Warunki przestrajalności pól komutacyjnych typu log 2 N − 1log2N − 1

2



. (6.1)

Dowód. Szczegółowy dowód powyższego twierdzenia zamieszczony jest w pracy [98] i opiera się na wyznaczeniu liczby połączeń blokujących w najbardziej niekorzystnym stanie.

6.3. Warunki przestrajalności pól komutacyjnych typu log

N − 1

W rozdziale wyprowadzono warunki przestrajalności pól typu multi-log₂N − 1 po raz pierw-szy zaproponowane przez autora rozprawy w pracach [36, 132]. Warunki przestrajalności wyra-żone są w następującym twierdzeniu.

Twierdzenie 6.2. Pole typu multi-log2N − 1 jest polem przestrajalnym dla połączeń typu punkt-punkt wtedy i tylko wtedy, gdy liczba płaszczyzn p wynosi:

p ≥







3 dla N = 8, 16 2

_{log2 N}

2



dla N ≥ 32

(6.2)

Dowód. Metoda użyta w dowodzie twierdzenia 6.2 polega na wyznaczeniu najbardziej nieko-rzystnego stanu w polu komutacyjnym i opiera się na metodzie używanej przez Lea w [98]. Z tego też względu w dowodzie użyty zostanie graf krzyżujących się ścieżek, który stanowi pod-graf pod-grafu dwudzielnego reprezentującego daną strukturę pola komutacyjnego [97, 98, 101, 109, 169, 170].

Dowód można podzielić na dwa przypadki zależne od pojemności architektury pola komu-tacyjnego typu multi-log₂N − 1. Pierwszy przypadek dotyczy pól o pojemnościach N = 8 i N = 16, drugi przypadek z kolei dotyczy pól komutacyjnych o pojemnościach N ≥ 32.

Przypadek 1. Pola o pojemności N = 8 lub N = 16.

Dla pojemności pola N = 8, liczba sekcji wynosi n⁰ = 2 (są to sekcje: s₁ oraz s₂). Graf krzyżujących się ścieżek dla tej struktury pola komutacyjnego przedstawiony jest na rysunku 5.4. Posiłkując się tym grafem można zauważyć, że przez jeden węzeł grafu krzyżujących się ścieżek mogą przechodzić dwie inne ścieżki, poza rozpatrywaną ścieżką, oznaczoną pogrubioną linią. Każda taka ścieżka reprezentuje inne połączenie w strukturze pola komutacyjnego typu multi-log₂N − 1. Zatem, w jednym łączu międzysekcyjnym między sekcją s₁ a s2 mogą spotkać się trzy różne połączenia. Każde takie połączenie w związku z tym musi być zestawione w innej płaszczyźnie aby nie kolidowało ono z innym połączeniem zestawionym w danym łączu międzysekcyjnym. Stąd, potrzebne są 3 płaszczyzny aby struktura pola komutacyjnego typu multi-log₂8 − 1 była przestrajalna.

Dla pojemności pola N = 16, liczba sekcji wynosi n⁰ = 3 (są to sekcje: s₁, s₂ oraz s₃). Graf krzyżujących się ścieżek dla tej struktury pola komutacyjnego przedstawiony jest na rysunku 6.1. Posiłkując się tym grafem można zauważyć, że w dwóch węzłach (G₁ oraz G₂) poza roz-patrywaną ścieżką (oznaczoną pogrubioną linią) pojawiają się jeszcze dwie inne ścieżki. Należy jednak zauważyć, że połączenia reprezentowane przez dwie ścieżki, spotykające się z rozpa-trywanym połączeniem w pierwszym węźle G₁ grafu krzyżujących się ścieżek, nigdy nie będą używać tych samych zasobów struktury pola komutacyjnego multi-log₂16 − 1 co połączenia reprezentowane przez dwie dodatkowe ścieżki spotykające się z rozpatrywanym połączeniem w drugiem węźle G₂ grafu krzyżujących się ścieżek. Innymi słowy – dwie dodatkowe ścieżki z węzła grafu G₁ nigdy nie spotkają się z dwoma dodatkowymi ścieżkami z węzła G₂ w gra-fie krzyżujących się ścieżek reprezentującym strukturę pola komutacyjnego multi-log₂16 − 1.

