W niniejszej pracy omówiono problematykę podnoszenia stosunku sygnału użytecznego do zakłóceń, rozumianego jako tłumienie zakłóceń koherentnych i przypadkowych, począwszy od ich zdefiniowania i przyczyn powstawania, poprzez konwencjonalne sposoby ich tłumienia oraz zasady doboru parametrów transformacji falkowej i ocenę możliwości ich wykorzystania do tłumienia zakłóceń. Występowanie koherentnych zakłóceń z liniowymi osiami fazowymi (obejmujących falę czołową, bezpośrednią, fale typu guided waves i falę powierzchniową) oraz zakłóceń przypadkowych znacznie komplikuje obraz falowy rekordów sejsmicznych, a czasami wręcz uniemożliwia prawidłową interpretację sejsmiczną. Stąd wynika potrzeba ciągłego rozwijania takich metod ich tłumienia, które minimalizują ingerencję w sygnał użyteczny.
Jednymi z najpowszechniej stosowanych technik tłumienia zakłóceń koherentnych są filtracja f-k, dekonwolucja, transformacja Radona itp. Tłumienie zakłóceń przypadkowych realizuje się również za pomocą różnych technik, np. za pomocą składnia poziomego. Wadą stosowanych metod filtracyjnych jest brak możliwości pełnego oddzielenia zakłóceń od sygnału użytecznego, wynikający z interferencji tych sygnałów zarówno w domenie czasu, jak i częstotliwości.
Analiza efektywności różnych technik usuwania koherentnych zakłóceń liniowych z obrazów falowych rekordów sejsmicznych, przeprowadzona w oparciu o dane literaturowe oraz wyniki zastosowania tych technik na danych modelowych i polowych, potwierdziła silną zależność tej efektywności od charakteru obrazu falowego kolekcji tras sejsmicznych. Efektywność ta uwarunkowana jest w znacznym stopniu stosunkiem sygnału użytecznego do zakłóceń, zakresem aliasingu 2-D oraz poziomem zróżnicowania prędkości pozornych zakłóceń liniowych. Tłumienie fal typu guided waves jest szczególnie trudne bez względu na stosowaną metodę, co prawdopodobnie jest związane ze specyfiką pola falowego rekordu polowego, cechującego się zmiennością prędkości pozornych tego typu zakłóceń oraz idącą za tym nieliniowością osi fazowych.
Głównym celem pracy była analiza możliwości wykorzystania różnych narzędzi pakietu Wavelet Toolbox, dostępnych w programie Matlab®. Przedstawiono propozycje zastosowań transformacji falkowej do tłumienia fali powierzchniowej, bezpośredniej, czołowej i fal typu guided waves.
171
Powszechnie stosowane metody filtracji
Analiza uzyskanych wyników potwierdziła, że specyfika obrazu falowego rekordów polowych powoduje, iż jedynymi efektywnymi procedurami osłabiania liniowych zakłóceń są: filtracja F-K w wersji filtru wachlarzowego (dostępna w systemie ProMAX®) oraz transformacja radialna (dostępna w programie VISTA®). Obie techniki zapewniły istotne osłabienie zarówno fali powierzchniowej, jak i pozostałych zakłóceń koherentnych (fale czołowe, guided waves), stwarzając możliwość śledzenia i dalszego przetwarzania odbić od granic formacji skalnych stanowiących potencjalne zbiorniki węglowodorów.
Wykonanie szeregu testów na filtracji f-k pozwoliło wybrać najbardziej optymalne filtry. Dobierając odpowiednio zakresy tych filtrów możliwe jest znaczne ograniczenie występowania fali powierzchniowej. Na uwagę zasługuje również fakt, iż w procesie filtracji f-k zniekształcenie widma amplitudowego rekordów sejsmicznych jest minimalne, w przeciwieństwie do DWT, która – w przypadku złego doboru parametrów - znacznie zniekształca obraz widma w polu zarówno niskich, jak i wysokich częstotliwości.
