7. Modele matematyczne elementów mikrohydraulicznych
7.4. Opracowanie modelu matematycznego mikrozaworu bezpieczeństwa
ROZWIĄZANIE MODELU Modelowany zawór został przedstawiony na rysunku 7.12.
Uproszczony nieliniowy model mikrozaworu maksymalnego składa się z trzech równań różniczkowych. W modelu założono, że ciśnienie za elementem domykającym (grzybkiem) jest równe zeru.
Rys. 7.12. Przekrój osiowy modelowanego zaworu maksymalnego z ostrokrawędziową formą gniazda i grzybkiem stożkowym
Pierwsze równanie różniczkowe dotyczy sił działających na element domykający zaworu (grzybek): 2 2 π ( ) ( ) 4 st d d x dx d m b kx t p t kx F dt + dt + = − + (7.44)
gdzie: x(t) – przemieszczenie grzybka względem gniazda, m, p(t) – ciśnienie panujące przed zaworem, Pa, m – masa zredukowana elementu domykającego, kg, b – współ-czynnik tłumienia, Ns/m, k – sztywność sprężyny, N/m, d – średnica gniazda, m, xst – ugięcie wstępne sprężyny związane z przemieszczeniem śruby regulacyjnej za-woru, m, Fd – siła hydrodynamiczna, N.
Siłę hydrodynamiczną można opisać wzorem:
2 1
( )(v cos v )
d
F = −ρQ t β− (7.45)
gdzie: ρ – gęstość cieczy, kg/m3, Q(t) – natężenie przepływu cieczy przez szczelinę tworzoną przez gniazdo oraz grzybek, m3/s, β – kąt wypływu strugi cieczy ze szczeli-ny (mierzoszczeli-ny od osi obrotu stożka), v1 – średnia prędkość cieczy w otworze przed grzybkiem, m/s, v2 – średnia prędkość cieczy w szczelinie, m/s.
Równanie (7.45) przekształcono w taki sposób, aby ujednolicić zmienne w ukła-dzie równań:
2 2 ( ) cos 4 π ( ) sin d Q t F dx t d ρ β α = − − (7.46)
gdzie α – połowa kąta wierzchołkowego stożka tworzącego grzybek.
Drugie równanie różniczkowe dotyczy zależności między natężeniem przepływu w szczelinie a różnicą ciśnień:
2
( ) s ( )
Q t µA p t
ρ
= (7.47)
gdzie: µ – bezwymiarowy współczynnik przepływu, As – najmniejsze pole przekroju szczeliny dławiącej, przez którą płynie ciecz, m2.
Parametr wielkości As zapisano jako funkcję przemieszczenia grzybka oraz wpro-wadzono ją do równania (7.47), dzięki czemu uzyskano:
2
( ) π( ( ) sin cos ) ( ) sin ( )
Q t µ d x t α α x t α p t
ρ
= − (7.48)
Współczynnik przepływu jest funkcją liczby Reynoldsa i można go zapisać nastę-pująco: const dla dla kr kr a Re Re Re Re > Re µ µ µ = < = (7.49)
Parametry a oraz µconst, a także krytyczna liczba Reynoldsa Rekr, są zależne od kąta wierzchołkowego grzybka.
Zależność opisująca liczbę Reynoldsa w szczelinie, jaką tworzy para grzybek– gniazdo jest następująca:
2 ( ) π( ( )sin cos ) Q t Re d x t α α v = − (7.50)
gdzie v – lepkość kinematyczną cieczy, m2/s.
Trzecie równanie różniczkowe dotyczy bilansu natężeń przepływu przed zaworem, przy czym uwzględniony jest przepływ związany ze ściśliwością czynnika oraz z przemieszczeniem grzybka: 2 zad π ( ) 4 dp d dx Q Q t c dt dt = + + (7.51)
gdzie: c – kapacytancja układu przed parą grzybek–gniazdo m5/N, Qzad – natężenie przepływu kierowane do zaworu maksymalnego.
Wykorzystując podany układ równań różniczkowych, zrealizowano badania symu-lacyjne w programie MATLAB/Simulink. Badania przeprowadzono dla następujących
danych: m = 0,0025 kg (masa grzybka + 1/3 masy sprężyny), k = 24 000 N/m, d = 0,0025 m, α = 30°, β = 30°, ρ = 880 kg/m3, v = 30 ∙10–6 m2/s oraz c = 10–15, gdy E = 1500 MPa, d = 3 mm i l = 0,2 m. Parametry dotyczące oporów przepływu w szczelinie uzyskano z badań zaworu modelowego i dla kąta α = 30°, wyniosły one:
µconst = 0,82, a = 0,063, Rekr = 169.
