Obliczanie stopy procentowej
64. W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku =22° 30'
Oblicz pozostałe kąty.
65. Opisz graniastosłup trójkątny prosty, mający za podstawę:
1) trójkąt prostokątny, 2) trójkąt równoboczny, 3) trójkąt równora
mienny, 4) trójkąt prostokątny równoramienny.
Nakreśl siatki każdego z poszczególnych graniastosłupów i zbadaj odpowiednie modele (rys. 15).
66, Opisz graniastosłup, w którym krawędzie boczne są po
chyłe względem podstawy i którego podstawy są kwadrami (gra
niastosłup kwadratowy pochyły).
Ile ścian ma graniatosłup kwadratowy pochyły?
Czy wszystkie ściany są jednakowe?
Które ściany są jednakowe?
Jakie jest położenie wzajemne ścian przyległych i przeciw
ległych?
Ile wierzchołków i krawędzi ma ten graniastosłup?
Ile krawędzi zbiega się w jednym wierzchołku?
Czy i jakie krawędzie są jednakowe?
Wskaż krawędzie prostopadłe, pochyłe, wichrowate, równoległe.
Czy ściany boczne mają takie same kąty, jak kwadrat lub prostokąt?
Jak są skierowane względem siebie przeciwległe boki ścian bocznych?
Ściany boczne graniatosłupa pochyłego kwadratowego mają kształt niżej podany (rys. 16).
Rys. 16.
Czworokąt (rys. 16), mający dwie pary równoległych boków, nazywa się równoległobokiem.
Zmierz kąty równoległoboku i porównaj je ze sobą: co zauważysz?
Kąty, lezące naprzeciw siebie są równe, a przyległe do jednego boku są spełniające się (czyli, że suma icb wynosi 180a).
Z czterech listewek (dwu jednakowych dłuższych i dwu jedna
kowych krótszych) wykonaj model prostokąta, łącząc listewki, nprz, gwoździkami. Następnie zmień położenie listewek tak, by one nie tworzyły kątów prostych. Otrzymasz równoległobok.
Czem się różni równoległobok od prostokąta?
Które boki równoległoboku są równe?
Czy prostokąt jest równoległobokiem?
67. Nakreśl równoległobok, ma'jący:
1) boki równe 0,9 cm i 5 cm i kąt przez te boki utworzony = 55°.
2) boki równe 1| dm i 0,6 dm i kąt przez te boki utworzony = 30°.
70. a) Nakreśl równoległobok, który miałby wszystkie boki równe 4 cm i kąt równy 60°.
Równoległobok, który ma wszystkie boki równe, a żaden kąt nie jest prostym, nazywamy rombem lub ukośnikiem.
b) Jakie własności mają kąty rombu?
c) Jeden z kątów rombu zawiera 50°. Oblicz pozostałe kąty.
d) Zapomocą cyrkla i linijki zbuduj romb, mając dany bok i kąt.
e) Nakreśl romb, który miałby wszystkie kąty proste. Czy można nakreślić taki romb?
Jak nazywa się taki romb?
f) Czy możnaby nakreślić romb, który miałby: 1) wszystkie kąty ostre, 2) wszystkie kąty rozwarte?
Kwadrat, prostokąt, romb są równoległobokami, gdyż przeciwległe boki są równe i równoległe.
68. Czworokąt, mający tylko jedną parę boków równoległych, nazywa się trapezem (rys. 17). Równoległe boki nazywamy pod
stawami trapezu.
Nakreśl kilka trapezów.
Nakreśl kilka trapezów, z których jeden z nierównoległych boków jest prostopadły do podstaw.
Trapez taki nazywamy
prostokątnym-Nakreśl kilka trapezów, których nierównoległe boki są równe.
Trapez taki nazywamy równoramiennym.
69. a) Nakreśl osie symetrji odcinków: 4 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm.
Zmierz odległości jakiegokolwiek punktu osi symetrji od koń
ców danego odcinka. Co zauważysz?
Jakikolwiek punkt osi symetrji danego odcinka jest jednakowo odległy od końców tego odcinka.
70. Nakreśl dowolny trójkąt ostrokątny, t. j. trójkąt, którego wszystkie kąty są ostre (rys. 18); następnie wykreśl osie symetrji dwu boków, nprz. AC i BC.
Czy punkt O przecięcia się tych osi będzie jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków trójkąta, t. j. od punktów A, B i C ? Dlaczego?
Ponieważ punkt przecięcia się osi symetrji boków AC i BC jest jednakowo odległy od punktów A i B (końców odcinka AB), przeto oś symetrji boku AB przechodzi również przez ten sam punkt O, więc wszystkie 3 osie symetrji boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest jednakowo odległy od wierzchołków trójkąta.
Jeżeli przeto, połączymy punkt przecięcia się osi symetrji bo
ków trójkąta z którymkolwiek z wierzchołków tego trójkąta nprz.
O z C (rys. 19) i z punktu O promieniem równym odcinkowi OC zakreślimy okrąg, wówczas okrąg ten przejdzie przez wszystkie wierzchołki trójkąta.
Mówimy, że okrąg ten jest opisany na trójkącie, lub też, że trójkąt jest wpisany w kolo.
