t
316. a) Nakreśl dowolny czworościan i przetnij go płaszczyzną równoległą do podstawy (rys. 58). Sprawdź, czy: 1) A ASB jest podobny do trójkąta AiSBi, 2) A ASC podobny do trójkąta AiSCi, 3) ABSC podobny do trójkąta BiSCi, 4) AABC po
dobny do trójkąta Ai Bi Ci.
Dwa wielościany nazywamy podobnemi, jeżeli ściany ich są figu
rami podobnemi.
b) Czy: 1) dwa sześciany, 2) dwa czworościany foremne są wielo- ścianami podobnemi? Dlaczego?
317. Niech dany będzie czworościan SABC (rys. 59). Nakreśl czworościan podobny do danego.
W tym celu łączymy dowolny punkt O z wierzchołkami danego czworościanu. Następnie na promieniach OS, OA, OB, OC obieramy takie punkty, aby zachodziła zależność OS _ OB OA _ OC
OSi ” OBi OAi OCi'
Rys. 58.
Łącząc punkt Si z punktami Ai, Bi, Ci otrzymamy czworo
ścian SAiBiCi.
Sprawdź, czy odpowiednie ściany czworościanów SABC i Si Ai Bi Ci są do siebie podobne.
318, Nakreśl siatkę i zbuduj model prostopadłościanu o wy
miarach 7 cm, 5 cm, 3 cm. Następnie nakreśl siatkę i zbuduj model tegoż prostopadłościanu w skali'2:1,
Ile razy zwiększyła się objętość bryły, gdy krawędzie powię
kszyły się dwukrotnie.
319. Nakreśl siatkę sześcianu o krawędzi 6 cm i zbuduj jego model.
Nakreśl siatkę i zbuduj model tegoż sześcianu w skali 1 :3.
Oblicz objętość obydwu sześcianów i wyjaśnij, jak się zmie
nia objętość danego sześcianu, gdy zmniejszymy jego krawędź 3 razy?
320. Oblicz powierzchnię prostopadłościanu o wymiarach 7 cm, 5 cm, 3 cm; następnie oblicz powierzchnię tegoż prostopadłościanu nakreślonego w skali 2:1. Oblicz, ile razy zwiększyła się powierzch
nia prostopadłościanu, gdy krawędzie jego powiększyły się 2 razy.
321. Oblicz powierzchnię sześcianu o krawędzi = 6 cm; na
stępnie oblicz powierzchnię tegoż sześcianu nakreślonego w skali 1 :5. Oblicz, jak się zmieniła powierzchnia sześcianu, gdy jego krawędź zmniejszyła się 3 razy.
Stosunek powierzchni dwu brył podobnych, jest równy kwadra
towi stosunku krawędzi odpowiednich, innemi słowy powierzchnie wielościanów podobnych są proporcjonalne do kwadratów krawędzi
odpowiednich. Objętości wielościanów podobnych są proporcjonalne do sześcianów krawędzi odpowiednich.
322. Odpowiednie krawędzie 2 wielościanów podobnych ma
ją: 0,5 m i 2 m, Obliczyć objętość drugiego, jeżeli objętość pier
wszego = 1,25 m8,
323. Krawędź wielościanu równa się 0,25 m. Oblicz krawędź wielościanu podobnego, mającego objętość 2 razy większą.
324. Jak się zmieni objętość walca, jeżeli zmniejszymy jego wysokość 3 razy, pozostawiając promień podstawy bez zmiany?
325. Jak się zmieni objętość i powierzchnia walca, jeżeli po
większymy promień podstawy 2 razy, nie zmieniając wysokości?
326. Promień podstawy walca = 3 m, a wysokość =2 m.
Oblicz objętość i powierzchnię walca, mającego podstawę o pro
mieniu = 4 m.
327. Jak się zmieni objętość stożka, jeżeli wysokość jego po
większymy 6 razy, pozostawiając promień podstawy bez zmiany?
328. Wysokość stożka = 4 m i promień podstawy = 3m, Oblicz objętość stożka podobnego do danego, mającego wysokość = 2 m.
Kula.
Porównywując kulę z jakimkolwiek wielościanem, odrazu zauwa
żysz, że kula posiada pewne sobie tylko właściwe własności.
Czy mógłbyś naprz. owinąć kulę kartką papieru tak, by papier szczelnie do niej przylegał?
Czy mógłbyś nakreślić na powierzchni kulistej linję prostą?
Takie powierzchnie jak kula, powierzchnia boczna walca lub stożka, w odróżnieniu od powierzchni płaskich czyli płaszczyzn zo-
wią powierzchniamikrzywemi. l
Powierzchnię kulistą zwykle określamy jako miejsce punktów, jednakowo odległych od jednego punktu zwanego środkiem.
Odległość środka kuli od jakiegokolwiek punktu powierzchni kulistej nazywa się promieniem.
Część przestrzeni, ograniczona powierzchnią kulistą, zowie się
kulą. z
Odcinek, przechodzący przez środek kuli i mający końce na jej powierzchni, zowie się średnicą.
Z powyższych określeń wynika, że:
a) Wszystkie promienie i średnice tej samej kuli są sobie równe.
b) Kule o równych promieniach są równe.
