95. Za 3 m pewnego materjału zapłacono 6 zł. Ile zł. nale
żałoby zapłacić za: 1) 1 m; 2) 2 m; 3) 6 m; 4 dkm?
96. 6 m materjału kosztuje 7,2 zł. Ile kosztuje: 1) 1 m; 2) 3 m;
3) | m; 4) | m?
97. 2 robotników może wykonać pewną robotę w ciągu 9 dni.
W jakim czasie mogliby wykonać tę samą robotę, pracując z takiem samem natężeniem: 1) 1 robotnik; 2) 3 robotników; 3) 4 robotników;
4) 6 robotników?
98. Za pewną kwotę pieniędzy możnaby nabyć 28 kg towaru w cenie 5,25 zł. za 1 kg. Ile kg tegoż towaru możnaby było kupić, gdyby towar ten: 1) podrożał 2, 3,4,7 razy? 2) staniał 2,3,4,5 razy?
99. Pracując po 10 godzin dziennie, można wykonać pewną robotę w ciągu 6 dni. Po ile godzin dziennie należy pracować, aby wykonać tę samą robotę w ciągu 5 dni?
100. 12 kosiarzy może skosić pewną łąkę w ciągu 5 dni. Ilu trzebaby kosiarzy, aby skosić tę samą łąkę w ciągu: 1) 2 dni, 2) 3 dni, 3) 4 dni, 4) 6 dni, 5) 15 dni?
101. Na ubranie trzeba 3 m sukna, mającego 1,75 m szero
kości. Jakiej szerokości powinno być sukno, jeżeli wzięto na to sa
mo ubranie 4 m?
W zagadnieniach 95—96 mieliśmy do czynienia z wielkoś
ciami, pomiędzy któremi istniała taka zależność funkcjonalna, że ile razy jedna z nich została powiększona (względnie zmniejszona?, ty
leż razy powiększała się (względnie zmniejszała się) druga wielkość.
W zagadnieniach zaś 97—101 mieliśmy do czynienia z wiel
kościami, pomiędzy któremi istniała taka zależność funkcjonalna, że z powiększeniem się (lub zmniejszeniem) jednej 2, 3, 4 i t. d. ra
zy, druga zmniejszała się (lub powiększała) tyleż razy.
O wielkościach, które są z sobą w takiej zależności, jak w pierwszym wypadku, mówimy, że są one w zależności wproft proporcjonalnej.
O wielkościach zaś, które są z sobą w zależności jak w dru
gim wypadku, mówimy, że są one w zależności odwrotnie propor
cjonalnej.
Uwaga. Przytoczone powyżej zagadnienia są zagadnieniami na tak zwaną „regułę trzech11. Rozwiązują się one między innemi sposobem sprowadzenia do jedności.
102. a) Daj kilka przykładów wielkości wprost proporcjo
nalnych.
b) Daj kilka przykładów wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
103. Czy pomiędzy obwodem kwadratu i długością jego boku istnieje zależność proporcjonalna i jaka?
Oznaczając długość boku przez x, a obwód przez y, mamy:
gdy x — 1, wtedy y — 4.1
Z powyższej tabelki widać, że z powiększeniem (zmniejszeniem) się boku, tyleż razy powiększa (zmniejsza) się obwód. Stąd wnio
sek, że obwód kwadratu i jego bok (są to wielkości wprost pro
porcjonalne.
Równocześnie z tej tabelki zauważamy, że każdorazowy iloraz z podzielenia wartości y przez odpowiadającą jej wartość x jest ta sama i równa się 4.
Zależność więc pomiędzy obwodem kwadratu i jego bokiem możemy sformułować w następujący sposób:
x lub też:
y = 4x.
Stały iloraz z podzielenia y przez x (w danym wypadku 4) nazywamy spółczynnikiem proporcjonalności. Taka niezmienność spół- czynnika jest tylko możliwą, gdy obie wielkości zmieniają się jedna
kowo, to znaczy jednocześnie powiększają się, lub jednocześnie zmniejszają się tę samą liczbę razy.
104. Czy pomiędzy powierzchnią prostokąta o stałej podstawie np. 15 cm i jego wysokością istnieje zależność proporcjonalna i jaka?
