nierównościach

265. Określenie nierówności. Zestawienie dwu liczb nie­

równych za pomocą znaku albo <j, nazywamy n i e r ó w n o ­

ś c i ą .

Z dwu liczb bezwzględnych całkowitych a i b określamy pierwszą jako większą lub mniejszą od drugiej, stosownie do tego, czy pierwsza liczba ma większą czyli też mniejszą ilość jedno­ stek, n. p. 5 > 3, 2 < ; 4, i. t. d. ogólnie a > ó, a odpowiednio

a <Z b. To określenie możemy także tak w yra zić: Z dwu liczb a i b jest a ;> b, jeżeli różnica a —b jest dodatnią, zaś a <. b,

jeżeli różnica a —b jest ujemną.

Stosując to określenie do liczb względnych (dodatnich lub ujemnych i to całkowitych, ułamkowych lub niewymiernych), uważamy liczbę a jako większą lub mniejszą od b, stosownie do tego, czy różnica a — b jest dodatnią, czy ujemną.

W edług tego każda liczba dodatnia jest większa od zera i od wszelkiej liczby ujemnej, a nawzajem każda liczba ujemna jest mniejsza od zera i od wszelkiej liczby dodatniej. Z dwu liczb ujemnych jest ta większa, której wartość bezwzględna jest mniejsza. W edług tego jest - 1 ■> - 2 > < 3 . . .

Z tego określenia nierówności wynikają twierdzenia nastę­ pujące:

1 0 Jeżeli z dwu liczb równych jedna jest większa ( lub mniej­ sza) od trzeciej, to i druga jest większa (lub mniejsza) od tejże samej trzeciej.

2° Jeżeli z trzech liczb jedna jest większa (lub mniejsza) niż druga, a ta większa (lub mniejsza) niż trzecia, to tern bardziej pierwsza liczba jest większa (lub mniejsza) od trzeciej.

266. Twierdzenia o dodawaniu nierówności.

1° Liczby nierówne, dodane do liczb równych, dają sumy nie­ równe z tym samym znakiem nterówności.

Jeżeli a~ę>b, a c= d , natenczas a + c > b-\-d. Jakoż niech będzie a = b + w, natenczas będzie a-\-c=bĄ-wJr d, a źe według art. 265. b-\-iv-\-d ó> b-\-d, zatem także as + e > b-\-d.

2° Liczby nierówne, dodane do liczb nierównych o tym samym znaku nierówności, dają sumy nierówne, z których większa zawiera większe dodajniki.

Jeżeli a > b i c Ó> d, natenczas a-\-c > b + d.

Jakoż niech będzie c-= d + w , natenczas według twierdzenia l g0 jest a + c > b + dĄ-w, a że b + d-\-w > b + d, więc tem bar­ dziej a + c > b-\-d.

267. Twierdzenia o odejmowaniu nierówności.

1 0 Liczby równe odjęte od liczb nierównych, dają różnice nie­ równe z przecnonym znakiem nierówności.

Jeżeli aó> b, c—d, natenczas a—c > b—d.

Jakoż niech będzie a=b-\-w, natenczas a— c= b Ą -w —d, czyli

a—c—(jb—d)-\-w, zatem a—có> b— d.

2° Liczby nierówne, oajęte od liczb równych, dają różnice nie­ równe z przeciwnym znakiem nierówności.

Jakoż niech będzie a = d + w , natenczas a—c—b— d—w, czyli (a—c) + w— b—d, zatem a—c <Ó_ b—d.

3° Liczby nierówne, odjęte od liczb nierównych przy niejedna­ kowych znakach nierówności, dają różnice nierówne ze znakiem nie­ równości odjemnych.

Jeżeli a b, a c <. d, natenczas a—c Ó> b— d.

Jakoż gdy a -= b + w , natenczas a—c ó> b + w —d, czyli

a —c > (b—d)-\-w, zatem a—c > b— d.

268. Twierdzenia o mnożeniu nierówności.

1° Liczby równe, pomnożone przez liczby nierówne, dają ilo­ czyny nierówne o tym samym znaku nierówności.

Jeżełi a = ó i c > d, natenczas ac ad.

Jakoż niech będzie c = d + w , natenczas ac=b(d-\-w)=bd-\-bw, zatem ac > bd.

Rozumowanie powyższe wymaga, aby czynniki równe były liczbami dodatniemi. Jeżeli te czynniki są ujemne, natenczas należy zmienić znak nierównośoi na przeciwny.

N. p. Mnożąc równość — 2 = — 2, przez nierówność 9 7, otrzy­ m am y nierówność — 18 — 14.

271.J 155 2 0 Liczby nierówne, pomnożone przez liczby nierówne o tym samym znaku nierówności, dają iloczyny nierówne o tym samym znaku nierówności. D laczego?

269. Twierdzenia o dzieleniu nierówności.

1° Liczby nierówne, podzielone przez liczby równe, dają ilo­ razy nierówne o tym samym znaku nierówności.

Jeżeli a >> b i c = d natenczas ~ >> b-.

Jakoż niech będzie a —b + w, natenczas •7 = "^—= ^ 4 "^ -)

a b

zatem — > -7.

c d

2 0 Liczby równe, podzielone przez liczby nierówne, dają ilo­ razy nierówne z przeciwnym znakiem nierówności.

