Index of /rozprawy2/10787

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Katedra Geofizyki. Praca doktorska. WYKORZYSTANIE TRANSFORMACJI FALKOWEJ DO POPRAWIANIA STOSUNKU SYGNAŁ/ZAKŁÓCENIE W PROCESIE PRZETWARZANIA DANYCH SEJSMICZNYCH. mgr inż. Żaneta Szymańska-Małysa. promotor: prof. dr hab. inż. Zbigniew Kasina. Kraków, 2013.

(2) Mojemu Mężowi. ii.

(3) Streszczenie. Streszczenie Wykorzystanie transformacji falkowej do poprawiania stosunku sygnał/zakłócenie w procesie przetwarzania danych sejsmicznych W pracy badano przydatność transformacji falkowej w tłumieniu zakłóceń koherentnych o liniowych osiach fazowych, takich jak fale czołowe, bezpośrednie, powierzchniowe oraz fale typu guided waves. W początkowych rozdziałach pracy scharakteryzowano najczęstsze typy zakłóceń sejsmicznych, omówiono podstawy teoretyczne transformacji falkowej oraz przedstawiono dotychczas najpopularniejsze sposoby wykorzystania transformacji falkowej w sejsmice. W kolejnym rozdziale zreferowano zasady doboru parametrów transformacji falkowej w pakiecie Wavelet Toolbox programu Matlab®, oparte na analizie elementarnych sygnałów sejsmicznych. W dalszej części opisano przeprowadzone badania na danych syntetycznych i rzeczywistych z zastosowaniem dyskretnej oraz ciągłej transformacji falkowej (odpowiednio DWT i CWT). Szczegółowo przedstawiono opracowaną dla każdej analizy metodykę przetwarzania i przeprowadzono dyskusję wyników. Uzyskane efekty na danych syntetycznych i rzeczywistych porównano ze standardowymi technikami tłumienia zakłóceń, dostępnymi w systemie przetwarzania danych sejsmicznych ProMAX® i programie VISTA®, takimi jak filtracja pasmowa, filtracja f-k, filtracja Radona, czy filtracja radialna. Badania przeprowadzone w programie Matlab® potwierdziły, iż transformacja falkowa nie stanowi konkurencyjnego narzędzia w tłumieniu zakłóceń koherentnych o liniowych osiach fazowych w stosunku do takich metod, jak filtracja f-k czy filtracja radialna. W pracy wykazano największą skuteczność transformacji falkowej w tłumieniu fali powierzchniowej, charakteryzującej się odmiennym zakresem częstotliwościowym od sygnału użytecznego. Najskuteczniejsza metodyka polegała na wykonaniu analizy falkowej (w wersji ciągłej bądź dyskretnej) i usunięciu tego składnika dekompozycji, który najwierniej odzwierciedlał zapis fali powierzchniowej. Prezentowana metodyka przetwarzania danych sejsmicznych pod kątem tłumienia zakłóceń ma charakter uniwersalny i może być zastosowana do wszystkich typów danych sejsmicznych, które charakteryzuje zmienność czasowo - częstotliwościowa.. iii.

(4) Abstract. Abstract. Use of wavelet transform to the signal-to-noise ratio enhancement in seismic data processing. In the study the usefulness of wavelet transform in coherent linear noise attenuation, such as the head wave, direct wave, surface waves and guided waves, has been investigated. In the first few chapters the most common types of seismic noise were characterized, the theoretical basis of wavelet transform was discussed and the most popular methods of using wavelet transform in seismics were presented. In the following section the principles of wavelet transform parameters selection in Wavelet Toolbox package of Matlab®, based on the analysis of basic seismic signals, were reported. Next chapters are devoted to the conducted studies on synthetic and real data with the use of discrete and continuous wavelet transform (DWT and CWT, respectively). The methodology of data processing developed for each analysis was worked out in detail and discussion of the results was carried out. The results obtained on synthetic and real data were compared with standard noise suppression techniques, which are available in the seismic data processing ProMAX® and VISTA® programs, such as bandpass filtering, f-k filtering, Radon filtering and radial filtering. The research, conducted in Matlab® environment, confirmed that the wavelet transform is not a competitive tool in suppressing the coherent linear noise in relation to the methods such as f-k filtration or radial trace filtration. In the study the greatest efficiency of the wavelet transform in suppression of the surface wave, which is characterized by a different frequency range than the seismic signal, was shown. The most effective procedure was based on the performance of wavelet analysis (in continuous or discrete form) and the removal of this decomposition component, which was best correlated with recorded surface wave. The presented methodology of seismic data processing in terms of noise suppression is all-purpose and can be applied to all types of seismic data, which are characterized by variability in time and frequency.. iv.