Aby odpowiedzieć na powyższe pytanie, tworzymy tabelkę, w której x oznacza powierzchnię prostokąta, zaś y — długość wy
sokości :
gdy y = 1 2 3 1 1,5
X = 15.1 15.2 15.3 15.| 15.1,5
Z powyższej tabelki widać, że przy stałej podstawie prostokąta, z powiększeniem się (zmniejszeniem) jego wysokości, powiększa się (zmniejsza) tyleż razy jego powierzchnia. Zatem, powierzchnia pro
stokąta o stałej podstawie i jego wysokości są to wielkości wprost proporcjonalne, i ogólny wzór tej zależności będzie:
przyczem 15 jest spółczynnikiem proporcjonalności.
Z przytoczonych powyżej 2 przykładów widzimy, że to, co było powiedziane o obwodzie i jego boku, stosuje się również i do po
wierzchni pro.stokąta o stałej podstawie i jego wysokości, czyli, że wogóle stosuje się do wszystkich wielkości wprost proDorcionalnych, przeto możemy sformułować zależność wprost proporcjonalną po
między wielkościami x i y w następujący sposób:
x = ky,
gdzie k jest spółczynnikiem proporcjonalności.
105. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy bokiem kwadratu i jego powierzchnią?
106. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy ciężarem miedzi i jej objętością, jeżeli ciężar właściwy miedzi równa się 8,92?
107. Daj kilka przykładów wielkości wprost proporcjonalnych i wykaż zależność tę zapomocą wzoru; przytem wyznacz spółczyn- nik proporcjonalności.
108. Nadając wielkościom x i y szczegółowe wartości, ułóż dwa ciągi liczb tak, aby wielkości te były w zależności wprost proporcjonalnej, przyczem oblicz współczynnik proporcjonalności.
109. Które z podanych ciągów wartości szczegółowych wiel
kości x i y wskazują, iż wielkości te są w zależności wprost pro
porcjonalnej? (Oblicz spółczynnik proporcjonalności i ułóż zagadnienie.)
X = 0 i 2 3 10 2,5
y = 0 1,5 3 4,5 15 3,75
X ~
i
■31 41 1 4 5y = 4,5 3 2,25 9 36 45
X = 2 4 6 8 10 12
y = 3 7 13 27 33 49
110. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy długością drogi, którą przebywa pociąg, a czasem trwania jazdy, jeżeli szybkość jazdy jest stała?
(Wyznacz spółczynnik proporcjonalności).
111. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy czasem pracy i płacą.
(Wyznacz spółczynnik proporcjonalności).
112. Ułóż kilka zagadnień, któreby zawierały wielkości wprost proporcjonalne.
113. Poniżej podany jest (rys. 22) wykres funkcji x = ky
czyli wykres zależności wprost proporcjonalnej dla szczegółowej wartości k = 1,5.
y= 0 35 1 1,5 2 2,5 3
X — 0 0,9 1,5 2,25 3 3,75 4,5
Jak wskazuje rys. 22, wszystkie punkty, odpowiadające warto
ściom szczegółowym x i y, podanym w powyższej tabelce, układają się na jednej linji prostej, przechodzącej przez punkt 0 (początek spółrzędnych), przyczem zauważa się, że im większa jest wartość szczegółowa spółczynnika proporcjonalności k, tembardziej prosta ta odchyla się od kierunku osi odciętych OX.
114, Narysuj wykres funkcji x = ky,
dla szczegółowej wartości x: 1) 2, 2) 2,5, 3) 0,4, 4) |, ’ 5) 2,6, 6) 7,8, 7) 13,6, 8) 8,9, 9) 10,5, 10) 11,3.
115. Jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy ceną jednostki towaru, a jego ilością przy stałej kwocie, przeznaczonej na kupno?
Oznaczmy przez x cenę jednostki towaru, a ilość towaru — przez y i niech kwotą, przeznaczoną na kupno, będzie nprz. 1500 złotych.
Rachunki. — Część VI. 4
/
Z powyższej tabelki widać, iż z powiększeniem (zmniejszeniem) się ilości towaru, tyleż razy zmniejsza (powiększa) się cena jedno
stki towaru przy stałej kwocie, przeznaczonej na kupno. Stąd wniosek, że pomiędzy ceną jednostki towaru i ilością towaru, istnie
je zależność odwrotnie proporcjonalna.
