2
3˙εp∶˙εp. (14)
3.2 Tv´arn´e poruˇsov´an´ı
Pokud Haigh-Westergraadovˇe prostoru zadefinujeme rovinu, kter´a je kolm´a na hydrosta-tickou osu (osu prvn´ıho oktantu) z´ısk´ame deviatorickou rovinu, pokud tato rovina z´aroveˇn proch´az´ı poˇc´atkem souˇradn´eho syst´emu dost´av´ame deviatorickou rovinu oznaˇcovanou jako π rovinu. V Haigh-Westergaardovˇe prostoru je zvykem zav´adˇet cylindrick´y souˇradn´y syst´em (R, θ, z), jehoˇz osa z je definov´ana osou hydrostatickou. Pro druhou sloˇzku θ (Lodeho ´uhel) mus´ıme nejprve vyj´adˇrit devi´ator napˇet´ı.
Devi´ator napˇet´ı z´ısk´ame, pokud od tenzoru napˇet´ı odeˇcteme jeho kulovou ˇc´ast,
S = σ + pδ, (15)
kde p
p = −1
3tr(σ) = −1
3(σ1+σ2+σ3) (16)
je hydrostatick´e napˇet´ı a δ je Kroneckerovo delta.
Pro dalˇs´ı ´uˇcely postaˇcuje vyj´adˇrit prvn´ı a druh´y invariant devi´atoru napˇet´ı
kde J a J jsou druh´y a tˇret´ı invariant devi´atoru napˇet´ı. Deviatorick´a rovina vykazuje symetrii, a lze ji proto rozdˇelit do 6 segment˚u, ve kter´ych se Lodeho ´uhel opakuje (obr.7).
Lodeho ´uhel tedy nab´yv´a hodnot v intervalu od 0 (pro ˇcist´y tah) po hodnotu π3 (pro ˇcist´y tlak). Pro vliv hydrostatick´eho napˇet´ı zav´ad´ıme bezrozmˇernou veliˇcinu triaxialitu η, kter´a ud´av´a pomˇer hydrostatick´eho p a von Misesova q (t´eˇz oznaˇcov´ano jako ekvivalentn´ı) napˇet´ı
η = −p
q. (20)
Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, Misesovo napˇet´ı je funkc´ı pouze druh´eho invariantu devi´atoru napˇet´ı q =
√
3J2. (21)
Obr´azek 7: Pr˚umˇet tenzoru napˇet´ı v deviatorick´e rovinˇe [21]
Lodeho ´uhel ud´av´a vztah mezi tahem, tlakem a smykem pro konkr´etn´ı napjatost. Pro modely tv´arn´eho poruˇsov´an´ı se vˇsak v praxi uˇz´ıv´a veliˇcin se stejn´ym v´yznamem, avˇsak s rozd´ılnou definic´ı. Prvn´ı pouˇz´ıvanou veliˇcinou je Lodeho parametr
ξ = cos(3θ) = 27 2
J3
q3, ξ ∈ ⟨−1; 1⟩. (22)
Druhou uˇz´ıvanou veliˇcinou je normalizovan´y Lodeho ´uhel θ = 1 −6θ
π =1 − 2
πarccosξ, θ ∈ ⟨−1; 1⟩. (23)
Takto zav´adˇen´e veliˇciny nab´yvaj´ı hodnot v intervalu ⟨−1; 1⟩, kdy hodnotˇe θ = ξ=-1 odpov´ıd´a uniaxi´aln´ı tlak, hodnotˇe θ = ξ=1 odpov´ıd´a uniaxi´aln´ı tah a pro hodnotu θ = ξ=0 se jedn´a o zobecnˇenou rovinnou napjatost. Pro tyto speci´aln´ı pˇr´ıpady se hodnoty obou veliˇcin (θ, ξ) shoduj´ı, v obecn´ych pˇr´ıpadech tomu tak nen´ı a tyto veliˇciny nab´yvaj´ı rozd´ıln´ych hodnot [10, 11, 14, 18–21]. Obecnˇe nelze na hodnoty tˇechto parametr˚u spol´ehat, jelikoˇz nˇekteˇr´ı autoˇri pouˇz´ıvaj´ı m´ırnˇe odliˇsn´e definice. Je nutn´e vˇzdy kontrolovat definice a znaˇcen´ı, napˇr´ıklad autoˇri [22] definuj´ı Lodeho parametr v pˇrevr´acen´e hodnotˇe, tedy hodnotˇe -1 odpov´ıd´a tah a hodnotˇe 1 tlak.
