Nieparametryczny model Chen-Hu-Pan (Non-parametric Model)

Celem jaki przyświecał twórcom modelu nieparametrycznego (Chen, Hu, Pan – NP–C.H.P) było uchwycenie znanego efektu skośności i kurtozy jaka występuje w przypadku stóp zwrotu z akcji, a następnie wprowadzenie korekt w wybranych modelach strukturalnych55. Większość modeli generuje prawoskośne DD podobnie jak stopa zwrotu z kapitału własnego. Jednak wraz ze zwiększaniem horyzontu czasowego skośność ta osłabia się.

55

Chen R. R., Hu S Y., Pan G. G.: “Default prediction of various structural models”, www.defaultrisk.com/pp_score_63.htm, 2006, str. 5

96

Model ten jest podobny do tradycyjnych modeli oceny ryzyka kredytowego w tym względzie,

że wykorzystuje tylko i wyłącznie dane historyczne (w przeciwieństwie do modeli z nowego podejścia do oceny ryzyka kredytowego, które w większości opierają się na danych giełdowych). Jednakże dane te dotyczą tylko ceny kapitału, co pozwala porównywanie wyników z modelami strukturalnymi. Główną zaletą tego modelu jest fakt, że nie zakłada on z góry żadnego określonego parametrycznego rozkładu wartości aktywów – raczej pozwala na to, by rozkład ten był szacowany na podstawie historycznych stóp zwrotu wartości aktywów (implikowanych z historycznych wartości stóp zwrotu z kapitału własnego).

W modelu tym podobnie jak w innych modelach strukturalnych możemy wyznaczyć odległość od niewypłacalności (DD), którą można potem przeliczyć na PDRN. W modelu nieparametrycznym do szacowania DD zastosowano następujący wzór⁵⁶:

( )

A def NP

A

A

E

DD

σ

−

=

(3.60) Jednak możemy zastosować różne podejścia do obliczania Adef. W modelu MKMV czy w modelu Metrona Adef jest równe połowie zobowiązań długookresowych + całe zobowiązania krótkookresowe, lecz nie jest to jedyne akceptowane i wykorzystywane podejście (spotyka się także wartości średnie sumy zobowiązań lub ustalone inne udziały poszczególnych typów długu).

Autorzy modelu założyli, że szacowanie zarówno PDRN jak i rzeczywistych wartości PD nie jest konieczne do wskazania przydatności modelu NP-C.H.P. zatem ograniczyli się do szacowania DDRN co pozwala także uniknąć błędu wynikającego z nieprawidłowego doboru modelu do szacowania złożonego długu czy wyceny kredytowych instrumentów pochodnych.

Do oceny przydatności i siły modelu wykorzystano metodologię krzywych koncentracji ROC (Receiver Operating Characteristic curves)⁵⁷. Wykorzystując krzywą koncentracji ROC⁵⁸ do oceny sprawności modeli prognozowania otrzymujemy informację o osiągach modelu w każdym wybranym punkcie odcięcia (cut-off point), które uporządkowane są od najniższej wartości określonego miernika np. wartości funkcji dyskryminacyjnej lub DD (przedsiębiorstwa najbardziej zagrożonego) do najwyższej wartości (przedsiębiorstwa w najlepszej kondycji).

W literaturze siłę modelu określa się dwojako – jako zdolność do:

56 Należy zauważyć, że wzór (3.60) nie gwarantuje dodatnich wartości DD.

57 Po raz pierwszy metodologia ta została zastosowana w latach 50-tych do badania sygnału radiowego z zakłóceniami, a następnie w badaniach klinicznych do badania siły postawionych diagnoz. Dopiero stosunkowo niedawno metodologia została zastosowana do szacowania ryzyka kredytowego - pierwszy raz w czasopiśmie (biuletynach) wydawanych przez grupę Moody’s (np. artykuł Stein’a z 2003).