Transformacja radialna, pomimo swojej prostoty, stanowi doskonałe narzędzie tłumienia wielu liniowych zakłóceń. Warunkami efektywności tej metody jest liniowość zakłóceń oraz różnica, choćby nieznaczna, w prędkościach pozornych refleksów i zakłóceń. Im ta różnica jest większa, tym mniejsze zagrożenie ingerencji w sygnał użyteczny i większa skuteczność tłumienia zakłóceń.
Odtwarzalność rekordów po prostej i odwrotnej transformacji Radona może być obarczona znacznymi zniekształceniami, których źródłem w największym stopniu jest aliasing 2-D. W odwzorowaniach rekordów sejsmicznych na płaszczyźnie tau-p z reguły obserwuje się brak wyraźnego wyodrębnienia fal czołowych czy fal typu guided waves, fale odbite są niewidoczne, a jedynym izolowanym odwzorowaniem fal zakłócających jest odwzorowanie fali powierzchniowej. Pozostałe liniowe zakłócenia nakładają się na pozostałe składniki pola, tworząc rozległą strefę podwyższonych amplitud bez możliwości wydzielenia fal odbitych.
Transformacja falkowa
Na podstawie przeprowadzonych badań nie stwierdzono konkurencyjności żadnego z dostępnych narzędzi pakietu Wavelet Toolbox w tłumieniu zakłóceń przypadkowych za pomocą transformacji falkowej. Jedynymi perspektywicznymi narzędziami były: opcja de-noise oraz usuwanie tych detali dyskretnej transformaty falkowej, które zawierały widmo
172 wysokich częstotliwości. Żadna z przedstawionych propozycji nie przyniosła spodziewanych rezultatów w postaci obniżenia poziomu zakłóceń przypadkowych.
W przypadku tłumienia fal czołowych, bezpośrednich i fal typu guided waves dyskretna forma transformacji falkowej okazała się całkowicie nieskuteczna. Głównym kryterium efektywności metody była możliwość oddzielenia zakłócenia od sygnału użytecznego w procesie dekompozycji rekordu na aproksymacje i detale. Usuwanie fali powierzchniowej za pomocą zerowania aproksymacji na poziomie czwartym było najbardziej efektywnym wynikiem zastosowania DWT. Metoda ta jest jednak mocno ograniczona pasmem częstotliwościowym rekordu wejściowego i wynikającą z kroku próbkowania maksymalną częstotliwością Nyquista. Wynika stąd słaba rozdzielczość czasowo-częstotliwościowa metody. Ponadto parametryzacja procedury transformacji falkowej w programie Matlab® jest uboga i ogranicza się do wyboru falki, poziomu dekompozycji i składnika sygnału, który ma być usunięty w procesie rekonstrukcji.
Ciągła transformacja falkowa w podstawowej formie (CWT) może być stosowana wyłącznie wprost i służy analizie obrazu falowego rekordów na różnych poziomach rozdzielczości. Analiza skalogramów może stanowić dobre źródło identyfikacji fal zakłócających i ich zakresów częstotliwościowych. Ciągła transformacja falkowa z zastosowaniem dyskretnej transformacji Fouriera (tzw. CWTFT) daje możliwość filtracji współczynników falkowych, posiada jednak znaczne ograniczenia, takie jak niewielki wybór falek do analizy, nieliniowy zakres skal i stosunkowo duży krok zmiany skali.
Ciągła transformacja falkowa wykonywana za pomocą procedury CWTFT pozwala, podobnie jak DWT, na tłumienie fali powierzchniowej oraz w małym stopniu na tłumienie pozostałych rodzajów liniowych koherentnych zakłóceń. Tłumienie fali bezpośredniej, czołowej oraz fal typu guided waves w procesie ciągłej transformacji falkowej potencjalnie jest możliwe pod warunkiem zapewnienia większej zdolności rozdzielczej metody. W najnowszej wersji programu Matlab® (wersja 2013a) zapewniono liniową zmienność wartości skali procedury CWTFT, co niewątpliwie wpłynie pozytywnie na jej możliwości ekstrakcyjne i zapewni zachowanie szerszego zakresu częstotliwościowego sygnału użytecznego.