Sytuacja taka przedstawiona jest na rysunku 6.2 (połączenia przedstawione w architekturze pola komutacyjnego multi-log₂16 − 1) oraz na rysunku 6.3 (połączenia przedstawione w grafie krzyżujących się ścieżek dla struktury pola komutacyjnego multi-log₂16 − 1). W przykładzie, w jednej płaszczyźnie mogą być zestawione połączenia h2, 4i i h3, 1i ponieważ ich ścieżki nie korzystają ze wspólnych zasobów. Podobnie w jednej płaszczyźnie można zestawić połączenia h1, 5i i h7, 2i. Jednakże połączenia h2, 4i i h3, 1i muszą być zestawione w innej płaszczyźnie

niż połączenia h1, 5i i h7, 2i. Dla tych czterech połączeń dwie płaszczyzny są wystarczające.

Potrzebna jest jeszcze jedna płaszczyzna dla wyróżnionego połączenia h0, 0i. Stąd, trzy płasz-czyzny są potrzebne aby struktura pola komutacyjnego multi-log₂16 − 1 spełniała warunki RRNB.

s₁ G1 s₂ G2 s₃

Rysunek 6.1. Graf krzyżujących się ścieżek dla architektury pola komutacyjnego log₂16 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła)

15

Rysunek 6.2. Architektura pola komutacyjnego log₂16 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła) i czterema dodatkowymi połączeniami, w najbardziej

niekorzystnym przypadku (linie przerywane)

Przypadek 2. Dla pól o pojemności N ≥ 32. Wszystkie ścieżki w grafie krzyżujących się ścieżek, które spotykają się z rozpatrywaną ścieżką, można podzielić na dwie grupy –

po-s₁ G₁ s₂ G₂ s₃

Rysunek 6.3. Architektura pola komutacyjnego log₂16 − 1 reprezentowane za pomocą grafu krzyżujących się ścieżek z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła) i czterema dodatkowymi połączeniami (linie przerywane) w najbardziej niekorzystnym przypadku:

(a) przypadek dla płaszczyzny 1, (b) przypadek dla płaszczyzny 2, (c) przypadek dla płaszczyzny 3

dobnie jak to miało miejsce dla warunków SSNB dla architektury pola komutacyjnego typu multi-log₂N − 1 (patrz rozdział 5.4). Do pierwszej grupy należą wszystkie połączenia z wejść 1, 2, . . . , 2 grupy zależy od liczby sekcji n⁰ architektury pola komutacyjnego typu multi-log₂N − 1. Liczbę wszystkich ścieżek z drugiej grupy można określić jednym wzorem, jeżeli uwzględni się zależność (5.5), definiującą parametr k. Zatem, druga grupa składa się ze ścieżek reprezentujących połą-czenia z wejść 2

Przykładowe pole log₂32 − 1 dla najbardziej niekorzystnego przypadku obrazujące zestawienie

31

Rysunek 6.4. Architektura pola komutacyjnego log₂32 − 1 z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła) i siedmioma dodatkowymi połączeniami w najbardziej

niekorzystnym przypadku (linie przerywane)

siedmiu połączeń z obu wspomnianych grup oraz rozpatrywanego połączenia przedstawione są na rysunku 6.4.

Rozpatrując graf krzyżujących się ścieżek (patrz rysunki 6.5 i 6.6), można zauważyć, że zarówno w pierwszym węźle G1 jak i w ostatnim węźle Gn⁰−1 grafu krzyżujących się ścieżek, z rozpatrywaną ścieżką spotykają się dokładnie dwie inne ścieżki. W drugim węźle G₂ oraz w

s₁ G1 s₂ G2 s₃ G3 s₄

płaszczyzna 1 h2, 8i

h8, 1i

(a)

s1 G₁ s2 G₂ s3 G₃ s4

płaszczyzna 2

h12, 2i h8, 1i

(b)

s₁ G₁ s₂ G₂ s₃ G₃ s₄

płaszczyzna 3 h3, 4i

(c)

s₁ G₁ s₂ G₂ s₃ G₃ s₄

płaszczyzna 4 h4, 5i

(d)