Podczas badań symulacyjnych zauważono, że przy zbyt małym współczynniku b zawór maksymalny wpada w drgania. Istniała ponadto pewna wartość tłumienia kry-tycznego bkr, powyżej której zawór pracował stabilnie w całym zakresie ciśnień (0–16 MPa) i natężeń przepływu (0–1 l/min). Ogólnie wartości przyjmowane przez b można podzielić na trzy zakresy:
a) b > bkr – zawór pracuje stabilnie w całym zakresie ciśnień (0–16 MPa) i natężeń przepływu (0–1 l/min),
b) b1 < b < bkr – zawór pracuje niestabilnie przy małych natężeniach przepływu (bliskich zeru) lub przy dużych ciśnieniach (bliskich 16 MPa),
c) b < b1 – zawór pracuje niestabilnie w całym zakresie ciśnień (0–16 MPa) i
natę-żeń przepływu (0–1 l/min).
Parametr b1 określa wartość tłumienia, poniżej której zawór zawsze będzie praco-wał niestabilnie. Na przykład dla parametrów zaworu powyżej tłumienia, tj. 20 Ns/m, układ zawsze jest niestabilny. W wypadku gdy tłumienie ma wartość 50 Ns/m, układ jest stabilny dla dużych natężeń przepływu i małych ciśnień, a niestabilny dla małych natężeń przepływu i dużych ciśnień. Dla tłumienia o wartości 80 Ns/m układ jest sta-bilny w całym zakresie przewidywanych natężeń przepływu i ciśnień. Aby to zilu-strować, na rysunkach 7.13 do 7.16 przedstawiono przebiegi czasowe ciśnienia przed zaworem oraz przemieszczanie się grzybka zaworu.
Rys. 7.13. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla ciśnienia otwarcia 15 MPa oraz natężenia przepływu 0,2 l/min przy różnych parametrach tłumienia.
Rys. 7.14. Przebieg przemieszczania się grzybka zaworu dla ciśnienia otwarcia 15 MPa oraz natężenia przepływu równego 0,2 l/min przy różnych parametrach tłumienia.
Zawór stabilny przy tłumieniu 80 Ns/m
Rys. 7.15. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla ciśnienia otwarcia 5 MPa oraz natężenia przepływu 1 l/min przy różnych parametrach tłumienia.
Zawór stabilny przy tłumieniu 50 Ns/m oraz 80 Ns/m
Wartość tłumienia krytycznego, będącego minimalną wartością współczynnika tłumienia potrzebną do utrzymania stabilnej pracy zaworu w całym zakresie przewi-dywanych ciśnień (0–16 MPa) oraz w całym zakresie przewiprzewi-dywanych natężeń prze-pływu (0–1 l/min), jest zależna od parametrów zaworu oraz cieczy roboczej.
Po przeprowadzeniu badań symulacyjnych stwierdzono, że zmniejszenie wartości tłumienia krytycznego, czyli poprawienie stabilności zaworu, można osiągnąć m.in.
• zmniejszając średnicę gniazda (rys. 7.17 i 7.18), • zwiększając kapacytancję (rys. 7.19 i 7.20),
• zwiększając sztywność sprężyny (rys. 7.21 i 7.22), • zwiększając lepkość cieczy,
• zmniejszając masę grzybka (rys. 7.23 i 7.24).
Warto zaznaczyć, że zmniejszanie średnicy gniazda, zwiększanie sztywności
sprę-żyny bądź stosowanie cieczy o większej lepkości pogarsza charakterystykę statyczną
zaworu. Najskuteczniejszym sposobem poprawy stabilności wydaje się więc zwięk-szenie kapacytancji układu, które powoduje wydłużenie czasu potrzebnego do otwar-cia zaworu. Jednak ta kwestia nie ma aż tak istotnego znaczenia, gdyż czas jest mie-rzony w tysięcznych częściach sekundy.
Rys. 7.16. Przebieg przemieszczenia grzybka zaworu dla ciśnienia otwarcia 5 MPa oraz natężenia przepływu 1 l/min przy różnych parametrach tłumienia.
