupy wymagają:

p₁ = 2

_{log2 N}

2



− 1 (5.8)

płaszczyzn. Natomiast, połączenia z drugiej grupy wymagają:

p2 = (2 − k) · 2

_{log2 N}

2

−1

− 1 (5.9)

kolejnych płaszczyzn. Do tego potrzebna jest jeszcze jedna płaszczyzna dla rozpatrywanego połączenia h0, 0i. Stąd, w ostateczności potrzebnych jest:

p ≥ p₁+ p₂ + 1 =

Warunek wystarczający może być udowodniony przez wskazanie ciągu zdarzeń (połączeń i rozłączeń) [36, 98, 131, 147], który prowadzi do zajęcia liczby płaszczyzn podanej w zależności (5.7).

W rozdziale 7.4 porównano struktury wielopłaszczyznowych pól typu baseline nieblokowal-nych w wąskim sensie z wielopłaszczyznowymi polami typu multi-log₂N − 1 pod kątem kosztu ich budowy.

6