71. a) Opisz koło na trójkącie równobocznym, którego bok
= 1) 4 cm, 2) 5 cm, 3) 6 cm, 4) 3 cm.
b) Opisz koło na trójkącie prostokątnym.
c) Opisz koło na trójkącie rozwartokątnym.
d) Opisz koło na trójkącie równoramienym; w każdym z po
wyższych wypadków sprawdź pomiarem, że punkt przecięcia się osi symetrji boków jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków.
72. Nakreśl oś symetrji kąta: 1) 40°, 2) 55°, 3) 135®. Jaką własność ma oś symetrji kąta?
73. Nakreśl dowolny trójkąt nprz. A ABC. (Rys. 20).
Następnie poprowadź dwusieczne 2 kątów B i A: Czy punkt przecięcia się tych dwusiecznych jest jednakowo odległy od wszyst
kich boków trójkąta? Dlaczego?
Ponieważ punkt przecięcia się dwusiecznych kątów A i B jest jednakowo odległy od ramion kąta (boków CA i CB), przeto dwu
sieczna kąta C (osi symetrji kąta C) przechodzi również przez ten sam punkt O; więc wszystkie osie symetrji kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest jednakowo odległy od boków trójkąta.
Jeżeli, przeto, z punktu O przecięcia się osi symetrji kątów trójkąta, spuścimy prostopadłą na jeden z boków (rys. 20) i z punktu O promieniem równym OD zakreślimy okrąg, wówczas otrzymany okrąg zwie się okręgiem wpisanym w trójkąt, o trójkącie mówimy, że jest opisany na kole.
a) Wyznacz punkt przecięcia się osi symetrji kątów w trójkącie:
1) ostrokątnym, 2) prostokątnym, 3) rozwartokątnym.
b) Sprawdź pomiarem w każdym z poszczególnych wypadków, że odległość tego punktu od wszystkich boków trójkąta jest jedna
kowa. Następnie wpisz w trójkąt koło.
74. Nakreśl dowolny trójkąt: 1) równoboczny, "2) równora
mienny, 3) prostokątny, 4) różnoboczny.
Na każdym z tych trójkątów opisz koła, następnie w te same trójkąty wpisz koła i’ zauważ, gdzie w każdym z tych trójkątów leżą środki kół wpisanych i opisanych.
Tylko w trójkącie równobocznym środek koła opisanego i wpi
sanego w trójkąt jest ten sam.
Trójkąt równoboczny, który jest jednocześnie równokątnym na
zywamy trójkątem foremnym.
75. Nakreśl dowolny kwadrat (rys. 21),
a) Wykreśl w kwadracie tym osie symetrji obu par przeciw
ległych boków i udowodnij, że osie te są do siebie prostopadłe i że odcinki osi, zawarte wewnątrz kwadratu są sobie równe.
Rachunki — Część VI. 10
b) Wykreśl przekątną kwadratu i udowodnij, że przekątna ta dzieli kwadrat na 2 trójkąty równe. (Jakie to będą trójkąty?).
Uwaga. Przekątną nazywamy odcinek, łączący przeciwległe wierzchołki czworokąta.
c) Ile przekątnych ma kwadrat?
d) Wykreśl obydwie przekątne kwadratu i udowodnij, że obie przekątne są równe, są do siebie prostopadłe i dzielą się na połowy.
e) Wykreśl osie symetrji kątów kwadratu.
W jakim punkcie przecinają się osie symetrji kątów kwadratu?
Czy w tym samym, co i przekątne?
f) Sprawdź, czy osie symetrji boków, tudzież osie symetrji kątów są także osiami symetrji całego kwadratu.
Wskazówka. Zbadaj model i przegnij wzdłuż osi.
Ile osi symetrji ma kwadrat?
g) Nakreśl okrąg, któryby przechodził przez wszystkie wierz
chołki kwadratu, (opisać okrąg na kwadracie).
h) Wpisz koło w kwadrat.
i) Jakie cechy wspólne ma trójkąt równoboczny i kwadrat, (boki równe, kąty równe, środek koła opisanego i wpisanego jest ten sam).
Kwadrat jest czworokątem foremnym.
76. Nakreśl dowolny romb, (rys. 22).
a) Wykreśl przekątną rombu i udowodnij, że ona dzieli romb na 2 trójkąty równe.
b) Wykreśl obydwie przekątne rombu, udowodnij, że: 1) prze
kątne te dzielą się na połowy i 2) są do siebie prostopadłe.
c) Wykreśl osie symetrji kątów rombu. Co zauważysz?
d) Sprawdź; 1) czy można wpisać koło w romb i 2) czy można opisać koło na rombie.
Jeżeli można, to jak znaleźć środek i promień koła?
77. Nakreśl prostokąt i oznacz w nim osie symetrji.
Ile osi symetrji ma prostokąt?
Sprawdź: 1) czy można opisać koło na prostokącie i 2) czy można wpisać koło w prostokąt.
Znajdź środek i promień.
78. Nakreśl dowolny równoległobok, wytnij go i sprawdź na modelu, czy oś symetrji boku i oś symetrji kąta jest jednocześnie osią symetrji równoległoboku?
Ile osi symetrji ma równoległobok?
Czy można: 1) opisać koło na równoległoboku i 2) wpisać koło w równoległobok?
79. a) Nakreśl trapez równoramienny i na modelu sprawdź, czy trapez równoramienny jest figurą symetryczną względem osi.
Czy na trapezie równoramiennym można opisać koło?
Znajdź środek i promień?
b) Czy trapezy nierównoramienne są symetryczne względem osi?