Pˇri popisu zatˇeˇzov´an´ı kovov´ych materi´al˚u tahem se bˇeˇznˇe pouˇz´ıv´a z´aznam silov´e odezvy v z´avislosti na prodlouˇzen´ı a z nˇej odvozen´y tahov´y diagram (obr.1). S nar˚ustaj´ıc´ım zat´ıˇzen´ım je dosaˇzen limitn´ı stav napjatosti, pˇri kter´em v materi´alu nastanou nevratn´e zmˇeny, kter´e se projev´ı rozd´ıln´ym pr˚ubˇehem z´avislosti napˇet´ı na deformaci pˇri zatˇeˇzov´an´ı a odlehˇcov´an´ı.
Pokud je odlehˇcovac´ı kˇrivka shodn´a s kˇrivkou zatˇeˇzovac´ı, pak v tˇelese doch´az´ı pouze k ela-stick´ym (tedy vratn´ym) deformac´ım. Z´avislost mezi napˇet´ım a touto deformac´ı b´yv´a u kov˚u v´ıce ˇci m´enˇe line´arn´ı, podstatn´e vˇsak je, ˇze se tˇeleso vrac´ı do sv´eho p˚uvodn´ıho stavu beze zmˇeny rozmˇer˚u a tvaru. Pokud pˇri zatˇeˇzov´an´ı pˇrekon´ame limitn´ı stav napjatosti, kˇrivka odlehˇcov´an´ı se jiˇz nebude shodovat s kˇrivkou zatˇeˇzov´an´ı a po ´upln´em odlehˇcen´ı lze po-zorovat trval´e (plastick´e) deformace. U bˇeˇzn´ych kovov´ych konstrukˇcn´ıch materi´al˚u prob´ıh´a odlehˇcov´an´ı po pˇr´ımce, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s p˚uvodn´ı line´arn´ı ˇc´ast´ı pracovn´ıho diagramu.
Celkovou deformaci lze rozdˇelit na elastickou sloˇzku a plastickou sloˇzku.
ε = εe+εp (1)
Pro jednoosou napjatost lze po jednoduch´e ´upravˇe vyj´adˇrit zbytkovou plastickou ˇc´ast
εp=ε − εe. (2)
Elastickou ˇc´ast εe lze stanovit z pˇredpokladu, ˇze by si tˇeleso po celou dobu zatˇeˇzov´an´ı za-chovalo sv´e line´arn´ı vlastnosti
εe= σ
E, (3)
kde E je Young˚uv modul pruˇznosti.
Obr´azek 1: Tahov´y diagram [1]
Z tahov´e zkouˇsky m˚uˇzeme z´ıskat experiment´aln´ı data, kter´a umoˇzn´ı interpolovat pra-covn´ı diagram. Abychom vˇsak byli schopni modelovat materi´al v elastoplastick´em stavu, je nezbytn´e zav´est konstitutivn´ı model, kter´y vyj´adˇr´ı experiment´aln´ı z´avislost mezi napˇet´ım σ a deformac´ı ε dan´eho materi´alu. [2–6]
Nejjednoduˇsˇs´ım ze zav´adˇen´ych konstitutivn´ıch model˚u je ide´alnˇe plastick´y materi´al, bez plastick´eho zpevnˇen´ı. Takov´y, velmi zjednoduˇsen´y, model uvaˇzuje po dosaˇzen´ı meze kluzu libovolnou plastickou deformaci. Nach´az´ı sv´e opodstatnˇen´ı ve v´ypoˇctech limitn´ıch zat´ıˇzen´ı mnohon´asobnˇe staticky neurˇcit´ych konstrukc´ı nebo konstrukc´ı, kter´e plastizuj´ı pouze
v oblastech s koncentrac´ı napˇet´ı, zat´ımco podstatn´e ˇc´asti nosn´ych pr˚uˇrez˚u z˚ust´avaj´ı elastick´e.
Pro modelov´an´ı tv´arn´eho poruˇsen´ı je vˇsak nepouˇziteln´y pr´avˇe z d˚uvodu absence popisu plastick´eho zpevnˇen´ı [3, 7].
