7. Modele matematyczne elementów mikrohydraulicznych
7.5. Opracowanie modelu dynamicznego mikropompy zębatej
ROZWIĄZANIE MODELU
Modelowe badania dynamiki mikropompy zębatej można przeprowadzić w dwoja-ki sposób.
Pierwsza metoda polega na analizie zjawisk zachodzących w całym układzie napę-dowym. Układ taki składa się z silnika napędowego, sprzęgła podatnego oraz pompy. W takich rozważaniach do obliczeń wprowadza się tylko niezbędne parametry:
• masowe momenty bezwładności wirnika, wentylatora, sprzęgła i kół zębatych, • opisujące zmienne cechy sprężysto-tłumiące sprzęgła podatnego (model ciała
Kelvina–Voigta),
• sztywność skrętną wałów,
• średnią sztywności zębów i średnie tłumienie,
• tłumienie wynikające z oddziaływania cieczy w szczelinach promieniowych i osiowych,
• luzy międzyzębne w przypadku zmiany kierunku przepływu mocy .
Za pomocą tak dobranego modelu dynamicznego całego układu napędowego prze-prowadza się badania wpływu zmian konstrukcyjnych, np. na częstość drgań wła-snych, czy też wpływ nagłego włączenia silnika lub zmiany kierunku obrotu.
Rys. 7.28. Uproszczony model dynamiczny napędu pompy zębatej: 1 – wentylator silnika, 2 – wirnik, 3 – wał napędowy,
4 – sprzęgło podatne, 5 – pompa zębata
Druga metoda polega na badaniu zjawisk zachodzących wewnątrz pompy. W tym wypadku można założyć kilka uproszczeń, które sprowadzają się do rozpatrywania
modelu o małej liczbie stopni swobody. Na rysunku 2 przedstawiono przyjęty dwuma-sowy model dynamiczny mikropompy zębatej, zbudowany na podstawie następują-cych założeń:
• ze względu na zwartą budowę pompy zębatej (krótki i sztywny wałek umiesz-czony w niewielkiej odległości pomiędzy łożyskami ślizgowymi oraz duża sztywność korpusu pompy) ograniczono się wyłącznie do analizy drgań skręt-nych, pomijając drgania poprzeczne i osiowe,
• założono, że podatność giętna wałów jest nieskończenie mała, a łożyska są nie-odkształcalne,
• przyjęto pełną kompensację sił osiowych na kołach zębatych,
• przyjęto, że moment przekazywany na wałek pędny pompy z układu napędowe-go jest stacjonarny, niezmienny w czasie,
• prędkość obrotowa wałka pompy jest stała, • ciśnienie po stronie tłocznej pompy jest stałe,
• pulsacji ciśnienia tłoczenia nie ma wpływu na przebieg momentu naporu cieczy działającego na każde z kół zębatych,
• przyjęto znikomy wpływ sił związanych z bezwładnością i reakcją hydrodyna-miczną strumienia cieczy,
• założono brak nadwyżki ciśnienia w przestrzeni zasklepionej, • pominięto wpływ luzu międzyzębnego,
• uwzględniono wpływ tłumienia pomiędzy współpracującymi zębami,
• uwzględniono wpływ tłumienia obwodowego wynikającego z oddziaływania cie-czy w szczelinach.
W przedstawionym modelu dynamicznym założono, że wał koła pędnego porusza się ze stałą prędkości kątową ω. Element sprężysty o współczynniku cw obrazuje sztywność skrętną wału. Koła zębate stanowią dwie bryły nieodkształcalne o maso-wych momentach bezwładności J1 i J2. Koło czynne 1 oddziałuje na koło 2 przez ele-ment lepkosprężysty o zmiennej sztywności zazębienia cz(t) oraz poprzez stały współ-czynnik tłumienia w zazębieniu kz. Obciążenie w zazębieniu P przebiega w kierunku prawidłowym do zarysu zębów, a więc działa wzdłuż linii przyporu będącej styczną do okręgów zasadniczych koła czynnego i biernego. Współczynnik kt imituje tłumie-nie obwodowe drgań skrętnych kół wynikające z oddziaływania cieczy w szczelinach. Założono, że parametr kt jest stały dla obu kół i obrazuje moment strat Mt1 i Mt2. Na koła działają ponadto zmienne w czasie momenty od naporu cieczy M1 i M2.
Korzystając z zasady d’Alamberta, dla każdej z mas skupionych uzyskuje się na-stępujący układ równań różniczkowych:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 , , , 0 , , , 0 d z t wd d z t J P r M t M M J P r M t M β β β β β β β β β β β β − − − − − = − + − − = ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ (7.58)Wartość obciążenia dynamicznego w zazębieniu dla elementu lepkosprężystego można określić z wzoru:
( )(
1 2) (
1 2)
d z z z
P =r c t β β− +k β βɺ − ɺ (7.59) W przyjętym modelu założono prostokątny przebieg zmiany sztywności.