Rysunek 6.5. Architektura pola komutacyjnego log₂32 − 1 reprezentowane za pomocą grafu krzyżujących się ścieżek z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła) i siedmioma dodatkowymi połączeniami (linie przerywane) w najbardziej niekorzystnym przypadku –

część 1: (a) przypadek dla płaszczyzny 1, (b) przypadek dla płaszczyzny 2, (c) przypadek dla płaszczyzny 3, (d) przypadek dla płaszczyzny 4

s₁ G1 s₂ G2 s₃ G3 s₄

płaszczyzna 5 h5, 7i

(a)

s1 G₁ s2 G₂ s3 G₃ s4

płaszczyzna 6 h6, 3i

(b)

s₁ G₁ s₂ G₂ s₃ G₃ s₄

płaszczyzna 7 h7, 6i

(c)

s₁ G₁ s₂ G₂ s₃ G₃ s₄

płaszczyzna 8

h0, 0i h0, 0i

(d)

Rysunek 6.6. Architektura pola komutacyjnego log₂32 − 1 reprezentowane za pomocą grafu krzyżujących się ścieżek z zaznaczonym rozpatrywanym połączeniem (pogrubiona linia ciągła) i siedmioma dodatkowymi połączeniami (linie przerywane) w najbardziej niekorzystnym przypadku –

część 2: (a) przypadek dla płaszczyzny 5, (b) przypadek dla płaszczyzny 6, (c) przypadek dla płaszczyzny 7, (d) przypadek dla płaszczyzny 8

przedostatnim węźle G_n⁰₋₂ grafu krzyżujących się ścieżek może pojawić się maksymalnie po siedem innych ścieżek. Uogólniając, w węźle Gdn⁰/2e grafu krzyżujących się ścieżek pojawia się dokładnie 2

_{log2 N}

2



− 1 innych ścieżek, które spotykają się z rozpatrywaną ścieżką. Wszystkie te ścieżki pochodzą z pierwszej grupy. Ponieważ każda taka ścieżka reprezentuje inne połączenie, a każde połączenie musi być zestawione w innej płaszczyźnie, stąd potrzebnych jest:

p₁ = 2

Dla połączeń reprezentowanych przez ścieżki z drugiej grupy potrzebnych jest z kolei:

p₂ = (2 − k) · 2

_{log2 N}

2

−1− 1 (6.4)

płaszczyzn. Parametr k zdefiniowany jest zależnością (5.5). Warto jednak zaznaczyć, że żadne z połączeń pochodzących z drugiej grupy ścieżek nie koliduje z połączeniami reprezentowanymi przez ścieżki z pierwszej grupy ścieżek.

Zatem, połączenia reprezentowane przez ścieżki z drugiej grupy mogą być zestawiane w tych samych płaszczyznach, w których są zestawiane połączenia reprezentowane przez ścieżki z pierwszej grupy. Warto zauważyć, że:

p₂ ≤ p₁. (6.5)

gdzie wartość p1 określona jest zależnością (6.3). Z tego też względu, liczba połączeń z dru-giej grupy nie wymaga więcej płaszczyzn niż połączenia z pierwszej grupy. Zatem wszystkie połączenia z drugiej grupy mogą być zestawione w płaszczyznach, w których zestawione są po-łączenia z pierwszej grupy. Potrzebna jest jeszcze jedna dodatkowa płaszczyzna dla zestawienia rozpatrywanego połączenia.

Dla przestrajalności potrzebna jest liczba płaszczyzn p dana zależnością:

p ≥ p₁+ 1 = 2

Warunek wystarczający może być udowodniony przez utworzenie ciągu zdarzeń [36,98,132], który prowadzi do zajęcia liczby płaszczyzn określonych w Twierdzeniu 6.2.

Należy tu zaznaczyć, że w celu wykorzystania pól typu multi-log₂N − 1 jako struktur prze-strajalnych niezbędne jest wykorzystanie odpowiedniego algorytmu przestrojeń. Zadaniem tego algorytmu byłoby takie przenoszenie połączeń z określonej grupy, aby można je było zestawić w płaszczyznach, w których zestawione są połączenia z pierwszej grupy połączeń. Pozwalałoby to znaleźć zasoby pola dla zestawiania nowych połączeń. Zagadnienie to nie jest przedmiotem niniejszej rozprawy.

7