Podstawowe modele wyceny opcji rzeczowych

7.2.3 Podstawowe modele wyceny opcji rzeczowych

Najistotniejszymi cechami rachunku opcyjnego są: rozpatrywanie niepewności występującej w otoczeniu jako szansy, możliwość aktywnego zarządzania projektem podczas jego trwania oraz kwantyfikacja tych wartości. W ten właśnie sposób rachunek opcyjny dopełnia klasyczne dyskontowe metody oceny przedsięwzięć inwestycyjnych, jeżeli jego zastosowanie jest celowe (rys. nr 7.3). Rachunek opcyjny uzupełnia tradycyjne metody oceny efektywności inwestycji o wartość elastyczności projektu, czyli o wartość opcji rzeczowych tkwiących w projektach oraz wartość wzajemnych relacji pomiędzy tymi opcjami, zgodnie z poniższą zależnością [Ziarkowski R. 2004], [Pera K. 2010]:

ROV = NPV + OP (7.9)

gdzie:

ROV – wartość opcji rzeczowej projektu (wartość strategiczna projektu), [jednostki pieniężne],

OP – wartości opcji (elastyczności) projektu, premia opcyjna, [jednostki pieniężne].

Analogicznie jak przy wycenie opcji finansowych, modele wyceny opcji rzeczowych opierają się na wyznaczeniu i konstrukcji instrumentu replikującego przyszłe przepływy wygenerowane przez opcję. Wśród wielu koncepcji wyceny opcji rzeczowych szczególnie interesująca jest koncepcja MAD (Market Asset Disclaimer), zgodnie z którą optymalnym rozwiązaniem jest użycie wartości samego projektu, bez uwzględniania elastyczności, jako najlepszej dostępnej repliki projektu inwestycyjnego [Antocarov V., Copland T. 2001], [Mizerka J. 2005], [Ziarkowski R. 2004].

W teorii opcji rzeczowych, często za walor bazowy przyjmuje się wartość bieżącą projektu brutto PV, przepływy pieniężne lub przychody roczne. Ceną wykonania opcji są natomiast koszty (nakłady inwestycyjne) związane ze zmianą stanu działalności lub zyski ze sprzedaży majątku. Za datę wygaśnięcia opcji przyjmuje się okres, w którym można zrealizować inwestycję, zmienić stan prowadzonej działalności lub zakończyć prowadzone aktywności.

W wycenie wartości opcji rzeczowych stosuje się dwie główne metody, których rozwinięte i uszczegółowione wersje dla poszczególnych rozważanych przypadków umożliwiają wyznaczenie ich wartości ROV. Metody podstawowe to model Blacka-Scholesa oraz model dwumianowy.

W równaniu Blacka-Scholesa przyjmuje się, że zmiany cen aktywów bazowych mają charakter ciągły (metoda ciągła wyceny opcji rzeczowych). Pomimo jej ograniczonego zastosowania (ograniczona liczba przypadków) metoda ta posiada zasadnicze znaczenie w wycenie opcji rzeczowych, gdyż jest podstawę teoretyczną innych metod, w tym metody drzewa dwumianowego. Równanie Blacka-Scholesa stosowane w rachunku opcyjnym przyjmuje postać:

  _{( )} ) ( ₁ ^ln1 ₂ 0 PV N d Ie N d C      ^rto (7.10) gdzie   o o t t r I PV d   ) 5 , 0 1 (ln ) ln( ² 1     (7.11) o t d d₂  ₁ (7.12) gdzie:

76 PV – zaktualizowana wartość przepływów pieniężnych z projektu

[jednostki pieniężne],

I – koszt realizacji opcji; to wartość nakładów, jakie inwestor musi ponieść przy decyzji o realizacji opcji rzeczowej [jednostki pieniężne],

to – czas pozostały do wygaśnięcia opcji rzeczowej [jednostka czasu, zazwyczaj lata]

σ – zmienność wartości projektu [%], r – stopa procentowa wolna od ryzyka [%],

N(d1), N(d2) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla zmiennych d₁ i d₂ [-].

Aby uzyskać wartość opcji rzeczowej ROV, należy od wartości opcji kupna odjąć koszt nabycia tej opcji zgodnie ze wzorem:

OA C

ROV ₀ (7.13)

gdzie:

