13G. Podzielność wyrażeń całkowitych. Jeżeli iloraz dwu
liczb całkowitych a: b jest liczbą całkowitą, powiadamy w ów czas, że liczba a jest p o d z i e l n a przez liczbę b. Liczbę a na zywamy w i e l o k r o t n o ś c i ą liczby b, a liczbę b p o d z i e l n i k i e m albo m i a r ą liczby a.
Te same określenia odnoszą się do całkowitych wyrażeń algebraicznych, jednomianów i wielomianów.
Jeżeli iloraz dwu wyrażeń całkowitych A : B jest nowem wyrażeniem całkowitem C, powiadamy wtedy, źe wyrażenie A
139.] 57
jest podzielne przez wyrażenie B. Nazywamy też wyrażenie A w i e l o k r o t n o ś c i ą wyrażenia B, a wyrażenie B p o d z i e l n i k i e m albo m i a r ą wyrażenia A.
187. Twierdzenia zasadnicze o podzielności liczb. 1° Wszelka, liczba jest podzielną przez jednostkę.
Mamy bowiem : a—a. 1, zatem: a : l —a.
2° Wszelka liczba jest przez siebie samą podzielną.
Z równości: a = a . 1 wypływa bowiem także: a : a = 1.
3° Jeżeli liczba a jest podzielną przez ilczbę b, a liczba b
przez liczbę c, natenczas tąkże liczba a jest podzielną przez liczbę o.
Jeżeli bowiem a—ba, a b—c(l, gdzie a i ¡3 są liczbami cał- kowitemi, natenczas a—cfi.a, czyli a—c.afi. a więc a : c —a@, czyli liczba a jest podzielną przez liczbę c.
138. Liczby pierwsze i liczby złożone. Liczba, która tylko przez 1 i przez siebie samą jest podzielną, nazywa się liczbą p i e r w s z ą ; liczba zaś, która także przez jakąkolwiek inną liczbę jest podzielną, nazywa się l i c z b ą z ł o ż o n ą .
Twierdzenie. Jeżeli liczba a nie jest podzielną przez żadną
z liczb 2 , 3 , n , przyczem n 2 > a, wtedy jest a liczbą pierwszą.
Dowód. Gdyby liczba a nie była w tych warunkach liczbą pierwszą, wtedy byłaby podzielną przez jakąś liczbę c, różną od 1 i od a. Mielibyśmy wówczas a = c .d , gdzie także liczba d byłaby liczbą całkowitą, różną od 1 i od a. L iczby c, i d musiałyby wreszcie według założenia być różne od liczb 2, 3, . . , n, a więc każda z nich byłaby większa od n ; ich iloczyn
c .d —a byłby zatem większy od n.n, czyli od w2, a zatem także
większy od a, co być nie może, gdyż c .d —a. Liczba a nie ma jąca podzielników między liczbami 2, 3, 4,. ,,n, przyczem w2> a
nie może mieć zatem żadnych podzielników, czyli jest liczbą pierwszą.
Przykład: Liczba 89 nie jest podzielną przez żadną liczbę od 2 do 10, a że 102= 1 0 0 , a 100 > 8 9 , przeto liczba 89 jest liczbą pierwszą.
Liczbami pierwszemi są następujące liczby szeregu natu ralnego: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101 i t. d.
139. Znamiona podzielności liczb całkowitych. A by się
przekonać, czy liczba a jest podzielną przez b, należy wogól- ności wykonać dzielenie liczby a przez liczbę b i wyznaczyć resztę, jaka z dzielenia wypada.
kiem podzielności liczby a przez liczbę b. Dla liczb szczególnych
możemy wyprowadzić ogólne z n a m i o w a p o d z i e l n o ś c i
liczb, dzieląc przez przyjęty dzielnik wielomian:
L = a ” . 10” + . 10n_1+ ...+ a2. 102 + a, .1 0 + a 0,
w postaci którego możemy przedstawić wszelką liczbę całkowitą
wielocyfrową, rozumiejąc przez o0, a„, liczby szeregu
cyfr 0, 1 . . ., 9. Tak n, p. liczbę 5702 możemy napisać w po staci wielomianu: 5 .1 0 3+ 7 . 1 0 2+ 0 .1 0 + 2 , a to przedstawia wła śnie postać wyżej przytoczoną.
140. Przyjmijmy, że chcemy wyprowadzić znamię podziel
ności liczby L przez pewną liczbę a.
Podzielmy liczbę L przez a w ten sposób , że w każdym jej dodajniku kształtu ar. 10r podzielimy czynnik 10r przez a, wtedy otrzymamy:
101 ri 102 r2 10” rn _
a = q i + ~cc' (D)
gdzie ilorazy qi , q2, . . . q„ wyrażają liczby całkowite, otrzymane z podzielenia jednostek 1®°, 2s°, . . . , ngo rzędu, jako to : 10 ^
102, ... 10”, przez a ; r2, . . . r„, oznaczają zaś reszty po
zostałe z tego dzielenia. W takim razie będzie:
L 10” , 10”- 1 , 102 , 10 — = « » ' • a a 1 • a b • ■ • + i * 2 •---•--- b ^ o ^ ”a a — ® n ( ć L n ^ r - ^ j - \ ~ a n — \ [ ( j L n - i "I k + . • • + + « 2 t + " ) + a i ( ? i + ^ ) + 5 ’ L czyli —= anqn + « „ - j qn- 1 + . . . + a 2q2+ a i qi + | 0 ’r X n J T ^ n — n — 1 4~ • • ~ b ^ 2 r 2 J T a \ r \ + a 0 q j P a a ’
gdzie Q,=a„qn+ . . . . + a^qu E = a „ r „ + --- + «!»■ ,+ o 0.
