1(>7. Przekształcanie wyrażeń ułamkowych. W iem y z art.
119 , że iloraz nie zmienia swej wartości, jeżeli dzielną i dziel nik przez tę samą liczbę pomnożymy lub podzielimy. To samo tyczy się każdego wyrażenia ułam kow ego, jako ilorazu dwu wyrażeń całkowitych.
Opierając się na tej własności możemy
1° dane wyrażenie ułamkowe p r z e d s t a w i ć w n a j p r o s t s z e j p o s t a c i , dzieląc licznik i mianownik przez ich n a j w i ę k s z y wspólny podzielnik. 1 5 x iy 3z 2 3 a : 2 N- p: bx2y W = ge* ^ x 3— y 3 _ ( x — y )(x 2+ x y + y 2) _ x 2+ x y + y 2 73 167.] §. 4. x 2— y2 (jx— y ) ( x + y ) x + y
2° wyrażenia ułamkowe o różnych mianownikach sprowa dzić do wyrażeń ułamkowych o n a j m n i e j s z y m w s p ó l n y m m i a n o w n i k u , którym będzie najmniejsza wspólna wielokro- ność danych mianowników.
a b c
N. p. Wyrażenia ułamkowe: — , — -— , —-. możemy
J b x 1y 2 % y z ^ y z 2
sprowadzić do najmniejszego wspólnego mianownika, wyszukawszy N W W mianowników: b x 2y 3, 2 x 3yz, 4 x iy z 2. Będzie nią jednomian 4 .5 , x iy 3Z2 =
20 x iy 3z 2.
Podzieliwszy 2 0 x'iy 3Z2 przez każdy z mianowników danych wyra żeń ułamkowych, otrzymujemy ilorazy 4 x 2Z2, 10x y 2Z, b y 2.
Pomnóżmy więc licznik i mianownik pierwszego wyrażenia ułam kowego przez 4 x 2Z2, drugiego przez 10x y 2Z , trzeciego przez b y 2,
a otrzymamy :
a 4 a x 2z2 b 10 b x y 2z c b cy 2
5x 2y z 2 0 x iy 3z 2 ’ 2 x 3y z 2 0 x iy 3z 2 ’ 4 x ky z 2 2 0 x iy 3z 2'
Ć w i c z e n i a X X X I V .
Następujące wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci:
^ 12 a kb2x o a 2 + ab 4 (a -| -6)2
18 a 2b 2y ‘ a 2— a b ' ' 5 (a 2— b 2)'
£C2+ 8 ic -| -2 2 x 2Ą - x— 15 x 3— 8 x — 3
4. - 0T - . 5. — , T . 6.
x 2 Ą - 6 x - \ ~ b ' ’ 2 x 3— 1 9 i c + 3 5 ’ ' x i— l x 2 + l ' Sprowadzić do najmniejszego wspólnego mianownika następujące wyrażenia ułam kowe:
8 1 x 1 3 X
^ 0 ____
1 2 3 4 5 X— lf. (X— l ) 2’ i K+l ’ (iS + l)2’ X2— 1
a x a2 ax
x —a a—x x 2-—a2' a2—x 2'
168. Suma i różnica wyrażeń ułamkowych. Suma lub
różnica wyrażeń ułamkowych o tym samym mianowniku jest na podstawie art. 123. nowem wyrażeniem ułamkowem, które ma ten sam mianownik, a którego licznik jest sumą, lub różnicą liczników danych wyrażeń ułamkowych.
Jeżeli dane wyrażenia ułamkowe nie mają wspólnego
mianownika, należy je sprowadzić do najmniejszego wspólnego mianownika, a z tak przekształconymi ułamkami postąpić w e dług powyższego prawidła.
Przykłady : c c c(cl b) c(a-\-b) 2 ac aj
PJ
a-\-b a — b a2—b2 a 2—b 2 a 2—b2 a-\-b a — b ( a- \ - b) 2 (a — 6)2 4 ab y) x jr?j-a - b ?j-a + b a2- b 2 a2—b2 a2—b2'
x— 2 (* + 3)(it;2— 3iC-|-4) x— 2 x 2— 3 x - \ - 4 : x 2— 3 2 : 4 - 4 x2 — 3 # -(-4 x 3— 52:4-12—(x— 2) x 3— 62:4-14 - 2l x —32:4-4 a;2—32:4-4 ć w i c z e n i a X X X V . 32;— 5 y 2 x— y — z x-\-y-\-z 1 1 1 1 . --- - 4 --- -— H * = ? 2. — 4--- i— - = ? 4 3 12 bc ac ab a b 1 1 1 2y 3 . --- !---= ? 4 . --- ]---= ? 5 ---1---— „ = ?
a — b aĄ~ b a — b a-\-b x-\-y x 2— y 2
1 4 -3 2 ; 1 — 32: 3 5 2 x— 7 6 . — --- = ? 7 . ---^---= ? 1— 82: 1 4 - 32: x 2 x— 1 42;2 — 1 8 . 2:24 - 2 2 :4 -9 --- 1 4 - — i 4 3 --- --- — - = ? 6 (2;— 1) 1 0 (2;— 3) 15(2:4 -2) 2 1 4 2 :4 -3 ( x— l ) 2 ( x— l ) 3 (2: — l ) 4 - 2:24- 2; 4- l (2;24 - * + l ) 1 3 22: x 2 x 1 1 . ---1 2 . x - = i> 2 x —2 2:-)-2 (x 2)2 ' x —4 2:4-1 x>2 x 2 x — 3 13. x ---|--- = ? 1 4 . ---5---= ? 2: 4 - 1 x— 1 2: 4 - 4 2;2— 4 2 :4-16 15 - 1- + le . - ^ i --- T = ? x-— 1 x — 2 2:4- « x — a x L—a2 2:24- a 2 1 1 a b x— ~{x— l j 2 1 8 ' { x — a ) [ a - b ) Jr(x— b)[b— a)
x V 1 1 1 9 . --- 20 75 169.] x —V V—x (a — b)[a — ć) (b—a)(b—c) 1 1 1 2 1.
