Zasady algebry dla wyższych klas gimnazyów i szkół realnych

Z A S A D Y

A L G E B R Y

DLA WYŻSZYCH KLAS

G IM N A Z Y O W I S Z K Ó Ł R E A L N Y C H .

Bib! j C; - ,

RRNÁ '

': u; íííiF'r

Dr. PLACYD DZIWIŃSKI

Cena egzemplarza oprawnego 1 zł. 80 ct.

L W O W .

NAKŁADEM TOW ARZYSTW A NAUCZYCIELI SZKÓŁ W YŻSZYCH.

I. Zw iązkow a drukarnia we Lwow ie, ul. L indego 1. 4.

S P I S R Z E C Z Y .

—

WWW-S tropa

Pojęcia wstępne.

Liczenie, 1. Liczba 2 — 4. Liczby szczególne, 5 — 6 . Liczby ogólne, 7 — 8 . Równość i nierówność liczb, 9. Arytmetyka i alge­ bra, 1 0 — 1 1. Działania rachunkowe, 12 — 1 6 ... 1 — 4

R O Z D Z I A Ł I.

Główne działania proste.

§. 1. Dodawanie; Suma dwu liczb, 17 — 19. Suma trzech liczb, 2 0 — 2 1 . Suma ilukolwiek liczb, 2 2 — 24. Wielokrotność liczby, 2 5 — 28. Tworzenie wyrażeń za pomocą, dodawania liczb ogólnych, 2 9 — 80. ćwiczenia I — V ... 5 — 9

§. 2. Mnożenie: Iloczyn dwu liczb, 3 1 — 34. Iloczyn trzech liczb, 3 5 — 3 7 . Iloczyn ilukolwiek liczb, 3 8 — 40. Potęga liczby, 41 — 4 2 . Iloczyn potęg, 4 3 — 4 4 . Tworzenie wyrażeń za pomocą mnożenia, 4 5 — 4 7. ćwiczenia V I— X I ... 9 — 16

§. 3. Dodawanie w połączeniu z mnożeniem: Mnożenie sum, 4 8 — 5 3. Kwadrat i sześcian sumy dwuwyrazowej, 5 4 . K w a­ drat sumy wielowyrazowej, 55. Tworzenie wyrażeń za pomocą połączonych działań dodawania i mnożenia, 56 — 58. ćwiczenia

X I I - X V I ... 16 — 21

R O Z D Z I A Ł - H .,v ,

Główne działania odwrotne.

§. 1. Odejmowanie: Określenie działań odwrotnych, 59. Różnica dwu liczb, 6 0 — 61. Określenie zera, 6 2 . Liczby wzajemnie przeciwne, 6 3. Określenie liczb ujemnych i dodatnich, 64. Liczby względne i bezwzględne, 6 5 — 6 7 . Suma i różnica liczb względnych i wielomianów, 6 8 — 75. Mnożenie różnicy i liczb względnych, 7 6 — 78. Mnożenie jednomianów i wielomianów, 79 — 8 6 . Kwadrat dwumianu, 87. Sześcian dwumianu, 8 8 . Kwadrat wielomianu, 8 9. Tworzenie wyrażeń za pomocą połączonych działań dodawania, mnożenia i odejmowania, 9 0 — 9 4 . ćwiczenia X V II — X X I . . 2 2 — 38

96 — 98. Określenie jednostek ułamkowych, 9 9 — 1 0 0 . Określenie liczb ułamkowych, 1 0 1 — 1 0 3 . Zakres liczb całkowitych i ułamko­ w y ch , 1 0 4 — 1 05. Iloraz liczb bezwzględnych, 106 — 1 08. Iloraz liczb względnych, 109 — 112. Liczby odwrotne, 1 1 3 — 1 1 4 . Iloczyn a iloraz, 115 — 11 8 . Przekształcanie ilorazów, 1 1 9 — 1 2 0 . Dzielenie sumy i różnicy, 1 2 1 — 12 3 . Iloraz iloczynów i potęg, 1 2 4 — 12 9 . Iloraz dwu jednomianów i wielomianów, 130 — 135. Ćwiczenie X X I I - X X V I I I ...3 9 — 56

§. 3. Zasadnicze własności liczb i wyrażeń całkowi­ tych: Podzielność wyrażeń całkowitych, 136 — 13 7 . Liczby pierw­ sze i liczby złożone, 1 38. Znamiona podzielności liczb i wyrażeń całkowitych, 139 — 1 4 7 . Rozkładanie liczb, jednomianów i wielo­ mianów na czynniki, 1 4 8 — 152. Wspólny podzielnik, 153. Naj­ większy wspólny podzielnik, 1 5 4 — 162. Najmniejsza wspólna wie­ lokrotność, 1 6 3 — 166. ćwiczenia X X I X —X X X I I I . . . . 5 6 — 7 2

§ . 4. Zasadnicze własności wyrażeń ułamkowych : Przekształcanie wyrażeń ułamkowych, 1 67. Suma i różnica wyra­ żeń ułamkowych, 168. Iloczyn i iloraz wyrażeń ułamkowych,

1 69. Ćwiczenia X X X I I — X X X V I 7 3 — 75

§. 5. Wyniki działań głównych: Tworzenie wyrażeń za pomocą połączonych działań dodawania, mnożenia, odejmowania, i dzielenia, 170. Podstawienia 171 — 174. Ćwiczenia X X X V I I . 7 6 — 7 9

R O Z D Z I A Ł I II .

Stosunki i proporcye.

§. 1. Stosunki: Stosunek dwu wielkości, 1 7 5 . Wielkości spółmierne i niespółmierne, 17 6 . Liczby niewymierne, 177 — 1 79. Jednostka miernicza, 180. Wielkości ciągłe i wielkości oddzielne, 1 8 1 . Przekształcanie stosuuków, 1 8 2 . ć.wicz. X X X V I I I — X X X I X . 8 0 — 8 5

§ . 2. Proporcye: Określenie proporcyi, 1 8 3 — 1 8 4 . Zasa­ dnicze własności proporcyi, 185 — 1 86. Proporcya złożona, 1 8 7 , Przekształcenie proporcyi, 1 8 8 — 192. Przekształcenie ilukolwiek stosunków równych, 193 — 19 4 . Rozwiązanie proporcyi, 1 95. Pro­ porcya ciągła, 1 9 6 . Proporcya harmoniczna, 1 9 7 . ćwiczenia X L — X L I I . ...85 — 91

§. 3. Zastosowania proporcyi: Reguła trzech prosta, 198. Reguła trzech składana, 1 9 9 — 2 0 0 . Reguła łańcuchowa, 2 01. R e­ guła spółki, 2 0 2 . Reguła spółki składana, 2 0 3 . ćwiczenia X L I I I — X L V I ... 9 1 — 9 8

R O Z D Z I A Ł IV.

Układy liczb.

Układ liczb o danej zasadzie, 2 0 4 — 2 0 8 . Układ dziesiątkowy, 2 0 9 — 2 1 0 . Ułamki dziesiętne, 211 — 2 1 4 . Zamiana ułamków zw

y-Y

czajnych na dziesiętne, 2 1 5 — 2 2 0 . Zamiana ułamków dziesiętnych na zwyczajne, 2 2 1 — 2 2 2 . Rachunek liczbami dziesiętnemi, 2 2 3 . Działania skrócone, 2 2 4 . Suma lub różnica liczb niezupełnych, 2 2 5 . Iloczyn liczb niezupełnych, 226 — 2 2 7 . Iloraz liczb niezupeł­ nych, 2 2 8 — 2 2 9 . Zamiany układów, 2 3 0 . Ćwicz. X L V I I — L II. 99 — 117

R O Z D Z I A Ł Y .

Równania stopnia pierwszego.

§ 1 . 0 równaniach W ogóln ości: Określenie równania,

2 3 1 — 2 3 2 . Przekształcanie równań, 2 3 3 — 2 3 4 . Uporządkowanie równania, 2 3 5 — 2 3 6 . ćwiczenia L I II — L I Y ... 118 — 122

§. 2. Równania stopnia pierwszego o jednej niewia­ domej: Pierwiastek równania stopnia pierwszego, 237 — 2 4 0 . Warunek równoważności dwu równań stopnia pierwszego o jednej niewiadomej, 2 4 1 — 2 4 3 Zasadnicze własności wyznaczników, 2 4 4 . Zagadnienia jako zastosowania równań stopnia pierwszego, 2 4 5 — 2 4 7 . Ćwiczenia L Y — L Y II I ... 123 - 1 3 5

§. 3. Równania stopnia pierwszego o dwu i więcej niewiadomych: Równanie stopnia pierwszego o dwu niewiado­ mych, 2 4 8 — 2 49. Metody rugowania niewiadomych z dwu równań stopnia pierwszego, 2 5 0 — 2 5 4 . Dyskusya rozwiązania dwu równań stopnia pierwszego o dwu niewiadomych, 2 5 5 . Warunek równowa­ żności trzech równań stopnia pierwszego 0 dwu niewiadomych, 2 5 6 — 2 59. Zagadnienia, prowadzące do równań stopnia pierwszego o dwu niewiadomych, 2 6 0 . Równania o ilukolwiek niewiadomych, 261 - 2 6 4 . Ćwiczenia L I X — L X II I ...135 — 153

§. 4. O nierównościach: Określenie nierówności, 2 6 5 . Twierdzenia o dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu nie­ równości, 2 6 6 — 2 6 9 . Nierówności równoważne, 2 7 0 . Nierówności warunkowe, 2 71. ćwiczenia L X I V ... 153 — 156

R O Z D Z I A Ł Y I

Potęgi, pierwiastki i logarytmy.