Z wywodu powyższego wynika, że liczba L jest podzielna, przez a, jeżeli suma anrnJr an^ i rn^ t + . . . -b «2r2 + airi + ao j e s t podzielna przez a.
To znaczy: Liczba L jest podzielna przez a, jeżeli suma ilo
czynów, otrzymanych z pomnożenia poszczególnych je j cyfr przez te reszty, które powstają z podzielenia przez a odpowiednich jednostek poszczególnych rzędów, jest podzielna przez liczbę a.
142], 5 9
141. W szczególności otrzymamy według (D), dzieląc ko
lejno potęgi liczby 10 przez rozmaite a, następującą tabliczkę:
Dla a = 2, B, 4, 5, 8, 9, 10, 11,
jest rx = 0 , 1, 10, 0, 10, 1, 0, — 1,
r = 0 , 1, 0, 0, 100, 1. 0, + 1 ,
r3=0, 1, 0, 0, 0, 1,' 0, -1 ,
r4= 0 , 1, 0, 0, 0, 1, 0, + 1 ,
a gdy reszty r z kolumny l szei, 2«ieJ, 3oiei , . . . . po porządku wstawimy w Ii, otrzymamy następujące proste z n a m i o n a p o d z i e l n o ś c i :
Liczba L jest podzielna:
1° przez a = 2 , jeżeli a0, t. j. cyfra, stojąca na miejscu je dnostek, jest podzielna przez 2 (gdyż R = a 0) ; .
2° przez a = 3 , jeżeli suma an-\-an- i + . . . + a, + a 0> j- suma. cyfr, jest podzielna przez 3 (gdyż R = £ ? „ + . . . + a 2- f os, +a0) ;
3° przez a = 4, jeżeli suma ^ .lO -j-a ,,, czyli liczba, którą twQrzą dwa najniższe miejsca, jest podzielna przez 4 (R = a , 1 0-f a0):
4° przez a = 5, jeżeli a0 t. j. cyfra stojąca na miejscu je dnostek, jest podzielna przez 5 (gdyż R = a 0) ;
5° przez a = 8 , jeżeli suma « 2 lO2-}-«! 10-}-a0, t. j. liczba, którą tworzy trzy najniższe miejsca danej liczby, jest podzielna przez 8 (gdyż R = a 2102-fa ;11 0 -fa0);
6° przez a = 9 , jeżeli suma + . . . + a 0, t. j. suma
cyfr, jest podzielna przez 9 (gdyż R = a „ + a„__i + . . . - f + « 0) ; 7° przez a = 1 0 , jeżeli a0, czyli cyfra ne miejscu jedno stek, = 0 (gdyż R = a 0);
8. przez a = l l , jeżeli a0 —ai -\-a2—a3+ a 4—a5+ . . . , czyli
(o0 + a2 + a4 -f- . . . ) — («i + a3 + a5 + . . . t. j. suma cyfr, stojących na miejscach nieparzystych, pomniejszona o sumę cyfr, stojących na miejscach parzystych, jest podzielna przez 11.
142. Uwaga. Liczby, podzielne przez 2, nazywamy p a r z y -
s t e m i , inne liczby n i e p a r z y s t e m i . Oznaczając przez n jakąkolwiek liczbę całkowitą, będziemy mieli w wyrażeniu 2n ogólną formę liczb parzystych, a w wyrażeniu 2 « + 1 albo 2n— 1 ogólną formę liczb nieparzystych.
Ć w i c z e n i a X X I X .
1. Podać liczby pierwsze znajdujące się : mięclzy 100 a 2 0 0 . 2. Które z liczb: 3 2 2 , 4 8 3 , 5 7 0 , 8 4 0 0 są przez 2, które przez 3, a które przez 5 podzielne.
3. Które z liczb: 3 1 2 , 4 8 3 , 53 1 , 7 7 4 , 9 81, 3 2 8 9 5 są przez 3, które przez 6, a które przez 9 podzielne.
4. Między liczbami: 1353, 4 7 9 5 , 1 2 1 2 2 , 2 6 8 7 1 , 3 2 5 8 3 wyszu kać takie, które są przez 11 podzielne.
5. Nie wykonując wskazanego dzielenia, wyznaczyć reszty nastę pujących ilorazów: aj 6 1 9 : 2 ; ¡3) 7 1 2 3 : 3 ; y) 7 3 8 : 5 ;
Ó) 34=25 ! 8 ; ej 9 3 6 8 1 : 9 ; £J 3 4 6 2 8 1 : 1 1 : 6. Udowodnić następujące twierdzenia:
aj Suma lub różnica dwu liczb parzystych jest liczbą parzystą.
[3J Suma lub różnica dwu liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. yj Suma lub różnica liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą.
ÓJ Iloczyn dwu liczb parzystych jest liczbą parzystą. ej Iloczyn dwu liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.
Q) Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą parzystą. 7. Dowieść, źe różnica kwadratów dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8.