(a—b){a—c)(x — a) (b—a)(b— c)(x—b) (c—a)(c—b)(x—c)
169. Iloczyn i iloraz wyrażeń ułamkowych. Iloczyn w y
rażeń ułamkowych jest według art. 118 nowem wyrażeniem ułamkowem, którego licznik jest iloczynem liczników, a miano wnik iloczynem mianowników danych wyrażeń ułamkowych.
Iloraz dwu wyrażeń ułamkowych da się na podstawie art. 118. £) przedstawić jako iloczyn wyrażeń ułamkowych, miano wicie jako iloczyn dzielnej i odwróconego dzielnika.
Przykłady :
a + b a3—63 (a + i)(a 3—b3) (a + 6)(a — b)(a2 + ab + b2) a—b 'a 3 + b3 (a—b) (a3 -\-b3) (a—b)(a + b\a2—ab + b2)
a2 + ab + b2
a2—ab + b2'
a4 + 64 a3 + 63 as4 + &4 a2—b2 (ai + bi)(a2 — b2)
2.
a3 — 63 a2—b2 a3—63 a3-i-ć3 (« 3— &3)(a3 + &3)
a4+& 4 a4 + &4 a4 + ń4
(a2 + ai> + 62)(a2—ab + b2) (a2 + ł>2) 2—« 2&2 a4+ a 262 + &4
Ć w i c z e n i a X X X V I . 2x &yz a 2 &2 c2 . 1. — ■ — = ? 2. 3i/ 5a;2 6c ac ab a 2b b2c c 2a „ x + l x + 2 x + l 3. - v - . —5- . - « —= ? 4. x 2y ' y 2z ' z 2x ' x — 1 "a;2— 1 * (m-J-2)2 a;2— 1 / ab \/ ab \ \ x + \ x —l l 2c L i \bc ac ab a ) \ a + b + c )
(
x 2 a 2 x a \ ( x a\ 1 + -2 + 1 ) . = a2 x l a x ) \a x j a;2- f 1 ? 4 a 2& 2a62 3 a 263c4 4 a 4ć 3c2 9. ---— s==? 10. h x 2y ' \ h x y 2 ' ' k x 2y 3z k’ S x iy 3z 2 \ a b - b 2) '2
b 2 ?i 2 / 3_ 1 W
_ 1 \?
a ( « + 6)2 a { a 2— b2) ' ’ \ a 3) \ a )^ a 2 + &2 + 2ał>— c2 a + b + c a;2 + £-|-l x 2— a;-j-l__ ^
e2—a 2— b 2 + 2ab ' b + c— a y l + y + ^ y 2— y + i 15. g-a- 3 * + 2 . * 2- 5 * + 6 = ? 16. / 1 + * V 1_ M . _ J L . = ? a;2— 6x + d x 2— 2 x + l \ y ) \ y ) x + y x — i + i - r 17. • = * « ? 18. 1 + ^ - = ? * “ * + ¿ 6
' + * + &
170. Tworzenie wyrażeń zapomocą połączonych działań dodawania, mnożenia, odejmowania i dzielenia.
Z liczby ogólnej x otrzymujemy zapomocą połączenia czterech działań głównych:
albo 1° t. z. w i e l o m i a n c a ł k o w i t y stopnia ntes° w postaci:
anxn-\-an—ixn~ i Ą- ...
gdzie spółczynniki ani an_ t , . . . a2. %, a0 są liczbami szcze- góln em i, całkowitemi lub ułamkowemi, dodatniemi lub uje- mnemi, nie wyłączając zera, a n liczbą całkowitą dodatnią.
albo 2° t. zw. w y r a ż e n i e u ł a m k o w e , t. j. i l o r a z d w u w i e l o m i a n ó w c a ł k o w i t y c h w postaci:
amxm+ + ... + a2:r2+ « 13;+ «o bnxn+ b n- 1x n- 1+ ... + b 2x 2+ b 1x + b 0
Takie wyrażenie ułamkowe nazywa się w ł a ś c i w e m , gdy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika ( m< w) , a n i e w ł a ś c i w e m , gdy stopień licznika jest większy od sto pnia mianownika lub jemu równy (m^>n).
Wyrażenie ułamkowe niewłaściwe możemy za pomocą dzie lenia przedstawić jako w y r a ż e n i e m i e s z a n e , t. j. zło żone z wyrażenia całkowitego i właściwego wyrażenia ułamko wego. N. p.
) + ^ i
-Z dwu liczb ogólnych x i y otrzymamy podobnie: albo 1° t. z. w y r a ż e n i e c a ł k o w i t e w postaci:
aixm'yn' Jra.ixm*yn*-\- ... + arXmrynr ]
albo 2° t. zw. w y r a ż e n i e u ł a m k o w e w postaci:
<X\Xm'yn' Jca 2x m'-yn*-\- ... Ą-arxmrynr + b 2x 1>*y,,*-\- ... + b sxPsyis
Do wyrażeń podobnych kształtów dojdziemy, wykonywa- ją c cztery działania na trzech lub więcej liczbach ogólnych.
171. Podstawienia. Podstawiając w danem wyrażeniu za
miast liczb ogólnych pewne liczby szczególne , otrzymujemy wartość liczebną tego wyrażenia, odpowiadającą użytemu pod stawieniu.
Tak n. p. wyrażenie :
__ x 2+ l
otrzymuje dla rozmaitych wartości liczby ogólnej x rozmaite wartości, a t o :
dla x = 0 . 1 . 2 . 3, . . . oo, — 1, —2, —3, . —oo
będzie W = 0 . J | . T95, . . . 1, i, §, T90, .. 1.