§. 1. Potęgi: Potęga o wykładniku całkowitym, 2 7 2 — 2 7 3 . Suma potęg i potęga sumy, 2 7 4 — 2 7 8 . Iloczyn potęg i potęga iloczynu, 2 7 9 . Iloraz potęg i potęga ilorazu, 2 80. Potęga potęgi, 2 8 1 . Obliczanie potęg liczb dziesiętnych, 2 8 2 — 2 8 8 . Potęgi liczb względnych, 2 8 9 . Twierdzenia o równości i nierówności potęg, 2 9 0 . Działania odwrotne względem potęgowania, 2 9 1 . ćwiczenia L X V — L X X 1 1... 157 — 271

§. 2. Pierw iastki: Pierwiastki liczb bezwzględnych całko­

witych, 2 9 2 — 2 9 6 . Zasadnicze własności pierwiastka, 2 9 7 — 2 9 9 . Suma pierwiastków i pierwiastek sumy, 3 0 0 — 3 0 1 . Iloczyn pier­ wiastków i pierwiastek iloczynu, 3 0 2 — 3 0 3 . Iloraz pierwiastków

i pierwiastek ilorazu, 304 — 305. Potęga pierwiastka i pierwiastek potęgi, 306 — 307. Pierwiastek pierwiastka, 308. Działania potę­ gami i pierwiastkami o wykładnikach ułamkowych, 303—310. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny wielomianu i liczb dziesię­ tnych, 311 — 319. Pierwiastki rzędu wyższego, 320. Przekształcanie pierwiastników, 321 — 324. Twierdzenia o równości i nierówności pierwiastków liczb bezwzględnych, 325. Pierwiastki liczb względnych, 326— 327. Liczby urojone, 328— 330. Liczby zespolone,

331-—334. Liczby zespolone sprzężone, 335 — 336. Tworzenie wy­

rażeń za pomocą sześciu działań algebraicznych, 337. Równania niewymierne, 338. Ćwiczenia L X X I I I — L X X X Y I I I . . . 171 — 206

§. 3. L ogarytm y: Logarytmy liczb bezwzględnych całko­

witych, 339 — 342. Legarytm iloczynu, ilorazu, potęgi i pierwiastka

343-—345. Działania logarytmami liczb dla jednakowej zasady, 346.

Logarytmy zwyczajne, 347 — 351 Rachunek logarytmami, 352 — 354. Logarytmy liczb względnych, 3 55. Zmiana układu logarytmów,

356. Wyrażenia utworzone zapomocą siedmiu działań algebry, 357.

Równania przestępne, 358. ćwiczenia L X X X I X — X C V I. . 206 — 222 Strona

R O Z D Z I A Ł V II.

Równania stopnia drugiego.

§. 1. Równania stopnia drugiego o jednej niewiado­ mej: Rodzaje równań stopnia drugiego o jednej niewiadomej, 3 5 9 . Równania niezupełne stopnia drugiego, 3 6 0 — 3 6 1 . Równania zu­ pełne stopnia drugiego, 36 2 — 3 6 7 . Pierwiastki równe zeru i pier­ wiastki nieskończenie wielkie, 368 — 3 6 9 . Trójmian równania sto­ pnia drugiego, 3 7 0 — 3 7 3 . Związki między spółczynnikami a pier­ wiastkami równania stopnia drugiego, 3 7 4 — 3 7 6 . Zagadnienia, pro­ wadzące do równań stopnia drugiego, 37 7 . ćwiczenia X C V 1 I— CI.

223 — 237

§. 2. Równania stopni wyższych, które dają się spro­ wadzić do równań stopnia drugiego. Równania dwuwyrazo- we, 3 7 8 — 3 8 0 . Równania trój wyrazowe, 381 — 38 3 . Równania od­ wrotne, 3 8 4 — 3 8 7 . ćwiczenia C II— C IY 23 7 — 243

§,. 3. Układy równań stopnia drugiego o dwu luh więcej niewiadomych: Układy równań, 3 8 8 — 3 9 0 . Układ dwu równań stopnia drugiego, 391 — 3 9 2 , Układy równań jednorodnych stopnia drugiego, 3 9 3 . ćwiczenia C Y... 2 4 4 — 25 0

§. 4. Równania przestępne, które dają się sprowa­ dzić do równań stopnia drugiego: Równania wykładnicze o jednej niewiadomej, 3 9 4 . Równania wykładnicze o dwu niewiado­ mych, 395. Równania logarytmcwe, 3 9 6 . ćwiczenia C YI. 2 5 0 — 2 5 2

Y II

R O Z D Z I A Ł V III. Btrona

Równania nieoznaczone.

Określenie równań nieoznaczonych, 3 9 7 . Równania nieozna­ czone stopnia pierwszego, 3 9 8 . Równania nieoznaczone stopnia pierwszego o dwu niewiadomych, 3 9 9 — 4 0 3 . Równania nieozna­ czone stopnia drugiego, 4 0 1 — 4 0 6 . ćwiczenia C V I I — CVII. 25 3 —261

R O Z D Z I A Ł I X .

Szeregi.

§ . 1. 0 szeregach W ogóln ości: Określenie szeregu, 407.

Szeregi arytmetyczne, 408. ćwiczenia C IX . . . . . 26 2 — 263 § . 2 Postępy arytmetyczne: Określenie, 4 0 9 . W yraz ogólny postępu arytmetycznego, 4 1 0 . Sumowanie postępu arytme­ tycznego 4 1 1 . Zastosowania. 4 1 2 — 4 1 3 . Interpolacya postępów arytmetycznych, 4 1 4 — 4 15. ćwiczenia C X — C X I. . . . 2 6 4 — 267

§. 3 Niektóre szeregi arytmetyczne wyższych rzę­ dów: Szereg kwadratów liczb, 4 1 6 . Szereg sześcianów liczb, 4 1 7

ćwiczenia C X I I 267 — 2 6 8

§. 4. P o s t ę p y g e o m e t r y c z n e : Określenie 4 1 8 . W yraz ogólny postępu geometrycznego, 4 1 9 . Sumowanie postępu geome­ trycznego, 4 2 0 — 4 2 1 . Suma szeregu geometrycznego nieskończo- negb, 4 2 2 — 4 2 7 . Interpolacya postępów geometrycznych, 4 2 8 — 4 2 9 . Ćwiczenia C X l I I — C X V ... . . . . 2 6 9 — 2 7 4

§. 5. ltacliuek procentu składanego i rachunek rent:

Procent składany, 4 3 0 . Kapitał na procencie składanym, 4 3 1 — 4 3 5 . Kapitalizacya wkładek, 4 3 6 — 4 3 8 . Kapitał i wkładki na pro­ cencie składanym, 4 3 9 . Umarzanie długu ratami, 4 4 0 — 4 4 2 . R a ­ chunek rent, 4 4 3 — 4 4 4 . ćwiczenia C X V I — C X I X . . . . 2 7 4 — 2 8 3

§. 6 . Szeregi arytmetyczno-gcometryczne: Szereg aryt­ metyczno geometryczny 4 4 5 — 4 4 6 . ćwiczenia C X X . . 2 8 3 — 2 8 4

R O Z D Z I A Ł X .

Ułamki ciągłe.

Określenie, 4 4 7 — 4 4 8 . Zamiana ułamków zwyczajnych na ułamki ciągłe i nawzajem, 44 9 — 4 5 1 . Wartości przybliżone ułamka ciągłego, 4 4 2 — 4 6 4 . Zastosowanie wartości przybliżonych ułamka ciągłego do całkowitych rozwiązań równania nieoznaczonego sto­ pnia pierwszego, 4 6 5 . ćwiczenia C X X I — 0 X X I V . . . . 28 5 — 301

R O Z D Z I A Ł X I .

Teorya połączeń.

Rodzaje połączeń, 4 6 6 . W a-yacye bez powtarzania, 4 6 7 — 4 6 9 . Waryacye z powtarzaniem 4 7 0 — 4 7 2 . Przestawiania bez

powtarzania, 4 7 3 — 4 7 5 . Przestawiania z powtarzaniem, 4 7 6 — 4 7 8 . Połączenia bez powtarzania, 47 9 — 4 8 1 . Połączenia z powtarzaniem, 4 8 2 — 4 8 4 . Symbole z teoryi połączeń, 4 8 5 — 4 8 8 . Twierdzenie o dwumianie Newtona, 48 9 — 4 9 0 . Ćwiożenia C X X V — 0 X X l X . 3 0 1 — 309

R O Z D Z I A Ł X II.

Rachunek prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo matematyczne i doświadczalne, 491 — 4 9 4 . Prawdopodobieństwo względne i bezwzględne, 4 9 5 — 4 9 7 . Praw- dobieństwo złożone, 4 9 8 — 4 9 9 . Prawdopodobieństwo różnych kom- binacyi wydarzeń, 5 0 0 — 5 0 1 . Nadzieja matematyczna, 5 0 2 — 5 0 7 , Rachunek ubezpieczeń na życie, 5 0 8 . Zabezpieczenie kapitału na dożycie, 509 — 5 1 0 . Zabezpieczenie natychmiastowej renty doży­ wotniej, 511 — 5 1 2 . Zabezpieczenie renty od pewnego terminu, 5 1 3 . Zabezpieczenie kapitału pośmiertnego na życie pewnej osoby, 5 14. Ćwiczenia O X X X — t X X X V I ... 3 1 0 - 3 2 6

Zakończenie.