Jeżeli a = b i c "> d, natenczas — <T 4._{’ c ^ d}

Jakoż niech będzie c=>dĄ-w, czyli c—d = w , natenczas b ę ­ dzie a{c—d)=bw, czyli ac—ad^bw,

ac—ad bw a a bw . a a

z a t e “

— ¡ i — Hi' °z y h d ~

aw i , i 0

a b , . , b a a b

aze

d ~ i '

'"«otaŁ“ ¿ > v Przet0 7

< T

3 0 Liczby nierówne, podzielone przez nierówne o przeciwnym znaku nierówności, dają ilorazy nierówne ze znakiem nierówności dzielnych.

Jeżeli a > b i c <i d, natenczas -- > ~.

Jakoż według Igo tw y 'j, a według 2go tw. |

więc tem bardziej i > |.

270. Nierówności równoważne. Dwie nierówności nazy­

wamy r ó w n o w a ż n e m i , jeżeli jedna z nich jest bezpośrednim wynikiem drugiej. N. p. nierówności a >■ b i a—b > 0.

Z danej nierówności możemy według art. 266—269 otrzy­ mać nierówności r ó w n o w a ż n e , wykony wając na obu sronach danej nierówności te same działania przy pomocy liczb jedna­ kowych.

Na tej podstawie możemy dane nierówności przekształcić na inne równoważne, w podobny sposób, w jaki przekształcamy równości i równania.

271. Nierówności warunkowe. Jeżeli dane nierówności nie

są prawdziwe dla wszelkich wartości liczb ogólnych, w ich skład wchodzących, wtedy nazywamy je n i e r ó w n o ś c i a m i w a r u n k o w e m i .

Wyznaczenie wartości, dla których, sprawdza się dana nie­ równość warunkowa, nazywamy rozwiązaniem tejże nierówności,

Równość warunkowa, zawierająca jedną niewiadomą w pierw- ,szym stopniu, może być rozwiązana w ten sposób, jak się roz­

wiązuje równanie stopnia pierwszego o jednej niewiadomej.

N. p. Niech będzie dana nierówność:

x— 1 x— 2

1---> 3.

2 3

Pomnóżmy obie jej strony przez 6, a otrzymamy nierówność równoważną :

Z{x — l ) + 2(a:— 2) > 18,

czyli b x— 7 18,

stąd: 5 x 25,

a w końcu: x 5,

jako rozwiązauie danej nierówności.

To rozwiązanie dowodzi, że dana nierówność jest prawdziwą dla wszelkich wartości liczby niewiadomej X, które są większe niż 5.

ć w i c z e n i a L X IV .

1. Dowieść prawdziwości następujących nierówności:

a) ( l + a ) ( l - f b) ! > l - j - a - f ń , skoro a > lub < 0, a równocze­ śnie także b > lub < 0.

§ ) a 2+ 5 3> 2 a 5 ; y ) | ^ > 2 ;

ó) ( l - j - a ) 3j > l + 3 a , s k o r o a > 0 ; s) (a + 5 + c )2> 3 ( a 6 - i - 5 c -i -a c ) ; 2. Dowieść, że a Ą -b Ą -c Ą -a b Ą -b c Ą -a c abc.

3. Wykonać następujące działania nierównościami:

a ) dodawanie: fi) odejmowanie:

4 a - j - 3 b ^> 4 cĄ -d 4m + 3« > l ^ r - j - 2 7 a = 3 c - j - 2 d 1 4 w + l = 15r.

y) mnożenie : 6) dzielenie :

GE-}-3 Tj c 7 -\-u ■=< S~\-v

7a — 25 > 2c— 1 7 u > Sv. Rozwiązać następujące nierówności:

x x x x 5 4 ‘ 4 > 5 + 1 - 5 2 + 2 > 4 ^ 2 -6_ 8 ą + 5 _ 2 1 + * 7 2 1 _ 7 < 4 _ 7 1 8 2 ' 2 2 x x 5x a— 5 a + b 8 . --- 4-j— < 7 - | --- . 9. > --- • 2 3 6 bx + c a x — c 1 0 . - + ~ > 1 ; I 2 - H * - 2 > § 2/ — 8 ; x + 2 < y + 7 a b b a

ROZDZIAŁ VI.

P O T Ę G I, P IE R W IA S T K I I L O G A R Y T M Y .

§• I- P o t ę g i .

372. Potęga o wykładniku całkowitym dodatnim. Z liczby

a możemy utworzyć nową, liczbę, biorąo ją kilka razy n. p. n razy jako czynnik. Działanie tego rodzaju nazywamy p o t ę g o ­ w a n ie m . Liczbę a p o t ę g o w a ć do stopnia ngo czyli p o d n i e ś ć d o w- t e j p o t ę g i znaczy znaleśó taką liczbę c, któraby zawie­ rała tyle czynników, równycb liczbie a, ile jednostek zawiera

liczba m . Liczba c nazywa się Mtą potęgą liczby a , i oznacza

się w zorem :

A A A A

an= a . a . a ...a = c

Znając wtą potęgę liczby a otrzymamy (M-f-l)szą potęgę

liczby według w zoru:

= a n. a (76)

Tym sposobem możemy obliczyć wszystkie całkowite do­ datnie potęgi danej liczby.

273. Potęga o wykładniku równym zeru i potęga o wy­

kładniku całkowitym ujemnym. Z wzoru (76.), dozwalającego

obliczyć co raz wyższe potęgi liczby a, możemy otrzymać na odwrót wzór na obliczenie coraz niższych potęg liczby a; mia­ nowicie będzie:

a n+ 1

an a

Kładąc w tym wzorze m= 0, otrzymamy: a ° = — = ~ = 1 ;

Cl CL

kładąc zaś kolejno n = — 1, —2, — 3 i t. d. otrzymamy:

dniku równym zeru, tudzież potęg o wykładnikach ujemnych. 274. Suma potęg i potęga sumy. Suma lub różnica potęg dwu różnych liczb nie może być w ogólności obliczoną bez poprzedniego obliczenia wartości poszczególnych potęg.

