Rys historyczny

Historię powstania i rozwoju transformacji falkowej opisują np. Daubechies (1996) i Polikar (1999).

Idea analizy złożonego sygnału za pomocą prostych ortogonalnych funkcji wywodzi się od Fouriera, który jako pierwszy dokonał dekompozycji sygnału stacjonarnego w oparciu o sinusoidy o zmiennych częstotliwościach. Sinusoidy mają perfekcyjnie określoną lokalizację (zwarty nośnik) w domenie częstotliwości, jednak nie można ich zlokalizować w domenie czasu. W teorii nie są zbyt przydatne w analizie sygnałów niestacjonarnych (np. sygnałów sejsmicznych), których składniki częstotliwościowe zmieniają się w czasie. Zrodziło to pomysł segmentowania sygnału za pomocą pewnego okna i analizowania każdego segmentu osobno.

Pierwszą próbę modyfikacji transformacji Fouriera podjął D. Gabor (Gabor 1946) i nazwał ją krótkoczasową transformatą Fouriera (short-time Fourier Transform, STFT). Potrzeba analizy sygnałów niestacjonarnych zrodziła pomysł dzielenia ich na mniejsze, w przybliżeniu stacjonarne fragmenty, z których każdy był następnie poddawany transformacji Fouriera i oddzielnie analizowany. Zasadniczą wadą tego podejścia było stosowanie jednego okna o stałej długości, które pozwalało bądź na analizę składników wysokoczęstotliwościowych z użyciem wąskich okien, bądź składników niskoczęstotliwościowych z użyciem szerokich okien, jednak nie obu jednocześnie. Stąd właściwy dobór szerokości okna stawał się krytyczny.

Idea analizowania sygnału na różnych skalach (ze zmienną rozdzielczością) pojawiła się niezależnie w wielu dziedzinach: matematyki, fizyki i inżynierii (Rioul i Vetterli 1991). Pod koniec lat 70-tych XX wieku J. Morlet sformułował ideę stosowania okien, których położenie i szerokość byłyby kontrolowane przez parametry translacji i skalowania (np. Goupillaud et al. 1984). Morlet stworzył funkcję będącą prototypem funkcji Gaussa, która charakteryzowała się zwartym nośnikiem zarówno w domenie czasu, jak i częstotliwości. Nazwał ją „falką o stałym kształcie” (wavelet of constant shape), a która obecnie nazywana jest falką Morleta (np. Grossmann i Morlet 1984). Teoria transformacji falkowej nie była w latach 70-tych XX wieku popularną ideą wśród geofizyków (podobnie jak wcześniej transformacja Fouriera). Podstawy teoretyczne transformacji falkowej sformułował

35 Grossmann, specjalizujący się w dziedzinie fizyki kwantowej. Uważany jest on za twórcę formuły odwrotnej transformacji falkowej i wspólnie z Morletem zbadał kilka jej zastosowań (np. Grossmann i Morlet 1984, 1985).

Podejście Grossmana i Morleta było niemal identyczne z zaproponowaną wcześniej przez Calderona (Calderon 1964, 1965) analizą harmoniczną. Meyer, zainteresowany nowym obszarem zastosowań analiz harmonicznych oraz odmienną interpretacją formuły Calderona, skonstruował ortonormalne falki ze świetnymi możliwościami lokalizacyjnymi w dziedzinie czasu i częstotliwości (Meyer 1987). Należy wspomnieć, że inną funkcję ortonormalną skonstruował wcześniej Strömberg (Strömberg 1983), jednak nie zdawano sobie wtedy sprawy z tego odkrycia. Lemarie i Meyer (1986) dokonali uogólnienia swojej konstrukcji na N wymiarów. Kilka miesięcy po osiągnięciu Meyera Lemarie (1988) i Battle (1987) niezależnie od siebie i za pomocą różnych technik skonstruowali falkę, która charakteryzowała się lepszym eksponencjalnym zanikiem od funkcji Meyera, jednak kosztem mniejszej regularności. Warty odnotowania jest fakt, iż pierwszą ortonormalną falkę skonstruował Haar (1910). Nie jest ona jednak praktycznie użyteczna ze względu na bardzo słabą lokalizację częstotliwościową.