§. 1. Pogląd na teoryę działań: Podstawa teoryi dzia­ łań, 5 1 5 . Odwrócenie działań bezpośrednich, 516. Rozszerzanie zakresu liczb, 5 17. Działania, wykonywane na liczbach zespolo­ nych, 5 18. . . ... ... 3 2 7 — 329

§. 2. Konstrukcye działań na liczbach zespolonych:

Geometryczne przedstawianie liczb zespolonych, 5 1 9 — 5 2 0 . Sym­ bol ra, 5 2 1 — 5 2 2 . Suma liczb zespolonych, 5 2 3 . Różnica liczb zespolonych, 5 2 4 . Iloczyn liczb zespolonych, 5 2 5 . Iloraz liczb ze­ spolonych, 5 2 6 . Potęga liczby zespolonej, 5 2 7 . Pierw astek liczby zespolonej, 5 2 8 . Wielowartościowośó pierwiastka, 5 2 9 — 5 3 1 . ćw i­ czenia C X X X V I I ... 3 2 9 — 337

§ . 3. I’ogląd na teoryę równań: Podstawa teoryi rów­ nań, 5 32. Twierdzenie zasadnicze, 5 3 3 . Istnienie n pierwiastków w równaniu » go stopnia, 5 3 4 . Związek 'między spółczynnikami a pierwiastkami równania, 535 — 5 37. Rozwiązywanie równań li­ czebnych jakiegokolwiek stopnia, 5 3 8 — 5 4 2 . Reguła falsi, 5 43. Ćwiczenia C X X X V I I I ... 3 3 7 — 3 4 4

§. 4 . Pogląd historyczny na rozwój algebry. 3 4 4 — 351 Strona

Pojęcia wstępne.

-4* ■

1. Liczenie. Na przedmiotach świata zewnętrznego dostrze­

gamy rozmaite znamiona. "Wziąwszy pod uwagę pewne znamię, szukajmy przedmiotów, posiadających to znam ię, a znalazłszy te przedmioty dajmy im kolejno liczebniki porządkowe jako nazwy. Powiadamy wtedy, źe l i c z y m y przedmioty o przyjętem znamieniu, czyli, że wykonywamy działanie, zwane l i c z e n i e m .

L i c z y ć znaczy zatem przedmiotom o wspólnem znamieniu dawać kolejno liczebniki porządkowe jako nazwy.

2. Liczba. Postępując powyższym sposobem wskazujemy za pomocą liczebników porządkowych, który z rzędu przedmiot znaleźliśmy, a za pomoc? liczebników głów nych, które odpo­ wiadają użytym liczbom porządkowym, wskazujemy, i l e takich przedmiotów wyszukaliśmy.

W y r a ż e n i e i l o ś c i p r z e d m i o t ó w za pomocą liczeb­ nika głów nego, odpowiadającego ostatniemu z użytych liczeb­ ników porządkowych, nazywamy l i c z b ą , a przedmiot liczony nazywamy j e d n o s t k ą . Liczba podaje zatem ilość przedmiotów liczonych czyli ilość jednostek.

8. Licząc dane przedmioty, czynimy to w pewnym porządku.

Możemy jednak liczyć te przedmioty także w innym porządku, a mimo to użyjemy w obu przypadkach tych samych liczebników porządkowych, z których ostatni wskazuje tę sarnę i l o ś ć p r z e d ­ m i o t ó w . A zatem:

Wynik liczenia, czyli liczbą, wyrażająca ilość przedmiotów liczonych, nie zależy od porządlcu liczenia.

4. Liczba, przy której jest podana nazwa jednostki, (n. p. pięć ołówków), nazywa się l i c z b ą m i a n o w a n ą ; liczbę zaś, przy której nie podano nazwy jednostki (n. p. pięć), nazywamy l i c z b ą n i e m i a n o w a n ą lub o d e r w a n ą albo krócej l i c z b ą .

5. Liczby szczególne. Ustnie wyrażamy liczby zapomocą liczebników głów nych: jeden, dwa, trzy i t. d., w piśmie' zaś używamy znaków, zwanych cyframi.

Dziesięć jednostek nazywamy j e d n o s t k ą d z i e s i ą t e k albo d z i e s i ą t k ą , dziesięć dziesiątek j e d n o s t k ą s e t e k albo s e t k ą , dziesięć setek j e d n o s t k ą t y s i ę c y albo t y s i ą c z k ą , i t. d. dziesięć setek tysięcy j e dn o s t k ą m i l i o n ó w albo m i l i o n e m . Milion mi­ lionów nazywamy b i l i o n e m , milion bilionów t r y l i o n e m , milion trylionów k w a d r y l i o n e m . Podobnie powstają n azw y: k w i n t y l i o n , s e x t y l i o n , s e p t y l i o n i t. p.

Za pomocą dziewięciu cyfr arabskich i znaku 0 (zero) możemy napisać wszelką liczbę, pisząc po lewej stronie jednostek kolejno ilość dziesiątek, setek i t. d. a zastępując znakiem 0 (zero) brak jednostek któregokolwiek rodzaju. N. p. 5 7 0 2 przedstawia 2 jednostki, 0 dzie­ siątek, 7 setek, 5 jednostek tysięcy czyli liczbę: 5tysięcy 7set 2.

6. Liczb jest nieskończenie wiele. Uszykowawszy je w ta­ kim porządku, aby każda liczba następna miała o jedną jedno­ stkę więcej od poprzedzającej, otrzymujerny szereg liczb: 1, 2, з, 4 ,..., zwany s z e r e g i e m n a t u r a l n y m l i c z b . Liczbę jakąkolwiek tego szeregu, n. p. 5702, wyrażającą pewną ozna­

czoną ilość jednostek, nazywamy l i c z b ą s z c z e g ó l n ą .

7. Liczby ogólne. Liczby, które mogą wyobrażać każdą

ale zawsze pewną ilość jednostek, nazywamy l i c z b a m i o g ó l ­ n e m i. Dla odróżnienia icb od liczb szczególnych i między sobą oznaczamy liczby ogólne bądź literami alfabetu łacińskiego: a, ó, c, . . . , bądź literami alfabetu greckiego: a, (i, y, d, s, t, . . , bądź

literami ze wskaźnikami u dołu, jak : %, a2, bądź także

literami z kreskami u góry, ja k : a‘ a“ a“ ‘ ...

Wszelka litera wyobraża pewną, zresztą jakąkolwiek, ilość jednostek. Przez liczbę ogólną a rozumiemy zbiór a , t. j. ilu-

kolwiek jednostek o pewnej oznaczonej ilości, pisząc:

1 2_ 3 a

« t = i + l + l + . . . + 1 , (1)

gdzie znak = jest z n a k i e m r ó w n o ś c i , + z n a k i e m l i c z e ­ n i a , a cyfry u góry oznaczają porządek jednostek, zawartych w liczbie ogólnej a.

8. Dwie liczby ogólne, zawierające tę samą ilość jednostek, oznaczamy w tern samem zadaniu tą samą literą, a nawzajem dwie liczby ogólne, oznaczone tą samą literą, mają tę samą ilość jednostek. Dwie zaś liczby, nie mające tej samej ilości jednostek, oznaczamy dwiema różnemi literami.

Liczby, które mają wyobrażać s z u k a n ą ilość jednostek, oznaczamy zwykle końcowemi literami alfabetu łacińskiego:

и,'x, y, z, albo jedną z liter końcowych ze wskaźnikami, ja k : x lt x2, x3, . . . . , albo z kreskami, ja k : x ‘, x “ , x “ \ . . . .

11.] 8

9. Równość i nierówność liczi). Jeżeli dwie liczby a i b porównamy ze sobą w ten sposób, że każdej jednostce pierwszej liczby przydzielimy jedną jednostkę drugiej liczby, natenczas mogą zajść następujące przypadki:

Albo 1° wyczerpiemy wszystkie jednostki obu liczb a i b, tak, że każdej jednostce liczby a odpowiada pewna jednostka liczby b i nawzajem każdej jednostce liczby b odpowiada pewna jednostka liczby a. Mówimy wówczas, że pierwsza liczba j e s t r ó w n a drugiej i piszemy to tak: a = b (czyt. a r ó w n e b).

Albo 2° wyczerpiemy wszystkie jednostki liczby b, podczas gdy pozostanie jeszcze pewna ilość jednostek liczby a. Mówimy wtedy, że liczba a jest w i ę k s z ą od liczby b i piszemy to tak:

a > b (czyt. a w i ę k s z e o d b).

Albo 3° wyczerpiemy wszystkie jednostki liczby a, pod­ czas gdy pozostanie jeszcze pewna ilość jednostek liczby b. Mó­ wimy natenczas, że liczba a jest m n i e j s z ą o d liczby b i pi­ szemy to tak: a < b (czyt. a m n i e j s z e o d b).

Jeżeli o dwu liczbach ogólnych a i b nie wiadomo, która z nich jest większa lub mniejsza, czy też obie liczby są równe, natenczas piszemy a = b, czytając: liczba a jest bądź większa, bądź równa, bądź mniejsza od liczby b.

10. Arytmetyka i algebra. Naukę o liczbach szczególnych nazywamy a r y t m e t y k ą , naukę zaś o liczbach ogólnych nazy­ wamy a l g e b r ą . Obie te nauki są to dwa działy umiejętności, zwanej m a t e m a t y k ą , podającej pewne prawdy o w i e l k o ­ ś c i a c h , l i c z b a c h i ich związkach.

Te prawdy są albo p e w n i k a m i albo o k r e ś l e n i a m i albo t w i e r d z e n i a m i .

11

.

przez się jest widoczną.

Pewnikiem w algebrze jest prawda następująca:

Każda liczba jest równa samej sobie. N. p. a = a .