Wskazana suma lub różnica potęg różnych liczb ogólnych, jak amJrbn, am—6”, amĄ-bm, am—bm, jest zarazem najprostszem

przedstawieniem tych wyrażeń.

Inaczej ma się rzecz z sumą lub różnicą potęg o tej samej zasadzie a różnych wykładnikach, lub o jednakowych zasadach i jednakowych wykładnikach.

W pierwszym przypadku możemy pewną potęgą wspólnej zasady wyłączyć jako czynnik wspólny przed nawias n. p.

am+n+ a m= a m(an+ 1).

W drugim przypadku mamy wyrażenia r ó w n o i m i e n n e , które łączymy w jedno wyrażenie według sposobów poznanych w artykułach 52. i 74., n. p.

am + 4am — 3am= (1 + 4 —3)am= 2<*m.

275. Potęga sumy, jako iloczyn równych sum, daje po do­ konaniu mnożenia pewien wielomian. I tak :

(<*+ 6)0=1 ( i t + 6 ) 1==a + 6 (a + b )2= /a 2+ 2 a b+ 6 2 ( < * + 6 ) 3-.«ff,3 + 3<*26+3<*62+ 6 3 ( 77) ( a + 6 ) 4= < t 4+ 4 a 36 + G «.26 2+ 4 « 6 3 + 6 4 ( < * + 6 ) 5= = ^ 5+ 5 a 46 + 1 0 « 36 2+ 1 0 « 26 3+ 5 « 6 4+ 6 5, i t. d.

Ogólnie spostrzegamy tu prawidła następujące :

1. Wszelka potęga sumy dwu liczb jest równa sumie wielowy- razowej, w której ilość wyrazów przewyższa o jednostkę wykładnik potęgi.

2. Pierwszy wyraz jest żądaną potęgą pierwszej liczby, w dal­ szych wyrazach maleją stopniowo wykładniki pierwszej liczby, a rosną wykładniki drugiej liczby; suma obu wykładników jest we wszystkich wyrazach jednakowa i równa wykładnikowi potęgi, ostatni wyraz jest żądaną potęgą drugiej liczby.

3. Spółczynniki wyrazów jakiejkolwiek potęgi otrzymujemy z szeregu spółczynników niższej potęgi w taki sposób: rozpoczynamy i zamykamy nowy szereg spółczynników jednostką, a między nimi umieszczamy sumy co dwu spółczynników, po sobie kolejno następują­

277.] 159

cych w rozwinięciu niższej potęgi. Tak n. p. otrzymamy z szeregu spólezynników trzeciej potęgi: 1, 3, 3, 1, szereg spółczynników czwar­ tej potęgi w postaci: 1, 1 + 3, 3 + 3, 3 + 1, 1, czyli i 1, 4, 6, 4, 1, skąd znowu otrzymamy w ten sam sposób szereg spółczynników piątej potęgi w postaci: 1, 1 .+ 4, 4 + 6, 6 + 4, 4 + 1 , 1 czyli: 1, 5, 10, 10, 5. 1 i t. d.

Napisawszy w pierwszym wierszu 1, w drugim spółczynniki pier­ wszej potęgi: 1, 1, w trzecim drugiej: 1, 2, 1, w czwartym trzeciej:

1, 3, 3, 1, a ze spółczynników następnych potęg, obliczonych w sposób podany, utworzywszy dalsze wiersze, otrzymujemy t. z. t r ó j k ą t P a s c a l a : wiersz 1. 1 spółcz. 0. potęgi u 2. 1 1 „ 1. „ „ 8 . 1 2 1 „ 2. „ „ 4 . 1 3 3 1 „ 3. „ n 5. 1 4 6 4 1 „ 4. „ „ 6 . 1 5 10 10 5 1 „ 5. „ „ 7. 1 6 15 20 15 6 1 „ 6. „ „ 8 . 1 7 21 35 35 21 7 1 „ 7. „

Przy pomocy tego trójkąta liczb możemy napisać jakąkolwiek potęgę danej sumy dwuwyrazowej. Tak n. p. w (a + 6 )6 spółczynnikami będą liczby wiersza siódmego, a zatem:

(a + 5 ) 6= = a 6 + 6 a 5í + 1 5 « 4®2-)- 2 0 a 3®3 + 1 5 a 25 4 + 6a®5 + Zi6.

276. Podobnie przez rzeczywiste wykonanie mnożenia, lub z wzorów art. 275., podstawiając —b zamiast b, otrzymamy wzory następujące:

( « —0 )4= « 4— 4 « 3& + 6 « 2&2— 4«& 3+ & 4

( « —&)5= « 5—5 « 46 + 1 0 « 3&2— 1 0 « 26 3+ 5 « & 4—&5

( « — 6 )6= « 6—•6 « 5& + 1 5 « 4&2—2 0 « 3&3+ 1 5 « 2&4—6«& 5+ & 6 1 t. d.,

które zestawione z wzorami odpowiednimi art. poprzedniego, możemy przedstawić w postaci wspólnej:

(a +&)4= « 4+ 4 « 3& + 6 « W 2+ 4 « & 3+ & 4,

(a ± b ) 5= « 6+ 5 « 4&+ 1 0 « 3& 2+ 1 0 « 2&3+ 5 «& 4± & 5, (78) (« + & )6= « 6+ 6 « 5Z>+ 1 5 « 4Z> 2+ 2 0 « 3Zł3+ 1 5 « 2Z> 4+ 6 « 0 5+ « 6,

Przykłady :

1. (x — y ) s= x 6-— 6 x 5y-\- 15íc4«/2-— 2 0 * 3t/3 + l h x “y i — 6a;«/5+ t / 6.