zat´ıˇzen´ı η θ ξ θ
tah 13 0 1 1
smyk 0 π6 0 0
tlak -13 -π3 -1 -1
Tabulka 1: Pˇrehled hodnot charakteristick´ych veliˇcin pro jednotliv´e stavy napjatosti [21]
4 Modely tv´ arn´ eho poruˇ sen´ı materi´ alu
Tv´arn´e poruˇsen´ı lze definovat jako proces degradace materi´alu v podm´ınk´ach plastick´ych deformac´ı a monot´onn´ıho zatˇeˇzov´an´ı. Toto poˇskozen´ı b´yv´a nejˇcastˇeji spojov´ano s kovov´ymi materi´aly. Tv´arn´e poruˇsov´an´ı je doprov´azeno postupnou zmˇenou mechanick´ych vlastnost´ı, jelikoˇz vlivem dostateˇcnˇe velk´ych zat´ıˇzen´ı doch´az´ı ke zmˇen´am z´akladn´ı matrice, kter´e jsou zp˚usobeny postupn´ym r˚ustem dutin, hromadˇen´ım poruch a jejich spojov´an´ım. Procesem r˚ustu plastick´e deformace doch´az´ı k poklesu tuhosti materi´alu a kles´a jeho schopnost d´ale pˇren´aˇset zat´ıˇzen´ı. Koneˇcnou f´az´ı tv´arn´eho poˇskozov´an´ı je ´upln´a ztr´ata integrity materi´alu.
Pro vysok´e hodnoty triaxialit η >0,3 vznik´a poruˇsen´ı spojov´an´ım dutin, pro n´ızk´e hodnoty triaxiality η ≤0 je zp˚usobeno smykov´ym mechanismem (spojen´ı trhlin v rovinˇe nejvˇetˇs´ıho smykov´eho napˇet´ı). [10, 18, 23]
Typicky pro popis poddajn´ych tˇeles uˇz´ıv´ame model kontinua. Jedn´a se o idealizovanou pˇredstavu prostˇred´ı, kter´e povaˇzujeme za spojit´e pˇri zanedb´an´ı jeho diskr´etn´ıch vlastnost´ı (ˇc´asticov´e struktury). V pˇr´ıpadˇe snahy popisovat poˇskozov´an´ı poddajn´ych tˇeles vˇsak ide-alizovan´y model kontinua nar´aˇz´ı na sv´e limity. Pˇri poˇskozov´an´ı se projevuje vliv ˇc´asticov´e struktury a doch´az´ı ke zjevn´e nespojitosti materi´alu. To je v rozporu s ide´aln´ım modelem, kter´y takov´e stavy nedovoluje, a proto strukturn´ı poruchy popisujeme v r´amci modelu kon-tinua. Jednotliv´e defekty tedy nedok´aˇzeme uvaˇzovat pˇr´ımo, ale jejich vliv prom´ıt´ame do mo-delu kontinua zmˇenou tuhosti a pevnosti pro diferenci´aln´ı objem materi´alu. Takto vytv´aˇren´e modely vˇsak mus´ı nutnˇe trpˇet dalˇs´ım nedostatkem a ten vych´az´ı z pˇredpokladu, ˇze poruchy v integritˇe materi´alu jsou dostateˇcnˇe mal´e a vz´ajemnˇe spolu neintereaguj´ı. Se zvˇetˇsuj´ıc´ım se mnoˇzstv´ım poruch a jejich rostouc´ım vz´ajemn´ym vlivem bude doch´azet k vylouˇcen´ı tˇechto pˇredpoklad˚u, defekty se zaˇcnou spojovat a model kontinua postupnˇe selˇze. Modely jsou tedy vhodn´e sp´ıˇse pro popis lok´aln´ıho poˇskozov´an´ı materi´alu. Pro popisov´an´ı rozvoje poˇskozen´ı v tˇelesech vych´az´ıme z pˇredstavy, ˇze dan´y diferenci´aln´ı objem materi´alu nen´ı