O k r e ś l e n i e (definitio) służy do objaśnienia pojęcia no­ wego, wprowadzonego do nauki. N. p. E ó w n e m i nazywamy te liczby, które zawierają t ę s a m ą i l o ś ć jednostek.

T w i e r d z e n i e (theorema) jest prawdą, wyrozumowaną na podstawie pewników i określeń, lub także innych znanych już twierdzeń. Sposób uzasadniania twierdzeń nazywamy d o w o d e m (demonstratio). Twierdzeniem jest n. p. prawda następująca:

Jeżeli i

natenczas także a = b .

a = c b = c

12. Działania rachunkowe. Liczby dane możemy łączyć

rozmaitymi sposobami w tym celu, aby z nich otrzymać nowe liczby. Takie łączenia liczb nazywamy d z i a ł a n i a m i r a c h u n ­ k o w e mi . Liczby, z tych działań powstające, nazywamy w y ­ n i k a m i (resultata), a wykonywanie działań r a c h u n k i e m . Działania, wykonać się mające, wskazujemy za pomocą pewnych znaków um ów ionych, zwanych z n a k a m i r a c h u n k o w y m i . Takim jest n. p. znak + przy liczeniu.

Każde połączenie liczb ogólnych za pomocą znaków ra­ chunkowych nazywamy w y r a ż e n i e m algebraicznem.

13. Działania liczbami ogólnemi różnią się od działań

liczbami szczególnemi tern, że są tylko p r z e k s z t a ł c e n i a m i wyrażeń algebraicznych na inne. Prawidła, według których wykonywamy te przekształcenia, stanowią r a c h u n e k a l g e ­ b r a i c z n y .

14. Grdy wyrażenia algebraiczne lub wyniki działań wska­

zanych, mają być przy pewnem działaniu uważane jako nowe liczby, wtedy ujmujemy je w n a w i a s y rozmaitego kształtu, jak n. p. ( ) lub [] lub { }.

15. Wyrażenie algebraiczne, podające prawo łączenia liczb

celem otrzymania wyniku, nazywamy w z o r e m algebraicznym. Zastępując we wzorze algebraicznym liczby ogólne pewnemi liczbami szczególnemi, powiadamy, że wykonywamy p o d s t a ­ w i e n i e albo s u b s t y t u c y ę .

Wartość wyrażenia algebraicznego, uzyskana przez to pod­ stawienie , nazywa się w a r t o ś c i ą l i c z e b n ą wyrażenia.

16. Działania rachunkowe możemy podzielić na działania

p r o s t e (directae), wypływające wprost z liczenia, i na działania o d w r o t n e (inversae). Jako działania p r o s t e poznamy dwa działania głów ne: d o d a w a n i e i m n o ż e n i e i działanie w yższe: p o t ę g o w a n i e . Jako działania o d w r o t n e poznamy dwa dzia­ łania głów ne: o d e j m o w a n i e i d z i e l e n i e i dwa działania

R O Z D Z I A Ł I.

GŁÓWNE DZIAŁANIA PROSTE.

§• 1.

Dodawanie.

17. Suma dwu liczb. Z dwu liczb a i b możemy utworzyć

nową liczbę c, doliczając do jednostek jednej liczby po kolei wszystkie jednostki drugiej liczby. Działanie tego rodzaju na­ zywamy d o d a w a n i e m . L iczby a i b zowią się d o d a j n i - k a m i , a nowa liczba c, która zawiera tyle jednostek, co liczby

a i b razem wzięte, nazywa się s u m ą tych liczb.

18. A by otrzymać sumę liczb a i 6, możemy w myśl po­

wyższego objaśnienia postąpić dwojakim sposobem:

Albo 1° do liczby a doliczać kolejno jednostki liczby b, co oznaczamy wzorem a + 5, czytając: a w i ę c e j b (albo a p l u s b), gdzie + „ w i ę c e j “ (albo „ p l u s “) jest znakiem dodawania;

Albo 2° do liczby b doliczać kolejno jednostki liczby a, co oznaczamy wzorem 6 + a czytając: b w i ę c e j a (albo b p l u s a).

19. Obie sumy aĄ-b i b-\-a zawierają tę samą ilość jedno­

stek, mianowicie tyle, ile ich razem zawierają liczby a i b, są więc równe. Mamy zatem równość:

a + b = b + a , (2)

która wyraża p i e r w s z e prawo zasadnicze dodawania, zwane p r a w e m p r z e m i a n y d o d a j n i k ó w (lex commutationis):

Suma dwu liczb nie zależy od porządku dodajników.

ć w i c z e n i a I.

1. Dowieść, że 3 - b 5 = 5 + 3.

2. Dodajnikami są liczby p i g , jaką jest ich suma?

3. Jaką liczbę otrzymamy, jeżeli do t doliczymy 7 jednostek, a jaką, jeżeli do 7 doliczymy t jednostek?

4. Jak napiszemy liczby, następujące po m w szeregu naturalnym? 5. Jaką wartość ma suma (a-\-b) gdy: « = 147, 6 = 5 2 .

6 . Na wieloraki sposób możemy napisać sumę dwu liczb, zmie­ niając ich porządek; wypisać te sposoby.

20. Suma trzech liczh. Z trzech liczb a, b, c możemy utworzyć sumą, jeżeli utworzymy naprzód liczbą (a + 6), a na­ stępnie dodamy do niej liczbą c. Tak otrzymaną liczbą ozna­ czamy wzorem (a + 6 ) + e. Utworzywszy zaś naprzód liczbą (b + c) i dodawszy ją do liczby a, otrzymamy liczbą a + ( 6 d-c).

21. L iczby (a + 6 ) + e i a + (6 + c) zawierają tą samą ilość jednostek, mianowicie tyle, ile ich razem zawierają liczby a, b i c> są wiąc równe. Mamy zatem równość:

( « + &) + C = « + (& + C) (3)

wyrażająca d r u g i e prawo dodawania, zwane p r a w e m k o j a ­ r z e n i a d o d a j n i k ó w (lex associationis):

Jeżeli do jednej liczby dodamy kolejno dwie inne liczby albo też wprost ich sumę, otrzymamy jako wynik tę samą liczbę.

W n iosek : Porządek dodawania trzech liczb a, b, c nie wpływa na wartość sumy; oznaczamy ją wzorem: a + b + c.

ć w i c z e n i a II.

1. Jaką wartość ma suma a + 6 + e dla o = l , 6 = 1 9 , c = 2 5 . 2 . W yrazić słowami wzory następujące:

ccj a -j- (6 + c) = ( a 6) -j- c = (et -(- c) -|- 6 flj (a *j- 6) -j- c= {a + c) 6= a + (6 + c) i sprawdzić je, podstawiając a =7, 6 = 1 5 , c = 1 8 .

3. Do liczby 97 dodać sumę (m Ą-n ), gdzie wi = 13, w = 2 7 . 4. Do sumy liczb a i 6 dodać 15, jeżeli a = 8 5 , 6 = 7. 5. Obliczyć na trzy różne sposoby sumą (21 -{—12)-)—9. 6 . W jaki sposób najłatwiej obliczyć sumę ( 9 9 6 + 3 7 2 ) -[ -4 ? 7. Na ile sposobów możemy napisać sumę trzech liczb, zmieniając ich porządek ? W ypisać te sposoby.

22. Suma ilukolwiek liczh. Z ilukolwiek liczb danych: a, 6, c, d7 e, . . . . I, możemy utworzyć sumą, dodając do sumy (a+ 6) naprzód liczbą c, następnie do tak otrzymanej liczby (a + 6 ) + c] liczbą d, i t. d., dopóki nie dodamy ostatniej liczby l. Tak otrzymaną liczbą oznaczamy przez [ . . { [ ( « + 6 ) + c] + < ? } + . . . +ł ] , lub wzorem a + b + c-\-d-sr . . . + 1 bez nawiasów.

Takie wyrażenie, jak a + 6 + e + . . . + Z , nazywamy s u m ą w i e l o w y r a z o w ą , a każdy dodajnik jej w y r a z e m . W szczegól­ ności nazywam y sumą o dwu wyrazach d w u m i a n e m , sumą o trzech wyrazach t r ó j m i a n e m , ogólnie sumą o wielu w y­ razach w i e l o m i a n e m ; jeden wyraz nazywa się zaś j e d n o -

m i a n e m.

23. Na zasadzie dwu praw zasadniczych dodawania (art. 19. 21.) możemy w sumie wielowyrazowej, przez zmianą porządku

dwu dodajników po sobie następujących , zmienić dany porządek dodajników, bez zmiany wyniku. N. p. Z sumy a + b + c + d - lr . .

dojdziemy do a + c+ d -\ -b -{-. przestawiając naprzód 6 i c, skąd

dostaniemy a-\-cĄ-b+d-{-. . , a przestawiając tu b i d otrzymamy sumę a + c + d + b . . Stąd wynika twierdzenie:

Suma wielowyrazowa nie zależy od porządku jej dodajników.

Wniosek. Sumy wielowyrazowe dodaje się, dodając ich wyrazy w porządku dowolnym.

Przykład. (a + b + c ) + (m + n + p )—a + m JrbĄ-n + c + p .

24. Uwaga. W edług przyjętego zwyczaju piszemy wyrazy sumy w porządku alfabetycznym liter, jak a + b + c + d, przy użyciu zaś jednej litery o różnych wskaźnikach w naturalnym

porządku tych wskaźników, jak at + a 2+ « 3+ «4+ • • ■ •

ć w i c z e n i a III.