Ogromny wkład w rozwój transformacji falkowej wnieśli Daubechies oraz Mallat. Daubechies dała początek budowaniu wielkiej rodziny fal elementarnych (jej nazwiskiem nazwana jest jedna z rodzin falek), również znaczny jest jej wkład w dyskretyzacji parametrów skali i translacji (np. Daubechies 1988). Pozwoliło to na większą swobodę wyboru falek kosztem pewnej redundancji informacji. Daubechies udowodniła, że poprzez skalowanie diadyczne parametrów skali i translacji uzyskuje się ortonormalne falki (Daubechies 1992). Mallat (Mallat 1989) rozwinął dyskretną formę transformacji falkowej (discrete wavelet transform, DWT) oraz - wspólnie z Meyerem (np. Meyer 1989) - analizę wielorozdzielczą (multiresolution analysis) opartą na DWT. Teoria analizy wielorozdzielczej dała podstawy do tworzenia nowych ortonormalnych falek, a także doprowadziła do stworzenia prostego rekursywnego algorytmu filtracji.

Filtry powstałe na bazie falek Meyera czy Battle-Lemarie były nieskończone w czasie i konieczne było ich „obcięcie” dla potrzeb algorytmu. Zadawano sobie pytanie, jak tworzyć falki bez potrzeby ich przycinania. Bardzo skutecznym podejściem okazało się stworzenie najpierw odpowiednich filtrów, a następnie próba zbadania, czy odpowiadają ortonormalnym falkom. Był to punkt zwrotny w historii powstania ortonormalnych falek o zwartym nośniku.

36 Dekompozycja sygnału na kolejne części znana była już wtedy od 20 lat w inżynierii elektrycznej. Zakres częstotliwości sygnału dzielony był na pół za pomocą dwóch filtrów: dolno- i górnoprzepustowego. Proces był powtarzany do uzyskania pożądanego poziomu rozdzielczości. Każdy taki składnik charakteryzował się innym krokiem próbkowania, a podczas próby ujednolicania kroku próbkowania powstawały niepożądane zniekształcenia. W latach 70-tych XX wieku Croisier, Esteban i Galand (1976) odkryli sposób projektowania filtrów, które nie powodowały powstawania aliasingu – były to tzw. kwadraturowe filtry lustrzane (quadrature mirror filters, QMF). W 1983 roku Smith i Barnwell (1985), oraz niezależnie od nich Mintzer (1985), odkryli pary filtrów QMF, które pozwalają na dokładną rekonstrukcję sygnałów – nazwano je sprzężonymi filtrami kwadraturowymi (conjugated quadrature filters, CQF).

Dopiero gdy rozwinięto dyskretną formułę transformacji falkowej, znacznie wzrosło zainteresowanie nią. Kolejne lata dostarczyły wielu nowych falek oraz różnorakich zastosowań. Lata 90-te XX wieku to głównie rozwój nowych falek o różnorakich własnościach. Cohen, Feauveau i Daubechies (1992) skonstruowali biortogonalne falki, które obecnie wykazują wyższość nad falkami ortogonalnymi w wielu zastosowaniach.

Jak dokumentuje Daubechies (1996), rozwój transformacji falkowej jest przykładem na to, że współpraca naukowców z różnych dziedzin w zakresie rozwoju metody przyniosła wszystkim więcej korzyści, niż wszystkie cząstkowe prace, skupione na danym aspekcie teorii i nie mające związku z innymi.

Transformacja falkowa jest wciąż przedmiotem zainteresowania geofizyków, chociaż niewątpliwie w ostatnich latach (2009-2013) obserwuje się wzrost znaczenia poszczególnych odmian transformacji falkowej, „kierunkowo czułych” na pewne cechy ośrodka geologicznego. Są one często powiązane z innymi, dobrze znanymi i udokumentowanymi metodami filtracji. Wśród najnowszych pozycji na uwagę zasługują:

 detekcja potencjalnych kanałów depozycyjnych i niskoczęstotliwościowych anomalii związanych z występowaniem gazu (Kazemeini et al. 2009);

 predykcja fali powierzchniowej za pomocą interferometrii i jej separowanie za pomocą transformacji curvelet (Yan i Herrmann 2009);

 wydzielanie uskoków z pól potencjalnych - magnetycznego i grawimetrycznego (np. Cooper et al. 2010);

 estymacja współczynnika dobroci Q z wykorzystaniem CWT (Reine et al. 2009, Braga i Moraes 2013);

37  wykorzystanie transformacji falkowej do predykcji wystąpienia fal tsunami (Chamoli

2010);

 wydzielenia litofacji w oparciu o dane geofizyki otworowej z wykorzystaniem CWT (Ouadfeul i Aliouane 2011a);

 wykorzystanie transformacji falkowej w rozwiązywaniu zagadnień tomograficznych (Chevrot et al. 2012);

 tłumienie fali powierzchniowej z wykorzystaniem transformacji shearlet (Wang i Li 2013);