(5) Spis treści. SPIS TREŚCI Streszczenie...............................................................................................................................iii Abstract.....................................................................................................................................iv 1. Wstęp......................................................................................................................................1 1.1. Wprowadzenie..........................................................................................................1 1.2. Tezy pracy.................................................................................................................3 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych................5 2.1. Klasyfikacja zakłóceń...............................................................................................5 2.2. Przegląd najpowszechniej stosowanych metod tłumienia zakłóceń koherentnych..8 2.2.1. Filtracja pasmowa......................................................................................9 2.2.2. Filtracja f-k..............................................................................................10 2.2.3. Transformacja Radona.............................................................................11 2.2.4. Transformacja radialna............................................................................13 3. Teoria transformacji falkowej...........................................................................................15 3.1. Teoria wielorozdzielczości (multiresolution theory).............................................17 3.2. Ciągła transformacja falkowa (CWT)....................................................................18 3.3. Dyskretna transformacja falkowa (DWT)..............................................................21 3.4. Falki (wavelets) i funkcje skalujące (scaling functions).........................................25 3.5. Transformacja jedno- i dwuwymiarowa................................................................31 4. Wykorzystanie transformacji falkowej w sejsmice..........................................................34 4.1. Rys historyczny......................................................................................................34 4.2. Dekompozycja spektralna......................................................................................37 4.3. Tłumienie zakłóceń…………................................................................................39 v.

(6) Spis treści. 4.4. Poszerzanie widma amplitudowego sygnałów.......................................................43 4.5. Estymacja tłumienia................................................................................................45 4.6. Kompresja danych..................................................................................................46 4.7. Analiza fal dyspersyjnych.......................................................................................48 5. Dobór parametrów transformacji falkowej.....................................................................50 5.1. Wybór falki.............................................................................................................52 5.2. Wybór liczby poziomów dekompozycji.................................................................56 5.3. Testy dwuwymiarowej dyskretnej transformacji falkowej....................................59 5.4. Parametry opcji de-noise........................................................................................67 5.5. Testy ciągłej transformacji falkowej......................................................................70 5.6. Ocena efektywności przeprowadzonych analiz......................................................74 6. Analiza danych modelowych..............................................................................................77 6.1. Charakterystyka danych modelowych…...............................................................77 6.2. Dyskretna transformacja falkowa..........................................................................86 6.3. Procedura „de-noise”...............................................................................................97 6.4. Ciągła transformacja falkowa...............................................................................103 6.5. Wnioski z analizy danych modelowych...............................................................110 7. Analiza danych pomierzonych.........................................................................................112 7.1. Dyskretna transformacja falkowa.........................................................................115 7.2. Procedura „de-noise”............................................................................................124 7.3. Ciągła transformacja falkowa...............................................................................127 7.4. Transformacja falkowa 2D…...............................................................................135 7.5. Wnioski z analizy danych pomierzonych.............................................................139 8. Porównanie efektywności transformacji falkowej, filtracji f-k, transformacji Radona i transformacji radialnej w tłumieniu zakłóceń z liniowymi osiami fazowymi.................140 vi.

(7) Spis treści. 8.1. Dane modelowe..........................................................................................................140 8.3. Dane pomierzone.........................................................................................................158 9. Podsumowanie...................................................................................................................170 Literatura...............................................................................................................................174 Podziękowania.......................................................................................................................183. vii.

(8) 1. Wstęp. 1. Wstęp. 1.1. Wprowadzenie. Rejestrowane trasy sejsmiczne są sygnałami złożonymi z sygnałów użytecznych oraz zakłóceń, które interferują ze sobą. Mogą mieć one zwykle różne zakresy częstotliwościowe i nakładają się na siebie w czasie. W rezultacie obserwacje sejsmiczne mają charakter niestacjonarny, a ich interpretacja musi uwzględniać ten fakt. Do metod analizy sygnałów niestacjonarnych zalicza się m.in. transformacja falkowa. Wzrastające zainteresowanie metodyką interpretacji niestacjonarnych sygnałów skłania do wykonania szczegółowych badań nad efektywnością tej metody reprezentacji czasowo-częstotliwościowej. Niestacjonarność danych sejsmicznych ma kilka przyczyn (Leśniak 1999). Pierwsza to charakterystyka źródła wzbudzenia drgań. Sygnały wzbudzane w metodzie sejsmicznej nie są jednakowe w czasie z powodu różnych mechanizmów wzbudzania, a także niestabilnych warunków pomiarowych. Druga przyczyna związana jest z rozwieraniem czoła fali i jej tłumieniem w ośrodku, zależnym od częstotliwości. Rozpraszanie fal w ośrodku powoduje natomiast powstawanie wielu fal o losowym rozkładzie. Trzecia przyczyna związana jest z charakterystyką rezonansową rejestratorów. Największy wpływ na tempo tłumienia fal w ośrodku ma rozwieranie czoła fali, tarcie wewnętrzne, czynniki związane z rejestracją sygnału oraz procesy rozpraszania. Celem każdej analizy sygnału w ogólnym zarysie jest uzyskanie pożytecznej informacji (geologicznej, sejsmicznej) poprzez jego transformację. Niektóre metody wymagają pewnych założeń a priori – ich spełnienie może przyczynić się do poprawy otrzymanych wyników, jednak czasem ogranicza to znacznie ich zastosowalność. Nie jest możliwe znalezienie takiego rodzaju reprezentacji czasowo-częstotliwościowej, która byłaby optymalna dla wszystkich typów sygnałów. Każda reprezentacja cechuje się określonymi własnościami. Dzięki zmiennej rozdzielczości czasowo - częstotliwościowej transformacja falkowa znalazła bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Niewątpliwie jednym z najważniejszych osiągnięć w tej dziedzinie jest analiza obrazów i kompresja danych (np.. Polikar. 1999).. Dzięki. zwartemu. nośnikowi. funkcji. bazowych. większość. współczynników falkowych dyskretnej transformacji falkowej jest bliska wartości zerowej. Można je zatem usunąć bez wprowadzania znaczących błędów w procesie rekonstrukcji. 1.