1. Obliczyć j[(a + Z») + c] + i7} dla a = 1, 6 = 2, c = 3, d = 4. 2. Do sumy a Ą -p dodać sumę 6 + 2 .

3. Podać sumę (t^ + a 4) + (a2 - f a 5) -j-(a 3 + a6).

4. Napisać sumę [a-\-x\-{-[yĄ-bĄ-z] w sposób najprostszy i spraw­ dzić oba wzory, podstawiając: a — 1, 6 = 2 , # = 3 0 , y = 14, 0 = 5 0 .

5. Na ile sposobów możemy napisać sumę czterech liczb, zmie­ niając ich porządek; napisać te sposoby.

25. Wielokrotność liczby. Jeżeli w sumie wielowyrazowej powtarza się jeden i ten sam dodajnik, natenczas piszemy go tylko raz, a przed nim kładziemy liczbę, która wskazuje, ile razy ten dodajnik powtarza się w sumie. N. p. a + a + a + a = 4 a ,

i ł. i m

ogólnie: a + a + a -f- . . . . Ą-a—ma

Liczbę szczególną 4 w wyrażeniu 4«, lub liczbę ogólną m, zastępującą w wyrażeniu ma pewną liczbę szczególną, nazywamy s p ó ł c z y n n i k i e m ; liczbę zaś ma nazywamy w i e l o k r o t n o ­ ś c i ą liczby a.

26. Jednokrotnością liczby jest liczba sama la —a, dlatego też spółczynnika 1 nie pisze się, tylko się go dorozumiewa. Dwukrotnością liczby a jest 2a, trzykrotnością Ba, ogólnie mkro- tnością liczby a jest ma. Wszelką wielokrotność jakiejkolwiek liczby, jak 2a, 56, mx, zaliczamy do j e d n o m i a n ó w .

27. Suma wielokrotności. Dwie wielokrotności tej samej liczby

dodaje si§ dodając ich spótczynniki. N. p. 5a + 3a=8a, ogólnie: ma+ na= (m+ n)a.

7 27.]

Dowód. Jakoż w wielokrotności ma liczba a znajduje się wraży jako dodajnik, a w wielokrotności na znajduje się ta liczba «razy,

a więc w icb sumie (w + «)ra z y jako dodajnik. A zatem:

n i a + n a = ( m + n ) a . (4) Z tej równości wypływa nawzajem równość:

( m + n ) a = 'i n a + n a .

To znaczy: Wszelką wielokrotność możemy przedstawić jako

sumę dwu wielokrotności, rozłożywszy je j spółczynnik na sumę dwóch liczb, które będą spółczynnikami tych wielokrotności.

28. A by dodać wyrazy, zawierające wielokrotności różnycb

liczb, należy dodać osobno wielokrotności tych samych liczb i na­ pisać jako sumę otrzymane wielokrotności tychże liczb. N. p.

4« + b -|- 5« + 4 b + a -j- 3 6 = 4 a + 5 « + « + 6 + 46 -1- Sb == 10 a -|- Sb. Zwykle ustawia się wyrazy, które mają być dodane, w ko­ lumnach tak, aby wielokrotności tej samej liczby, stanęły w je ­ dnej kolumnie: 4 « + b 5 « + 4 6 a+Sb Suma: 1 0«+ 86 ć w i c z e n i a IV.

1. Podać prostszą formę następującej sumy: « + 26+ 2 «+ 6.

2. Do 5 « dodać 46 i znaleść sumę dla « = 3 , 6 = 7 .

3. Jaką wartość ma suma 2« + 36 + 4c dla « = 1 , 6 = 2 , c = 3 ? 4. Znaleść następujące sum y: 5 « + 4a; (3«? + 4«/) + 3 x ; 86 + 76 + 5 6 ;

(3 «+ 2 6 ) + (36+ 2 « ) ; 5w + 9w + m ; 1 5 w + 1 2 m + 2 « + m .

5. Dodać wielokrotności: a j a'x + b x ; (J) my + n y ; y ) « , t-\-a2t;

ój a ^ + a ^ + a ^ ; e) a: y + a 2y + . . . . + any.

6 . Wielokrotność 5a przedstawić jako sumę dwu wielokrotności.

7. [(22x+ 13«/)+ 25«/]+ 38®=? 8. {p + (3 2+ 1)} + (3i>+1 )= ?

9. (5a + 36 + c) + (3« + 36 + 3c) + (a + 3 6 + 5 c)= ?

10. Dodać sum y: 3^ + 2yĄ-Z, 2x-\-2y Ą-2z, x - J 2 y ~ t - 3 z i sprawdzić wynik, podstawiając x = l , y — 2, Z—3.

11. a + 26 + 3c 12. a + 2 6 + 3c+ 4d

2 a + 6 + 2c 2« + 86 + 4c+ 5d

« + 6 + c 3« + 36 + 5e+9d

4 « + 56+ 6c + 7d

29. Tworzenie wyrażeń za pomocą dodawania liczi) ogól­ nych. Z liczby ogólnej a możemy otrzymać, powtarzając doda­

81.] 9 Z dwu liczb ogólnych a i b możemy otrzymać nadto sumę dwu wielokrotności, kształtu ma-\-nb, gdzie litery m i n zastę­ pują szczególne spółczynniki.

Z ilukolwiek liczb ogólnych a, b, c, d, . . . możemy przez dodawanie tych liczb i ich sum otrzymać nowe wyrażenia, które będą albo jednomianami kształtu: ma, albo dwumianami kształtu:

ma+nb, albo trójmianami kształtu: m a + n b+ p c, albo ogólnie

wielomianami kształtu: m a+nbĄ-pc+rdĄ- . . . .

Dwie sumy w ielow yrazowe, równe przy wszelkich warto­ ściach liczb ogólnych a, b, c, d, . . . . , które wchodzą w ich skład, nazywają się t o ź s a m o ś c i o w o r ó w n e . N. p. sumy:

2ti+5& -j- 4 c + Id i 5 & + 7 d + 4 c+ 2 $ .

Toźsamościowo równe sumy wielowyrazowe mogą się różnić tylko porządkiem wyrazów, liczby ogólne i przynależne im spół­ czynniki muszą być w obydwu sumach jednakie.

30. Twierdzenie. Równe liczby dodane do równych liczb, dają

równe sumy.

Jeżeli a = b

i c—d

natenczas także: a + c = b + d . Dlaczego?

ć w i c z e n i a Y.

1. Jakie liczby otrzymuje się za pomocą powtarzanego dodawania liczb u i v, gdy u = 5, v — l ; utworzyć takich 9 liczb.

2. Z liczb x, y, z, utworzyć za pomocą powtarzającego się doda­ wania nowe liczby i podać ich kształt ogólny. Napisz kilka takich liczb, gdy ¡8= 1, y = 3 , 0 = 5 ?

3. Czy są toźsamościowo równe sumy następujące :

a j { ( * + 2/) + 3«/} + [z + (2t/ + 5 a :) + 2/] + 3?/,

§J [{ (3 * + 4 y ) + 2 * } + 5y] + (2* + ? / ) .

4. Kiedy będą dwumiany axĄ-by i ax-\-fiy toźsamościowo równe? 5. Sprawdzić, czy są toźsamościowo równe sumy:

a j (* + 2«/ + 30) + (5 * + 6y + 70) + ( 9 * + l O ? / + l l 0), (i) (10* + 1 Ot/+ 100) + ( 4 * + 7«/+ 100) + (*+ t/ + 0).

§• 2.

Mnożenie.

31. Iloczyn dwu liczb. Z dwu liczb a i b możemy utwo­

rzyć nową liczbę c, kładac jedną liczbę tyle razy jako dodajnik, ile druga liczba jednostek w sobie zawiera. Działanie tego ro­ dzaju nazywamy m n o ż e n i e m . Liczba, wzięta kilka razy jako

dodajnik, nazywa się m n o ż n ą ; liczba zaś, która wskazuje, ile razy pierwsza liczba ma być wziętą jako dodajnik, nazywa się m n o ż n i k i e m . W ynik mnożenia dwu liczb nazywamy i l o c z y ­ n e m tycb lic z b , a liczby same c z y n n i k a m i iloczynu.

32. A by otrzymać iloczyn liczb a i 6, możemy w myśl powyższego objaśnienia postąpić dwojakim sposobem:

Albo 1° liczbę a wziąć tyle razy jako dodajnik, ile liczba

b jednostek w sobie zawiera; mówimy wówczas, że liczbę a

m n o ż y m y przez liczbę b, co oznaczamy wzorem a x b albo a.b albo ab (czytając : a p o m n o ż o n e p r z e z b lub krócej a r a z y b),

gdzie znak X lub . jest znakiem mnożenia.

Albo 2° liczbę b wziąć tyle razy jako dodajnik, ile liczba

a jednostek w sobie zawiera; mówimy wówczas, że m n o ż y m y

liczbę b przez liczbę a, co oznaczamy wzorem b X a albo b . a

albo ba (czytając: b p o m n o ż o n e p r z e z a albo b r a z y a). 33. Iloczyny ab i ba różnią się między sobą co do sposobu powstania, gdyż podług art. poprzedniego:

1 2 3 h .

a b = a + a + a + ... + a,

1 2 3 żt

ba=b-\-b-\~b-\- -i-ć, lecz co do wyniku są one równe.

Rozłóżm y bowiem każdą liczbę a na sumę jej jednostek i wypiszmy te sumy wierszami, a otrzym am y:

i ł, Ł

¿-ab= a~\- a + a + ...-]- a=

i 3. i i.

= 1 + 1 + 1 + ... + 1 ' (lszy wiersz)

+ 1 + 1 + 1 + ... + 1 (2gi wiersz)

-(-1 + 1 + 1 + ... + 1 , (3ci wiersz) (A)

+ 1-J-1 + 1 + ... + 1 . (ćty wiersz)

Zliczając ten zbiór jednostek kolumnami, otrzymamy:

1 2 3

a b = b b b Ą - . . . Ą-b—ba.