OA – koszt nabycia opcji kupna, [jednostki pieniężne],

Zazwyczaj dla instrumentów finansowych krótkoterminowych, jako stopę wolną od ryzyka przyjmuje się stopę zwrotu 13-tygodniowych bonów skarbowych, dla inwestycji krótkoterminowych (czas trwania do 5 lat) – stopę zwrotu 52-tygodniowych bonów skarbowych. Natomiast dla inwestycji długoterminowych za stopę zwrotu wolną od ryzyka uznaje się stopę zwrotu z długoterminowych obligacji emitowanych przez skarb państwa [Rutkowski A. 2007], [Swatler L. 1985]. Możliwość wykorzystania modelu Blacka-Scholesa do wyceny opcji rzeczowych jest ograniczona do bardzo niewielu przypadków z tytułu następujących jego uwarunkowań [Kobylańska M., Kudełko J. 2005], [Ziarkowski R. 2004]:

 dotyczy opcji europejskich (termin realizacji w dniu wygaśnięcia), podczas gdy przeważająca część opcji rzeczowych to opcje amerykańskie,

 uwzględnia tylko jedno źródło niepewności, podczas gdy projekty rzeczywiste mają ich zazwyczaj wiele,

 cena realizacji jest znana i stała,

 nie uwzględnia się utraconych przepływów pieniężnych (w przypadku opcji finansowych to utracone dywidendy), co wyklucza zastosowanie modelu do wyceny takich opcji, jak opcja ekspansji, ograniczenia działalności, zmiany trybu operacyjnego itd.,

 zmienność aktywa bazowego jest stała w całym okresie analizy.

Model Blacka-Scholesa ma zastosowanie w wycenie projektów inwestycyjnych o charakterze opcji europejskiej, a także w przypadku projektów związanych z przetwarzaniem surowców. Stosowanie równania Blacka-Scholesa wymaga wykorzystania skomplikowanych operacji matematycznych, w których z serii danych otrzymuje się wynik w postaci liczby. Ich interpretacja przez decydentów oraz innych uczestników procesu inwestycyjnego może być utrudniona, jeżeli nie posiadają oni specjalistycznej wiedzy w tym zakresie. Występują także przypadki, w których nie jest możliwe uzyskanie rozwiązania analitycznego – otrzymuje się wynik przybliżony [Micalizzi A. 1997], [Obłój K. 2007], [Ziarkowski R. 2004]. Z tego względu szersze zastosowanie znalazł model drzewa dwumianowego, który jest w rzeczywistości uproszczeniem modelu Blacka-Scholesa, a który może być zastosowany do różnych rodzajów opcji rzeczowych.

77 Model drzewa dwumianowego należy do metod dyskretnych. Drzewo dwumianowe zbudowane jest z wierzchołków (węzłów) oraz strzałek (dróg) między nimi. Położenie wierzchołków obrazuje zmiany w czasie wartości instrumentu bazowego. Z każdego węzła drzewa dwumianowego wychodzą dwie strzałki oznaczające możliwy wzrost lub spadek wartości instrumentu bazowego. Istnieją dwa rodzaje drzew dwumianowych: addytywne (wartości w kolejnych węzłach wyznacza się przez dodawanie lub odejmowanie stałego czynnika) oraz multiplikatywne (wartości w kolejnych węzłach oblicza się jako iloczyn wartości aktywa bazowego i wskaźnika wzrostu u lub spadku d) [Micalizzi A. 1997], [Mizerka J. 2005]. Kształtowanie się wartości w drzewie multiplikatywnym odpowiada geometrycznemu ruchowi Browna. Rysunek 7.5 przedstawia schemat drzewa dwumianowego multiplikatywnego.

Rys. 7.5 Drzewo dwumianowe multiplikatywne [Mizerka J. 2005].

Wskaźniki wzrostu u i spadku d, ze względu na zmienność wartości projektu σ, oblicza się z następujących zależności, wg oryginalnego modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) [Cox i in. 1979a, 1979b], [Saługa P. 2011a, 2011b]:

t e u  ^ (7.14) t e d ^ ^ (7.15) gdzie:

u – wskaźnik wzrostu wartości aktywa bazowego, z prawdopodobieństwem obiektywnym wzrostu wartości q [-],

d – wskaźnik spadku wartości aktywa bazowego,

z prawdopodobieństwem obiektywnym spadku wartości (1-q) [-],

t – przedział czasowy analizy [jednostka czasu, najczęściej rok]. Po utworzeniu drzewa wartości aktywa bazowego wyznacza się wartości opcji we wszystkich węzłach, w których opcja wygasa. Obliczenia prowadzi się od ostatnich węzłów drzewa dwumianowego w kierunku węzła początkowego (moment 0). Wykorzystać można w tym celu metodę prawdopodobieństw neutralnych względem ryzyka (Risk-Neutral Probability Approach), w której wartość opcji wyznacza się z równania:

 

r V p V p ROV u d       1 1 (7.16) gdzie:

ROV – wartość opcji rzeczowej rozważanej inwestycji [jednostki pieniężne],

V_u – wartość aktywa bazowego w następnym okresie w przypadku wzrostu wartości, z prawdopodobieństwem neutralnym względem