Podstawiając x = c c , otrzymujemy wartość na W w postaci symbolu nieoznaczonego C° - W a r t o ś ć tego ułamka jest w tym przypadku tylko p o z o r n i e n i e o z n a c z o n ą , podzieliwszy bowiem licznik i mianownik danego wyrażenia ułamkowego przez x 2, przedstawimy je w postaci:
1 W=
i+ V
x La podstawiając teraz a?=co , otrzymujemy odpowiednią wartość na W = j - —- - = 1 . Podobnie otrzymujemy także dla x = — go, od- powiędną wartość na W także równą 1.
172. Wyrażenia ułamkowe przedstawiają się dla szczegól
nych wartości podstawionych za liczby ogólne w postaci sym bolu nieoznaczonego jj-, jeżeli licznik i mianownik mają czyn nik wspólny, który właśnie przy owych wartościach staje się równy zeru.
N. p. ułamek U = ~ — p, przedstawia się dla x = l w
po-00° x
staci pozornie nieoznaczonej ponieważ jego licznik i miano
wnik mają wspólny czynnik X— 1, który dla a?==l staje się ró wnym zeru. Sprowadziwszy dany ułamek do najprostszej postaci, a to podzieliwszy licznik i mianownik przez ich N W P (x — 1), otrzym ujem y:
a:2— 1 _ x + l
x 3— 1 x ‘lJrX-\-l
2
równą . Chcąc zatem wyznaczyć wartość wyrażenia ułamko-
3
wego dla rozmaitych wartości liczb ogólnych należy zawsze dane wyrażenia sprowadzić do możliwie najprostszej postaci.
173. Wyrażenia algebraiczne, utworzone z różnych liczb ogólnych za pomocą czterech działań głów nych, a równe dla wszelkich wartości liczb ogólnych, które wchodzą w skład tych
wyrażeń algebraicznych, nazywają się t o ż s a m o ś c i o w o
r ó w n e .
Tożsamościowo równe wyrażenia algebraiczne prowadzą ostatecznie po wykonaniu wskazanych działań do jednego i tego samego wyrażenia algebraicznego.
N. p. wyrażenia [ ¿ , + ¿ 5; ] i
są tożsamościowo równe, gdyż po wykonaniu wskazanych
dzia-$x p
łań prowadzą do wyrażenia ułamkowego : —^ X — 1
174. Twierdzenie. Równe liczby (lub wyrażenia), podzielone
przez równe liczby (lub wyrażenia), dają równe ilorazy.
Jeżeli a = b
i c=o!
natenczas także a : c —b :d . (Dlaczego?)
Ć w i c z e n i a X X X V I I .
1. Napisać ogólny kształt wyrażeń całkowitych stopnia 1S°5 2 g0 i 3ciego względem x.
2. .Napisać ogólny kształt wyrażenia ułamkowego właściwego, którego mianownik jest stopnia pierwszego względem zasady x.
3. Napisać ogólny kształt wyrażenia ułamkowego niewłaściwego, którego licznik jest 2S°, a mianownik 1S° stopnia względem x.
4 . Następujące wyrażenia ułamkowe przedstawić w postaci wyra żeń mieszanych i sprawdzić wyniki dla i C = l , y —2 :
. 36iC-f-4 8ic2 + 3it; , x 2-\-3x-\-2
a ) ^ T ' ® ;
^ x z— 2a;2 ^ x 2-\-y2 f.^ x i Ą-x2y — 8xy2—8y2
x i—x + l ’ E) x + y ’ % ~ -■ r. „ , ,, r x — « , ab 6. Znaleśc: a) —, gdy x = ; x —b a + b , o + l ab + a p) 1 , gdy x = —--- , y = — ;—'• x — y + 1 ab 1 c ó + 1 7. J a k ą wartość ma różnica x — a x—b a2 jeżeli x= a a—b
/ I 1 1 \ „ 1 1 + « I 1 3 1 ; |--- —--- —--- | = ? 9. — --- , = ? \« 2 ( « 2+ l ) 2 « 2+ l / 2 1 + « 2 2 1 + « f i 1 1 « + 2 1 x i — y k x 2Ą-xy 1 0 . 1 : 1 = ? 1 1 . — : — 9 = ? f 8 x— 1 3 « 2+ « + l J {x—y ) 2 « — y 1 1 1 1 1 ) i o ______________ •__________ < ________________________ v ____9 ( 1 — «)(1 — iC2) 2 ’ 1 (1 — « ) 2 ( 1 — x ) ( l — X2) ( 1 — « 2) 2 i x 6— 2«3+ l « 6 + 2« 3+ l 13' x 2—2 « + l ^ « 2 + 2 « + l . / x , 1—«\ / « 1 —« \ X 14- ( i ^ + — ) : ( r + ^ - - ^ J - ? 3 « 3— x 2— x — 1 a;3+ 3 « 2+ 5 « + 3 79 174.] 3« 3 + 5a; 2 + 3 « + x 3 + x 2+ x— 3 16. J| « 4 + g * 3 — 1 2 T52« 2 + 3 I ^ « + l | : ( « — 3 ) U ? 17. / [ ! _ ) - — ¿c+—a:2-]— « 31 : ( - + - - * ) } ; — + - « ) = ? \ [ 8 4 6 27 J \2 3 / j 2 3 / !8 . ( * + ^ + ' V - * + *' * + * - ( » - + \ y 2 « / \ */ 2 cc J \ y z x ) \ z x y ) f a 3— b 3 ' 19. I -— \-db [ a — b * 2 0 . { [ l + J ±+2/5 f a 3 + b 3 , 1 a — 6 2 • [ V+Ł J : ^ 2+ 6 2~"='
]■
2 1 . Znaleść dla « = 1 wartości następujących wyrażeń:
1 , cv— 1 1 ci) x 1 ; 0) - — y ) - 5— dj X2 — 1 ’ X— 1 ’ X 2 + X —2 « + 1 X— 1 E) + 2 3 + 7 7 -+ ; a?2+ 2 « — 3 ’ o z r r T ' « 3+ l ’ n) * 3— l ’ , . _ a 2 . _ 2 a — 1
2 2 . Jaką wartość otrzymują wyrażenia P = — i Q =
' ( a — l ) 2 ^ (a — l ) 2 dla a = 1 , a jaką ich różnica P — Q?