8. Dowieść, że suma kwadratów trzech liczb nieparzystych po sobie następujących powiększona o 1 jest podzielna przez 12.
143. Znamiona podzielności wyrażeń algebraicznych. Dla wyrażeń algebraicznych otrzymujemy następujące znamiona po dzielności (por. art. 136):
1° Jednomian A jest podzielny przez jednomian B, jeżeli
wszystlcie czynniki jednomianu B są zawarte między czynnikami je- dnomianu A.
‘2° Wielomian A 1 + A 2 + A ?i + . . . + A n jest podzielny przez
jednomian B , jeżeli każdy wyraz tego wielomianu jest podzielny przez tenże jednomian.
144. Czy dany wielomian A jest podzielny przez inny wie lomian B, o tern można się wogólności przekonać tylko tym sposobem, że podzielimy wielomian A przez wielomian B.
Przykład. Trójmian (a2—5a6 + 662) jest podzielony przez dwumian (u—26), gdyż: (a2—5 a6+ 662) : [a—'2b)=a—36.
145. Na szczególniejszą uwagę zasługują wielomiany, utwo rzone z tej samej zasady x. Dla takich wielomianów dowie dziemy najpierw następującego twierdzenia:
Reszta z dzielenia wielomianu całkowitego, uporządkowanego według zasady x, przez od—a, jest równą tej wartości, jaką otrzy muje wielomian, gdy w nim zastąpimy oc przez a
Niech będzie bowiem P wielomianem mteg0 stopnia wzglę dem x, kształtu: P = x m+ a 1xm~ 1+ a 2xm~ 2-i- . . . . + a m^ 1x-j-am.
Dzieląc go przez X—a, otrzymujemy jako iloraz wielomian Q stopnia (m— l )g0, a resztę U stopnia zerowego, czyli wolną o d x, będzie więc:
147]. 61
Wielomian P jest zatem przy każdej 'wartości x, t. j. toż- samościowo, równy wielomianowi Q,(x—a )+ R . Podstawmy w w ie lomianie P zamiast x wartość a, wówczas otrzymamy pewną war tość wielomianu P, którą oznaczmy przez P„ iloczyn Q (*— a) dla x = a , będzie równy zeru, a reszta R, jako liczba od x nie zależna, pozostaje niezmienioną, a zatem będzie :
P K= a m-j-a1am- 1+ a 2am~-2+ . . . + am_ 1a + a m= R. (49) Przykłady: Dzieląc wielomian x s—2o:2 + 3a;+4 przez x — 1,. otrzymujemy resztę R = l 3—2. l 2 + 3 . 1 + 4 = 1 —2 + 3 + 4 = 6 , za tem R = 6 ; dzieląc zaś powyższy wielomian przez £ + 2 , otrzymamy jako resztę (—2)3—2 . ( —2)2+ 3 . ( —2 ) + 4 = —8 —8 —6 + 4 = — 18.
146. Z powyższego twierdzenia w ypływ a:
Jeżeli wielomian P, utworzony z zasady x, otrzymuje wartość równą zeru, gdy x zastąpimy w nim przez a, wtedy ten wielomian jest podzielny przez x —a.
W tym przypadku będzie bowiem reszta R równa zeru. a zatem iloraz wielomianem całkowitym.
Przykład: Wielomian ic3— i x i -\-5x—2 jest podzielny przez
x — 1, gdyż R = P „ = 1 —4 + 5 —2 = 0 .
147. Zastosowania. 1. Dwumian xm—am jest podzielny przez x —a, gdyż reszta z dzielenia dwumianu x m—arn przez
x —a jest am—am, czyli równa zeru. A zatem:
Różnica jednakowych potęg dwu liczb jest podzielna przez różnicę tych liczb.
2. Dzieląc xm—am przez as + a, czyli przez x —(— a), otrzy mujemy resztę: R = ( — a')m—am. Jeżeli m jest liczbą parzystą,, wtedy ta reszta jest am— am, zatem równa zeru; jeżeli zaś m jest liczbą nieparzystą, wtedy ta reszta jest równa —am— am,
więc równa —2am; a zatem :
Różnica jednakowych a parzystych potęg dwu liczb jest po dzielna przez sumę tych liczb; natomiast różnica jednakowych a nie parzystych potęg dwu liczb nie jest podzielna przez sumę tych liezb.
3. Dzieląc xm + am przez % — a, otrzymamy resztę 2am, gdyż R = a m + a’"= 2 o:m; a zatem:
Suma jednakowych dwu potęg liczb nie jest podzielna przez różnicę tych liczb.
4. Dzieląc xm + arn przez x + a , otrzymamy resztę R==
(—ci)m + am. Jeżeli m jest liczbą parzystą, wtedy ta reszta jest
równa 2am, jeżeli zaś m jest liczbą nieparzystą, wtedy ta reszta, jest —am+ a m, czyli równa zeru; a zatem:
Suma jednakowych a nieparzystych potęg dwu liczb jest po- ■dzielna przez sumę tych liczb; natomiast: suma jednakowych a pa rzystych potęg dwu liczb nie jest podzielna przez sumę tych liczb.