2 — 4 ____ ____________ .— _______________________________________________ _ _

( * — t / ) 4 a : 4 — 4 a : 3^ + 6 : e 2^ 2 — 4 * i / 3 + « / 4'

i t. d.

277. Opierając się na wzorach, wyprowadzonych dla potęg dwumianu, znajdziemy wzory dla potęg wielomianu (por. art. 55 i 89). Mianowicie mamy dla drugiej p o tę g i:

( < e + # + c + . .)'2= 2 (a ‘i)+22(ait>). (79) Uwzględniając prawidła znaków przy iloczynach, otrzy­ mamy stąd kwadrat wielomianu algebraicznego.

Tak n. p. (a + 6—c)2= = a 2 + &2 + c2 + 2aZ>— 2 ac—2bc.

278. Dla trzeciej potęgi wielomianu otrzymamy za po­

mocą wzorów dla tejże potęgi dwumianu następujące w zo ry :

1. (as + 5 + c ) 3= [ ( a + 6 ) + c ] 3

= (a 4- b)3+ 3(a+ b) 2c + B(a+ b)c2- f c3

= a 3+ 3 a 2&+3a&2+ 5 3-l-3(a-f-&) 2c + 3(a+&)c2-i-c3

= a 3+& 3+ c 3+ 3 a 26-l-3a52 + 3a2c4-3ac2d-362c+ 3 6 c 2+6a&c, czyli: (« + /> + c ) 3= X ( « 3)-k 3 X (a 2Zi) + 6.S'(fflZ>c;

2. (a + & + c + d ) 3= [ ( a - l - 6 + c ) - i - d ] 3

= et3+& 3-j-c3+ d 3

+ 3a2b + 3a52+ 3a2c + 3ac2+ 3a 2d + 3ad2+ 3 6 2c + + 3Jc2+ 3& 2d + 3&d2 + 3c2d + 3cd2

+ 6 abc + Qabd + 6ocd-f 6 bcd.

czyli: { a + I > + c + d ) 3= Ą a 3)+S Ą a% )+ G Z :(aI> c), (80)

skąd dostrzegamy prawidło następujące:

Sześcian wielomianu składa się z sześcianów wszystkich jego wyrazów, z potrójnych iloczynów, otrzymanych przez pomnożenie każdego wyrazu przez kwadrat innego wyrazu, i z sześciokrotnych n i er ów no i m i e n n y ch iloczynów co trzech wyrazów.

Uwzględniając prawidła znaków przy iloczynach, możemy wypro­ wadzić stąd sześcian wielomianu algebraicznego :

Tak znajdziemy n. p. ( a + 6 - c ) 3= [ a + & + ( — c)]3= a 3+ 6 3+ ( — c)3 + 8 a 2ó + 3 a 2( — c) + + 3 ó 2a + 3&2( — e) + 3 ( — c )2a + 3 ( — c)26 + 6 a 6 (— c), skąd : ( « + &— c)3= a 3 + ó 3— c3 + 3 a 26— 3 a 2c + 3 « 6 2 — 3 ó 2e + + 3&c:2-|-3ae2— 6 abc. Ć w i c z e n i a L X V .

1. Obliczyć wartości wyrażeń:

а ) 34 + 4 3—2 5. 84—8 3 + 8 2—8. y) 4 . 43—5.4:K 2. Uwolnić od wykładników ujemnych wyrażenie:

« 26c~3 +• 2a~ib 2c~2—4 a~~ sb.

3. Obliczyć: a) X0-j— 2 °. fi) 1 ~ y) ( — l ) ł + ( — l ) 2. б) l - 2 + 2 - 3. ej ( —2 )1-}-(— 3)2. O (— l ) - 2-h( —3 ) - 2. 4. Znaleść różnicę między potęgą ( 1 2 - f - 4 ) 3 a sumą 1 2 3 + 4 3. 5. O bliczyć: a ) ( 1 2 — 4 ) 3. fi) 1 2 3— 4 3.

6

.

(x + y ) B= ? 7. ( x - y y = ? 8. ( i _ * ) « = ?

9. (1 + a s — x <iy — 1 10. ( 1 — a ;+ a ;2) 3= ? •

13. ( a + b x + c x y = ? i 4 . (2a — 3& d-4c— 5 ^ )2==?

* ' 2' 2 (1—0,5)3

161

.279.]

16' {& + ») - & + ' ) } ?

I 6 ' {l+ x -\ -x 2Ą-xz-\-x!l)4 \ 3

279. Iloczyn potęg i potęga iloczynu. Iloczyn potęg o ró­ żn ych zasadach i różnych wykładnikach nie da się wyznaczyć

bez poprzedniego obliczenia tych potęg.

Mając do czynienia z liczbami ogólnemi, możemy taki ilo- •czyn tylko zaznaczyć, jak n. p .: am.bn. Będzie to zarazem naj-

prostszem przedstawieniem żądanego wyrażenia.

Twierdzenie I. Iloczyn potęg o równych zasadach można

przedstawić jako jedną potęgę o wykładniku równym sumie wykła­ dników obu czynników.