23. Znaleść dla a = co wartość następujących wyrażeń:
. a . . » 2 , 2 a 2— 3 a + 2
a') 2 ^ 1 ' ® a 2- 4 ’ ^ ¿ ^ 4
a
2 4 . Jakie wartości otrzymuje wyrażenie — dla a = 0 , 1, 2,
a ~~ł~ 1 3, oo, — 1, — 2, — 3, . . . — co ?
25. Jeżeli (a— b)(a— c ) = A , (b — a)(b— c) = B, (c— a)(c— &)== O , . , , , a 2 h2 c 2
----STOSUNKI I PROPORCYE.
§• 1.
175. Stosunek dwu wielkości. Dwie wielkości dowolne
A i B tego samego gatunku, n. p. dwie długości, możemy porównywać między sobą w tym celu, aby się przekonać, ile razy jedna wielkość mieści się w drugiej.
Takie porównywanie dwu wielkości jednogatunkowych A i B zaznaczamy w postaci ilorazu A : B, który nazywamy s t o s u n k i e m t y c h w i e l k o ś c i . Stosunek A :B , czytamy: A m a s ię d o B, albo krócej A do B.
Wielkości A i B nazywamy w y r a za m i stosunku; w szcze gólności pierwszy wyraz A (dzielna) nazywa się p o p r z e d n i k i e m , drugi wyraz B (dzielnik) n a s t ę p n i k i e m stosunku. Wartość stosunku, czyli liczba wskazująca, ile razy następnik mieści się w poprzedniku, zowie się w y k ł a d n i k i e m stosunku.
A by wyznaczyć wartość stosunku A : B, należy wielkość A porównywać z wielkrotnością wielkości B, albo z wielokrotno ścią jakiejkolwiek, n. p. w-tej, części wielkości B.
Znajdziemy w tedy:
albo 1° wielkość A jest wielokrotnością, n. p. ¿-krotnością wielkości B, wtedy piszemy: A =/!B , czyli A : B = Z , gdzie l jest liczbą całkowitą ;
albo 2° wielkość A nie jest wielokrotnością wielkości B, ale jest wielokrotnością (»»-krotnością) pewnej, n. p. »-tej, części wielkości B, wtedy piszemy: A = m . ” =™B , czyli A : B = ™ , gdzie litery m, n przedstawiają pewne liczby całkow ite;
albo 3° wielkość A nie jest ani wielokrotnością wielkości B, ani też wielokrotnością żadnej części wielkości B, tak że dla wszelkiej liczby n jest A > ” B, a zarazem A < j ^ ^ B , czyli ~ B < A
"W pierwszym przypadku wartość stosunku A : JB jest liczbą
całkowitą I, w drugim ułamkiem w trzecim zaś nie jest ani
liczbą całkowitą ani ułamkiem; w tym ostatnim przypadku w i dzimy tylko, że wartość stosunku A : B jest większa od ułamka
a mniejsza od ułamka co piszemy ta k :
m A mĄ- 1
n B n
17G. Wielkości spółmierne i niespółmierne. Dwie w iel
kości mające tę własność, źe żadna część jednej wielkości nie mieści się w drugiej bez reszty, czyli nie jest dokładną m i a r ą drugiej wielkości, nazywamy wielkościami n i e s p ó ł - m i e r n e m i ; dwie wielkości zaś tego rodzaju, iż pewna część jednej wielkości lub jedna w ielkość sama jest d o k ł a d n ą m i a r ą drugiej wielkości, nazywamy wielkościami s p ó ł m i e r - n e mi .
"Wartość stosunku dwu wielkości spółmiernycb można przedstawić dokładnie albo przez liczbę całkowitą albo przez ułamek, natomiast wartość stosunku dwu wielkości niespółmier- nych nie da się wyrazić żadną liczbą z zakresu liczb całkowi tych i ułamkowych.
Należy zatem znowu rozszerzyć zakres liczb, aby stosu nek dwu wielkości wyrazić w każdym przypadku przez liczbę.
177. Liczby niewymierne. Przedewszystkiem okazuje się,
że w przypadku gdy
m A m + 1 n <~ B n ’
stosunek wielkości A i B znajduje sie między dwiema granicami
™ i m~~, których różnica jest równa Biorąc jako w^artość
stosunku A : B , bądź to ułamek —, bądź też ułamek nie
otrzymujemy dokładnej wartości stosunku A : B , lecz popełnia my błąd, który jest różnicą między niewiadomą d o k ł a d n ą a p r z y j ę t ą błędną wartością stosunku. Ten błąd będzie je
dnakże w obu razach mniejszy niż a to w pierwszym przy
padku przez n i e d o m i a r , w drugim zaś przed n a d m i a r . Ponie waż n jest liczbą dowolną, przeto przyjmując coraz większe w, możemy wartość jednostki ułamkowej ~ zmniejszyć według upodobania, możemy zatem wartość stosunku A :B wyrazić w postaci liczby ułamkowej, wprawdzie w przybliżeniu , ale z wszelką żądaną dokładnością.
dokładnie wyrazić nie można, które jednak leżą zawsze między dwiema po sobie następującemi liczbami ułamkowemi, jakkol wiek małe byłyby jednostki ułamkowe tych liczb, nazywamy liczbami n i e w y m i e r n e mi , dla odróżnienia od liczb całko witych i ułam kowych, które nazywamy liczbami w y m i e r - n e m i .