Jednowymiarowa transformacja falkowa, stosowana na omawianych w niniejszej pracy danych, w żadnej z zaprezentowanych form, nie jest tak skuteczna w podnoszeniu stosunku sygnału użytecznego do zakłóceń, jak filtracja f-k, czy transformacja radialna.
Dwuwymiarowa transformacja falkowa również nie przyniosła spodziewanych korzyści w postaci podniesienia stosunku sygnału użytecznego do zakłóceń. Wnioski te
173 potwierdziły badania na danych modelowych i rzeczywistych. Nawet po wprowadzeniu poprawki kinematycznej do kolekcji tras wspólnego punktu strzałowego i wyprostowania hodografów fal odbitych nie jest możliwe wyodrębnienie sygnału użytecznego w żadnym ze składników dekompozycji 2D. Efektywność metody ograniczona jest stosunkiem sygnału użytecznego zakłóceń. Gdy S/N < 1, wtedy energia zakłóceń zostaje przeniesiona na wszystkie składniki dekompozycji, uniemożliwiając wykonanie efektywnej filtracji. Ponieważ zwykle energia zakłóceń (głównie fali powierzchniowej) jest porównywalna lub nawet przewyższa sygnał użyteczny, efektywność dwuwymiarowej DWT jest ograniczona.
Dyskusja
Transformacja falkowa ze względu na zmienną rozdzielczość czasowo-częstotliwościową stanowi potężne narzędzie analizy czasowo-częstotliwościowej. Ponadto niewątpliwą zaletą metody była możliwość zastosowania funkcji o ograniczonym czasie trwania (falek), które lepiej niż sinusoidy (o nieograniczonym czasie trwania) odzwierciedlają charakterystykę sygnału niestacjonarnego. Nie bez znaczenia jest również prostota algorytmu i szybkość obliczeń w programie Matlab®.
Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, że rozdzielczość analizy falkowej jest zwykle zbyt mała, aby możliwe było efektywne i precyzyjne wyodrębnienie w jednym składniku dekompozycji fal zakłócających z zapisu sejsmicznego. O rozdzielczości metody decyduje w głównej mierze charakterystyka zastosowanej falki. Jej widmo nie reprezentuje pojedynczej częstotliwości, tylko pewien zakres (w transformacji Fouriera jest to dokładnie jedna częstotliwość). Z tego względu transformacja falkowa nie da precyzyjnej informacji np. o częstotliwościach zawartych w sygnale. W połączeniu z innymi metodami transformacji może jednak wykazywać znaczną skuteczność w wielu zagadnieniach geofizycznych, o czym autor pisał w rozdziale czwartym niniejszej pracy.
Aby zwiększyć efektywność transformacji falkowej w tłumieniu zakłóceń, można dokonać modyfikacji algorytmu poprzez zmianę częstotliwości maksymalnej, na podstawie której algorytm dokonuje podziału pasma częstotliwości na pół. Doprowadziłoby to do bardziej precyzyjnego określenia przedziałów częstotliwościowych składników dekompozycji, a w konsekwencji spowodowałoby przesunięcie zakłóceń na bardziej rozdzielcze poziomy dekompozycji. Dodatkowo stworzenie algorytmu do automatycznej oceny składu częstotliwościowego zakłóceń, których pasmo jest częściowo rozbieżne z sygnałem użytecznym, pozwoliłoby na taki dobór przedziałów, aby transformacja była szybka
174 i skuteczna. Zaproponowane rozwiązania nie będą efektywne w tłumieniu zakłóceń, których pasmo częstotliwościowe pokrywa się z pasmem sygnału użytecznego, w tym przypadku fal typu guided waves, fal czołowych oraz fal bezpośrednich.
Literatura
de Almeida L., Porsani M., 2013. Noise attenuation technique using the 2D wavelet transform and the adaptive deconvolution on pre-stack and post-stack data. 13th International Congress of the Brazilian Society and EXPOGEF, Rio de Janeiro, Brazil, 1494-1499.