Mamy zatem równość:

a b = b a , (5)

która wskazuje, że mnożną możemy przemienić z mnożnikiem i wyraża p i e r w s z e prawo zasadnicze mnożenia , zwane p r a ­ w e m p r z e m i a n y c z y n n i k ó w (lex commutationis):

34. W szczególności m am y: a . l = l . « = a ; 1. 1 = 1, co dowo­ dzi, że wszelka liczba pomnożona przez 1 jest równa sobie samej. U w a g a . Liczbę ogólną, mnoży się przez liczbę szczególną, pisząc liczbę szczególną jako spółczynnik przed liczbą ogólną; n. p. a . 5 = 5 a .

ć w i c z e n i a VI.

1. Dowieść, że 3 . 6 = 5 . 3.

2. Mnożną jest liczba p, mnożnikiem q, jaki będzie iloczyn? 3. Jaki iloczyn otrzymamy, jeżeli liczbę t pomnożymy przez 7, a ja k i, jeżeli 7 pomnożymy przez liczbę t ?

4 . Pomnożyć a przez 3, b przez 1, c przez 4.

5. Ktoś oszczędza rocznie m z łr .; ile oszczędzi przez W lat? Jako przykład: » » = 2 5 0 , n — 8 .

6 . Na ile sposobów możemy napisać iloczyn dwu liczb, zmieniając icb porządek? Napisać te sposoby.

35. Iloczyn trzech liczb. Z trzech liczb «, 5, c, możemy

utworzyć iloczyn, mnożąc liczbę aprzez b, a otrzymany iloczyn

ab przez c. Liczbę tak otrzymaną oznaczamy wzorem (a b ) ,c .

Utworzywszy zaś naprzód iloczyn bc i pomnożywszy przezeń

liczbę a, otrzymamy liczbę a . (be).

36. Iloczyny (ab).c i a. (be) mają jednakową wartość. Jakoż

iloczyn ab oznacza sumę b dodajników równych liczbie a ; ten

iloczyn przez c pomnożyć znaczy: ową sumę ab wziąć c razy

jako dodajnik i ze wszystkich tych dodajników utworzyć sumę. Będzie zatem : L Ł J Z ( a b ) . c = a b + a b + a b + Ą - a b = 1 2 3 ć = a + a - b « + ... + « (lszy wiersz) + a + a + « + ... + « (2gi wiersz)

-j-a-]ra-j-a-f~. . . ~\~a. (Uy wiersz)

W jakimkolwiek porządku będziemy dodawali liczby a, otrzymamy zawsze tę samą sumę.

Dodając liczby a wierszami, otrzymujemy sumę:

i ' 1 Jl Z

a b + a b + a b + ... + a b = (a b ) .e;

dodając zaś liczby a kolumnami, otrzymamy sumę:

i ł, t t

acĄ-acĄ-acĄ-...+ a c —(ac).b.

Mamy zatem rów ność:

mamy ich razem bc, a ż e :

i ł. i. JS

a -\ -a + a + ... + a = a ,(b c ),

mamy więc równość:

(a b ). c = a . (bc), (6)

wyrażającą d r u g i e prawo mnożenia, zwane p r a w e m k o j a ­ r z e n i a c z y n n i k ó w (lex associationis):

Jeżeli jedną liczbę, pomnożymy kolejno przez dwie inne, albo też wprost przez ich iloczyn, otrzymamy jako wynik tę samą liczbę.

W niosek: Porządek trzech czynników a, b, c nie wpływa na wartość iloczyn u ; oznaczamy go wzorem : abc.

r

Ć w i c z e n i a VII.

1. Jaką wartość ma iloczyn abc dla a = 2, 6 = 3 , c = 4 . 2. Wyrazić słowami wzory następujące :

a ) a .(b c)= (a b ).c= (a ć).b ; ¡3J (a b ).c= (a c).b = a .(b c). 3. Pomnożyć liczbę 25 przez iloczyn liczb 4 i 7.

4 . Pomnożyć iloczyn liczb 9 i 15 przez 8 . 5. Obliczyć na trzy sposoby iloczyn: ( 3 . 4 ) . 5. 6 . Obliczyć w najprostszy sposób iloczyny:

CtJ ( 2 5 . 9 ) . 4 ; /?) ( 2 8 7 .1 2 5 ) . 8 ; y j ( 7 . a ) . 4; 6 ) ( a . 19).8.

7. Na ile sposobów możemy napisać iloczyn trzech liczb, zmie­ niając ich porządek ? Wypisać te sposoby.

38. Iloczyn ilukolwiek liczb. Z ilukolwiek liczb danych

a, b, c, d , . . . , I możemy utworzyć ilo czy n , mnożąc naprzód

liczbę a przez b, otrzymany iloczyn ab przez c, następnie tak otrzymany iloczyn (ab).c przez d i t. d., dopóki nie dojdziemy do ostatniej liczby l. Tak otrzymany w końcu iloczyn ozna­ czamy przez [ . . . {[(a&) .c] . d } . . J], lub przez abed.. I bez nawiasów. 39. Na zasadzie dwu praw zasadniczych mnożenia (art. 33. i 37.) możemy w iloczynie ilukolwiek licz b , przez zmianę po­ rządku dwu czynników po sobie następujących, zmienić dowolnie porządek czynników bez wpływu na wynik. N. p. Z iloczynu

abcd.. dojdziemy do iloczynu acdb. ., przestawiając naprzód b i c,

skąd dostaniemy acbd.., a przestawiając tu b i d, otrzymamy iloczyn acdb. . Stąd wypada twierdzenie:

Iloczyn ilukolwiek liczb nie zależy od porządku, w którym mnożymy jego czynniki.

W niosek: Iloczyny mnoży się przez iloczyny, mnożąc ich czynniki w dowolnym porządku; n. p. abc.mnp—ambncp.

40. Uwaga. "Według przyjętego zwyczaju piszemy czynniki

ogólne w porządku alfabetycznym liter, jak a b c d . . . . , przy

użyciu zaś jednej litery o różnych wskaźnikach w naturalnym porządku tych wskaźników, jak' a1« 2a3a4...

Jeżeli między czynnikami iloczynów znajdują się liczby szczególne, natenczas należy naprzód utworzyć iloczyn liczb szczególnych, a następnie dopisać za nim iloczyn liczb ogólnych; n. p. 4 a.36.5c= 4.3.5.a6c= 60cj& c.

Wszelką wielokrotność iloczynu dwu lub więcej liczb za­ liczamy także do j e d n o m i a n ó w .

ć w i c z e n i a VIII.

1. Obliczyć wartość iloczynu: | [ ( a .6) . c ] . d } . e , dla a = l , 6 = 2 , c = 3 , d = 4 , e = 5 .

2. Iloczyn ab pomnożyć przez iloczyn cd, dla a = 8 , 6 = 1 2 , C = 1 2 5 , d = 7.

3. Napisać prościej iloczyn: a±a2 . a . a 6 . a 3a4 jakoteż ax.y b z . 4. Pomnożyć ha przez 76 i znaleść wartość iloczynu, podstawia­ jąc w nim a = 3, 6 = 4 .

5. Wykonać następujące mnożenia: a j 2 a . 3 6 . 4 e ; @J 8 x . 7 y . 5 z ; yj 5 m . 9 n . p ; 6J 8 r . 2 s . 8 t ; ej Sa. 6 . 2 c . h x . 6 y . 7z.

6. Na ile sposobów możemy napisać iloczyn czterech liczb a, 6,

C, d, zmieniając ich porządek? Wypisać te sposoby.

41. Potęga liczb y . Jeżeli w iloczynie powtarza się jeden i ten sam czynnik, natenczas piszemy go tylko ra z , a obok niego u góry umieszczamy liczbę, która wskazuje, ile razy

miał być powtórzony. Tak n. p. piszemy: a . a . a . a . a = a5, ogólnie:

1 2 3 m

a . « . a ___a = a m, (czyt. a do mtej).

Iloczyn równych czynników, oznaczony przez am, nazywa

się p o t ę g ą , czynnik powtarzający się a z a s a d ą , a liczba m,

wskazująca ilość równych czynników, zowie się w y k ł a d n i ­ k i e m p o t ę g i albo krócej w y k ł a d n i k i e m .

43. Pierwszą potęgę liczby a jest liczba sama a 1= a , dla

tego też wykładnika 1 nie pisze się, tylko się go dorozumiewa.

Druga potęga a . a — a2 nazywa się także k w a d r a t e m , trzecia

potęga a . a . a = a z także s z e ś c i a n e m l i c z b y a.

Dla wyższych potęg nie ma podobnych nazw osobnych;

ogólnie mta potęga liczby a nazywa się także p o t ę g ą m g o

s t o p n i a , a obliczanie mtej potęgi liczby a nazywamy p o d n o ­ s z e n i e m t e j l i c z b y d o wtej p o t ę g i .

Napisać: 2. Piątą potęgę liczby n i »tą potęgę liczby 5. 3. ¡etą potęgę liczby 3 i trzecią potęgę liczby x. 4 . ptą potęgę liczby ą i #tą potęgę liczby p.

5. Jak oznaczamy potęgę, jeżeli zasadą jest x, wykładnikiem y ? 6 . Obliczyć: a j kwadraty, (3) sześciany liczby a. ( a = l do 10). 7. Obliczyć wte potęgi liczb 2 i 3, od m = 1 do m = 5.