Pokud bychom nahradili konstantn´ı funkci plastick´eho zpevnˇen´ı line´arn´ı funkc´ı s vhodnˇe zvolenou smˇernic´ı, dostaneme jednoduch´y model, kter´y se snaˇz´ı v´ıce napodobit skuteˇcn´e elastoplastick´e chov´an´ı materi´alu. Zav´adˇen´a smˇernice se oznaˇcuje E a naz´yv´a se modul zpevnˇen´ı. Na rozd´ıl od pˇredchoz´ıho modelu tento umoˇzˇnuje v omezen´e m´ıˇre sledovat
plastick´e chov´an´ı materi´alu, vhodn´y je tak zejm´ena pro jednoduˇsˇs´ı aplikace a ruˇcn´ı v´ypoˇcty.
Pro podrobnˇejˇs´ı zkoum´an´ı elastoplastick´eho stavu bˇehem simulace je st´ale nevhodn´y, jelikoˇz nedostateˇcnˇe pˇresnˇe popisuje chov´an´ı materi´alu [3, 5, 7].
Obr´azek 2: Porovn´an´ı model˚u plastick´eho zpevnˇen´ı: (a) ide´alnˇe plastick´y model, (b) model s line´arn´ım plastick´ym zpevnˇen´ım, (c) model s neline´arn´ım plastick´ym zpevnˇen´ım [8]
Dalˇs´ım zp˚usobem popisu je vytvoˇren´ı po ˇc´astech line´arn´ıho modelu, kter´y je schopn´y, pˇri vhodn´e d´elce ´usek˚u, pomˇernˇe dobˇre popsat plastick´e chov´an´ı. Mnohem v´yhodnˇejˇs´ı se ale zd´a b´yt nelin´arn´ı analytick´y popis [7, 9]. Lze uˇz´ıt r˚uznˇe navrˇzen´ych funkc´ı, pro modelov´an´ı v programu ABAQUS byl zvolen model plastick´eho zpevnˇen´ı Johnson-Cook [28], kter´y je pˇr´ımo implementov´an
σY = (A + Bεnp)(1 + Cln( ˙εp
∗
))(1 − T∗ m), (4)
kde σY je okamˇzit´a mez kluzu, T∗ homologick´a teplota a ˙εp rychlost ekvivalentn´ı plastick´e deformace
T∗= T − Troom
Tmelt−Troom, ˙ε∗p =
˙εp
˙ε0p. (5)
V naˇsem pˇr´ıpadˇe neuvaˇzujeme vliv teploty ani rychlosti deformace. Pokud poloˇz´ıme rychlost deformace ˙ε∗p=0 a t´eˇz i teplotu T∗=0, zanedb´ame tyto vlivy a rovnice (4) pˇrejde do tvaru
σY =A + Bεnp (6)
kter´y je oznaˇcov´an jako Ludwik˚uv model [3, 7, 9, 10].
Standardn´ım v´ystupem tahov´e zkouˇsky je smluvn´ı diagram, ud´avaj´ıc´ı z´avislost smluvn´ıho napˇet´ı na nomin´aln´ı deformaci. Smluvn´ı diagram je velmi jednoduch´y k sestrojen´ı, jelikoˇz staˇc´ı zn´at pouze poˇc´ateˇcn´ı d´elku a pr˚uˇrez vzorku, ze kter´ych je moˇzno stanovit smluvn´ı napˇet´ı
Nomin´aln´ı deformace vˇsak nen´ı aditivn´ı, nen´ı moˇzn´e tedy sˇc´ıtat jej´ı jednotliv´e pˇr´ır˚ustky prodlouˇzen´ı. Z tohoto d˚uvodu ji nelze pouˇz´ıt k inkrement´aln´ım v´ypoˇct˚um a pro kalibraci model˚u vznik´a potˇreba vytvoˇrit z´avislost skuteˇcn´eho napˇet´ı σ na skuteˇcn´e (logaritmick´e) deformaci ε. Skuteˇcn´e napˇet´ı a deformaci pak definujeme takto
σ = F
A = (1 + ̂ε)̂σ (9)
ε = lnl l0
=ln(1 + ̂ε). (10)
Pro kalibraci model˚u plastick´eho zpevnˇen´ı je d´ale nutn´e rozdˇelit celkovou deformaci ε na elastickou a plastickou ˇc´ast uˇzit´ım rovnic (2), (3)
εp=ε − σ
E. (11)
Ze z´avislosti σY(εp) jiˇz lze prov´adˇet identifikaci parametr˚u modelu [11]. Aˇckoliv ne vˇsechny materi´aly vykazuj´ı v´yraznou mez kluzu, obecnˇe se pro fenomenologickou teorii plasticity pˇredpokl´ad´a existence stavu (rozhran´ı), kter´y stanov´ı, zda byl materi´al v dan´em m´ıstˇe jiˇz plastizov´an, ˇci nikoliv. Pro jednoosou napjatost se povaˇzuje za tuto hranici okamˇzit´a mez kluzu, tedy plat´ı, ˇze elastoplastick´y stav nast´av´a po pˇrekroˇcen´ı okamˇzit´e meze kluzu. Pro pˇr´ıpady v´ıceos´e napjatosti nelze uplatnit takov´e pravidlo, lze vˇsak formulovat obdobnou podm´ınku plasticity ve tvaru
Φ(σ) = f (σ) − σY(εp) =0. (12)
Takto definovan´ym krit´eriem bude vytvoˇrena pro obecn´e materi´aly plocha v 6D prostoru, pro izotropn´ı materi´al pak plocha ve 3D prostoru, oznaˇcovan´a jako mezn´ı plocha plasticity. Za podm´ınky, ˇze se napjatost nach´az´ı uvnitˇr t´eto mezn´ı plochy, bude tˇeleso ve stavu elastick´em, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe se tˇeleso nach´az´ı v elastoplastick´em stavu [3, 4, 6, 10].