Bardainne T., Gaillot P., Dubos-Sallée N., Blanco J., Sénéchal G., 2006. Characterization of seismic waveforms and classification of seismic events using chirplet atomic decomposition. Example from the Lacq gas field (Western Pyrenees, France). Geophysical Journal International, 166, 2, 699-718.
Battle G., 1987. A block spin construction of ondelettes. I. Lemarie functions. Communications in Mathematical Physics, 110, 4, 601-615.
Bentaleb Y., Hajji S.E., 2008. Estimation of the Seismic Dispersion Parameters by Wavelets. International Journal of Tomography and Statistics, 9, S08, 59-72.
Białasiewicz J. T., 2004. Falki i Aproksymacje. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa.
Bosman C., Reiter E., 1993. Seismic data compression using wavelet transforms. 63rd Society of Exploration Geophysicists Annual International Meeting, Expanded Abstracts, 1261-1264.
Braga I. L. S., Moraes F. S., 2013. High-resolution gathers by inverse Q filtering in the wavelet domain. Geophysics, 78, 2, 53-61.
Calderón A.P., 1964. Intermediate spaces and interpolation, the complex method. Studia Mathematica, 24, 113-190.
175 Calderón A., 1965. Commutators of singular integral operators. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 53, 1092—1099.
Cao S., Chen X., 2005. The second-generation wavelet transform and its application in denoising of seismic data, Applied Geophysics, 2, 2, 70-74.
Castagna J.P., Sun S., Siegfried R.W., 2003. Instantaneous spectral analysis: Detection of low-frequency shadows associated with hydrocarbons. The Leading Edge, 22, 120-127.
Castagna J.P., Sun S., 2006. Comparison of spectral decomposition methods. First Break, 24, 75-79.
Chakraborty A., Okaya D., 1995. Frequency-time decomposition of seismic data using wavelet-based methods. Geophysics, 60, 1906-1916.
Chamoli A., 2010. Wavelet analysis of the seismograms for tsunami warning. Nonlinear Processess in Geophysics, 17, 569-574.
Chevrot S., Martin R., Komatitsch D., 2012. Optimized discrete wavelet transforms in the cubed sphere with the lifting scheme – implications for global finite-frequency tomography. Geophysical Journal International, 191, 3, 1391-1402.
Cohen L., 1989. Time-frequency distributions – a review. Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. 77, 7, 941-981.
Cohen A., Daubechies I., Feauveau J.C., 1992. Biorthogonal bases of compactly supported wavelets, Communications on Pure and Applied Mathematics, 45, 5, 485-560.
Cooper S., Tianyou L, Ndoh Mbue I., 2010. Fault determination using one dimensional wavelet analysis. Journal of American Science, 6, 7, 177-182.
176 Croisier A., Esteban D., Galand C., 1976. Perfect channel splitting by use of interpolation/decimation/tree decomposition techniques. International Conference on Information Sciences and Systems, 443-446.
Daubechies I., 1988. Orthonormal bases of compactly supported wavelets: Communications on Pure and Applied Mathematics, 41, 7, 909–996.
Daubechies I., 1992. Ten lectures on wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia.
Daubechies I., 1996. Where do wavelets come from? – A personal point of view. Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers, 84, 4, 510-513.
Deighan A.J., Watts D.R., 1997. Ground-roll suppression using the wavelet transform. Geophysics, 62, 1896-1903.
Dessing F.J., 1997. A wavelet transform approach to seismic processing. PhD Thesis. Delft University of Technology, Faculty of Applied Physics, Laboratory of Seismics and Acoustics, Delft, Holandia.
Do M.N., Vetterli M., 2005. The contourlet transform: An efficient directional multiresolution image representation. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Image Processing, 14, 2091–2106.
Droujinine A., 2006. Multi-scale geophysical data analysis using the eigenimage discrete wavelet transform, Journal of Geophysics and Engineering, 3, 59–81.