58

Inną popularną i często wykorzystywaną krzywą koncentracji jest krzywa koncentracji CAP (cumulative accuracy profile). W przypadku krzywej koncentracji CAP skumulowanemu udziałowi przedsiębiorstw w całej próbie przyporządkowuje się skumulowany udział bankrutów. Jednak dla krzywej CAP można wyznaczyć tylko sprawność i błąd I rodzaju.

97

a) prawidłowego przyporządkowania spółek do grupy przedsiębiorstw w dobrej kondycji (True survivals) oraz spółek niewypłacalnych (True Default)⁵⁹,

b) takiej kalibracji danych, które pozwolą na uniknięcie zakwalifikowania spółek do błędnej grupy – spółka w dobrej kondycji do grupy niewypłacalnej; spółka w złej kondycji do grupy przedsiębiorstw wypłacalnych.

Na rys. 3.1 przedstawiono przykładową krzywą koncentracji ROC.

Rys. 3.1 Przykładowa krzywa koncentracji ROC dla modelu przypadkowego, badanego i idealnego wraz z zaznaczeniem obszarów wykorzystywanych do szacowania wskaźnika dokładności

Źródło: Prusak B.: op. cit. (a), str. 6, 9; Stein R. M.: op. cit., str. 5

Oceny modelu na podstawie krzywej koncentracji dokonuje się poprzez porównanie badanego modelu z modelem idealnym oraz przypadkowym (nachylony pod kątem 45 stopni; odznacza się najgorszymi rezultatami przyporządkowania przedsiębiorstw do poszczególnych grup⁶⁰). Problem w jednoznacznej ocenie pojawia się wtedy, kiedy krzywe koncentracji się przecinają i żadna z nich nie dominuje nad drugą na całym swoim przebiegu. W takim przypadku o tym, który model jest lepszy nie będzie decydować wielkość obszaru A lecz generalnie kształt krzywej koncentracji. W zależności

59

Spełnione muszą być następujące zależności: True survivals + False defaults = 1 oraz True default + False survivals = 1

60

Gdyby testowany model znalazł się poniżej modelu przypadkowego to oznacza to, iż rozpatrywany model jest mniej dokładny niż losowa klasyfikacja obiektów – w takim przypadku nie powinna być stosowany do prognozowania.

98

od zastosowania nawet jeśli obszary A dla dwóch krzywych są takie same, ale jedna nie dominuje nad drugą na całej swojej długości to wtedy różne modele mogą faworyzować odmienne krzywe.

W przypadku tej metodologii wyróżnia się tutaj także takie stany jak „pozytywny błąd” (dosł. „nieprawdę pozytywną” – False positive – firma została zakwalifikowana do przedsiębiorstw niewypłacalnych, która przetrwała) oraz „negatywny błąd” (dosł. „nieprawdę negatywną” – False negative – firma została zakwalifikowana do spółek w dobrej kondycji, ale upadła). Stany te są analogiczne do statystycznego błędu I i II typu.

Oczywistym jest, że żaden model nie jest idealny i może zdarzyć się sytuacja złego przyporządkowania co w modelu NP-C.H.P polegać będzie na tym, że DDRN dla spółki w złej kondycji będzie zbyt wysokie (wyższe niż dla spółek w dobrej kondycji). W związku z tym nie ma znaczenie, w którym miejscu zostanie określony punkt odcięcia (wartość DD) dzielący spółki na przedsiębiorstwa z dobrej i złej kondycji, gdyż zawsze pewna grupa może stanowić błędne dopasowanie (błąd I lub II rodzaju). Sytuacje taką prezentuje rys. 3.2.

Rys. 3.2 Powstawanie błędów I i II rodzaju przy nakładaniu się krzywych funkcji DD

Źródło: Chen R. R., Hu S Y., Pan G. G.: “Default prediction of various structural models”, www.defaultrisk.com/pp_score_63.htm, 2006, str. 10

Obszar zaznaczony na żółto (na lewo od punktu granicznego) reprezentuje firmy, które zostały zaklasyfikowane jako niewypłacalne, a które przetrwały (błąd II rodzaju), natomiast obszar zaznaczony na szaro znajdujący się na prawo od punktu odcięcie określa przedsiębiorstwa, które zostały zakwalifikowane jako firmy wypłacalne, a które w rzeczywistości okazały się niewypłacalne⁶¹ (błąd I rodzaju). Im lepszy model tym obszar nakładania się funkcji powinien być mniejszy.