(9) 1. Wstęp. Transformacja falkowa znalazła także szerokie zastosowanie m.in. w filtracji, usuwaniu szumu i detekcji nieciągłości (np. Newland 1994, Polikar 1999). Warto wspomnieć również o innych niezwiązanych z geofizyką dziedzinach nauki, takich jak neurobiologia, chemia, grafika komputerowa, telekomunikacja, ekonomia, gdzie transformacja falkowa znajduje przeróżne zastosowania (Polikar 1999). Polikar (1999) wspomina także o wadze takich osiągnięć, jak np. sieci falkowe (wavelet networks), które są bardziej wydajne w procesie nauczania na rzadkich danych. Polikar (1999) wskazuje trzy zasadnicze zalety transformacji falkowej: 1) jest to jedyna liniowa transformacja, która pozwala na analizę sygnałów na różnych poziomach szczegółowości poprzez dekompozycję sygnałów na węższe pasma częstotliwościowe, 2) przystosowanie do analizy sygnałów niestacjonarnych oraz 3) bardzo szybki algorytm w stosunku do innych transformat. W ostatnich latach powstaje wiele nowych odmian transformacji falkowej, które odzwierciedlają kierunkowe charakterystyki danych. Są to np.: transformacja seislet (np. Fomel 2013, Liu i Fomel 2010), chirplet (np. Mann I Heykin 1992, Bardainne et al. 2006), curvelet (np. Starck et al. 2000, Hennenfent i Herrmann 2004), bandelet (np. Pennec i Mallat 2005), contourlet (np. Do i Vetterli 2005), directionlet (np. Velisavljevic et al. 2006) etc. W przeciwieństwie do standardowych “izotropowych” falek, falki powstałe w tych metodach są „ukierunkowane” wzdłuż anizotropowych cech ośrodka 2D i 3D (Fomel 2006), pozwalając m.in. na bardziej efektywną kompresję danych. Z wymienionych metod jedynie transformacja seislet jest przystosowana do obróbki danych sejsmicznych. Konstrukcja falek jest tu oparta o schemat liftingu (lifting scheme) (Fomel 2013), obszernie opisany w programie Matlab®. Obecność zakłóceń koherentnych stanowi główny czynnik wpływający na jakość danych sejsmiki refleksyjnej i stosunek sygnału użytecznego do zakłóceń. Od sposobu ich eliminacji oraz efektywności stosowanych procedur zależy wiele innych, bardziej zaawansowanych technik przetwarzania (np. migracja). Dlatego pierwszym i najważniejszym krokiem przetwarzania systemowego danych sejsmicznych jest efektywne tłumienie zakłóceń poprzez umiejętny dobór algorytmów i parametrów. Nie znaleziono dotąd jednego skutecznego narzędzia do eliminacji zakłóceń w procesie przetwarzania bez większego lub mniejszego wpływu na sygnał użyteczny, stąd potrzeba ciągłego rozwoju algorytmów i technik przetwarzania. Głównym celem pracy jest analiza przydatności transformacji falkowej do podniesienia stosunku sygnału użytecznego do zakłóceń (S/N) na danych sejsmicznych. Przez 2.