Ergas R.A., Polzer R.S., Donoho P.L., Galibert P.Y., 1996. Pitfalls in compressing land seismic trace data. EAGE 58th Conference and Technical Exhibition, Amsterdam, The Netherlands, Session P156.
Fomel S. http://lcd.siva.free.fr/Documents-WITS-starlet/Fomel_S_2006_seg_tow_st.pdf (luty 2013).
177 Gabor D., 1946. Theory of communication. Part 1: The analysis of information. Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part III: Radio and Communication Engineering, 93, 26, 429-441.
Gonzalez R., Woods R., 2002, Digital Image Processing using Matlab, Prentice Hall, New Jersey.
Goupillaud P., Grossmann A., Morlet J., 1984. Cycle-octave and related transforms in seismic signal analysis. Geoexploration, 23, 1, 85-102.
Grossmann A., Morlet J., 1984. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape. Journal on Mathematical Analysis, 15, 4, 723-736.
Grossman A., Morlet J., 1985. Decomposition of functions into wavelets of constant shape and related transforms. In: “Mathematics and Physics, Lectures on Recent Results” Streit L., Editor. World Scientific Publishing, Singapore.
Haar A., 1910. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. Mathematische Annalen, 69, 3, 331–371.
Hamidi R., Javaherian A., Reza A., 2012. Ground roll attenuation based on a hybrid wavelet transform and singular value decomposition. International Geophysical Conference and Oil and Gas Exhibition, Istanbul, Turkey, 1-4.
Henley D.C., 2001. Revisiting the radial trace transform. Canadian Society of Exploration Geophysicists Recorder, 26, 2, 21-29.
Henley D. C., 2003. Coherent noise attenuation in the radial trace domain. Geophysics 68, 4, 1408-1416.
178 Hennenfent G., Herrmann F. J., 2004. Three-term amplitude-versus-offset (avo) inversion revisited by curvelet and wavelet transforms. SEG Technical Program and Expanded Abstracts, 211-214.
Hennel J.W., Olejniczak Z., 2010. Jak zrozumieć falki. Podstawy falkowej analizy sygnałów. Wydawnictwo ZamKor, Kraków.
Herrmann F., 1997. A scaling medium representation. A discussion on well-logs, fractals and waves. Rozprawa doktorska http://scholar.google.ca/citations?user=hw23CTQAAAAJ&hl=en (luty 2013).
Holschneider M., Diallo M.S., Kulesh M., Ohrnberger M., Luck E., Scherbaum F., 2005. Characterization of dispersive surface waves using continuous wavelet transforms. Geophysics, 163, 463-478.
Hongbing L., Zhao W., Cao H., Yao F., Shao L., 2006. Measures of scale based on the wavelet scalogram with applications to seismic attenuation. Geophysics, 71, 5, 111-118.
Kasina Z., 1998. Metodyka Badań Sejsmicznych. Wydawnictwo Centrum PPGSMiE PAN, Kraków.
Kazemeini S., Juhlin C., Zinck-Jorgensen K., Norden B., 2009. Application of the continuous wavelet transform on seismic data for mapping of channel deposits and gas detection at the CO2 SINK site, Germany. Geophysical Prospecting, 57, 111-123.
Kritski A., Vincent A.P., Yuen D.A., Carlsen T., 2007. Adaptive wavelets for analyzing dispersive seismic waves. Geophysics, 72, 1, 1-11.
Kulesh M., Holschneider M., Diallo M.S., Xie Q., Scherbaum F., 2005. Modeling of wave dispersion using continuous wavelet transforms. Pure and Applied Geophysics, 162, 843-855.
179 Leite F., Montagne R., Corso G., Vasconcelos G., Lucena L., 2008. Optimal wavelet filter for suppression of coherent noise with an application to seismic data. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 387, 7, 1439–1445.
Lemarie P. G., 1988. Ondelettes a localization exponentielle. Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, 67, 3, 227-236.
Lemarie P., Meyer Y., 1986. Ondelettes et bases hilbertiennes. Revista Matematica Iberoamericana 2, 1-18.