ć w i c z e n i a XXX. 1. Znaleść podzielniki następujących wyrażeń :
a) 15ab-, ¡3) 5xy2; y) p r—p s ; ó) x 2— 2xy\ e) 4» —2 Q Qabc—3a'2b; p) a2—62; &) a3-\-2ab-{-b2: i) a2— 2abĄ-b3
2. Podać reszty następujących ilorazów :
a) (x5— —x ) : ( x— 1); {¡) (xh—x i -j-x 2 — x ) : (x-\-1)
y) (x3—2 a % + a 3) : (x— a) ; 6) (x i— 1): (x— 1)
e) [x k—2ax3-\-2a'ix 2—a3x )\ { x—a); tjj (x°—y 6) : { x—y)
i»3 + 64 a 3 + 64 x 3— 64 3. -------- = ? 4. !--- = ? 5. = ? * + 4 x —4 ie-j-4 x3—64 x5— 1 x b+ l 6. = ? 7. ^ n x — 4 ic-j-l x — 1
9. Jakie podzielniki mają następujące dwumiany:
a) x ’l—y i \ ¡3) « 4+ y 4; y) x b—y b\ S) x 5+ y &;
148. Rozkładanie liczb na czynniki. Twierdzenie. Wszelką
liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.
Dowód. Niech, będzie a jakąkolwiek liczbą złożon ą, po- dzielną przez liczbę pierwszą p i , wówczas a = p i b, gdzie b jest albo liczbą pierwszą albo znowu liczbą złożoną. W pierwszym przypadku przedstawia się już liczba a jako iloczyn liczb pierwszych, w drugim zaś przypadku możemy liczbę złożoną b roz łożyć znowu na dwa czynniki p 2 i c, gdzie p 2 oznacza liczbę pierwszą, a liczba c albo liczbę pierwszą, albo znowu liczbę zło żoną, z którą tak samo dalej postępować możemy. Tym sposo bem dojdziemy do liczby l, która rozkłada się już tylko na dwa czynniki pierwsze pr_ t i p r. W skutek tego będzie:
a = p t . p 2 . p 3 ...P r - i - P r ,
t. j. liczba a będzie iloczynem samych liczb pierwszych.
Czynniki pierwsze mogą się oczywiście w liczbie złożonej powtarzać ; każda liczba złożona przedstawia się wskutek tego jako iloczyn potęg liczb pierwszych w postaci:
a = p 1a - i ? / .p 3v Pnv. (50)
n. p. 8 = 2 3; 8 6 = 2 2.3 2; 6 0 = 2 2.3 .5 i t. p.
149. Stostrjąc to twierdzenie, rozkładamy liczbę szczególną na czynniki pierwsze, jak następuje:
Daną liczbę złożoną dzielimy przez najmniejszą liczbę pierwszą, która jest jej podzielnikiem; z otrzymanym ilorazem
postępujemy tak samo, dopóki nie dojdziemy do ilorazu 1. Ilo czyn tak otrzymanych podzielników pierwszych przedstawia rozkład danej liczby złożonej na czynniki pierwsze.
Mając n. p, rozłożyć liczbę 360 na czynniki pierwsze, znaj dziemy
a więc 3 6 0 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 , czyli 3 6 0 = 2 3.3 2.5.
150. Ilość podzielników danej liczby. Liczba złożona jest
podzielna przez wszystkie swe czynniki i ich iloczyny.
Niech będzie liczba a —p i a p 2P p ^ . . . . p j ”. Widocznie będą je j podzielnikami lic z b y :
1- Pv P i 2’ P i Zi P \a1 P2 2i Pl^ 1 • • • • P^i 3 6 0 :2 = 1 8 0 360 2 1 8 0 : 2 = 90 180 2 90: 2 = 45 90 2 45 : 3 = 15 CZyh 45 3 15 : 3 = 5 15 3 5 : 5 = 5 5 5 Pm Pn^i Pn^i • • • • PnVj
jakoteż iloczyny tych liczb, wziętych z różnych w ierszy.
W pierwszym wierszu jest ( a + l ) liczb, w drugim Q ?-j-l) liczb, istnieje więc [ a + 1 ) . (/ł-j-1) iloczynów, utworzonych z dwu liczb dwu pierwszych wierszy, podobnie (a + 1 ) .(/?-[-1) . ( y + 1) iloczynów, utw o rzonych z trzech liczb trzech pierwszych wierszy, a zatem iloczyn
( u Ą -1). (/?-(-1) . ( y + 1) . • . . {vĄ- 1) w yraża ilość wszystkich iloczynów.
Liczba a = p xa p%P P ?/ . . . . pnv ma zatem
( a + 1). Q3 + 1) . ( y + 1) . . . {v Ą -1) podzielników.
N. p. liczba 360 = 2 “. b 2. 5 ma (3 + 1 ) . ( 2 + 1 ) .( 1 + 1) = 3 . 3 .2 = 24 podzielników. Tymi podzielnikami są licz b y: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180, 360.
151. Rozkładanie jednomianów na czynniki. Jeżeli jedno-
mian ma spółczynnik liczebny, wtedy rozkłada się spółczynnik na czynniki pierwsze; zresztą każdą liczbę ogólną jednomianu uważamy tu jako czynnik pierwszy, a każdą potęgę piszemy w postaci iloczynu tylu czynników, ile jednostek zawiera wykładnik tej potęgi.
N. p. 6abc—2 .S .a.b.C ) 15a2bx3= 3 . 5 . a . a . b . x . x . x .
152. Rozkładanie wielomianów na czynniki. Dany wie
lomian da się rozłożyć na czynniki tylko w przypadkach szcze gólnych .