schopen v okamˇziku poruˇsen´ı d´ale pˇren´aˇset vnitˇrn´ı s´ıly. Ty se n´aslednˇe pˇrerozdˇel´ı do okoln´ıch dife-renci´aln´ıch objem˚u tak, aby byly splnˇeny podm´ınky rovnov´ahy. T´ımto zp˚usobem je pos-tupnˇe modelov´an pr˚uchod trhliny tˇelesem. Pro identifikaci lok´aln´ıho poruˇsen´ı materi´alu, kdy bude doch´azet k selh´av´an´ı jednotliv´ych diferenci´aln´ıch objem˚u, je nutn´e zav´adˇet extern´ı veliˇcinu kter´a zastupuje fiktivn´ı m´ıru poˇskozen´ı a stanovuje, za jak´ych okolnost´ı k tomuto poruˇsen´ı dojde. Tato zav´adˇen´a veliˇcina b´yv´a oznaˇcov´ana jako (skal´arn´ı) parametr poˇskozen´ı D (nˇekdy t´eˇz kumulovan´e poˇskozen´ı, fiktivn´ı parametr poˇskozen´ı) [10]. Veliˇcinu lze naj´ıt i pod oznaˇcen´ım ω, zejm´ena v anglicky psan´e literatuˇre [11, 20]. Modely tedy neˇreˇs´ı pˇr´ımo degradaci materi´alu a neuvaˇzuj´ı zmˇeny struktury, ke kter´ym doch´az´ı vlivem plastick´ych de-formac´ı. Tyto modely povaˇzujeme za jakousi nadstavbu k modelu plasticity, kterou je vˇsak nutn´e spr´avnˇe kalibrovat, aby d´avala uspokojiv´e v´ysledky.
C´ılem kalibrace by mˇela b´yt pˇresvˇedˇciv´a shoda mezi experiment´aln´ım a v´ypoˇctov´ym chov´an´ım modelu [10]. Kalibrace je vˇsak zaloˇzena i na spr´avn´em odhadu, ˇc´ımˇz vyvst´av´a riziko stanoven´ı chybn´ych okamˇzik˚u rozvoje poˇskozen´ı a t´ım ohroˇzen´ı pˇresnosti vytvoˇren´ych model˚u.
4.1 Sv´azan´e modely tv´arn´eho poruˇsen´ı
Tato skupina model˚u se v´ıce bl´ıˇz´ı fyzik´aln´ı podstatˇe a koresponduje s pˇredstavou
mikromechanismu poruˇsov´an´ı materi´alu. Model poruˇsen´ı je zde v´az´an na elastoplastick´y model a ovlivˇnuje konstitutivn´ı rovnice, popisuje tak pˇr´ımo ztr´atu schopnosti materi´alu pˇren´aˇset zat´ıˇzen´ı. Z podstaty prov´azanosti modelu poruˇsen´ı a konstitutivn´ıch rovnic
oznaˇcujeme tyto modely jako sv´azan´e modely tv´arn´eho poruˇsen´ı. Jelikoˇz jsou tyto mod-ely bl´ıˇze fyzik´aln´ı realitˇe, skr´yvaj´ı vysok´y potenci´al ve smyslu fyzik´alnˇe spr´avn´eho popisu, kter´y se bl´ıˇz´ı skuteˇcnosti, a dok´aˇze tak l´epe predikovat skuteˇcn´e chov´an´ı pro vˇetˇsinu aplikac´ı.
Takto vytvoˇren´y model vˇsak s sebou pˇrin´aˇs´ı mnoh´a ´uskal´ı, kter´ymi je zejm´ena velk´e mnoˇzstv´ı materi´alov´ych parametr˚u a experiment´aln´ıch zkouˇsek. S pr˚ubˇehem zkouˇsky tak´e souvis´ı dostateˇcnˇe pˇresn´a mˇeˇric´ı zaˇr´ızen´ı a hlavnˇe velmi n´aroˇcn´a materi´alov´a kalibrace, pro kterou je nutno identifikovat plastick´y model soubˇeˇznˇe s modelem poruˇsov´an´ı [10, 18, 24].