Leśniak A., 1999. Zastosowanie czasowo-częstotliwościowej funkcji koherencji do analizy szerokopasmowych danych sejsmicznych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków.
Liu Y., Fomel S., 2010, OC-seislet: Seislet transform construction with differential offset continuation. Geophysics, 75, 6, 235-245.
Mallat S., 1989. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. Institute of Electrical and Electronics Engineers Pattern Analysis and Machine Inteligence., 11, 7, 674–693.
Manenti R., de Almeida L., Porsani M., 2013. Ground roll suppression using the radial-wavelet transform. 13th International Congress of the Brazilian Society and EXPOGEF, Rio de Janeiro, Brazil, 1421-1426.
Mann S., Heykin S., 1992. Adaptive ‘chirplet’ transform: An adaptive generalization of the wavelet transform. Optical Engineering, 31, 1243–1256.
Marfurt K.J., Kirlin R.L., 2001. Narrow-band spectral analysis and thin-bed tuning. Geophysics, 66, 1274-1283.
180 Meyer Y., 1989. Orthonormal Wavelets. Wavelets: Inverse Problems and Theoretical Imaging, 21-37.
Meyer Y., 1992. Wavelets and operators. Cambridge University Press, Cambridge.
Miao X., Cheadle S., 1998. Noise attenuation with wavelet transforms, SEG Technical Program Eexpanded Abstracts, 17, 1072-1075.
Mintzer F., 1985. Filters for distortion-free two-band multirate filter banks. Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 33, 626-630.
Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G., Poggi J.M., 2009-2013. Matlab® Wavelet Toolbox User’s Guide. The MathWorks, Inc. User’s Guide Online.
Newland D. E., 1994. Wavelet analysis of vibration, part 2: Wavelet maps. Journal of Vibration and Acoustics, 116, 417–425.
Ouadfeul S., 2007. Very fines layers delimitation using the wavelet transform modulus maxima lines (WTMM) combined with the DWT, Society of Exploration of Geophysicists summer research workshop, Antalya, Turkey.
Ouadfeul S., Aliouane L., 2011a. Automatic lithofacies segmentation using the wavelet transform modulus maxima lines combined with the detrended fluctuation analysis, Arabian Journal of Geosciences, 6, 3, 625-634.
Ouadfeul S., Aliouane L., 2011b. Random seismic noise attenuation data using the discrete and the continuous wavelet transforms. 6th Congress of Balkan Geophysical Society.
Partyka G.J., Gridley J., Lopez J., 1999. Interpretational applications of spectral decomposition in reservoir characterization. The Leading Edge, 18, 353-360.
Pennec E. L., Mallat S., 2005. Sparse geometrical image representation with bandelets. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Image Processing, 14, 423– 438.
181 Polikar R., 1999. The Wavelet Tutorial.
http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html (luty 2013).
Prasad N. B. R., 2006. Attenuation of Ground Roll Using Wavelet Transform, 6th International Conference & Exposition on Petroleum Geophysics, Kolkata.
Reine C., van der Baan M., Clark R., 2009. The robustness of seismic attenuation measurements using fixed- and variable-window time-frequency transforms. Geophysics, 74, 2, 123–135.
Reiter E.C., 1996. A quantitative comparison of 1, 2, 3 dimensional wavelet compression methods for seismic data. 66th Annual International Meeting., Society of Exploration Geophysicists, Expanded Abstracts, 1630-1633.
Rioul O., Vetterli M., 1991. Wavelets and signal processing. Institute of Electrical and Electronics Engineers Signal Processing Magazine, 14-38.
SeisLab ver. 3.01, 2010. http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/15674-seislab-3-01 (luty 2013).
Sinha S., Routh P.S., Anno P.D., Castagna J.P., 2005. Spectral decomposition of seismic data with continuous-wavelet transform. Geophysics, 70, 19-25.
Smith M. J. T., Barnwell T. P., 1985. A unifying framework for analysis/synthesis systems based on maximally decimated filter banks. Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 521-524.