Rachunki. — Część VI. 13
figurę otrzymasz przez ten obrót?
330. a) Przetnij kulę płaszczyzną: jaką figurę otrzymasz?
b) Przetnij kulę płaszczyzną, przechodzącą przez środek kuli;
jaką figurę otrzymasz? I w jednym i w drugim wypadku w prze
cięciach otrzymasz koło.
Koło przechodzące przez środek kuli jest największe i zowie się kołem wielkiem (rys. 60).
Czy promień tego koła będzie równy promieniowi kuli?
Ile można poprowadzić kół wielkich?
Czy wszystkie koła wielkie są sobie równe?
W jaki sposób należałoby, poprowadzić koła małe, by one były równe?
Powierzchnię kuli oblicza się zapomocą wzoru:
4 n R2 (R promień kuli).
Wzór ten wskazuje, że powierzchnia kulista jest 4 razy większa od powierzchni koła wielkiego.
Objętość zaś kuli obliczamy na podstawie wzoru:
4 n R\
331. Oblicz powierzchnię i objętość kuli o powierzchni = 3 dm.
332. Oblicz powierzchnię i objętość kuli, mającej średnicę równą 2,5 m.
333. Oblicz powierzchnię i objętość kuli, jeżeli długość okręgu wielkiego koła wynosi 18,84 dm.
334. Oblicz powierzchnię i objętość kuli, jeżeli pole wielkiego koła wynosi 2,25 m2.
335. Oblicz promień kuli, której powierzchnia wynosi 1 m3/
336. Oblicz powierzchnię i obwód koła wielkiego, jeżeli po
wierzchnia kuli = 8 cm2.
337. Jak się zmieni powierzchnia i objętość kuli, jeżeli:
a) promień kuli powiększymy 3 razy? ' b) „ „ zmniejszymy 4 razy?
338. Jak się zmieni promień kuli, jeżeli:
a) powierzchnię jej powiększymy 64 razy?
b) „ „ zmniejszymy 9 razy?
339. Jak się zmieni promień kuli, jeżeli:
a) objętość jej powiększymy 8 razy?
b) „ „ zmniejszymy 27 razy?
Powierzchnie kul są proporcjonalne do kwadratów ich promieni, a objętości kul są proporcjonalne do sześcianów ich promieni.
340. Półokrągła kopuła o promieniu = 7 m. ma być pokryta blachą. Ile m2 blachy trzebaby kupić na pokrycie?
341. Ile litrów wody możnaby wlać do półkolistego zbiornika o średnicy = 60 cm?
342. Średnica ziemi wynosi 12750 km. Oblicz jej objętość, oraz oblicz długość równika.
343. Ile razy kula o promieniu = 4 cm jest większa od kuli o promieniu = 2 cm?
344. Ile waży kula ołowiana o promieniu = 8 cm, jeżeli ciężar właściwy ołowiu = 11,3?
345. Zmierz w klasie promień globusu i oblicz jego powierz
chnię i objętość.
346. Ile należałoby zapłacić za złotą kulę o promieniu = 1 cm.
jeżeli 1 kg złota obecnie kosztuje... (ciężar właściwy złota = 19,3).
347. Promień kuli = 2 m; oblicz powierzchnię przecięcia kuli płaszczyzną, jeżeli odległość jego od środka wynosi =1,5 m.
348. Promień przecięcia kuli płaszczyzną = 3 dm. Oblicz od
ległość tego przecięcia od biegunów, jeżeli promień kuli = 0,5 m.
Uwaga. Biegunami okręgu, leżącego na powierzchni kuli, na
zywają się końce jej średnicy, prostopadłej do płaszczyzny okręgu.
• 349 Powierzchnia kuli jest równoważna powierzchni stożka równdtaWznego,. mającego tworzącą = 0,6 m. Oblicz promień kuli.
350. Powierzchnia kuli jest równoważna powierzchni walca, mającego wysokość — 2,6 dm i promień podstawy = 1,4 dm. Oblicz promień kuli.
351. Oblicz promień kuli, której objętość jest 10 razy mniejsza od objętości kuli o promieniu = 20,5 cm.
r e s c.
str.
Liczby ogólne ... 3
Dodawanie... ... 7
Odejmowanie ... . 12
Mnożenie ... 17
Zależność funkcjonalna . ’ . . 33
Zależność proporcjonalna... . 45
Liczby względne ... 54
Dodawanie liczb względnych . 57 Odejmowanie liczb względnych .... . 59
Dodawanie jednomianów ... . 62
Odejmowanie jednomianów . . . . 62
Dodawanie i odejmowanie wielomianów . 63 Nawiasy... . 64
Mnożenie liczb względnych ... . 67
Mnożenie jednomianów ... . 68
Mnożenie wielomianu przez jednomian . 69 Mnożenie wielomianu przez wielomian . 69 Dzielenie liczb względnych ... . 72
Dzielenie jednomianów... . 76
Dzielenie wiolomianu przez jednomian . 78 Dzielenie wielomianów... . 79
Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą . 82 Układ dwóch równań z dwiema niewiadomemi . . 90
Rachunek procentów... . 96
Dyskont... . 120
Geometrja... . 127
Elibuu I LUn UMCS
lubuj;