Z tej samej tabelki zauważamy również, że każdorazowy ilo
czyn ceny jednostki towaru, t. j. wartości szczegółowej x, przez ilość towaru, t. j. przez odpowiednią wartość szczegółową y, jest ten sam, mianowicie 1500.
Zależność więc pomiędzy ceną jednostki towaru i jego ilością możemy sformułować w następujący sposób:
yx = 1500.
116. Jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy ilością osób a czasem, na który ma wystarczyć ta sama ilość żywności, nprz. 225 kg cukru?
Oznaczmy przez x — ilość osób, a czas — przez y,
i t. d.
Z powyższej tabelki widać, że przy stałej ilości żywności, z po
większeniem (zmniejszeniem) się czasu, tyleż razy zmniejsza (po
większa) się ilość osób. Zatem pomiędzy ilością osób, a czasem przy tej samej ilości żywności istnieje zależność odwrotnie proporcjonal
na, i ogólny wzór tej zależności będzie:
Z przytoczonych powyżej (Nr. 115 1116) przykładów wnosimy, że to, co było powiedziane o zależności pomiędzy ceną jednostki towaru, a jego ilością, stosuje się również i do ilości osób i czasu, czyli że wogóle stosuje się do wszystkich wielkości odwrotnie pro
porcjonalnych, przeto ogólny wzór zależności odwrotnie proporcjo
nalnej pomiędzy dwiema wielkościami x i y będzie następujący:
x = — k y lub też:
xy — k
Otrzymane wzory wskazują, że niezmienność iloczynów możli
wą jest pod warunkiem, że powiększeniu jednej ze zmiennych od
powiada zmniejszenie tyleż razy drugiej zmiennej.
117. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy je
dnostajną szybkością a czasem, potrzebnym do przebycia jednej i tej samej drogi, naprz. 450 km?
118. Czy i jaka istnieje zależność proporcjonalna pomiędzy liczbą robotników i liczbą dni pracy, potrzebnych do wykonania pewnej roboty, naprz. do wykopania rowu, mającego 560 m3?
119. Daj kilka przykładów wielkości, pomiędzy któremi ist
nieje zależność odwrotnie proporcjonalna; wyraź zależność tę zapo- mocą wzoru i wyznacz szczegółową wartość spółczynnika k.
120. Na podstawie poniżej podanych wartości szczegółowych 2 wielkości x i y zbadaj, czy te wielkości są względem siebie pro
porcjonalne i oblicz szczegółową wartość spółczynnika k:
y —
1
1 2 3 5X = 48 24 12 8 4,8
y = 1 5 0,5 0,1 0,25
X =
1
6,05 0,5 2,5 1y = 0,6 1 3 10 12
X = 5 3 1 0,3 0,25
y = 2 5 .7 8 12
X =
i U 21
0,06 0,5y =
ł
2 0,6 1,5 3,75X = 8 3 10 4 1,6
121. Nadając wielkościom x i y szczegółowe wartości, ułóż dwa ciągi liczb tak, aby wielkości te były w zależności odwrotnie proporcjonalnej.
122. Ułóż kilka zagadnień, któreby zawierały wartości odwro- tnie proporcjonalne.
123. Poniżej (rys. 23) podany jest wykres funkcji x — — k
y
czyli zależności odwrotnie proporcjonalnej; wykres ten jest zbudo
wany podług tabelki, obliczonej dla wartości k = 60.
X i 2 3 . 4 5
y 60 40 30 20 15 12
Wykres, będący obrazem zmienności 2 wielkości odwrotnie proporcjonalnych, jest linją krzywą, która nosi nazwę hiperboli:
krzywa ta odznacza się tern, że w miarę zwiększania się wartości szczegółowych x (odciętych), wartości szczegółowe y (rzędne) szybko maleją i w miarę zmniejszania się odciętych (x) rzędne szybko wzra
stają, wskutek czego krzywa ta, zbliża się ciągle do osi, coraz to bardziej się wyprostowując.
124. Narysuj wykresy funkcyj:
n 5 12 1 °-811 r=-; 2)y--: 3), = -; 4) y = —;