178. Wprowadzenie liczb niewymiernych dozwala wyzna
czyć wartość stosunku dwu wielkości także w tym przypadku, gdy te wielkości nie są spółmierne,
Geometrya podaje wiele przykładów liczb niewymiernych, n. p. liczbę niewymierną, wyrażającą stosunek przekątni kw a dratu do jego boku, którą z błędem mniejszym od l przedstawia ułamek |, z błędem mniejszym od -f Jn ułamek j B l , z błędem mniejszym od Ta'Bu, ułamek {¡join i h d. Liczba ar, wyrażająca stosunek obwodu koła do jego średnicy, jest liczbą niewymierną, którą z błędem mniejszym od 1 przedstawia liczba V! = 31, z błę
dem mniejszym od ułamek f ¿ j , a z błędem mniejszym od
inniin ułamek jnuóa- /
179. Zakres liczb wymiernych i niewymiernych. Liczby
wymierne i niewymierne mogą być albo bezwzględne albo względne (dodatnie lub ujemne). Wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą jeden zakres liczb, zwany z a k r e s e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
Zakres liczb rzeczywistych bezwzględnych (a to wymier nych i niewymiernych), przedstawiamy obrazowo punktami, roz mieszczonymi . na pewnej prostej nieograniczonej, wychodzącej z pewnego punktu 0 w jednym kierunku, jak na figurze:
P
gdzie zaznaczone są tylko punkta, odpowiadające liczbom całko - witym. Każdemu punktowi P tej prostej odpowiada pewna liczba bezwzględna (wymierna albo niewymierna), a nawzajem każdej liczbie bezwzględnej, wymiernej lub niewymiernej, odpo wiada pewien punkt tej prostej.
Zakres liczb rzeczywistych względnych przedstawiamy ana logicznie punktami, rozmieszczonymi na prostej, rozciągającej się z punktu 0 w dwu kierunkach, wprost sobie przeciwnych, w nieskończoność, jak to przedstawia figura:
181.]
83
P' O P
■<---1--- 1— I— I— 1--- 1---1— I— I >
— 3 — 2 — 1 1 2 3
Każdemu punktowi P po prawej stronie punktu 0 odpo wiada pewna liczba rzeczywista dodatnia, każdemu punktowi P' po lewej stronie punktu 0 pewna liczba rzeczywista ujemna ; nawzajem każdej liczbie rzeczywistej dodatniej odpowiada pe wien punkt po prawej stronie punktu 0, a każdej liczbie rze czywistej ujemnej punkt po lewej stronie punktu 0.
180. Jednostka miernicza. Dochodząc , ile razy wielkość
B mieści się w wielkości A, powiadamy, że m i e r z y m y wiel kość A przez wielkość B, i nazywamy wtedy wielkość B j e d n o s t k ą m i e r n i c z ą wielkości A.
Mierząc d a n e. dwie wielkości jedno gatunkowe tą samą jednostką mierniczą M, możemy zastąpić stosunek dwu wiel kości A i B stosunkiem dwu liczb.
Jeżeli bowiem jednostka miernicza M w wielkości A mie ści się a-razy, w wielkości B zaś 5-razy, wtedy piszemy A = a .M , B = 6 .M , a przedstawiamy stosunek A :B w postaci a. M: &. M, czyli (a jednostek mierniczych rodzaju M ): (b jednostek mierni czych rodzaju M), a ten stosunek możemy znowu zastąpić stosunkiem dwu liczb niemianowanych a: b, gdzie liczby a i b mogą być liczbami wymiernemi (t. j. calkowitemi lub ułam- kowemi) albo liczbami niewymiernemi.
Porównując ze sobą ilości przedmiotów tego samego
rodzaju n. p. a złr. i b złr. otrzymujemy stosunek liczb mia nowanych, a złr. :b złr., który zastępujemy stosunkiem liczb niemianowanych a: b, gdzie a i b są liczbami calkowitemi.
181. Wielkości ciągłe i wielkości oddzielne. Wielkości,
w których koniec jednej ich części jest zarazem początkiem na stępnej, nazywamy w i e l k o ś c i a m i c i ą g i e m i, n. p. długości, powierzchnie, objętości, ciężary, czas, i t. p. W ielkości zaś, składające się z przedmiotów tego samego rodzaju, z których każdy tworzy oddzielną całość, zowiemy w i e l k o ś c i a m i o d- d z i e l n e m i , n. p. pewna ilość złr., tuzin ołówków, stado koni, trzoda zwierząt, rzesza ludzi i t. p.
Stosunek dwu wielkości o d d z i e l n y c h tego samego ro dzaju da się zawsze przedstawić jako stosunek dwu liczb całko witych , natomiast stosunek dwu wielkości ciągłych możemy otrzymać albo jako stosunek liczb całkowitych albo ułamkowych,
stawiamy wtedy zapomocą stosunku liczb wymierzonych z pewną żądaną dokładnością.
ć w i c z e n i a X X X V I I I . Znaleść wykładniki stosunków :
1. 24 gro sz y: 16 groszy. 2. 4 « i : 8 » l .
3. 121 kg : 11 kg. 4. 6 m 5 0 c m : i 3 0 c m . 5. 6. 7 g r - . 2 \ k g . 7. 3-j : 13. < 8. 7 T' 2 : 4|. 9. a 2b : a b2. 10. ( w 2— n 2):(m -\-n ). 11. ( w 2-f-2mn-\-n2) : (mĄ-ri). 12. (am— bm) : (cin— bri). 13. 3 - 1 4 1 6 . . : 2 -7 1 8 2 3 . . 14. 1 - 4 1 4 . . : 0 ' 5 4 . . T ab ~| T 7 ab 1 , 1 1 15. a-\-b---— : « - 6 + --- . 16. a-\-b\ [ a — ó j a b a b r a 1 I a 1
17- r « - 18- L + d : L
1~H
-iq f (^ + y )2 1 2xy{x2 Ą-y2)L
2*«/J
x2—
y 2182. Przekształcanie stosunków. Twierdzenie. Wartość
stosunku nie zmienia się, jeżeli oba wyrazy stosunku przez tę samą liczbę pomnożymy lub podzielimy.