V modelu kontinua lze napjatost v libovoln´em bodˇe popsat tenzorem napˇet´ı. Tenzor napˇet´ı je moˇzn´e, d´ıky symetrii pramen´ıc´ı z podm´ınek rovnov´ahy, vyj´adˇrit uˇzit´ım 6 sloˇzek pro obecnˇe zvolen´y souˇradnicov´y syst´em. Pˇri uvaˇzov´an´ı izotropn´ıch materi´al˚u lze tenzor
napˇet´ı, pˇri vhodn´e volbˇe souˇradnicov´eho syst´emu, zcela popsat pouze za pomoci 3 hlavn´ıch napˇet´ı a takto zvolen´y souˇradnicov´y syst´em se naz´yv´a hlavn´ı souˇradnicov´y syst´em. Osy hlavn´ıch napˇet´ı definuj´ı Haigh˚uv-Westergaard˚uv prostor (obr.3), ve kter´em lze vyj´adˇrit obec-nou napjatost. Pro osu prvn´ıho oktantu Haighova prostoru plat´ı, ˇze pro jej´ı libovoln´y bod jsou vˇsechna 3 hlavn´ı napˇet´ı shodn´a. Pokud je napjatost v bodˇe tˇelesa pops´ana 3 hlavn´ımi napˇet´ımi, kter´e nab´yvaj´ı shodn´e velikosti, pak je tˇeleso vystaveno vˇsestrann´emu (triaxi´aln´ımu) tlaku nebo tahu. Takov´e nam´ah´an´ı se bˇeˇznˇe vyskytuje pˇri vystaven´ı tˇelesa nam´ah´an´ı hydrostatick´ym tlakem, a proto je tato osa oznaˇcov´ana jako osa hydrostatick´a.
Obr´azek 3: Haigh˚uv-Westergaard˚uv prostor [12]
Dle volby Φ(σ) z´ısk´av´ame v Haighovˇe prostoru r˚uzn´e plochy plasticity, z nichˇz nejzn´amˇejˇs´ı jsou mezn´ı plochy Von Mises a Tresca, bˇeˇznˇe uˇz´ıvan´e v praxi. Tyto plochy nejsou z´avisl´e na celkov´em hydrostatick´em tlaku, nepˇredpokl´adaj´ı, ˇze by pˇri zatˇeˇzov´an´ı hydrostatick´ym napˇet´ım doch´azelo k plastick´ym deformac´ım. Oba modely jsou z´avisl´e pouze na invariantech devi´atoru napˇet´ı. Mezn´ı plocha Von mises je funkc´ı pouze druh´eho invariantu Φ(J), plocha Tresca z´avis´ı kromˇe druh´eho i na tˇret´ım invariantu Φ(J, J). Jelikoˇz tyto plochy nez´avis´ı na hydrostatick´em napˇet´ı, jsou v prostoru nekoneˇcn´ymi plochami, jsou neomezen´e [3].
