Ile wynosi lim
x →22x + 1?
Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0.
Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − 2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −2, 2 + 2).
Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony.
Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy).
Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.
Obliczanie granic z definicji - przykład 1
Ile wynosi lim
x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.
Zadanie
Udowodnić z definicji, że lim
x →22x + 1 = 5.
Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że
∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .
Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli
|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .
Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −2, 2 + 2). Zatem wystarczy wybrać δ = 2, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy
, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.