To twierdzenie wypływa bezpośrednio z własności ilorazu art. 119 (wz. 38.) i dozwala stosunek danych liczb przekształcić na stosunek innych liczb.
Wszystkie stosunki otrzymane w ten sposób z jednego i tego samego stosunku, nazywamy s t o s u n k a m i r ó w n e m i .
Przekształcanie danego stosunku na inny, jemu równy, ma na celu dany stosunek wyrazić za pomocą liczb całkowi tych możliwie najmniejszych, a to z zupełną dokładnością przy
stosunku liczb wymiernych lub w przybliżeniu z żądaną do kładnością przy stosunku liczb niewymiernych.
W tym celu dany stosunek należy naprzód uwolnić od ułamków, mnożąc oba jego wyrazy przez najmniejszy wspólny mianownik, a następnie należy otrzymany stosunek liczb lub wyrażeń całkowitych uprościć, dzieląc oba jego wyrazy przez największy wspólny podzielnik. N. p.
a b a b , .. , , „
a) —- : —= — .m n :— ,mn—an\ bm. a) ab : a c = b . c.
m n m n
ć w i c z e n i a X X X I X .
1. Następujące stosunki wyrazić w liczbach lub wyrażeniach całko witych :
185.] 85 y) 4 TV 5 Ty , d ;7 j:.9 | :
[ J [ 2a6
J
6 + »t 6 — m2. Następujące stosunki przedstawić w najmniejszych liczbach całkowitych: a ) 1 0 8 0 : 5 1 6 ; 3 8 2 5 : 5 1 7 5 ;
J/)' 1 7 0 1 : 1 9 4 4 ; dj 4 8 4 : 1 6 9 4 .
3. Następujące stosunki przekształcić na inne, których pierwszy wyraz byłby równy 1 2 , a to : a) 5 : 4 1 ; fi) 7 : 1 7 .
4 . Czy zmieni się stosunek, jeżeli do poprzednika i następnika dodamy tę samą liczbę ? Jaką będzie różnica wartości obu stosunków, a jakim ich iloraz ?
§• 2.
Proporeye.
183. Określenie proporcji. Połączenie dwu równych sto sunków za pomocą znaku równości nazywamy p r o p o r c y ą .
Jeżeli n. p. a:b i c :d są dwa równe stosunki, tak że
a :b = w , c\ d = w , natenczas mamy proporcyę:
a : b = c : d (52)
(c z y t.: „a m a s i ę d o b, jak c d o du).
W yrazy a, b, c i d nazywamy kolejno p i e r w s z y m , d r u g i m , t r z e c i m i c z w a r t y m w y r a z e m proporcyi; stosu nek a :b nazywamy p i e r w s z y m , c :d d r u g i m stosunkiem; wyrazy a i c zowią się zwykle p o p r z e d n i k a m i , J i i n a s t ę p n i k a m i ; wreszcie zowiemy wyrazy a i d w y r a z a m i s k r a j n y m i , b i c wyrazami ś r e d n i m i proporcyi.
184. Uwaga. W yrazy proporcyi mogą być wielkościami
lub liczbami mianowanemu albo liczbami niemianowanemi;
wyrazy jednego stosunku winne być jednogatunkowe, jakkol wiek mogą się różnić co do gatunku od wyrazów drugiego stosunku. U. p. a k g : b kg—c złr. : d złr.
Zastępując stosunki wielkości stosunkami liczb, możemy wszelką proporcyę wielkości lub liczb mianowanych zastąpić proporcyą liczb niemianowanych, i taką się obecnie zajmiemy.
185. Zasadnicze własności proporcyi. Z określenia pro porcyi wynika bezpośrednio następująca własność zasadnicza:
W każdej proporcyi wykładnik pierwszego stosunku jest równy wykładnikowi drugiego stosunku.
Ta własność służy do zbadania, czy proporcyą jest prawdziwa.
N. p. Proporcyą 1 i : ^ J ^ jest prawdziwa, gdyż tak 1^ : | = 2 , jak i : £ = 2 .
W każdej proporcyi iloczyn wyrazóiv skrajnych jest równy iloczynowi tcyrazów średnich.
Z proporcyi a : b —c:cl, czyli równości: y —-j wynika bo wiem na podstawie art. 47. równość: bd ,~ = bd .~ ^
a stąd: a . d = b . c . (53)
To twierdzenie stanowi, podobnie jak równość stosunków, istotną cechę proporcyi, może zatem także posłużyć do zbada
nia jej prawdziwości. N. p. W prop l j : f — 3 : 5 jest l j . ś =
§ . ¿ = 1, również, § . 3 = 5 .
Na odw rót: Z diva równych iloczynów możemy utworzyć pro-
p orcyę, biorąc czynniki jednego iloczynu jako wyrazy średnief czynniki zaś drugiego iloczynu jako icyrazy skrajne proporcyi.
Skoro bowiem a d = b c , wtedy także skąd y = --j,
czyli a : b = c : d .
186. Wniosek. Wszelką proporcyę możemy, zmieniając
porządek wyrazów, napisać na o ś m sposobów, przyczem uwa żamy tylko na to, aby iloczyn wyrazów skrajnych był równy iloczynowi wyrazów średnich.
187. Proporcya złożona. Iloczyny odpowiednich wyrazów ilukolwiek proporcyj tworzą znowu proporcyę, zwaną p r o p o r - c y ą z ł o ż o n ą .