8 . Oblicz , ilu miałeś dziadków, ilu pradziadków, ilu pra-pradziad- ków i t. d. aż do dziesiątego stopnia.

9. Obliczyć: 2 n, n 2, 3 », w3, 4 w, w4, dla » = 5 .

10. Dla x = 2 , y = 5 obliczyć: a j 3x, x 3 i 3 * ; [3J 4y, y 11 i 4^; yj xy, xv i yx.

II. Przypuściwszy, że a = 1, b—2, c = 3 , znaleść liczebną wartość następujących wyrażeń:

a j a2, &2, c2, ab, ac, bc-, (3J ab2, a2b, ac2, a 2e, 6c2, b2c ;

yj a-bc, ab2c, abc2, a262, a2c2, &2c2; dj ab, 6“, ac, c“, 6°, cs.

43. Iloczyny potęg. Potęgi tej samej zasady mnożymy, doda­ jąc ich wykładniki. N. p. as.a 5= a 8.

W zór ogóln y: am.an= a m+n.

Dowód. Jakoż w potędze a™ liczba a powtarza się mrazy jako czynnik, w potędze an zaś wraży, a więc w iloczynie am.an powtórzy się (m + w) razy, a zatem:

a m. a n= a m+n. (7)

Z równości tej otrzymujemy nawzajem równość:

a m+n= a m. a n.

To znaczy: Wszelką potęgę możemy przedstawić jako iloczyn

potęg o tej samej zasadzie, rozłożywszy jej wyldadnik na dodajniki, które będą wykładnikami tychże potęg.

44. A by pomnożyć iloczyny, zawierające potęgi różnych, zasad, należy pomnożyć potęgi każdej poszczególnej zasady i napisać jako iloczyn otrzymane potęgi tychże zasad.

Przykład. a 4 .b .a 5 .b k .a .b 3= a i .a 5 .a .b ,b i .b 3= a i0b8. Ć w i c z e n i a X.

1. Wykonać mnożenia: aj x kx5 ; z 2z8\ yj au.av; ój <?.c.

2 . Pomnożyć : a j 2x2 przez 4x3; ¡3J 4 a B przez 3 a 4 ; yj 8xs przez 2x3. 3. Potęgę a 5 przedstawić jako iloczyn dwóch potęg.

4. Pom nożyć: aj 4a3b2 przez 7 a 4&3 ; ¡3J 1 2 z 2^ 3 przez 4x 3y 5', yj 8a5b3c2 przez 3a2bhc3\ ój 1xy3z2 przez 4x 3yz2.

5. Dowieść prawdziwości następujących wzorów i wyrazić je sło­ wami: aj (am)n—amn; ¡3) amn= ( a m)n; yj (am)n= {a n)m.

47.] 15

7. Dowieść ż e : a j am,bm— (ab)m; fi) {ab)m= a m.bm.

8 . Obliczyć potęgi: a j (2x'2y 3gl1) 2 ; {¡J (3 a 36 2c)2; y j (2x y 2g3) 6. 9. 2 a 3b.a& 4. 5 a 4&2c.a& 4c2d = ?

10. x 2y 3.x 3y 5. « V 4.a;3y 4= ?

1 1. Przedstawić w formie potęg następujące iloczyny: a j a 3 . b 3 ;

fi) x m. ym; y) p 2. ^ 2 ; ó) w4. » 4. w 4.

12. Obliczyć kwadraty następujących jednomianów: o j 7iC2 ;

$ ) 5 a 5£>2 ; y) 8 a 66c3 ; <5) 8 a 26 6c4d 2.

13. Napisać w najprostszej postaci następujące iloczyny:

a l (a;6«/). (4a:t/2) . (2x2y B) ; /?) xy3z3. x ‘iy sg .x 3yg2.

22 2^

1 4. Która potęga ma większą wartość, czy (2 2) czy 2 2 .

45. Tworzenie wyrażeń za pomocą mnożenia. Z liczby ogólnej a możemy otrzymać, powtarzając mnożenie, tylko potęgi liczby a, jako to : a, a 2, a 3. . . . a m.

Z dwóch liczb ogólnych a i b możemy, otrzymać nadto

iloczyny dwóch potęg kształtu: ambn, gdzie litery m i n zastę­

pują wykładniki liczebne.

Z ilukolwiek liczb danych a, b, c, d, . . możemy przez mno­

żenie tych liczb i ich iloczynów otrzymać wyrażenia, które będą albo pojedynczemi potęgami w postaci: a™, albo iloczy­ nami dwu lub więcej potęg o różnych zasadach w postaci: ambn, ambncP, ambncPdr, i t. d.

46. W szelki iloczyn potęg zaliczamy także do j e d n o ­ m i a n ó w (art. 40.). N. p. 4a 2b 3c.

S t o p n i e m j e d n o m i a n u nazywamy sumę wykładników wszystkich czynników jednomianu, przyczem nie liczy się spół- czynników. N. p. Jednomian 4a'-ć3c jest (2 + 3 + l)go, czyli 6go stopnia.

Dwa jednomiany, różniące się tylko spółczynnikami, na­

zywamy r ó w n o i m i e n n y m i n. p. 4a2óc, 6 a 3bc, a 2bc, i t. d.

Takie dwa jednomiany możemy porównać między sobą także co do w ielkości, nie znając szczególnych wartości ich zasad. N. p. 8 a b 3c]> 4aó2e.

Jeżeli dwa jednomiany są równe przy wszelkich wartościach

zasad a, b, c, d, . . , wchodzących w ich skład, wtedy są one

tożsamościowo równe. N. p. 3a 2bac td'1i 3b 5d 1c ia ‘i.

Tożsamościowo równe jednomiany mogą się różnić tylko porządkiem czynników, zasady i wykładniki tych samych zasad muszą być w obydwóch jednomianach równe.

47. Twierdzenie. Równe liczby pomnożone przez równe liczby

i c = d

natenczas także: a c— bd. D laczego?

ć w i c z e n i a X I.

1. Jakie liczby otrzymuje się zapomocą powtórzonego mnożenia liczb u i v? ( m = 5, v = 7 ). Utworzyć kilka n. p. 9 takich liczb.

2. Z liczb x, y, Z, utworzyć zapomocą mnożenia nowe liczby i podać ich kształt ogólny. Przykład: x = 2 , y = 3, Z = Ł .

3. Jaką wartość liczebną mają wyrażenia: ambn, ambncp, ambnCpdr, dla a — 1, 6 = 2 , c = 3 , e?= 4, m = 4 , n = 3 , p — 2, r — 1.

4. Z liczb a i 6 utworzyć jednomiany 2®°, 3 ®° i 4®° stopnia. 5. Jakiego stopnia jest iloczyn x iy i, ile jednomianów tegoż sto­ pnia da się utworzyć z liczb x i y ?

6 . Czy są toźsamościowo równymi iloczyny:

a) ( x y . y 3) . [ x . y ix 5. y ] . y 3-, fi) (a;3# 4.# 2)^3. » 2«/.

7. Pod jakimi warunkami dają oba iloczyny x m, y n i Xu , y v dla wszelkich wartości liczb x i y jednakowe wyniki?

8 . Podać kształty jednomianów 4 g0 stopnia, w które wchodzić mogą x, y, z, i wyznaczyć, ile jednomianów należy do jednego kształtu? Odp. (3, 6 , 3, 3).

9. Podać kształty jednomianów 3 g0 stopnia, w które wchodzić mogą liczby a, 6, c, d, i wyznaczyć, ile jednomianów należy do jednego kształtu? Odp. (4, 12, 4).

§• 3.

Dodawanie w połączeniu z mnożeniem.

48. Mnożenie sumy. Sumę (a+ b ) pomnożyć przez liczbę c

znaczy: utworzyć sumę, w którejby liczba (a+ 6 ) powtarzała się c razy jako dodajnik. W tej nowej sumie będzie powtarzać się tak liczba a , jakoteż liczba b , po c razy jako dodajnik, jej wartość będzie zatem ac + bc, otrzymujemy więc równość:

(a + b ) c = a c + b c , (8)

wyrażającą t r z e c i e prawo zasadnicze mnożenia, t. z. prawo r o z ł ą c z a n i a d o d a j n i k ó w (lex distributionis):

Sunie mnoży się przez liczbę, mnożąc Tcażdy dodajnik przez tę liczbę, i dodając otrzymane iloczyny.

49. Ponieważ porządek czynników nie wpływa na wartość

iloczynu (art. 33.), przeto będzie:

c . (« + & )= (« + & ).c, a że (art. 48. i 33.): (a -j-6 ).c = a c + 6 c = c a + c 6 ,

A ^atem: Liczbę mnożymy przez sumę, mnożąc tę liczbę przez

każdy wyraz sumy i dodając otrzymane iloczyny.

50. Z prawidła (a-\-b)c=ac-\-bc wypada na odwrót:

ac-\-bc={a+b)c,

a że (według art. 33.): (a-\-b)c=c(a-\-b), zatem otrzymujemy

równości: a c Jr b c = c ( a + b ) = ( a + b ) c ,

wyrażające następujące praw idło:

Iloczyny o wspólnym czynniku dodajemy, mnożąc czynnik wspólny przez sumę czynników nieicspólnych.

To oznaczone mnożenie nazywa się zwykle w y ł ą c z a ­ n i e m w s p ó l n e g o c z y n n i k a p r z e d l u b z a n a w i a s .