Moment dynamiczny na wałku pompy:
(
1 0)
wd w
M =c
β β
− (7.60)Moment strat tarcia lepkiego w szczelinach dla i-tego koła zębatego:
t i t i
M =kβɺ (7.61)
Moment od naporu cieczy dla i-tego koła zębatego można określić na podstawie powszechnie znanej zależności:
2 2( ) 2 st i w i p b M = ⋅ ⋅r −ρ t (7.62) gdzie: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 sin 2 2 2 sin 2 2 t t z t z t t z t z l l r r r t r t l l r r r t r t ρ ω α ω ρ ω α ω = + − + − = − − + − (7.63)
Rys.7.30. Przebieg zmiany sztywności cz(t)
Obliczenia pomp modelowych przeprowadzono na podstawie parametrów zesta-wionych w tabeli 7.4. Przytoczone wartości odpowiadają jednostce prototypowej PZ0 o wydajności jednostkowej q = 1 cm3/obr.
Tabela 7.4. Dane przyjęte do obliczeń dynamicznych
Parametr Symbol Jednostka Wartość
Masowy moment bezwładności koła (1) J1 kg·m2 4,907·10–7
Masowy moment bezwładności koła (2) J2 kg·m2 4,195·10–7
Sztywność skrętna wału cw N·m/rad 281,64
Maksymalna sztywność zazębienia czmax N/m 2,1·108
Minimalna sztywność zazębienia czmin N/m 1,13·108
Współczynnik tłumienia w zazębieniu kz N·s/m 0,7
Współczynnik tłumienia obwodowego kt N·m s/rad 0,0075
Ciśnienie nominalne pnom MPa 20
Prędkość obrotowa n obr/min 1500
Równania ruchu modelu (7.58) rozwiązano metodą numeryczną. Użyto do tego celu oprogramowania Mathematica 4.0. W obliczeniach wykorzystano metodę Runge-go–Kutty o stałym kroku całkowania. Przykładowy teoretyczne przebieg momentu dynamicznego dla prędkości obrotowej n = 1200 obr/min przedstawiono na rysun-ku 7.32. W trakcie symulacji zaobserwowano, iż moment dynamiczny ustala się po kilku okresach zazębienia. Przytoczony wykres przedstawia przedział czasu, w którym przebieg jest już ustalony. Obliczone zmiany momentu dynamicznego odbywają się
Rys. 7.31. Teoretyczny przebieg momentu Mi od naporu cieczy: a) na kole czynnym, b) na kole biernym
Rys. 7.32. Teoretyczny przebieg momentu dynamicznego Md
z częstotliwością zazębienia fz, na które nakładają się zmiany o dużej częstotliwości fw. Częstotliwość fw zależy w głównej mierze od sztywności wałka cw i jest wzbudzana w momencie rozpoczęcia współpracy przez nową parę zębów. Zmiany momentu z częstotliwością fw zanikają całkowicie w krótkim czasie na skutek tłumienia obwo-dowego kt.
WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ
Ax – pole powierzchni przekroju przepływowego szczeliny w mikrorozdzielaczu
A(z) – pole najmniejszego przekroju, przez który płynie ciecz dt – średnica tłoczka
l – długość tłoczka
E – moduł sprężystości objętościowej cieczy F – siła działająca na element sterujący zaworu f – częstotliwość
q – wydajność jednostkowa h – grubość lub wysokość szczeliny J – masowy moment bezwładności
L – długość otworu w mikrozaworze zwrotnym lp – odległość między rozpatrywanymi przekrojami
m – masa ruchomych elementów nastawczych zaworu oraz związanego słupa cieczy M – moment siły
n – prędkość obrotowa p – ciśnienie
Re – liczba Reynoldsa V – objętość
v – średnia prędkość przepływu cieczy roboczej X – przemieszczenie suwaka
x – przemieszczenie grzybka zaworu ∆p – spadek ciśnienia
ρ – gęstość cieczy
Q – objętościowe natężenie przepływu cieczy
ξ – współczynnik przepływu
xp – wielkość przekrycia w parze suwak–tuleja
ss – maksymalna szerokość szczeliny
xm – wysokość szczeliny
ν – kinematyczny współczynnik lepkości
µ – bezwymiarowy współczynnik przepływu η – dynamiczny współczynniki lepkości
ω – prędkość kątowa
LITERATURA
[7.1] Tomczyk J., Wpływ przebiegu zmienności ciśnienia na dynamikę rozruchu układu z napędem
hydraulicznym o stałym wydatku, praca doktorska, Łódź 1982.
[7.2] Cannon R.H., Dynamika układów fizycznych, WNT, Warszawa 1973. [7.3] Stryczek S., Napęd hydrostatyczny, WNT, Warszawa 1984.
[7.4] Osiecki A., Hydrostatyczny napęd maszyn, WNT, Warszawa 1998.
[7.5] Borghi M., Milani M., Paoluzzi R., Influence of Notch Shape and Number of Notches on the
Metering Characteristics of Hydraulic Spool Valves, International Journal of Fluid Power 6
(2005), No. 2.
[7.6] Kollek W., Kudźma Z., Wpływ geometrii grzybka i gniazda zaworów wzniosowych na
współczyn-nik przepływu, Sterowanie i napęd hydrauliczny, nr 6/83.
[7.7] Wong A.P., Bullough W.A., Chin S.B., Chua Y.S., Performance of the piezo-poppet valve. Part 1, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part I, Journal of Systems and Control
Engineering, Jan. 1, 2006, Vol. 220, Issue 6.
[7.8] Wong A.P., Bullough W.A., Chin S.B., Performance of the piezo-poppet valve. Part 2, Proceed-ings of the Institution of Mechanical Engineers. Part I, Journal of Systems and Control