W zór: am.an—am+n

Prawdziwość tego wzoru jest w idoczna, gdy wykładniki są całkowite i dodatnie (por. art. 43). W zór ten utrzymuje się jednak także, gdy jeden lub oba wykładniki są ujemne.

1 ctP^

-Jakoż am. a~n= a m. — = — ■=am~n= a m+(-~n\

an an

a~m a~n—P — = —i—= a “ (n*+,,)= a (-m)“ M= a(~_{a m a n a m + n >}

a więc tak dla dodatnich jak dla ujemnych wykładników będzie :

am ,an= a m+n. (81)

Z tej równości wypada naodwrót, że potęgę można przed­

stawić jako iloczyn potęg o tej samej zasadzie, byle tylko suma wy­ kładników była równa danemu wykładnikowi,

n. p. a 1= a !t.a 3—a2.a 6—a~3 .a 10 i t. d.

Twierdzenie II. Iloczyn potęg o równych wykładnikach można

przedstawić jako potęgę iloczynu zasad, wziętą z wykładnikiem ró­ wnym danemu wykładnikowi.

W z ó r : a™. bm= (a b)m.

Prawdziwość tego wzoru jest widoczna, gdy wykładnik m jest całkowitym dodatnim. W zór ten utrzymuje się jednak

także dla wykładników ujemnych.

Jakoż a~mb~m= P . -~ -= — \ -= (a b)~ m,

am bm am.bm (ab)m y ’

więc tak dla dodatnich jak dla ujemnych wykładników mamy:

am.bm= (a .b )m. (82)

Z tej równości wypada naodwrót w zór: Ki II

To znaczy: Potęga iloczynu jest równa iloczynowi talach sa­

mych potęg poszczególnych jego czynników.

C w i c z e n ia L X V I.

1. Pomnożyć: a ) a~~s przez 2 a- 5 . /3) 3 a ~ 7b~ 1 przez 2 a—2&4» y ) 4a“~ '&3 przez a~~3b~~2. <J) 5a?— 6y 3z~~7 przez 3 x iy ~ 2z ~ i.

£) x 1y ~ 9z2 przez x ~ ey 3z~~2. £) a *+ 2/ przez ax~ y.

rj) 3a—14 - 4 a —2i>- 1 przez 4 a —1-[-Sa6—1— 4 a 36 2. 2 . Wyznaczyć iloczyny następujące:

. a*+c—d, ofi—c+d. a~ 6+c+<i. j j ax^ .ax~~i . ax*~1.

3. B. * — 4. (4 a — 5 * - 1)( 4 a ;+ 5 * - 1) = ?

5. ( l x— 9y—i)(7 x -\ -9 y —i) = ? 6. (xm— y n)(x ~ m + i j - n) = ?

( „ + * ) . . ( „ _ » > = , 8. ( , + i . ) - . ( * ) ’ .

9. —a 3. —66. —c7.3a*~3. 56"—5.7cn—7= ?

3 5 7

10. (a;- 3 — a:- 2 + 4a:— 8)(a:—3 + a;—2+ 4 a ;—1 + 8 ) = ?

280. Iloraz potęg i potęga ilorazu. Iloraz potęg o ró­

żnych zasadach i różnych wykładnikach nie da się wyznaczyć bez poprzedniego obliczenia tych potęg.

Mając do czynienia z liczbami ogólnem i, możemy iloraz

am

takich potęg tylko zaznaczyć n. p. w postaci Będzie to

zarazem najprostszem przedstawieniem żądanego ilorazu.

Twierdzenie I. Iloraz potęg o równych zasadach można

przedstawić jalco potęgę o wyMadniku równym różnicy wyldadników dzielnej i dzielnika.

CLm

W zór: ~—= a m—n.

an

Prawdziwość tego wzoru jest widoczna, gdy wykładniki

są całkowite dodatnie. Ten wzór utrzymuje się jednak także,

gdy jeden lub oba wykładniki są ujemne.

a~~m Jakoż —- - = - —— r = —— =a_(m+”)==Ci_m_,‘ > an am. an am+n (,m ~ ^ -^ a m.an= a m+n= a m~ ('-”'> a~n cl—^ _{_} an_„ a n — m _ _ a - m + n a ( - m ) — ( - « ) _ a rn am

Mamy zatem tak dla dodatnich jak dla ujemnych w y­ kładników :

Z tej równości wypływa na odwrót wzór : am~n= a m:a H.

To zn aczy: Wszelką potęgę można przedstawić jako iloraz

dwu potęg o tej samej zasadzie, byle tylko różnica wykładników dzielnej i dzielnika była równa danemu wykładnikowi.

, a 7 a 5 a3 a2 .

N. p. a 4= — = — = — - = — i t. d.

ai a a-1 a-3

Twierdzenie II. Iloraz potęg o tym samym wykładniku można

przedstawić jako potęgę ilorazu zasad, wziętą z danym wykła­ dnikiem. am /«'> 163 280.] W zór: . - . , bm \ b

Prawdziwość tego wzoru jest widoczna, gdy wykładnik

m jest całkowity i dodatni. Ten wzór utrzymuje się jednak

także w tym przypadku, gdy wykładnik m jest liczbą ujemną.

er

■ $ F

Jak0Ż b~~m am -“m"_J)m

A więc znowu tak dla dodatnich jak dla ujemnych wykła­ dników m am y:

a?'