1° Jeżeli wszystkie wyrazy' wielomianu posiadają jeden czynnik wspólny, wówczas ten czynnik wyłączamy za nawias, a w nawiasie piszemy sumę czynników niewspólnych.
wielomianu, wówczas zastępujemy go potęgą tegoż wielomianu. N. p. a2-\-2ab+b2—(a-j-ó)2, a 2—2a b + b 2= ( a —b)2 i t. d. 3° Jeżeli dany wielomian jest sumą lub różnicą potęg, wówczas otrzymujemy na podstawie prawideł podzielności (we dług art. 147.) następujące rozkłady:
x*—y 2= ( x —y )(x + y ), x 3—y 3= ( x —y ){x2+ x y + y 2), x 3+ y 3<=(x+y)(a>y—xy + y 2),
x ‘t—y l = ( x 2—y 2)(x2+ y 2) = ( x —y')(x+y)(%2+ y 2), i t. d.
4° Jeżeli dany wielomian jest jakiegokolwiek stopnia, n. p. OTtego względem zasady x, i ma tę własność, że dla x = a staje się zerem, wówczas (na podstawie art. 145.) można go przedsta w ić jako iloczyn dwumianu (x—a) i wielomianu (n—l g0) stopnia. N. p. Wielomian x s—3x2+ x + l staje się zerem dla x = l f jest więc podzielny przez (x— 1). Z podzielenia otrzymamy:
(x3— 3x2+ x + l ) : (x— 1)=£C2—2x— 1,
skąd: (x3—3x2+ x + l ) = (x 2—2x— l ) . ( x — 1).
5° Rozkładanie wielomianu na czynniki możemy sobie niekiedy ułatwić w ten sposób, ź© z jednego wyrazu wielo mianu tworzymy dwa wyrazy, rozkładając ten wyraz na stoso wne dodajniki. N. p. x 2— 7ic+ 12= a:2—3 «—4a?+12=
—x (x —3)—4 (x—3)=(a;—3)(x—4).
Taki rozkład trójmianu X i -\-pxĄ-(] jest zawsze możliwy, gd y
liczba q da się rozłożyć na dwa czynniki, których suma lub różnica je st równa spółczynnikowi p .
Ć w i c z e n i a XXXI.
1. Rozłożyć na czynniki pierw sze: a ) 1 8 0 ; /?) 300 j
y) 4 8 0 ; 6) 2 0 4 6 ; s) 4 5 7 3 8 ; £) 297675.
2. Ile podzielników mają liczby:
a) 420; fi) 7 6 0 ; y) 8 1 0 ; ó) 1000.
3. Rozłożyć na czynniki następujące jednom iany:
a ) 3 6ab-, P) 16a b 2 y ) 75x 2y 2\ 6 ) 315 p 2ą>
4. Ile podzielników ma każdy z następujących jednomianów :
a ) 12a 2b ; p ) 60x 3y ; y) 165x y 2; d) m 2n 2.
Rozłożyć na dwa czynniki następujące wielomiany :
5. 18«a:—\b ay -\- 12az. 6. 9 a 2— 24a6.
7. 1 8 a 362+ 1 5 a 2&3— 25 aó 4. 8. I 2 a 3b2x — d a 2b2x 2.
9. ai2 + 2 5 a;-f 100. 10. x 2— 6z + 9.
11. x 2— 81,, 12. x 3—8. 13. x 3-\-8.
14. a;4—8 1 . 15. x 5— 32. 16. « 5 + 32.
153. Wspólny podzielnik. Liczba, przez którą, dwie liczby
są podzielne, nazywa się tych liczb w s p ó l n y m p o d z i e l n i k i e m albo w s p ó l n ą m i a r ą .
Twierdzenie: Jeżeli dwie liczby a i
b mają wspólny podzielnik,
wówczas jest także: 1° ich suma, 2° ich różnica, 3° suma ich wie lokrotności, przez tę liczbę podzielna.
D ow ód: Skoro bowiem a :m = a , b :m = [}, a przeto a=m a,
b=m[}, więc jest:
1° a-sr b= m a + m ^=m {a-\-/?), zatem ( a + b ) : m = a + [i,
t. j. suma (a + b) jest przez m podzielna.
2° a—b—ma— zat em (a— b):m = a —/?, t. j. różnica (a—b) jest przez m podzielna.
3° p a Jrqb=pma-\-ąmfi—m.[paĄ-q§], zatem
(:pa-\-qb) :m=paĄ-q[),
t. j. suma wielokrotności tych liczb, jako to : (pa + ąb), jest przez m podzielna.
154. Największy wspólny podzielnik. Jeżeli dane liczby
mają kilka wspólnych podzielników, to jeden z nich będzie naj
większy: nazywamy go n a j w i ę k s z y m w s p ó l n y m p o
d z i e l n i k i e m albo też n a j w i ę k s z ą w s p ó l n ą m i a r ą tych liczb danych i oznaczać będziemy przez NWP.
N. p. 18 i 24 mają wspólne podzielniki 1, 2, 3, 6, a więc 6 jest N W P liczb 18 i 24.
Najmniejszym wspólnym podzielnikiem danych liczb jest zawsze 1. Dwie liczby, dla których 1 jest zarazem największym wspólnym podzielnikiem, nazywają się liczbami w z g l ę d e m s i e b i e p i e r w s z e mi. N. p. 5 i 12, 15 i 8 i t. p.