Smith M., Perry G., Stein J., Bertrand A., Yu G., 2008. Extending seismic bandwidth using the continuous wavelet transform. First Break, 26, 6, 97-102.
182 Starck J. L., Candés E. J., Donoho D. L., 2000. The curvelet transform for image denoising. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Image Processing, 11, 670– 684.
Strömberg J.O., 1983. A modified Franklin system and higher-order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces. Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, II, W. Beckner et al, Editors. Wadsworth (Belmont, California), 475-494.
Sweldens W., Schröder, P., 1996. Building your own wavelets at home, Wavelets: Computer Graphics, 15–87.
Szymańska-Małysa Ż., Kasina Z., 2010. Nowe kierunki wykorzystania transformacji falkowej w przetwarzaniu danych sejsmicznych. Prace naukowe Instytutu Nafty i Gazu, 170, 581-586.
Szymańska-Małysa Ż., 2010. Analiza porównawcza efektywności tłumienia fali powierzchniowej za pomocą transformacji falkowej, transformacji Radona, filtracji pasmowej oraz filtracji F-K. Geologia: kwartalnik Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie, 36, 4, 555-566.
Szymańska-Małysa Ż., 2012. Analiza możliwości wykorzystania transformacji falkowej do usuwania koherentnych zakłóceń z liniowymi osiami fazowymi na wybranych przykładach. Prace Naukowe Instytutu Nafty i Gazu, 182, 331-335.
Ślusarczyk R., 1988. Metody sejsmiczne o zwiększonej rozdzielczości w zastosowaniu do rozpoznania budowy złoża węgla kamiennego. Zeszyty naukowe AGH, Geologia, 40.
Velisavljević V., Beferull-Lozano B., Vetterli M., Dragotti P.L., 2006. Directionlets: Anisotropic multi-directional representation with separable filtering. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions On Image Processing, 15, 7, 1916–1933.
Valens C., 2004. A really friendly guide to wavelets. http://polyvalens.pagesperso-orange.fr/clemens/wavelets/wavelets.html (luty 2013).
183 Vetterli M., Herley C., 1992. Wavelets and Filter Banks: Theory and Design. Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions on Signal Processing, 40, 9, 2207-2232.
Vetterli M., Kovačević J., 1995. Wavelets and subband coding, Prentice Hall, New Jersey.
Wang Y., 2007. Seismic time-frequency spectral decomposition by matching pursuit. Geophysics, 72, 1, 13-20.
Wang Y., Li Z., 2013. Surface wave attenuation using the shearlet and TT transform. SEG Technical Program Expanded Abstracts, 4335-4339.
Yan J., Herrmann F., 2009. Groundroll prediction by interferometry and separation by curvelet-domain matched filtering, SEG Technical Program Expanded Abstracts.
Yilmaz O., 1987. Seismic data processing. Seg, Tulsa.
Podziękowania
W pierwszej kolejności składam serdeczne podziękowania promotorowi mojej pracy, prof. dr hab. inż. Zbigniewowi Kasinie za pomoc i liczne wskazówki, bez których powstanie niniejszej pracy nie byłoby możliwe. Dziękuję także za stworzenie bardzo miłej atmosfery współpracy i doskonałych warunków do prowadzenia badań.
Pragnę również wyrazić swoją wdzięczność prof. dr hab. inż. Andrzejowi Leśniakowi, prof. dr hab. inż. Kai Pietsch oraz dr hab. inż. Jerzemu Decowi za czas poświęcony na dyskusje i odpowiedzi na wszystkie pytania dotyczące niniejszej pracy.
Wyrazy wdzięczności kieruję także do osób, które cierpliwie pomagały mi w opracowywaniu algorytmów do transformaty falkowej. Szczególnie dziękuję dr inż. Maciejowi Dwornikowi, który zawsze chętnie przekładał moje pomysły na język komputera, a także mgr inż. Łukaszowi Mazurkiewiczowi oraz mgr inż. Robertowi Cieplickiemu. Bez ich wiedzy i wsparcia nie mogłabym przeprowadzić wielu zautomatyzowanych obliczeń.