-er <s4>

b "1

Z tej równości wypływa na odwrót wzór:

a m

( CT\m_ *

UJ

b m

To znaczy: Potęga ilorazu jest równa ilorazowi, otrzymanemu

z podzielenia tejże potęgi dzielnej przez tę samą potęgę dzielnika.

ć w i c z e n i a L X Y II. 1 . P o d z i e l i ć : a ) a ~ 2b ~ ' i p r z e z a ~ i b~ 5 . ¡3 ) w ~ 3b ~ 2c ~ 1 p r z e z a ~66 — 2c - 5 . y ) X ~ ?,y ~ i Z~ 7 p r z e z x y ~ l Z ~ i . 6 ) a 3m4-nb 3m+ n p r z e z a 3n~ mb 3m~ n . 2. 1 2 a Gb ~ 2c ~ 5d : 2 a ~ ~ i b ~ 3d ~ 1 = ? 8. { x i2: x 3y 2} : x 3y 2z = t 4. ( 9 « 36 ~ 2c ~ 1— 1 5 a 2c ~ 4) : 3 a~~1b c ~ 1— ?

5. {[(a;5: —a:4):a:3] : — a;2} : —x = ?

6. (24x2y 3z-j- 15x~2y 2z 6— Stoi/-4 ) : 3x ~ 2y 2z = ?

7. (6 a 2— 4a-— 10 + 8 « ~ : ( 3 a - 1 + 4 a - 2) = ? 8. ( 9 a - 2+ 1 2 a - 1+ 4 ) : ( 3 a - 1 + 2 ) = ? 9- lx3y - 3+ x - sy z) : ( x y - 1+ x - iy ) = ? 3 « - 1— 2 3 « - 2— B a - 3 + 8 0 a - 4 + 5 0 a - 5 10. 6a—2— 10a—3 * 2 w xn+iJ

281. Potęga potęgi. Twierdzenie. Potęgę potęgi można przed­

stawić jako potęgę danej zasady o toykładniku równym iloczynowi danych wykładników.

W z ó r : (am)n—amn.

Prawdziwość tego wzoru jest widoczna, jeżeli wykła­ dniki są całkowite i dodatnie. Ten wzór utrzymuje się jednak także, gdy jeden lub oba wykładniki są ujemne.

/ 1 \M 1 1

Jakoż (am) - " = - = —— = —- = a - m’1;

\amJ (am)n amn

{a rm)n = —— = — = a~mn; ' (am)n amn

(a~m) - n = ~ r = — = amn - a - m ■ ~ n. v (a~m)n / h )71 L

\am) amn

Zatem tak dla dodatnich jak dla ujemnych wykładników

mamy: (am)n= a mn. (an)m= a mn

i wreszcie: (a m)n= (a n)m= a nw\ (85)

To znaczy: Przy potęgowaniu wielokrotnem porządek wykła­

dników jest obojętny.

Z ostatniej równości wypada na odwrót w zó r:

a mn= ( a ni) " = ( a " ) n‘.

To znaczy: Potęgę o jakimkolwiek wykładniku można przed­

stawić jako potęgę potęgi, byle iloczyn wykładników był równy da­ nemu toykładnilcowi.

N. p- a6= ( a 2) 3= ( a 3) 2= ( a ~ 2)“' 3= ( a _3)—2.

ć w i c z e n i a L X V III.

1. (a;3) 5= ? 2. [(a5) 7] 9= ? 3. ( » - " ) — = ? 4. [(2 a )-2] 2= ?

( £ ) " - ’ ’ ■ ( - S ) ' = ?

8. = ? 9. (ax + 2a~x)'i= ? 10. (5xb— 4y4) 3= ?

^ T a2—62"lm J”(p2—g2)M"|’t (a—b)m i}

L (P -2 )bJ ' L (a + 6)m J ' (.p + g)mn = '

i2. _{\x—y ) \%+y)} 13. _{( i —* 4 i —* 8/ \ x )}

V=?

283.]

165 Oj

i 5 . r * - » . * * - « ] . « -L J /y>C

___________ _ —9

(a:a .a;0)a :(ica+ c)0

K

S ^ y + y ^ s , ( $ a x+ v \ X ' ( ax'J \ v _ _ 9

5 o V / ' \ Są**' J '

28*2. Obliczanie potęg liczb dziesiętnych. Potęgi liczb

dziesiętnych o wykładnikach dodatnich lub ujemnych możemy zawsze obliczyć według określeń :

1 2 3 m A - f f l ___

Am A A A A ' A m i l t

A A . A . A .. . .A , A . A . A . . . A

Obliczanie potęg ułamków dziesiętnych da się zawsze sprowadzić do obliczania potęg liczb całkowitych.

Niech będzie bowiem dany ułamek dziesiętny o m miej­

scach dziesiętnych, wtedy możemy go przedstawić w postaci A

gdzie A jest liczbą całkowitą, otrzymamy zatem wtą potęgę tegoż ułamka w postaci:

A \M A™

\io?7

10m"

⁽

⁸⁶

⁾

To znaczy: n - t a potęga uła m ka dziesiętnego m a n r a z y tyle

mie jsc dziesiętnych, ile ich m a d a n y ułamek. X

283. Kwadrat liczby dziesiętnej. Obliczanie kwadratu

liczby dziesiętnej polega na w zorach, dających kwadrat wielo ■ mianów. W tym celu otrzymujemy wzór następujący:

(a

n . 1 0 ” + a » - ! . 10 ”- 1+ « n - 2 • 1 0 ”- 2 + . . . + a j . 1 0 + a 0) 2 == ?