Niech będzie: a : b = c : d
e : f = g : h i : k = l : m
natenczas, oznaczywszy wykładniki równych stosunków kolejno przez q1, q2, g.j. otrzymamy: a = b .q l c = d .q 1 e—f-q% 9 = h.q2 i —k.q3 l —m. q3 a stąd: aei -= bfk. ql q2 q3 ; cgl: dhm. qA q2 q3 zatem aei: bfk=cgl\ dhm. ć w i c z e n i a X L .
1. Do stosunku 5 : 1 1 dobrać stosunek równy i utworzyć pro porcyę, podobnie do stosunku | : |.
2 . W jaki sposób dadzą się przemienić wyrazy proporcyi ;
a) m : n = p \ q \ (3) 1 0 : 2 = 1 5 : 3 .
3. Utworzyć proporcyę z następujących iloczynów równych:
a) 5 a = 4 ó ; /?) a2x = b 2y,
y) Ła2b= 3cd 2 ; 6) xx‘ = y y ‘. 4. Zbadać prawdziwość następujących proporcyj :
y) (a-4 b) : (a—6) = (« 2 -\-s2abĄ-b1) : (a2—62).
5. Czy dadzą, się liczby 15, 4 0 , 5 6 , 21 zestawić w proporcyę ? 6 . Dowieść, że ilorazy odpowiednich wyrazów dwu proporcyj tworzą nową proporcyę.
188. Przekształcenie proporcyi. Z danej proporcji możemy otrzymać inne proporcyę, zmieniając poszczególne jej wyrazy.
Opierając się bowiem na równości stosunków (art. 182) i bacząc na to, aby przy zmianie wartości poszczególnych wyra zów i ich przestawieni! iloczyn wyrazów skrajnych utworzonej proporcyi pozostał równy iloczynowi jej wyrazów średnich, otrzymujemy następujące twierdzenie:
Pomnożywszy lub podzieliwszy w proporcyi wszystkie je j wy razy, albo tylko jeden wyraz skrajny i jeden wyraz średni, przez tę samą liczbę, otrzymujemy znowu prawdziwą proporcyę.
189. Stosując powyższe twierdzenia, możemy daną propor cyę p r z e k s z t a ł c i ć , a to
1° każdą proporcyę, w której bądź wszystkie bądź niektóre wyrazy są ułamkami, w y r a z i ć l i c z b a m i c a ł k o w i t e m i .
2° każdą proporcyę , której wyraz skrajny i średni mają wspólny podzielnik, przez tenże u p r o ś c i ć , a więc proporcyę wyrazić l i c z b a m i całkowitemi, możliwie n a j m n i e j s z e m i .
Przykłady: 1. Z proporcyi a : ^ = b : ~ otrzymamy, mnożąc drugi i czwarty wyraz przez nq, proporcyę: a : mq = b : np.
2. Z proporcyi otrzymamy również, mnożąc
wyrazy pierwszego stosunku przez mn, a drugiego przez p q proporcyę: an : bm—cą : dp.
3. Z proporcyi am2: bn—cm2 : dn otrzymamy, dzieląc pier wszy i trzeci wyraz przez m2, drugi i czwarty przez n, pro porcyę : a : b— c : d.
190. Twierdzenie. W lcażdej proporcyi suma lub różnica
wyrazów pierwszego stosunku ma się tak do pierwszego ( odpowiednio drugiego) wyrazu, jak się ma suma lub różnica wyrazów drugiego stosunku do trzeciego (odpowiednio czwartego) wyrazu.
Dowód. Niech będzie a :b = c:d, natenczas kładąc a\b-=w,
c : d = w , otrzymamy: a—bw, c—dw, stąd: b = a . ~ \ d =c.~).
Na tej podstawie będzie
a + b = a + a , - = a ( 1 + - ) , — — w \ — w / * c + d = c Jr c . —= c ( l + —\— — w \ — w J1 a w ięc: (a ± b ) : a = l ± ~ , (c ± d ): c = 1 + - , zatem : (<*+&): a = ( c + d ) : c. (54) Dalej będ zie: a jrb = bw+b—b (w + l), c ± d = dw+d= d{wjr 1). 87 190.]
a więc : («+&) '• b = w + 1, (c+d) : d = w + 1,
zatem: (« + & ): & = (c + c i): d. (55)
191. Na podstawie równości (54) i (55) otrzymamy z pro- porcyi a : b = c : d także następujące proporcye:
( a + b ) : ( c + d ) = a : c (a— b) : (c—d ) = a : c
= b : d, = b : d , .
a wi ęc: (a+.b): (c + d)—(a — b ) : (c— d), czyli proporcyę
( a + b ) : (a—b)=(c + d) : (c —cl)
wyrażającą własność każdej proporcyi. W yrazić ją słowami. 192. Przestawiwszy w danej proporcyi a: b = c : d średnie wyrazy, otrzymujemy proporcyę a : c —b : d, z której, stosując twierdzenie art. 190., otrzymamy:
(a + c ): a = ( b + d ) : b ; (ai-c) : c = (5 + d ) : d ;
a stąd rów n ości:
( a + c ) : ( b + d ) —a : b (a—ć)\{b - d)—a\b
—c : d, = c : d,
przeto także: ( a + ć ) : (b + d )= ( a — c ) : (b—d), czyli proporcyę
( a + c) : (a—c)=(b + d): (b — d), wyrażającą dalszą własność każdej proporcyi.
193. Przekształcenia ilukolw iek stosunków równych.
Niech będzie dany szereg stosunków równych :
a : a‘ = b : b‘ = c : c‘ = ..
których wykładnik nazwijmy X, wtedy otrzymamy:
a = ż a ', ć = ż ć‘, c = Z c ‘, i t. d. a stąd: (a + ó + c + . .):=X(al + bt +c* + .) , / i a + b + c + .. a b c a + b + c + .. K„ a zatem: —==—= —===..=* ——— ---- (5b) a1 b‘ c a‘ + b‘ + c‘ + ..