Stawiając hipotezę zerową taką iż H0: DD < x, która określa niewypłacalność, gdzie x reprezentuje arbitralnie przyjęty punkt odcięcia, można połączyć błąd I rodzaju (α) z nieprawidłowo określonymi spółkami, które przetrwały (false survival) oraz błąd II rodzaju ze spółkami

61 Chen R. R., Hu S Y., Pan G. G.: “Default prediction of various structural models”, www.defaultrisk.com/pp_score_63.htm, 2006, str. 10

99

nieprawidłowo określonymi jako niewypłacalne (false default). W przypadku modeli możemy określić, że:

a) zły model ma zbyt dużą przestrzeń wspólną dla spółek, które przetrwały oraz tych które upadły,

b) dobry model jest co prawda o wiele bardziej dyskryminujący gdyż dla tego samego poziomu błędu II rodzaju wartości błędu I rodzaju będą mniejsze.

Poszczególne błędy oraz sprawność modelu I i II rodzaju (odpowiednio: BI, BII, SI, SII) można przedstawić za pomocą krzywej koncentracji ROC w sposób zaprezentowany na rysunku 3.3.

Rys. 3.3 Sprawność i błędy I i II rodzaju w przypadku krzywej koncentracji ROC Źródło: Prusak B.: op. cit., str. 7; Stein R. M.: op. cit., str. 6

Im lepszy model tym lepiej przewiduje niewypłacalność przedsiębiorstw tzn. większą liczbę firm prawidłowo kwalifikuje do firm niewypłacalnych. Graficznie funkcja ta powinna być bardziej wklęsła. Model bardziej wypukły będzie przydzielał formom niewypłacalnym wyższe wartości DD niż przedsiębiorstwom w dobrej kondycji finansowej.

Główną miarą statystyczną w metodologii ROC jest wskaźnik dokładności (AR – Accuracy Ratio – obszar pod funkcją ROC). Ze względu na fakt, że im bardziej wklęsła funkcja ROC, tym lepszy model dlatego też analogicznie im wyższa wartość AR tym lepiej. Błąd standardowy dla AR możemy oszacować jako:

100

( ) ^{( ) ( )}( ) ( )( )

2 1 2 2 2 2 1 1

n

n

A

Q

1

n

A

Q

1

n

A

1

A

A ₌ − + − − + − −

σ

(3.61) gdzie:

A – obszar pod krzywą,

n1 – liczba firm niewypłacalnych, n2 – liczba firm w dobrej kondycji,

A 2 A Q₁ − = A 1 A 2 Q 2 2 ⁼ +

Aby móc zaimplementować model nieparametryczny musimy znać także rozkład stopy zwrotu z aktywów (ROA), ale rynkowe wartości ROA nie są bezpośrednio obserwowalne. Jednakże możemy określić rynkowe wartości stopy zwrotu z kapitału (ROE). Dlatego też do dalszych obliczeń niezbędne jest mapowanie rozkładu ROE na rozkład ROA. Zastosowane przez autorów mapowanie opiera się na

średnim ważonym koszcie kapitału (WACC - weighted average cost of capital) według wzoru:

E D A r A E r A D r = + (3.62) gdzie:

rA – stopa zwrotu z aktywów (ROA),

rD – koszt kapitału oparty na stopie zwrotu wolnej od ryzyka, rE – stopa zwrotu z kapitału (ROE) przy założeniu braku podatków.