= a „ 2.1 0 2”

+ 2. an. . 102”~ 1 + . 10 2k“ 2

+ 2 (a n. 1 0 + « „ _ , ) . a„_2. 102i!- 3+ (a re_ 2) 2.lO 2» - 4 (87)

+ ...

-1-2(an. lO™- * -f- 10"~2+ cij). aa. 10 —t- 2.

Na podstawie tego wzoru obliczamy kwadrat liczby dzie­ siętnej w sposób następujący:

1° Obliczamy kwadrat pierwszej cyfry.

2° Z każdej następującej cyfry obliczamy dwa składniki, a to podwójny iloczyn liozby, przed tą cyfrą stojącej, i tej cyfry samej, tudzież kwadrat tejże cyfry.

3° Te składniki podpisujemy pod sobą, wysuwając każdy następny o jedno miejsce ku prawej i dodajemy je kolumnami.

Chcąc n. p. obliczyć kwadrat liczby 7 4 8 6 m am y: 7 4 8 6 2= ( 7 . 1 0 3 + 4 .1 0 2 + 8 . 1 0 + 6)2

7 2 ... 49 2 . 7 . 4 ... 56 4 2... 16 2 . 7 4 . 8 ... 1 1 8 4 8 2... 64 2 . 7 4 8 . 6 ... 8 9 7 6 6 2... 36 = 5 6 0 4 0 1 9 6 .

284. Uwaga. Dwa składniki, które tworzy każda cyfra danej liczby dziesiętnej, możemy złączyć w jeden na podstawie

wzoru: 2ab-\-b2—(2a + b).b,

t. j. dopisując nową cyfrę do podwójnej liczby przed nią sto­ jącej i mnożąc tak powstałą liczbę przez tę nową cy frę ; przy tern postępowaniu należy jednak każdy taki iloczyn wysunąć o dwa miejsca ku prawej.

W edług tego przedstawi się powyższy przykład ta k : 7 4 8 6 2= 7 4 9 . . 1 4 4 . 4 ... 5 7 6 . . 1 4 8 8 . 8 1 1 9 0 4 . . 1 4 9 6 6 . 6 8 9 7 9 6 = 5 6 0 4 0 1 9 6 .

Opierając się na wzorze art. 282. wiemy, że kwadrat

ułamka dziesiętnego ma diva razy tyle miejsc dziesiętnych, ile ich ma dany ułamek dziesiętny.

Będzie więc n. p. 7 -4 8 6 2 = 5 6 - 0 4 0 1 9 6 ; 0 '7 4 8 6 2 = 0 -5 6 0 4 0 1 9 6 .

285. Obliczywszy kwadrat ułamka dziesiętnego niezupeł­ nego a, który ma granicę błędu (art. 214.) równą a, otrzyma­ my granicę błędu tegoż kwadratu:

d = ( a + a ) 2—a 2= + 2 a a + a 2

czyli ze względu na to, że a 2, jako kwadrat małego ułamka, jest względem 2aa bardzo małą liczbą^ ó — + 2aa.

A zatem : Granicę błędu kwadratu ułamka dziesiętnego nie­

zupełnego znajdziemy, mnożąc podwójry iloczyn tegoż ułamka przez jego granicę błędu.

Tak n. p. otrzymamy 7 ' 4 8 6 . . . 2= 5 6 '0 4 0 . . . z granicą błędu: <5 = 2 •7 • Tünn?j = Ttnj¡i = 0 ' 00 7

-286. Częstokroć przyjmujemy z góry pewną ilość miejsc dziesiętnych, jaką má otrzymać kwadrat szukany. W takim razie wykonywamy działanie skrócone, opuszczając zbędne miejsca dziesiętne z odpowiedniemi poprawkami.

Mając n. p. obliczyć 7 -4 8 6 2 na dwa miejsca dziesiętne opu­ szczamy czwarte miejsca dziesiętne, a z liczb, odpowiadających trze­ ciemu miejscu dziesiętnemu, bierzemy odpowiednie poprawki i rachunek przeprowadzamy w ten sposób:

7 2. . . 4 9

1 4 4 . 4 . . . 5- 76 i - 3 - 2\

1 4 | 8 8 . 8 . . . 0-0 9 ( 9 . 8 = 7 2 poprawka 7)

1^ 48.6. . . 1- 19 ( 5 . 6 = 30 „ 3 )

5 6 -0 4 . .

287. Sześcian liczb y dziesiętnej. Obliczanie sześcianu danej

liczby dziesiętnej możemy także oprzeć na wzoracb tyczących się sześcianu wielomianów. W tym celu otrzymujemy wzór następujący: (a„.10n+ a n- 1.10n- 1+ a n- 2'10n- 2+ . . . - f % . 1 0 + a 0) 3= =a„3103n +3.a„2.a„-1.103n~ 1+ 3 .a n.a2n- 2.103”- 2+ a 2„_1.103n~ 3 + (88) + 3(a„ . 1 0 . 1 0 ” 2-j- . . . + a 1) 2. a0. 102 -f3 (a „.1 0 n- ł + a „ _ 1.1 0 " -2- f . . . + a 1).o 02.10 + a03.

Na podstawie tego wzoru obliczamy sześcian liczby dzie­ siętnej w sposób następujący:

1° Obliczamy sześcian pierwszej cyfry.

2° Z każdej następującej cyfry tworzymy trzy składniki, a to potrójny iloczyn kwadratu liczby, złożonej z cyfr poprze­ dzających, przez tężsamą cyfrę, następnie potrójny iloczyn liczby, złożonej z cyfr poprzedzających, przez kwadrat tejże cyfry, a wreszcie sześcian tej cyfry.