Moment 0 Okres 1 Okres 2

V₀u² V₀u V₀ud V₀d² V₀d V₀

78 ryzyka p [jednostki pieniężne],

Vd – wartość aktywa bazowego w następnym okresie w przypadku spadku wartości, z prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka (1 – p) [jednostki pieniężne],

Wartości neutralnych względem ryzyka prawdopodobieństw wzrostu p lub spadku (1 – p) wyznacza się z następujących zależności [Cox i in. 1979a, 1979b], [Saługa P. 2011a, 2011b]: d u d e p t r    ^ (7.17) d u e u p g t r     1 ^ (7.18) gdzie:

p – neutralne względem ryzyka prawdopodobieństwo wzrostu [-], g – neutralne względem ryzyka prawdopodobieństwo spadku [-]. Wycena opcji rzeczowych przy pomocy drzewa dwumianowego jest relatywnie prosta i uniwersalna. Przy wykorzystaniu metody prawdopodobieństw neutralnych względem ryzyka możliwa jest aktualizacja przepływów pieniężnych stopą procentową wolną od ryzyka, co znacznie ułatwia analizę. Z tego względu wycenę opcji rzeczowych modelem drzewa dwumianowego można nazwać metodą zdyskontowanych wartości obojętnych wobec ryzyka [Micalizzi A. 1997], [Ziarkowski R. 2004].

Możliwa jest modyfikacja wzorów (7.16) i (7.17), prowadząca do zwiększenia ilości kroków wykonywanych przez drzewo dwumianowe (okresów cząstkowych), czyli liczby węzłów drzew. Wówczas przyjmują one postaci [Kobylańska M., Kudełko J. 2005], [Mizerka J. 2005], [Ziarkowski R. 2004]: T t_a e u ^ (7.19) T t_a e d  ^ (7.20) gdzie:

ta – okres analizy [jednostka czasu: lata, miesiące, tygodnie], T – ilość zmian wartości aktywa bazowego w okresie analizy [-]. Przy ich zastosowaniu w takiej postaci, możliwe jest uzyskanie bardziej precyzyjnych wyników a otrzymana wartość inwestycji zbliża się do wartości uzyskiwanej metodami ciągłymi, np. z wykorzystaniem równania Blacka-Scholesa. Zwiększenie ilości węzłów skutkuje jednak znacznym skomplikowaniem obliczeń [Kobylańska M., Kudełko J. 2005], [Mizerka J. 2005], [Ziarkowski R. 2004].

Zastosowanie opisanych metod do wyceny opcji rzeczowych wymaga ich uściślenia dla poszczególnych przypadków z uwagi na specyficzne cechy monitorowanych parametrów.

Na szczególną uwagę zasługuje zagadnienie zmienności σ. Warto zaznaczyć, że przy zerowej zmienności projektu jego efektywność ekonomiczna obliczana metodą tradycyjnego rachunku dyskontowego i metodą opcji rzeczowych (np. z wykorzystaniem równania Blacka-Scholesa) przyjmuje taką samą wartość, co jest zgodne ze wskazanym na rysunku nr 7.3 zakresem ich stosowania. Przy prowadzeniu oceny efektywności projektu inwestycyjnego należy dokonać oszacowania zmienności wartości projektu na podstawie niepewności przyszłych przepływów finansowych, zależnych od poszczególnych parametrów ujmowanych w projekcie. W przypadku oddziaływania na przedsięwzięcie wielu źródeł niepewności (np. cen surowców, wielkości produkcji, wykorzystania zdolności produkcyjnych), istotne znaczenie ma ich wyrażenie w postaci jednego parametru – zmienności projektu.

79 Istnieją różne podejścia do zagadnienia zmienności. Najprostszym sposobem określenia zmienności jest zastosowanie odchylenia standardowego [Ziarkowski R. 2004], [Mizerka J. 2005]. W literaturze wymienia się kilka metod określania zmienności aktywów bazowych opcji rzeczowych [Mun J. 2006], [Saługa P. 2011a, 2011b, 2013]:

 metoda logarytmicznych stóp zwrotu z przepływów pieniężnych lub cen akcji (ang. Logarithmic cash flow returns or logarithmic stock price returns approach – LCFR/LSPR),

 metoda ekspercka,

 metoda logarytmicznych stop zwrotu z wartości bieżącej (logarithmic present value returns approach – LPVR),

 metoda autoregresji z heteroskedastycznością warunkową (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity – GARCH)

 metoda rynkowych analiz porównawczych.