U w a g a . Powyższe trzy reguły (art. 48., 49. i 50.) stosują się także do sum wielowyrazowych czyli wielomianów. N. p. W yrazy wielomianu: 1 5 a x + 185#+27cx - f 3x mają wspólny czynnik

3x, zatem: 15aa;+18&a:+27ca;+3a;=3a:(5a+66 + 9 c + l).. ć w i c z e n i a X II. 1. (m + n )p = ? 2. ( # + i ) y = ? 3. (x + y ). 7 = ? 4. ( a - f 5 ) . 1 3 = ? 5. x(a + b )= ? 6 . y .(y + 1 ) = ? 7. z(x-f 5 ) = ? 8 . 1 2 ^ + 8 ) = ? 9. (a+b-i-ć) ,m = ? 10. a {x Ą -y + z )= ‘t 11. {xx + #2 Ą-xz + # 4) . »w=? 12. ( # 2 + 2 * + ] ) . # = ? 13. (3:c2- f 4 # - j - 5 ) . 2 # 2= ? 14. (a:2+ xy+ y 2) .x y = ? 15. \x2Ą-x'2yĄ-xy2Ą-y2) x 2y 2= ? 16. ( 5 a 5+ 7 a 3 + 8 a + 5 ). 6 a 3= ?

17. (6 4 + 8 6 3+ 7 6 24 - l l 6 + 5 ) . 7 6 = ?

18. (5 »4-(- 7a3 + 5a2x 2 + 2a3i: + 4a4) . 5ab2x z= ?

19. 2xy2 .(8 x5y 10-Jr 7x?,y e-\-4x‘iy !t-Jr3 xy2)—?

2 0. 5xy3z3(9x2y 2z2-]r lx y 3z‘i Ą-Axz5) = ?

2 1 . Wyłączyć wspólne czynniki w następujących wyrażeniach:

a) 3a-l-3ó. (3) abĄ-bp. y) {a-\-b)x-\-cx. ó) xyĄ-xz. e) a2-\-ab. ę) (»»+ 1 )x-\-mx.

51. Iloczyn dwu sum. Sumę mnożymy przez sumę, mnożąc

wszystkie wyrazy mnożnej przez każdy wyraz mnożnika i dodając otrzymane iloczyny.

Dowód tego twierdzenia polega na prawidłach poprzedzają­ cych. Jakoż mając pomnożyć (a + 6) przez [cĄ-d), uważajmy sumę (a + 5) jako liczbę, a otrzymamy równość następującą:

[a+ 5)(c+ d )= (a + b)c+ (a+ b)d,

a że podług art 48.:. (a-{-b)c=ac-\-bc i (a-\-b)d=adJrb d ,

zatem: ( a - \ - b ) ( c + d ) = a c + b c + a d + b c l . (9)

Sumy (ac-\-bc) i (ad-\-bd) nazywamy zwykle c z ę ś c i o w y m i iloczynami.

52. Jeżeli w tak otrzymanym iloczynie znajdują się niektóre ■wyrazy r ó w n o i m i e n n e , wówczas łączymy je w jeden wyraz.

Przykład. (5a + 3i + c).(fl + & + ‘2 c)=

—5a2+ 3 a6+ ac+ 5a& + 362+ 6 c+ 1 0 a c + 6&c+‘2c2 = 5a2+8a6 + l l « c + 3 J 2 + 7 5c+ 2c2.

Przy takiem mnożeniu sum wielo wyrazowy cli najdogodniej jest częściowe iloczyny wypisywać wierszami ta k , aby wyrazy r ó w n o i m i e n n e znajdowały się w jednej kolumnie, jako to :

(5 a + 3 ć + c ) ,(a + ć + 2 c)=

5a2-\-3ab-\- ac

+ 5 ab + 3 b2+ b c

4-10ac + 6 ć c + 2c2

5a2+ 8 a ć + l l ac + 3ć2+ 7 ćc-l-2 c2.

53. Ażeby ułatwić sobie przegląd iloczynów częściowych i odrazu ułożyć wyrazy równoimienne w tej samej kolumnie, na­ leży przed wykonaniem mnożenia stosownie u p o r z ą d k o w a ć wyrazy danych wielomianów. W tym celu obieramy pewną liczbę ogólną, wchodzącą do kilku wyrazów, jako zasadę i p o r z ą d k u ­ j e m y wyrazy p o d ł u g p o t ę g r o s n ą c y c h t e j ż e z a s a d y :

(3a2+ 2 a ć + 5 ć2).(a 2 + 4a& + 62) = 3a4+ 2a3b-\- 5a2b2

+ 12a3ć + Sa2b2+ 2 0a b 3 + 3a2ć 2-f 2«&3+ 1 0 5 4 3a4+ i 4 « 36 -b l6 a 2ć 2 + 22aż»3 + 1064. ć w i c z e n i a X III. I. ( * 4 - 1 ) . (« + 2 ) = ? ' 2. (« + a).(aj + 6)— ? 3. ( l + a 2) . ( l + ć 2) = ? 4. ( a 2 + Z«2) . ( c 2 + d 2) = ?

5. (3a4 + 5a3ć 2).[2a&3+ 4 6 4) = ? 6. {x2Ą-y2) . (a;3 -{- 3) = ?

7. Pomnożyć przez ( « + & ) następujące wielomiany:

a2Ą-abĄ-b2, a 3 + « 2ć + a62 + 63, a4 + a36-)-a262 + a63 + 64. 8 . Pomnożyć 1 -\-2x-\-2x2 przez 1 4 - 4 * 4 “ 5 * 2.

9. ( * 34 - 3 * 24 - 3 * 4 - l ) . ( * 24- 2 * - | - l ) = ? 1 0 . ( 4 * 24- 2ax-{~a2). ( 2 * - f a ) = ?

I I . ( 2 * 24-4&*4-3&2). (2 * 4 -3 & )= ?

12. (5a4+ 2a3ć + a262) . (a3 + 4a26 + 263) = ?

13. 0 > + l ) . ( a ; + 2 ) . 0 + 3 ) = ? 14. (z + a ) . ( x + b ) . (*-|-c) = ? 15. Ile wyrazów otrzyma się w rozwiniętym iloczynie:

(«1 + “2) •(*! +^2 + ^3) • (C1 "hc2 + C3 + c4) = ?

16. ( 3 * 34- 2 * 24 - * + l)(:r 24“ 2 * 4 -4 )-| -(:» 34“ 2 * 34 - 3 * 24 -:r -l-5 ) ( * 4 - 1 ) = P 17. * 34 - 2 * 2y 4 - 3 * { 2 * 2 + t y [ * 4 - y ] - f ( 4 * + 3 « /) * } = ?

54. Kwadrat i sześcian sumy dwuwyrazowej. Opierając się na prawie mnożenia sum otrzym am y:

55.] 19 1. (a + 6)2= (a + &).(a + & )=a2+ ab

+ ab + b2

a2+2ab-\-b2,

a zatem: (a + 6 )2= a 2+ 2 a & + 6 2. (10)

To znaczy: Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie,

składającej się z trzech wyrazów, a mianowicie z kwadratu pierwszej liczby, z podwójnego iloczynu obu liczb i z kwadratu drugiej liczby.

2

.

+

=

= a 3 + 2a26 + ab2 + a2J+2a&2+& 3 a 3+ 3 a 3J + 3 a 6 2+ 6 3,

a zatem: (a + 6 )3= « 3+ 3 a 26 + 3 a 6 2+ 6 3. (11)

To znaczy: Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sumie,

skradającej się z czterech wyrazów, a mianowicie z sześcianu pier­ wszej liczby, z potrójnego iloczynu kwadratu pierwszej liczby przez drugą, z potrójnego iloczynu pierwszej liczby przez kwadrat drugiej i z sześcianu drugiej liczby.

ć w i c z e n i a X IV .

1. (a + 26)2= ? 2. (3a+-26)2= ? 3. (5a + l ) 2= ?

4 . Obliczyć kwadraty dwumianów: a) # + 1 ; fi) xĄ-a; y) ax-\-b; ó) 4x-\-y; e) 3ic+4a,- ’Q) 1 + a2.

5. (ie + l)3= ? 6. (xĄ-y)3= ? 7. (a;+2y)3= ? 8. (2x + y ) 3= ?

9. Obliczyć sześciany dwumianów: a) a-\-2b; (i) 2a-\-b; y) 2aĄ-9b; ó) 3a + 26; e) 1-J-a2.

10. (3tf + 4a)3= ? 11. (« 2+ y 2) 2= ? 12. (x‘2+ y 2) 3= ?

13. (m-|-0)2. (m2 + 2£c-+- 1)==? 14. (a z+ ^ )2.(a 2;c2 + t/2) = ?

15. (2x-\-3y)2(4«2 + 9«/2) = ? 16. (a:+i/)4= ? 17. (2a + 6)4= ?

55. Kwadrat sumy wielowyrazowej. Opierając się na wzo­

rze, wyprowadzonym dla kwadratu sumy dwuwyrazowej, znaj­ dziemy wzór na kwadrat sumy wielowyrazowej:

1. (a + 6 + c)2==[(a+&) + c]2==(a-|-&)2 + 2(a + 6)cd-c2= = a 2 + 2a&-]-&2 + 2(<i+&)c + c2= a 2 + &2 + c2 + 2a6 + 2«c + 2&c. 2. (a + & + c + d )2= [(a + & + c) + d]2=

= (a + 5 + c)2 + 2(a + & + c ) d - ł - =

= ( a + J ) 2+ 2 ( a + & ) c + c 2+ 2 ( a + & + c ) d + d 2= ' = a 2+ 2 a & + ^ 2+ 2 ( a 4 - 6 ) c + c 2 + 2 ( a + & + c ) d + d 2=

= a 2 f 62 + c2+ d 2+2a& + 2ac+2aiZ-]-2&c-l-2M+2cd, skąd dostrzegamy prawidło: