Podsumowanie i wnioski

Prawidłowe oszacowanie wyznaczanej statystycznie niepewności pomiarów (od-powiednik uA wg GUM) dla próbek danych o rozkładach niegaussowskich wymaga wyboru efektywnego, tj. możliwie najdokładniejszego i nieobciążonego estymatora wartości mezurandu. W pracy przedstawiono wyniki badań efektywności estymato-rów rozkładów trapezowych i splotów innych prostych rozkładów oraz metody poszu-kiwania estymatora mezurandu o najmniejszej niepewności dla próbki danych pomia-rowych bez określania a priori jej rozkładu. Oto kilka najważniejszych wniosków.

• Dla próbki modelowanej rozkładem Trap, tj. o rozkładzie PDF w kształcie syme-trycznego trapezu, wybór najlepszego, tj. o najmniejszym odchyleniu standardowym jednoelementowego (1C) estymatora wartości mezurandu zależy od stosunku podstaw β tego trapezu. Od β = 0 (trójkąt), aż do β = 0,35 dominuje wartość średnia. Jeśli zbli-ża się on prostokąta (0,35 < β ≤ 1) to lepszy jest środek rozstępu danych próbki.

• Dla zakresu 0 < β < 0,75 jeszcze dokładniejszy jest nieobciążony estymator dwu-elementowy (2C) o współczynnikach k1, k2 wg (3) jako liniowa forma ich obu.

• Dla rozkładów Trap i CTrap autorzy proponują by w zakresie 0 ≤ β ≤ 0,75 sto-sować z niepewnością rzędu 10% uproszczony estymator 2C o jednakowych współ-czynnikach k1 = k2 = 0,5, a powyżej tego zakresu aż do β = 1 – środek rozpięcia.

• Dla splotu rozkładu trapezowego z Normalnym (np. szum) obszar dominacji środka rozstępu szybko maleje i już przy 5% zawartości wynosi tylko 5% zakresu β.

• Przy niedużej zawartości rozkładu Normalnego w jego splotach z rozkładem równomiernym lub z arcsin, występuje wąski obszar o dominacji środka rozstępu. Możnaby więc, podobnie jak dla rozkładów trapezowych i dla tych splotów zastoso-wać estymatory dwuelementowe, ale ich właściwości wymagają jeszcze zbadania.

• W całym zakresie stosunku odchyleń standardowych składników splotu rozkła-dów arcsin i równomiernego oraz splotu rozkłarozkła-dów arcsin dominuje środek rozstępu.

• Dla splotu rozkładów równomiernego i trapezowego obszar ten zwiększy się. • Przy liczności próbki n ≥ 10 można przyjąć, że estymatory te nie zależą od n. • Wszystkie wnioski sprawdzono przez symulacje Monte Carlo i na przykładach. • Można używać też realizowanych komputerowo metod statystycznych poszuki-wania estymatora mezurandu o najmniejszej niepewności bezpośrednio dla próbki danych pomiarowych, które nie wymagają określania a priori jej modelu.

• Procedury Monte Carlo stosowane do bezpośredniego wyznaczania najlepszego estymatora dla próbki danych dają wówczas dobre wyniki, gdy jej wielkość jest od-powiednia do uzyskania dobrego przybliżenia funkcji odwrotnej dla dystrybuanty (CDF) i histogramu. Procedury te wymagają dodatkowych operacji algorytmicznych dla aproksymacji funkcji odwrotnej, w tym za pomocą odcinków linii prostej.

• Nowe podejście – metody resamplingu – nie wymagają próbek o dużych rozmia-rach. Stosować można dwie różne procedury o angielskich nazwach jackknife i bootstrap. Metodą bootstrap można wytworzyć bardzo dużo próbek wtórnych – re-sampli, ale wymaga ona dodatkowego oprogramowania do pseudolosowej generacji.

• Algorytmy te nadają się dla różnych estymatorów, w tym wieloelementowych. • Efektywne estymatory próbek o rozkładach niegaussowskich można wykorzy-stywać w pomiarach naukowych i użytkowych nie objętych obowiązkiem stosowania zaleceń Przewodnika GUM i jego Suplementów oraz w badaniach statystycznych, gdyż np. rozkładem trapezowym [10] opisuje się grupę ludzi wg wieku lub zbiór urządzeń wg czasu ich użytkowania.

Podziękowania

Autorzy pragną serdecznie podziękować swoim najbliższym za wykazaną ogromną dozę tolerancji podczas tworzenia znacznej części tej pracy [11–13] w warunkach domowych i pomoc w edycji publikacji. Współautorka dziękuje też Brunszwickiej Międzynarodowej Wyższej Szkole Metrologii (Braunschweig International Graduate School of Metrology, http://igsm.tu-bs.de) za sponsoring kontynuacji tych badań [4].

Literatura

[1] CHERNICK M.R., Bootstrap methods: a guide for practitioners and researchers, 2nd ed., J. Wiley & Sons, 2007, pp. 369.

[2] DOROZHOVETS M., WARSZA Z.L., Udoskonalenie metod wyznaczania niepewności wyników

pomiaru w praktyce, Przegląd Elektrotechniki, 2007, nr 1, s. 1–13.

[3] DOROZHOVETS M., WARSZA Z., KORCZYŃSKI M. J., Udoskonalenie metody typu A

wyzna-czania niepewności pomiarów. Wykrywanie i eliminacja wpływu dryftu i oscylacji przy równomier-nym próbkowaniu, Pomiary Automatyka Kontrola (PAK), 2007, nr 12, s. 8–11.

[4] GALOWSKA M., WARSZA Z.L., The ways of effective estimation of measurand, Pomiary Automa-tyka Komputery w gospodarce i ochronie środowiska (PAKgoś), 2010, nr 1, s. 18–20.

[5] KACKER R.N., LAWRENCE J.F., Trapezoidal and triangular distributions for Type B evaluation

of standard uncertainty, Metrologia, 2007, Vol. 44, pp. 117–127.

[6] NOVICKIJ P.V., ZOGRAF I.A., Оcenka pogreshnostiej resultatov izmierenii, Energoatomizdat Leningrad, 1985.

[7] SIM C.H., LIM M.H., Evaluating expanded uncertainty in measurement with a fitted distribution, Metrologia, 2008, 45, pp. 178–184.

[8] Supplement 1 to the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) – Propagation

of distributions using a Monte Carlo method, Guide OIML G 1-101 Edition 2007 (E).

[9]TAYLOR B.N., KUYATT CH.E., Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of

NIST Measurement Results, NIST Technical Note 1297, 1994.

[10] VAN DORP J.R., KOTZ S., Generalized Trapezoidal Distributions, Metrika, 2003, Vol. 58. [11] WARSZA Z.L., GALOVSKA M., About the best measurand estimators of trapezoidal probability

distributions, Przegląd Elektrotechniki – Electrical Review, 2009, No. 5, pp. 86–91.

[12] WARSZA Z.L., GALOVSKA M., Estymatory wartości mezurandu dla trapezowych rozkładów

prawdopodobieństwa danych pomiarowych, Pomiary Automatyka Komputery w gospodarce

i ochronie środowiska (PAKgoś), 2010, nr 1, s. 12–16.

[13] WARSZA Z.L., GALOVSKA M., The best measurand estimators of trapezoidal PDF, Proceedings of IMEKO World Congress Fundamental and Applied Metrology, 2009, Lisbon, CD, pp. 2405–2410. [14] WARSZA Z.L., GALOVSKA M., Vybor najlutshej ocenki izmierajemoj velichiny na primiere

tra-pecievidnych raspredelenij, Sistemy Obrobotki Informacji, 2009, Vipusk 4, Vol. 78, s. 28–31.

[15] Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik, tłumaczenie z języka angielskiego: Guide to the

Expression of Uncertainty in Measurement, (GUM) ISO 1992, revised and corrected 2^nd ed. 1995, z komentarzem J. Jaworskiego, Wydawnictwo Głównego Urzędu Miar Alfavero, Warszawa 1999, 2002. [16] ZAKHAROV I.P., SHTEFAN N.V., Algorithms for reliable and effective estimation of type A

un-certainty, Measurement Techniques, 2005, Vol. 48, 5, pp. 427–437, www.Springer com. (tł.

PROJEKTOWANIE I OCENA