ROE jest zdefiniowane jako tygodniowa stopa zwrotu z kapitału, a E jako określona przez rynek wartość kapitału. Ponieważ rynkowa wartość długu nie jest bezpośrednio obserwowalna wielu twórców wykorzystuje wartość księgową. Jednakże posłużenie się wartością księgową długu stwarza wiele poważnych problemów. kiedy firma jest bliska niewypłacalności zarówno E jak i D są małe, ale wartość księgowa długu pozostaje niezmienna. Aby uniknąć tego problemu twórcy modelu Nieparametrycznego zastosowali następujący algorytm. DefiniujemyD _{jako wartość księgową długu,}

a A= D+E. Kiedy firma jest daleka od stanu niewypłacalności to

∂E/∂A→1

_{co odpowiada} sytuacji, gdy

D→D

_a

∂D/∂A→0

_{. Natomiast, gdy firma jest bliska upadłości to zarówno D i E są} bliskie zeru, ale to E znacznie szybciej zbliża się do 0 niż D to oznacza, że ∂D/∂A→1 _a

0

/∂ →

∂E A

_{(zaczerpnięte z modelu Mertona oznacza, że}

∂E/∂A=N( )d

1 _{). W takim momencie A ~}

D.

Podsumowując główne założenia modelu możemy zauważyć, że:

a) kiedy firma jest w dobrej kondycji ekonomiczno-finansowej (daleko od punktu niewypłacalności), wtedy A jest szacowane na podstawie wzoru D+E_,

101

b) kiedy firma jest w złej kondycji ekonomiczno-finansowej (bliska punktu niewypłacalności i bankructwa) wtedy A jest szacowane na podstawie D,

c) w przypadku pozostałych sytuacji

∂D/∂A

_{jest wykorzystane jako waga co daje:}

(

E D

)

A D D A D A  +      ∂ ∂ − + ∂ ∂ = 1 (3.63) d) podstawiając za A po lewej stronie równania A = D + E otrzymujemy:

E A E D D       ∂ ∂ − + = / 1 1 (3.64) Dane wykorzystane w modelu nieparametrycznym, to standardowe dane niezbędne w modelach strukturalnych. Dla oszacowania wartości kapitału używa się cen akcji (za co najmniej 12 miesięcy). Następnie ROA jest obliczane na podstawie wzoru (3.62), w którym wartość długu jest szacowana na podstawie wzoru (3.64), a A = D + E. Natomiast σA to odchylenie standardowe 52 obserwacji ROA.

Głównym celem badania przeprowadzonym przez twórców modelu było określenie czy model nieparametryczny może z przynajmniej 6-miesięcznym wyprzedzeniem określić moment niewypłacalności. Jako moment wystąpienia niewypłacalności autorzy przyjmowali jedną z dwóch dat – złożenie dokumentu „Chapter 11”⁶² lub zaprzestania notowań spółki na giełdzie w zależności od tego, który z tych momentów wystąpił jako pierwszy. Nie brano pod uwagę faktycznego momentu ogłoszenia upadłości przez sąd ze względu na fakt, że moment wystąpienia niewypłacalności mógł być znacznie wcześniej, a spółka mogła nadal działać na rynku.

Poszczególne kroki badania są następujące:

Krok 1 Oszacowanie DD dla wszystkich obiektów branych pod uwagę w badaniu i uszeregowanie ich od najniższej wartości do największej

Krok 2 Podział zbioru na 100 group (z przyjmuje wartości od 1 do 100)

Krok 3 Podział całego zbioru na firmy w dobrej i złej kondycji (firmy wypłacalne i niewypłacalne) Krok 4 W grupie przedsiębiorstw niewypłacalnych z przyjmuje wartości poszczególnych percentyli od 1 do 100, a następnie oblicza się krzywą koncentracji ROC – skumulowane prawdopodobieństwo (odkładane na osi y)

62 „Chapetr 11” to dobrowolnie składany przez firmę wniosek, który ma chronić aktualnie prowadzoną działalność spółki (obsługiwane projekty) przed żądaniami finansowymi wierzycieli. W tym czasie przedsiębiorstwo przeprowadza reorganizację wewnętrzną dotyczącą jej finansów, a niekiedy także reorganizacja ta dotyczy działalności operacyjnej. Działanie to ma na celu poprawę sytuacji spółki w ten sposób by mogła w przyszłości wywiązać się ze swoich zobowiązań. Uzasadnione i zaakceptowane złożenie tego dokumentu powoduje stan hibernacji przedsiębiorstwa w tym sensie, że zamrożeniu ulegają wszystkie zobowiązania firmy, które powstały przed datą złożenia „Chapter 11”, wstrzymuje także wszelkie procesy wytoczone pod adresem tej spółki i uniemożliwia wierzycielom przejęcie kontroli nad majątkiem firmy.

102

Krok 5 W grupie przedsiębiorstw wypłacalnych z także przyjmuje wartości poszczególnych percentyli od 1 do 100, a następnie oblicza się ich skumulowaną wartości (odkładana na osi x)

Krok 6 Wyrysowanie krzywych koncentracji ROC (odpowiednie wartości na osi x, y) Krok 7 Oszacowanie wskaźnika dopasowania do oceny siły modelu

Na podstawie badań przeprowadzonych przez jego autorów stwierdzono, że model nieparametryczny lepiej uwzględnia efekt dźwigni finansowej niż inne modele strukturalne ze względu na zastosowanie WACC i odpowiedniej kalibracji rynkowej wartości aktywów. Wpływ dźwigni finansowej jest powszechnie zrozumiały. Im wyższy jej poziom tym firma jest bardziej narażona na pojawienie się stanu niewypłacalności, gdyż udział kapitału obcego w finansowaniu firmy, a co za tym idzie, także odsetki i wszelkie opłaty związane z obsługą długu są relatywnie większe.

Jednym z wniosków wyciągniętych przez twórców modelu na podstawie przeprowadzonych przez nich badań jest fakt, że wielkość przedsiębiorstwa ma znaczący wpływ na prawdopodobieństwo niewypłacalności: im większa firma tym ryzyko to jest niższe. Jednak według badań przeprowadzonych przez autorkę pracy zależność ta nie jest aż tak oczywista. Większy rozmiar przedsiębiorstwa powoduje, że firma jest mniej skłonna i zdolna do szybkiego wprowadzania wszelkiego rodzaju restrukturyzacji i zmian. Wynika to nie z niechęci firmy do przeprowadzenia procesów naprawczych tylko w związku z rozmiarami firmy zmiany te są bardziej czasochłonne, pracochłonne oraz kapitałochłonne i skomplikowane.

Podobnie jak w przypadku polskich firm autorzy modelu napotkali problem związany z faktem, że jedynie niewielka część firm, które ogłosiły upadłość (ok. 20%) miała nadaną przez agencję ocenę ratingową. W związku z tym można wyciągnąć wniosek, że zastosowanie modelu NP-C.H.P jest utrudnione (nie tylko w warunkach polskich) z powodu braku dostępności danych (wystarczającej ich ilości i jakości).

Długość okresu oszacowań ma także wpływ na ich wysokość i na przewidywalność prognozy. Generalnie DD jest zazwyczaj niższe im dłuższy okres prognozy i wyższe im bliższy wyznaczony moment (potencjalny moment niewypłacalności). Nie jest to zaskakujące, gdyż niewypłacalność jest bardziej prawdopodobna w dłuższym okresie niż w krótkim.

Ponadto dyspersja w modelu NP-C.H.P. jest mniejsza w porównaniu z pozostałymi modelami co powoduje osłabienie efektu nakładania się krzywych koncentracji dla wypłacalnych i niewypłacalnych spółek co z kolei wpływa na zwiększenie poziomu wskaźnika dokładności (AR) i mocy modelu. To natomiast przekłada się na lepsze oszacowanie DD.

103

W dokumencie Szacowanie prawdopodobieństwa niewypłacalności firmy na podstawie wybranych metod oceny ryzyka kredytowego (Stron 95-103)