155. Aby wyznaczyć N W P danych liczb, dość rozłożyć te
liczby na czynniki pierwsze; iloczyn wszystkich czynników, wspólnych tym liczbom , będzie ich największym wspólnym podzielnikiem.
Przykład. Znaleść N W P liczb 360 i 84. Mamy t u : 360 2 84 2 180 2 42 2 zatem 3 6 0 = 2 3.3 2.5 1, 90 2 21 3 8 4 = 2 2.3 1.7 1, 45 3 7 7 a więc 2 2. 3 1= 1 2 je s t 15 3 N W P liczb 360 i 84. 5 5 D z i w i ń s k i A l g e b r a . 5
156. Ażeby znaleść N W P danych j e d n o m i a n ó w , należy znaleść N W P wszystkich ich spółczynników, następnie do tak znalezionej liczby dopisać iloczyn tych liczb ogólnych, które się we wszystkich wyrażeniach powtarzają, i dać każdej z tych liczb najmniejszy z jej wykładników.
Przykład. Dla jednomianów 12a462c i lb a ?'b?'d jest według tego N W P jednomian : 3a3b2.
157. Rozkładając dane wielomiany na czynniki według art. 152., możemy wyznaczyć N W P w i e l o m i a n ó w , którym będzie iloczyn wszystkich czynników, wspólnych danym w ielo mianom, N. p. Dla wielomianów (x 2— 2xyĄ -y‘i) i (x 2— y 2) mamy :
z 2—2x y + y 2= ( x —y )2, X1—y'2= ( x + y ) ( x —y), więc (x —y) jest szukanym NW P.
158. Sposób Euklidesa obliczania największego wspólnego
podzielnika. Niech będą dane dwie liczby a i ó, których naj
większy wspólny podzielnik mamy wyznaczyć.
CL T
Przyjąwszy, że a > & , i że + gdzi0 2 jest pewnym
ilorazem całkowitym, a r resztą mniejszą od b, mieć będziemy :
a=q.b-\-r.
Ponieważ b > r, przeto dzieląc b przez r, otrzym am y:
b ^ r + r A, \
gdzie znowu rl <Zr.
Postępując tak dalej znajdziemy:
r = q 2 -D+^2
r i = q 3 .r.2+ r 3 (E)
X n —2 q_n • Vn—i
Ponieważ reszty r^, r2} rs . . . . , rn są liczbami coraz mniej - szemi, przeto raz musi wypaść reszta równa zeru. Dajmy na to, że Tn+i = 0 , wtedy będzie:
1 ==2rc+l • *»)
a ostatnia reszta rn, różna od zera, będzie NWP liczb a i b. Reszta rn jest bowiem przedewszystkiem wspólnym podziel
nikiem liczb a i b, gdyż będąc podzielnikiem liczb , i rn, jest
także podzielnikiem liczby r„_ 2, [art. 153. 3°] a tern samem także podzielnikiem reszt poprzedzających: rn_ 3. . . r 2, r , , r, jest więc także podzielnikiem liczb b i a.
Jeżeli atoli liczća r„ jest podzielnikiem liczb a i b, to musi już być podzielnikiem największym. Gdyby bowiem istniał jakiś
podzielnik liczb a i &, większy od r„, n. p. r ‘ , byłby on także podzielnikiem liczby 't\ , a tem samem podług powyższych ró
wności (E), także podzielnikiem liczb r2, rs,. . »*„ t , r „ . Liczba
r n byłaby zatem podzielna przez liczbę r‘, od siebie większą,
co być nie może, a zatem r n jest N W P liczb a i b.
159. W zastosowaniu przedstawia się to postępowanie przy liczbach szczególnych zwykle schematycznie, jak n. p. dla liczb 360 i. 84, w sposób następujący:
360 I 84 j 4
24 12 : 3 je St zatem N W P liczb 360 i 84.
0 J 2
160. Sposobu Euklidesa możemy użyć także przy wyszu kiwaniu N W P dwu wielomianów.
Przykład. Szukajmy N W P wielomianów (4a3—9a2—15a-h 18) i (a2—4a+ 3). Podzieliwszy pierwszy wielomian przez d ru gi: (4a3— 9a2— 1 5 a -f l8 ): (a2—4a-|-3)—4 a + 7
4a3— 16a2 + 12a
— + —
7a2—2 7 a + 18 7a2—28a + 21
—. + —
a— 3
■otrzymujemy iloraz (4a + 7) i resztę (a—3); dzieląc teraz drugi wielomian przez otrzymaną resztę:
(a2—4 a + 3 ): (a— 3) = a—1 a 2 —3a - + — a-f-3 — a + 3 + -0
otrzymujemy iloraz (a—1), a resztę = 0 . W ięc (a—3) jest szuka nym NWP.
161. Częstokroć zdarza się, że przy poszczególnych dzie leniach spółczynnik pierwszego wyrazu dzielnej nie jest po- dzielny przez spółczynnik pierwszego wyrazu dzielnika. Ażeby uniknąć ułamków w ilorazach, możemy dzielną pomnożyć albo dziel nik podzielić przez liczbę tak dobraną, aby spółczynnik ilorazu częściowego był liczbą całkowitą. Największy wspólny podziel nik danych wielomianów wcale się przez to nie zmienia, jeżeli
tylko liczba, przez którą, mnożymy dzielną, nie jest czynnikiem dzielnika, a nawzajem liczba, przez którą dzielimy dzielnik, nie jest czynnikiem dzielnej, co można zawsze łatwo poznać.
