Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [−1, 1] mają
„równe szanse” na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść?
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [−1, 1] mają
„równe szanse” na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść?
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [−1, 1] mają
„równe szanse” na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść?
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [−1, 1] mają
„równe szanse” na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść?
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to:
∀>0∃M∀x >M| sin x − 1| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą.
Gdyby tak było, to:
∀>0∃M∀x >M| sin x − 1| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to:
∀>0∃M∀x >M| sin x − 1| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to:
∀>0∃M∀x >M| sin x − 1| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to:
∀>0∃M∀x >M| sin x − 1| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12.
M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M.
Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0,
a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − 1| .
Zatem możemy wybrać = 12. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem
| sin x − 1| 12 = .
Zatem 1 nie jest szukaną granicą.
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było:
∀>0∃M∀x >M| sin x − a| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą.
Gdyby tak było:
∀>0∃M∀x >M| sin x − a| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było:
∀>0∃M∀x >M| sin x − a| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było:
∀>0∃M∀x >M| sin x − a| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →∞sin x nie istnieje.
Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było:
∀>0∃M∀x >M| sin x − a| < .
Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0.
M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą.
Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M.
Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π =
sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1,
a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą.
Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności
(dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).
Obliczanie granic z definicji - przykład 2
Mamy dowieść:
∃>0∀M∃x >M| sin x − a| .
Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = b2 > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +12)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + 12)π = sin12π = 1, a zatem
| sin x − a| |1 − a| = b > b2 = .
Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).