Zawór stabilny przy tłumieniu 50 Ns/m oraz 80 Ns/m
Rys. 7.17. Przebieg ciśnienia panującego przed zaworem dla różnych średnic gniazda, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.18. Przemieszczanie się grzybka zaworu w wypadku różnych średnic gniazda, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.19. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla różnych kapacytancji, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałychych parametrów
Rys. 7.20. Przemieszczanie się grzybka zaworu dla różnych kapacytancji, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.21. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla różnych sztywności sprężyny, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.22. Przemieszczanie się grzybka zaworu dla różnych sztywności sprężyny, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.23. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla różnych mas zredukowanych, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.24. Przemieszczanie się grzybka zaworu dla różnych mas zredukowanych, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.25. Przebieg ciśnienia przed zaworem dla różnych kątów wierzchołkowych grzybka, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.26. Przemieszczanie się grzybka zaworu dla różnych kątów wierzchołkowych grzybka, przy zachowaniu tego samego tłumienia oraz pozostałych parametrów
Rys. 7.27. Schemat ideowy działania elementu tłumiącego w postaci tarczy poruszającej się wewnątrz otworu
W badaniach symulacyjnych zauważono również, że zawory z grzybkiem o szym kącie wierzchołkowym stożka pracują bardziej stabilnie – potrzebny jest mniej-szy współczynnik tłumienia do utrzymania stabilności. Zostało to zobrazowane na rysunkach 7.25 oraz 7.26. (zgodnie z wynikami badań zaworu modelowego dla
α = 45°:
µ
const = 0,73, a = 0,049, Rekr = 222; dla kąta α = 60°:µ
const = 0,68,a = 0,043, Rekr = 250).
Określoną wartość tłumienia można zadawać, stosując różne rozwiązania kon-strukcyjne. Jednym z nich jest wprowadzenie specjalnej tarczy tłumiącej montowanej nad grzybkiem i poruszającej się wewnątrz otworu. Jeżeli w tarczy nie ma wykona-nych otworów, tłumienie można modyfikować, zmieniając wielkość szczeliny między tarczą a otworem (por. rys. 7.27).
Wartość współczynnika tłumienia b zależna jest od wymiarów tarczy.
Tarcza poruszając się z prędkością v, przetłacza ciecz przez szczelinę pierścieniową (rys. 7.27). Natężenie przepływu QT przetłaczanej cieczy jest równe:
T T
Q =A v (7.52)
gdzie AT – pole przekroju tarczy, m2.
Przepływ QT powoduje spadek ciśnienia w szczelinie i wytworzenie się nadciśnie-nia pT (rys. 7.27). Nadciśnienie pT powoduje wytworzenie się siły hamującej FT równej:
T T T
F =p A (7.53)
Współczynnik tłumienia b jest więc równy:
2 / T T T T T T T T F p A p A b v Q A Q = = = (7.54)
Zgodnie z pozycją [7.4] wzór łączący spadek ciśnienia z natężeniem przepływu w szczelinie pierścieniowej jest równy:
3 π 12 T T p Dh Q l η = (7.55)
Tabela 7.3. Zależność między wielkością szczeliny tarczy tłumiącej a współczynnikiem tłumienia
Wielkość szczeliny h, µm Tłumienie b, Ns/m 100 360 150 107 200 45 250 23 300 13 350 8 400 6 450 4 500 3
gdzie: D – średnica tarczy, m, h – wielkość szczeliny, m, l – grubość tarczy, m,
η – dynamiczny współczynnik lepkości, kg/m·s.
Po przekształceniach otrzymujemy: 2 2 2 3 3 12 π π 12 T T T T T T T p A p A lA b p Dh Q Dh l µ µ = = = (7.56)
Oszacowanie współczynnika tłumienia za pomocą wzoru (7.56) będzie tym do-kładniejsze, im lepsza będzie współosiowość tarczy i otworu. W przypadku wystąpie-nia mimośrodowości, do współczynnika należy wprowadzić odpowiednią korektę.
W tabeli 7.3 przedstawiono przykładowe wartości współczynnika tłumienia dla szczelin znajdujących się między tarczą a otworem. Wymiary podstawowe tłumika były w tym przypadku następujące: D = 14 mm, l = 2 mm, natomiast lepkość dyna-miczna oleju wynosiła 0,028 kg/m·s.
Podczas ruchu tłumika występuje także siła hamująca związana z tarciem lepkim Newtona. Współczynnik tłumienia bN pochodzący od tej siły zgodnie z [7.4] równy jest:
π N Dl b h µ = (7.57) i jest jest pomijalnie mały w stosunku do współczynnika tłumienia związanego z opo-rami przepływu. Na przykład dla szczeliny 100 µm współczynnik tłumienia wynosi zaledwie 0,02 Ns/m.
W badaniach symulacyjnych prędkość ruchu grzybka wynosiła mniej niż 0,1 m/s. W związku z tym przy tłumieniu równym 100 Ns/m maksymalne nadciśnienie będzie równe 0,06 MPa. Przy ruchu powrotnym przepływ będzie skutkował wytworzeniem
się podciśnienia. Ponieważ podciśnienie równe 0,06 MPa jest możliwe, można
zało-żyć, że współczynnik tłumienia w dwóch kierunkach ruchu jest taki sam.
7.5. OPRACOWANIE MODELU DYNAMICZNEGO