Przykład. Znaleść N W P wielom ianów: (x3 + 4a;2+6as+4) i (as3—as2—5as+2).
Rozwiązanie. Podzieliwszy pierwszy wielomian przez drugi : (asa+4as2 + 6as+4) :(as3—as2—5 a s+ 2 )= l
x 3— as2— 5as+2
~ + + —
5as2 + llas+ 2
otrzymujemy iloraz 1, a resztę (5as2 + llas + 2).
Mając teraz podzielić dzielnik (as3—as2—5as+2) przez resztę (5*2 + llas+2), widzimy, źe wyraz as3 nie jest podzielny przez 5as2,. a że to samo i przy ponownem dzieleniu może nastąpić, przeto pomnożymy (as3—x 2—5as + 2) przez 5 2, czyli przez 25, która to liczba nie jest czynnikiem reszty (5x2 + lla3+2), a potem w yko namy dzielenie:
(25as3—25as2— 125as+50): (5as3 + lla ;+ 2)=5as— 16 25as3+ 5 5 * 2+ lOas
—80as2—135as+50
y —80as2—176as—32
+ + + .
+ 4 1 *+ 8 2
Otrzymujemy tu iloraz (5as—,16), a resztę (41as + 82), która ma wspólny czynnik 41, nie będący czynnikiem ostatniego dzielnika : (5as2 + llas+2). Opuściwszy czynnik 41, otrzymamy z reszty nowy dzielnik * + 2, skąd na podstawie dalszego dzielenia:
(5x2 + lla s + 2 ): (x+2)= 5as + l 5as2 + 10as
+ x + 2
+ as+2
0
otrzymujemy nowy iloraz (5as+l), a resztę 0. Ostatni dzielnik
(as + 2) jest więc N W P wielomianów (as3 + 4as2 + 6as+4) i
( * 3— as2— 5 * + 2 ).
162. Największy wspólny podzielnik trzeeli lub więcej liczb.
Jeżeli dane są trzy liczby a, 6, c, którycb N W P mamy wynaleśó, szukamy najpierw N W P liczb a i b, którym bę
162.] 69
dzie liczba n. p. /?, potem zaś szukamy N W P liczb p i e, którym niecb będzie n. p. y. Liczba y będzie wówczas N W P liczb a, b i c. Jakoż skoro y jest podzielnikiem liczby p, a p jest podzielnikiem liczb a i b, także jest y podzielnikiem liczb a i 5; a że y jest także podzielnikiem liczby c, zatem y jest podzielnikiem liczb a, b i c.
Liczba y jest N W P liczb a, b i c, bo gdyby inna jakaś liczba m była podzielnikiem liczb a, b i c, to mieszcząc się bez reszty w liczbach a i b, musiałaby także mieścić się bez reszty w ich N W P, t. j. w liczbie /?, a że m mieści się także bez reszty w liczbie c, a więc w liczbach p i e, a zatem także w N W P liczb fi i c, t, j. w y. Jeżeli więc liczba m jest po dzielnikiem liczby y, to nie może być większą od liczby y. Nie ma więc żadnej liczby większej od y, któraby się mieściła bez reszty w liczbach a, b. i c; y jest więc N W P liczb a, b i c. Wyznaczenie N W P więcej n. p. n liczb sprowadza się zatem do (w— 1) razy powtórzonego poszukiwania N W P dwu liczb.
Przykłady : 1. Znaleść N W P liczb 252, 1440 i 420.
a) 252 1440 5 p) 36 420 j 11
72 180 1 12 24 1
36 2 2
2
36 jest N W P liczb 252 i . 1440; 12 jest N W P liczb 36 i 420, a więc 12 jest N W P liczb 252, 1440 i 420.
2. Znaleść N W P wielomianów (a;3—4a32+a:-|-2), (a:2—3 * + 2 ) i (a?2—1).
Szukając N W P wielomianów (¡r3—4 x2 + x + 2 ) i (x 2—3aJ+2), znajdziemy, z powodu że:
a) {x z—4iE2+ a:-t-2): (a;2— 3 x + 2 ) = x — 1
x 3—3 xi Ą-2x pj (a:2—3a; + 2):(aJ— l)= a :—2 — + — x 2— x b — x 2— a;+ 2 — a:2-i-3a:—2 _ _]_ -4a3-b4^=— 4(a3—l) —2a:+2 —2a:+2 d~ — 0
dwumian (a;— 1), jako N W P tych dwu wielomianów, a że (a:2— 1): (*— l)*= a ;+ l, przeto (x — 1) jest także N W P danych trzech wielomianów.
ć w i c z e n i a X X X II.