Metoda logarytmicznych stóp zwrotu z przepływów pieniężnych lub cen akcji LCFR/LSPR jest stosowana najczęściej w przypadkach, gdy referencyjnym instrumentem bazowym jest aktywo będące w obrocie rynkowym, np. akcje, ceny surowców, energii itp. Zaletą tej metody jest jej popularność i łatwość obliczania. Nie może być jednak stosowana, gdy występują wartości ujemne. Wartość zmienności metodą LCFR/LSPR można obliczać na podstawie:

a) szacunkowych przyszłych przepływów pieniężnych subiektywnych lub wynikających z analizy porównawczej,

b) historycznych danych o cenach instrumentów bazowych – zmienność historyczna. Przy kalkulacji zmienności historycznej można stosować dane dzienne, tygodniowe, miesięczne, kwartalne lub roczne. W pierwszej kolejności wyznacza się względne, a następnie logarytmiczne zwroty z rozpatrywanego instrumentu bazowego, według wzoru:        1 ln s s s p p r (7.21) gdzie:

rs – logarytmiczna stopa zwrotu z aktywa bazowego w okresie s [-], p_s – wartość instrumentu bazowego w okresie s [jednostki pieniężne], ps-1 – wartość instrumentu bazowego w okresie poprzedzającym

s-1 [jednostki pieniężne], s – wskaźnik okresu [-],

Ze wzoru (7.22) wynika, że liczba oznaczonych logarytmicznych stóp zwrotu jest mniejsza o 1 od liczby rozpatrywanych okresów. Następnie wyznaczana jest ich wartość średnia, zgodnie ze wzorem:



  ^N s s sr r N r 1 1 (7.22) gdzie:

r_sr – średnia logarytmiczna stopa zwrotu z aktywa bazowego [-], N – liczba rozpatrywanych okresów [-],

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie odchylenia standardowego, czyli zmienności aktywa bazowego σ:



r r



T N N s sr s    



1 2 1 1  (7.23)

80 gdzie:

Nr – liczba obserwacji zmian cen instrumentów bazowych w roku, [-]. Modyfikacja klasycznej postaci wzoru na odchylenie standardowe przez pomnożenie jej przez pierwiastek z liczby obserwacji rocznie zmian cen instrumentów bazowych w roku, umożliwia oszacować zmienność roczną (na podstawie zmienności z krótszych okresów), co jest niezbędne przy podstawowej wersji modelu wyceny opcji, w której rozpatrywane są okresy roczne. W sytuacji odwrotnej, gdy znana jest zmienność roczna, a do analizy wymagane jest wyznaczenie zmienności dla krótszych okresów, to oblicza się ją dzieląc wzór na odchylenie standardowe przez pierwiastek z liczby obserwacji rocznie zmian cen instrumentów bazowych w roku, np. miesięcznych. W przypadku jednej zmiany rocznie mnożnik ten wynosi 1 [Pera K. 2010].

Metoda ekspercka określania zmienności aktywa bazowego opiera się na doświadczeniu specjalistów z branży. Metoda ta zawiera w sobie elementy subiektywne i przez to jest relatywnie skomplikowana. Warto zaznaczyć, że w literaturze wskazuje się, że w przypadku opcji rzeczowych zmienność projektu może się różnić od zmienności poszczególnych źródeł niepewności projektu. W przypadku braku dostatecznej wiedzy o poziomie zmienności projektu przyjmuje się, że poprawne jest zastosowanie tej wielkości nawet na poziomie 40% [Ziarkowski R. 2004]. Określenie metodą ekspercką zmienności aktywa bazowego może być poprzedzone i uwzględniać analizy zmienności istotnych źródeł niepewności rozważanego projektu przy wykorzystaniu metody logarytmicznych stóp zwrotu [Antocarov V. Copland T. 2001], [Saługa P. 2011]. [Mun J. 2006], [Ziarkowski R. 2004].

Metoda logarytmicznych stop zwrotu z wartości bieżącej LPVR jest często stosowaną metodą do oznaczania zmienności aktywa bazowego. Dodatkowo pozwala ona uwzględniać ujemne przepływy pieniężne. Z drugiej strony wymaga stosowania symulacji Monte Carlo, co nie jest jednak intuicyjnie zrozumiałe dla inwestorów.

Metoda autoregresji z heteroskedastycznością warunkową GARCH znajduje zastosowanie w podobnych sytuacjach, jak metoda poprzednia i posiada ścisły statystyczny charakter. Jej ograniczeniem z kolei jest konieczność pozyskania znacznej ilości danych oraz zależność wyników kalkulacji od opinii analityka.

Metoda rynkowych analiz porównawczych polega na wyznaczaniu zmienności przez porównanie rozważanych projektów z aktywami finansowymi będącymi w obrocie i stanowiącymi dla nich aktywa bliźniacze. Zastosowanie tej metody jest ograniczone ze względu na trudność we wskazaniu rynku aktywów, które są skorelowane z niepowtarzalnymi projektami inwestycyjnymi.

W dokumencie Index of /rozprawy2/11059 (Stron 75-80)