3° Te składniki podpisujemy pod sobą, wysuwając każdy następny o jedno miejsce ku prawej, i dodajemy je kolumnami.

Chcąc n. p. obliczyć sześcian liczby 74)36 m am y: 7 4 8 6 3 7 3...34 3 3 . 7 2. 4 ... 588 3 . 7 . 4 2 . . . 336 4 3 ... 64 3 . 7 4 2 . 8 1 3 1 4 2 4 3 . 7 4 . 8 2 ... 1 4 2 0 8 8 3... 51 2 3 . 7 4 8 2 . 6 1 0 0 7 1 0 7 2 3 . 74 8 . 6 2 ... 8 0 7 8 8 6 3 216 ” 4 1 9 5 1 6 9 0 7 2 9 6 .

Opierając się na wzorze art. 282. wiemy, źe sześcian ułamka

dziesiętnego ma trzy razy tyle miejsc dziesiętnych, ile ich ma dany •ułamek dziesiętny. N. p. 7-4863=419-516907296.

288. Obliczywszy sześcian ułamka dziesiętnego niezupełne­ go a, który ma granicę błędu równą a , otrzymamy granicę błędu tegoż sześcianu

<5 = (a + a )3-—a 3= + 3 a 2a + 3ao!2+ a 3,

skąd ze względu na to, źe wyrazy 3aa2 i a 3 są względem 3a2a liczbami bardzo małemi, otrzymujemy: ó — + S a 2a.

To zn aczy: Granicę błędu sześcianu ułamka dziesiętnego nie­

zupełnego znajdziemy, mnożąc potrójny kwadrat tegoż ułamka dzie­ siętnego przez jego granicę błędu.

Tak n. p. otrzymamy 7 '4 8 6 . . . 3= 4 1 9 ‘51 z granicą błędu d = 3 . 7 2 . 0 - 0 0 0 5 = 0 08.

ć w i c z e n i a L X I X .

1. Dowieść, źe kwadrat liczby całkowitej n cyfrowej ma 2n — 1

albo najwyżej 2n cyfr.

2 . Obliczyć następujące kwadraty: a) 3-42; p) 4 -5 2 * y) 0 - 6 1 2 ; d) 3 2 1 2 ; ę ) 4 - 0 7 2 ; ^ ) 3 1 4 2 ; rj) 2 7 1 3 . . . *

3. Dowieść, źe sześcian liczby całkowitej n cyfrowej ma 3w—2,

albo 3n—1, albo najwyżej 3n cyfr. 4. Obliczyć następujące sześciany :

a) 6 1 3; /?) 13*83; y) 3 7 8 3; ó) 2 7 - 5 5 3 ;

e) 0 - 6 0 4 3 ; £) 3 - 1 4 . . . 3 ; r\) 2 - 7 1 8 . . . 3.

5. 5 6 4= ? 6. l - 4 3= ? . 7. 3 1 6= ? 8. 1 ' 7 . . . 6= ?

-289. Potęgi liczb względnych. Twierdzenie I. Potęga cał­

kowita liczby dodatniej jest znowu liczbą dodatnią.

W zór: ( + a ) n= + a n. (89}

1 2 3 n 1 2 3 n

Gdyż ( + a ) ” = a . + a . + « . . . + a — - r a . a . a . . . . a = + a n. Twierdzenie II. Potęga parzysta liczby ujemnej jest liczbą

dodatnią, nieparzysta zaś liczbą ujemną.

W zór: (—a ) u = + a in] ( —a ) 2n+ i= —a'2n+i (90)

1 2 3 2n

Gdyż ( —a)2n = —a . —a . — a . . . —a = ;

1 2 3 2n 2 n + l

(—a)2n + i= —a. — . a—a . . . —a . — a = —(a2,!+1).

W niosek: (— 1)2’>= + 1, (— l ) 2n+ 1 = — 1.

ć w i c z e n i a L X X .

1. ( _ l ) l + ( - l ) 2 + ( _ l ) 3 + ( - l ) 4 = ?

V \ aa;3,

/ 4 9 m 2w—7 \ 2 / 7 »w—2i3\3

\ 64p—3g' / \ 8 g2« 2 J

290. Twierdzenia o równości i nierów ności potęg.

1° Liczby równe, potęgowane do równych stopni, róione

potęgi.

Jeżeli a =b , natenczas także am= b m. (Dlaczego?)

Wniosek. Jeżeli a : b — C : d, natenczas także am :b m= c m : dm (W yrazić słowami tę własność proporcyi).

2 0 Liczby nierówne, potęgowane do równych stopni, dają potęgi

nierówne o tymsamym znaku nierówności.

Jeżeli a i> b, natenczas także am > bm. (Dlaczego ?)

Wniosek. Dodatnie potęgi liczb większych od 1 są także liczba­ mi większemi od 1 ; natomiast dodatnie potęgi liczb mniejszych od 1 są liczbami mniejszemi od 1.

Jeżeli a lub 1, natenczas także am lub 1.

8° Liczby równe, potęgowane do stopni nierównych, dają potęgi

nierówne o tymsamym lub o przeciwnym znaku nierówności, według tego, czy zasada jest większa, czy mniejsza od 1.

Jeżeli « > » a przytem a 1, natenczas am an

„ wt n, zaś a < l , „ am < « ”•

W dokumencie Zasady algebry dla wyższych klas gimnazyów i szkół realnych (Stron 163-200)