1. Zapomocą rozkładania na czynniki znaleść największy wspólny podzielnik następujących liczb: a) 1 9 3 8 i 4 8 4 5 : ¡3) 38 5 i 1 2 6 ^
y) 180 i 2 6 4 ; 6) 2 2 4 , 792 i 1 4 0 0 ; 2. Znaleść N W P następujących wyrażeń:
a) 15a;4 i 1 8 * 2; ¡3) 1 6 a 2ó 3 i 2 0a3b2\
y) 3 6x iy 5z3 i A8xey 6e i ; dj 3 5a2b3x 3y'1 i 4 9a2b'ix'iy'i y
e) 6 ( a ; + l ) 3 i 9 ( * 2— 1 ) ; i ) 1 2 (a 2 + 6 2) 2 i 8 (a 4— 6 4) ; Znaleść sposobem Euklidesa N W P następujących liczb i wyrażeń :
13. 66 3 i 5 2 7 . 4. 1311 i 7 4 2 9 . 5. 3 1 4 4 , 6 2 1 7 i 8 7 8 4 . 6. 4 4 8 , 1 0 5 6 0 , 1 7 4 7 2 i 1 8 3 0 4 . 7. * 2 + 8 i c + 1 5 i « 2+ 9 a ; + 20. .8 ' x2— 9a: + 14 i x 2— l l i c + 2 8 . 9. x 2— 1 5 a ;+ 3 6 i x2—9x— 36. (¿0 . x 3— 9 * 2+ 2 3 * — 12 i x 3— 10a;2+ 2 8 a : — 15. 11. x k— x 3— x 2— 2x i x 3-— 2 * 2+ 3 * — 6, 12. x 3-— 3 a2x — 2a 3 i x 3— a * 2 + 2 a 3. 13. x 2— cc-— 70, it3— 3 9 ^ + 7 0 i x 3—4 8 a :+ 7 . 14. i»2 + 3 * + 2, # 2 + 4 a ;+ 3 i ic2+ 6 x + 5 . 15. x 2—y 2, x 3—y 3, xy2-—y 3 i x 3—xy2. 16. x 2— 9 x — 10, x 2— 7 x — 30, a?2— 1 3 * + 30.
17. x 3— 6 x 2+ l l x — 6, x 3— a:2+ 1 9 « — 19, * 3 + 6 « 2 + 27a:— 34, 18. x 3— 3aa;2— 1 6 a 3, 3ic2— 19aa; + 2 8 a 2, x 2— 5aa; + 4 a 2. _ > < d v
163. Najmniejsza wspólna wielokrotność. Najmniejsza
liczba, która jest podzielna przez dwie, trzy lub więcej danych liczb, nazywa się n a j m n i e j s z ą wspólną wielokrotnością tych liczb.
W edług tego określenia najmniejsza wspólna wielokrotność zawierać będzie wszystkie czynniki pierwsze, z których się dane liczby składają, a każdy z największym wykładnikiem, z jakimi w jednej z liczb występuje. Rozłożywszy więc dane liczby na czynniki pierwsze, wybieramy wszystkie czynniki pierwsze z ich największymi wykładnikami, a iloczyn tych czyn ników będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością, którą dla krótkości oznaczać będziemy literami N W W .
Mamy n. p. 3 6 0 = 2 3.3 3.5 1, 8 4 = 2 3. 3 1. 7 1, zatem N W W liczb 360 i 84 jest iloczyn 2 3.3 2. 5 1. 7 1= 8 .9 .5 .7 = 2 5 2 0 ,
W ten sam sposób postępujemy z wielomianami.
Przykład. Znaleść N W W wielomianów: (x 2—4 x + 4 )i(a ;2—4). Mamy tu : x 2—4 * + 4 = (a :—2)2, x 2—4=(a; + 2)(a;—2), a więc iloczyn (x — 2)2. (x Jr 2 ) = x 3—%x2—4a; + 8 jest szukaną N W W .
164. Najmniejszą wspólną wielokrotność dwu danych liczb można także znaleść zapomocą największego wspólnego podziel nika tych liczb.
165.]
71 M ech m będzie N W P liczb a i b, których N W W mamy zna- leść, wówczas będzie a :m —a, b :m = (i1 przeto a=m a, b—mfii gdzie a i (t są oczywiście liczbami względem siebie pierwszemi. Ilo czyn a ¡3. m zawierać będzie wszystkie czynniki liczb a i 6, jest zatem wspólną wielokrotnością liczb a i b i to najmniejszą. Gdyby bowiem istniała jakaś mniejsza liczba, przez a i b podzielna, n. p. liczba c, natenczas jako podzielna przez a i b, musiałyby być podzielna przez liczby m, a i ¡i, a, więc także przez iloczyn ci./3.m; liczba c nie może być zatem mniejsza od iloczynu a/3m, czyli iloczyn a/?m jest N W W liczb a i b.
165. Z rów n ości:
N W W = a /?m = m a ./3 = a . / ? = « . ~ (51)
NWW=a/?m==m/J. a— b , a = b . —
m
wypływa następujące prawidło szukania najmniejszej wspólnej wielokrotności dwu liczb :
Szukamy najpierw największego wspólnego podzielnika tych liczb, dzielimy potem jednę z tych liczb przez ten podzielnik, a iloraz mnożymy przez drugą liczbę; tak otrzymany iloczyn będzie szukaną najmniejszą wspólną
wielokrotnością-Przykłady: 1. Dane są liczby 36 0 i 8 4 , znaleść ich N W W .
Mamy tu : 3 6 0 8 4 4
24 12 |3
I 2
więc 12 jest N W P liczb 3 6 0 i 8 4 , a że 3 6 0 : 1 2 = 30,
a 3 0 . 8 4 = 2 5 2 0
zatem 2 5 2 0 jest N W W liczb 3 6 0 i 8 4 .
2. Dane są dwa wielomiany (x 2— 4 # -] -4 ) i (a;2— 4), znaleść