Obr´azek 4: Klasick´e plochy plasticity zobrazen´e v 7. oktantu Haighova prostoru [3] [13]
Postupnˇe doch´azelo k v´yvoji dalˇs´ıch teori´ı (obr.5), kter´e pˇredpokl´adaj´ı vznik plastick´ych deformac´ı za zv´yˇsen´eho hydrostatick´eho napˇet´ı, a tento vliv uvaˇzuj´ı. Tyto plochy jsou omezen´e a zobraz´ı se v prostoru jako koneˇcn´e. Mezi nejzn´amˇejˇs´ı z nich patˇr´ı plochy Mohr-Coulomb a Drucker-Prager. Dohromady jsou tyto ˇctyˇri zm´ınˇen´e plochy plasticity oznaˇcov´any jako klasick´e plochy plasticity (obr.4). I pˇres sv´e st´aˇr´ı patˇr´ı pro svou jednoduchost st´ale mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı podm´ınky plasticity. [3, 6, 7, 10, 11, 14, 15]
Obr´azek 5: V´yvoj ploch plasticity [16]
S rostouc´ı komplexnost´ı model˚u totiˇz stoup´a poˇcet konstant materi´alu, kter´e je nutn´e urˇcovat. Roste tak poˇcet prov´adˇen´ych experiment˚u a stoup´a ˇcasov´a n´aroˇcnost kalibrac´ı a v´ypoˇct˚u, coˇz se negativnˇe projevuje tak´e na ekonomice. Pro modelov´an´ı metodou koneˇcn´ych prvk˚u je t´eˇz v komerˇcn´ıch softwarech bˇeˇznˇe dostupn´e pouze omezen´e mnoˇzstv´ı tˇechto model˚u, sloˇzitˇejˇs´ı modely by bylo nutn´e implementovat uˇzivatelem, coˇz s sebou pˇrin´aˇs´ı ˇradu dalˇs´ıch rizik. Jelikoˇz c´ılem t´eto pr´ace nen´ı dokonal´y popis fyzik´aln´ı skuteˇcnosti, ale pracuje s jist´ymi zjednoduˇsen´ımi, s ohledem na mnoˇzstv´ı experiment´aln´ıch dat, n´aroˇcnost model˚u a potˇreb, je zvolen klasick´y pˇr´ıstup s Von Misesovou mezn´ı plochou s neline´arn´ım zpevnˇen´ım dle Ludwika.
Pokud bˇehem zatˇeˇzov´an´ı dojde k dosaˇzen´ı podm´ınky plasticity, nach´az´ı se tˇeleso v elasto-plastick´em stavu. Za pˇredpokladu uˇzit´ı modelu s neline´arn´ım zpevnˇen´ım bude pˇri d´ale ros-touc´ı napjatosti doch´azet k deformaˇcn´ımu zpevˇnov´an´ı materi´alu. Vlivem zpevnˇen´ı nastane zmˇena plochy plasticity a to formou zmˇeny velikosti, deformac´ı, nebo posunut´ım v prostoru.
Pokud s deformac´ı doch´az´ı k posouv´an´ı mezn´ı plochy, jedn´a se o tzv. kinematick´e zpevnˇen´ı.
Jestliˇze je deformace prov´azena expanz´ı mezn´ı plochy ´umˇernˇe ve vˇsech smˇerech devi´atorov´e roviny, doch´az´ı k izotropn´ımu zpevnˇen´ı. Obecnˇe doch´az´ı ke kombinaci obou mechanizm˚u a mezn´ı plocha se deformuje, tento mechanismus nejl´epe popisuje fyzik´aln´ı skuteˇcnost [3]. Pˇri monot´onn´ım proporcion´aln´ım zatˇeˇzov´an´ı je moˇzno uˇz´ıt kter´ykoliv model. Pro ´uˇcel t´eto pr´ace byl zvolen nejjednoduˇsˇs´ı model s izotropn´ım zpevnˇen´ım, jelikoˇz nen´ı nutn´e uvaˇzovat zmˇenu zatˇeˇzov´an´ı.
Obr´azek 6: Izotropn´ı deformaˇcn´ı zpevnˇen´ı [17]
Zpevnˇen´ı materi´alu je moˇzn´e vyj´adˇrit okamˇzitou mez´ı kluzu σY(εp)v z´avislosti na celkov´e plastick´e deformaci [3, 10, 15]. S uˇzit´ım Misesovy plochy plasticity se pro tento ´uˇcel zav´ad´ı ekvivalentn´ı plastick´a deformace jako neklesaj´ıc´ı funkce
εp = ∫
t
0 ˙εpdt, (13)
kter´a akumuluje pˇr´ır˚ustky plastick´ych deformac´ı, kde
˙εp=
√ 2
3˙εp∶˙εp. (14)