To znaczy: Z szeregu stosunków równych możemy utworzyć
nowy stosunek równy danym, biorąc jako poprzednik tego stosunku sumę poprzedników, a jako następnik sumę następników danych
stosunków.
194. Uogólniając powyższe twierdzenie, otrzymamy z sze regu stosunków :
a b c .
a‘ b' c‘ "
z powodu że a— Aa', b=?.b\ c= A x‘ i t. d., także :
am=A . a‘m, b n = A . b ‘n, c p = A . c ‘p, i t. d.,
przeto: A = 195.] 89 amĄ-bn+cpĄ-. .—A(a‘m-\-b'n+c‘p-\-..) am -\-bn+cp+.. a‘m-\-b‘n + c ‘p j - .. a b c a m + b n + c p + .. a zatem: —;= v “ = “7= - . ==—: ,--- (57) a‘ b‘ c a m + b n+cp-\-.. ’
■ To znaczy: Z szeregu stosunków równych możemy utworzyć nowy stosunek, równy danym, biorąc jako poprzednik tego stosunku wielomian, utworzony ze wszystkich lub tylko z kilku poprzednikóic, a jabo następnik wielomian, utworzony w ten sam sposób z odpowie dnich następników danych stosunków.
Uwaga. Szereg równych stosunków piszemy częstokroć w postaci t. z. proporcyi b i e ż ą c e j , jako t o :
a\b: c: d : .. . = a ‘ : b‘ : c‘ : d‘ : . . .
ć w i c z e n i a X L I.
1. Następujące proporcye uwolnić od ułamków:
a) 5 : 3 5 . /?) ? f : 4j8r = 3|: 2tV
2 . Jakie proporcye prostsze dadzą się wyprowadzić z proporcyi:
a) (3a + 7 b : ( 3 a 7 b ) = ( \ l p —
/?) (7iC + 8y) : ( J x — 8y) = (6w-|-4t>— Qw) : (5w— 4 v - f 6 mj). 3. Z równości stosunków a : 5 = & : 7 = e : l = ( f obliczj'ć wartość stosunku (a + 6 + c ) : d. . T , « y * u x —y + z —u 4. Jeżeli oblicz---2 3 4 5 x-\-y-\-Z-{-u a b c d 3a-|-2&— c-\-4d 5. Jeżeli — o b l i c z --- . 1 2 3 4 ’ a - b + S c - d
195. Rozwiązanie proporcyi. Opierając się na tej wła sności proporcyi, źe iloczyn wyrazów skrajnych jest równy ilo czynowi wyrazów średnich, możemy w proporcyi wynaleść jeden wyraz, gdy trzy inne są dane. Mianowicie otrzymamy z pro porcyi a : b = c : d równość ad=bc, a stąd:
bc , ad ad , bc
a —- - , b = — , c—^r, d— — .
d c b a
To znaczy: Wyraz skrajny proporcyi jest równy iloczynowi
wyrazów średnich, podzielonemu przez drugi wyraz skrajny; wyraz średni jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych, podbielonemu przez drugi wyraz średni.
Obliczenie wyrazu niewiadomego proporcyi z trzech danych wyrazów nazywa się r o z w i ą z a n i e m p r o p o r c y i .
W yraz czwarty zowie się także c z w a r t ą p r o p o r c y o - n a l n ą do trzech danych wyrazów.
7.1 5
Mamy t u : x —--- = 2 1 . Niewiadomy wyraz jest 2 1 ; w istocie 5
jest 21 : 7 = 15 : 5 = 3.
196. Proporcj a ciągła. P roporcya, której średnie lub skrajne wyrazy są równe, nazywa się ciągłą, n. p. 8 : 4 = 4 : ‘2, ogólnie
a : b = b : c . (58)
Średni wyraz równy b zowie się ś r e d n i ą p r o p o r c y o - n al n ą , albo ś r e d n i ą g e o m e t r y c z n ą dwu wyrazów nieró wnych ; wyraz c zowie się także t r z e c i ą c i ą g ł ą p r o p o r - c y o n a l n ą do wyrazów a i b.
Z proporcyi ciągłej a : b = b : c w ypływ a:
b 2= a . c .
To znaczy: W proporcyi ciągłej lacadrat średniej proporcyo-
nalnej jest równy iloczynowi dwu innych wyrazów.
197. Proporcya harmoniczna. Jeżeli liczby a, b i c tak
są od siebie zależne, że dogadzają proporcyi
(.a - b ) : ( b - c ) = a : c (59)
wówczas powiadamy, że liczby a, b i c są h a r m o n i c z n i e p r o p o r c y o n a l n e , a proporcyę taką nazywamy p r o p o i c y ą
h a r m o n i c z n ą ; liczba b zowie się w tym razie ś r e d n i ą
h a r m o n i c z n i e p r o p o r c y o n a l n ą względem liczb a i c. Tak n. p. liczby 6, 4, 3, są harmonicznie proporcyonalne, gdyż (6—4): (4—3 ) = 6 :3.
Z proporcyi harmonicznej (a - b ) : ( b —c)= a \ c otrzymamy:
(a ~ b ) c = ( b —ć)a czyli ac—bc—ab— ac,
a stąd następujące w zory:
(a) 2 ac — ab=bc, (0) 2ac=ab + bc, (y) 2 ac—bc—ab,
a(2c— b)=bc, 2 a c= b( a+c), c(2a— b )= a b ,
be , 2 ac ab
a==—--- 0 = --- . c—r:--- 7.
2 c —b a + c 2a— b
Z wzoru podającego wartość średniej harmonicznie
proporcyonalnej względem dwu liczb, a i c, otrzymujemy jako