(10) 1. Wstęp. poprawę S/N autor rozumie eliminację fal zakłócających, w szczególności fal czołowych, powierzchniowych, bezpośrednich oraz fal typu guided waves. Ze względu na różnorodność obrazów falowych rzeczywistych danych sejsmicznych w pracy starano się ukazać różne aspekty metodyki analizy falkowej, uzależnionej od typu i jakości danych. Wykorzystanie transformacji falkowej do tłumienia fal powierzchniowych jest najbardziej obiecujące, bowiem stwarza możliwość zachowania szerokiego spektrum sygnałów użytecznych (fal odbitych), a w szczególności ich niskich częstotliwości, decydujących o szerokości pasma sygnałów sejsmicznych w oktawach. Zapewnienie odpowiedniej szerokości sygnałów w oktawach decyduje o rozdzielczości pionowej rekordów i sekcji sejsmicznych, mającej zasadniczy wpływ na wydobywanie informacji geologicznej z zapisu sejsmicznego.. 1.2. Tezy pracy. Tezy pracy zostały sformułowane w oparciu o następujące obserwacje:  rejestrowane w metodzie sejsmicznej trasy sejsmiczne są sygnałami złożonymi z sygnałów użytecznych oraz zakłóceń koherentnych i przypadkowych;  ilość i charakter fal zakłócających zależy od kilku czynników: typu źródła (dynamitowe, wibratorowe) i jego charakterystyki częstotliwościowej oraz własności sprężystych ośrodka geologicznego;  w przypadku ośrodka o skomplikowanej budowie strefy przypowierzchniowej powstają następujące typy fal: fale odbite i wielokrotnie odbite, fale czołowe, fale bezpośrednie, fale powierzchniowe oraz fale typu guided waves; fale te cechują różne prędkości pozorne, zależne od własności sprężystych ośrodka oraz geometrii układu pomiarowego, a także różne zakresy częstotliwościowe, wynikające także z własności sprężystych ośrodka i z charakterystyki źródła sejsmicznego;  trasy sejsmiczne mają charakter niestacjonarny, a ich zmienność czasowoczęstotliwościowa wynika z różnych zakresów prędkościowych i częstotliwościowych rejestrowanych fal;  fala. powierzchniowa,. cechująca. się. odmiennymi. wartościami. prędkości. i. częstotliwości od sygnałów użytecznych, w naturalny sposób kwalifikuje się do analizy czasowo-częstotliwościowe;. 3.

(11) 1. Wstęp.  transformacja falkowa jest jedną z metod czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnałów niestacjonarnych. Powyższe spostrzeżenia były podstawą postawienia następujących tez:  transformacja falkowa pozwala na podniesienie stosunku sygnał-zakłócenie na zapisie sejsmicznym na drodze usuwania fali powierzchniowej i zakłóceń przypadkowych;  analiza falkowa pozwala na optymalny dobór parametrów filtracji współczynników falkowych;  transformacja. falkowa. stanowi. konkurencyjne. narzędzie. tłumienia. fali. powierzchniowej w stosunku do filtracji pasmowej, filtracji F-K oraz transformacji Radona;  konkurencyjność transformacji falkowej polega na możliwości usunięcia pasma częstotliwości fali powierzchniowej tylko w obszarze rekordu, gdzie ta fala występuje, bez zmiany składu częstotliwościowego w obrazie falowym pozostałej części rekordu.. 4.

(12) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych Trasy sejsmiczne, które stanowią wynik rejestracji odpowiedzi Ziemi na wzbudzenie fal sejsmicznych, zawierają często szum, powodujący utratę ciągłości refleksów oraz niski stosunek sygnału użytecznego do zakłóceń (signal-to-noise ratio, S/N). Przez sygnał użyteczny rozumie się taki sygnał, na podstawie którego uzyskuje się informacje służące interpretacji (Leśniak 1999). Pozostałe sygnały uznaje się za zakłócenia. Jednym z najbardziej podstawowych kroków w przetwarzaniu danych sejsmicznych jest podnoszenie stosunku sygnału do zakłóceń. Efektywne tłumienie niektórych zakłóceń stanowi duże wyzwanie dla sejsmików ze względu np. na podobne zakresy częstotliwościowe sygnału użytecznego i szumu, czy podobne zakresy prędkości pozornych. Niewłaściwa taktyka przetwarzania i eliminacji zakłóceń może skutkować z jednej strony ograniczeniem pasma częstotliwościowego sygnału użytecznego, a także jego zniekształceniem, a z drugiej strony obecność resztkowego szumu może niekorzystnie wpłynąć na wyniki przetwarzania bardziej zaawansowanych procedur, jak np. procedurę migracji. W kolejnym podrozdziale przedstawiono typowe rodzaje zakłóceń w metodzie sejsmicznej, a największą uwagę skupiono na tych, których tłumienie było celem niniejszej pracy. W dalszym podrozdziale opisano najważniejsze metody tłumienia zakłóceń koherentnych o liniowych osiach fazowych, dostępne w systemie przetwarzania danych sejsmicznych ProMAX® (filtracja pasmowa, filtracja f-k i transformacja Radona) oraz w programie Vista® (transformacja radialna).. 2.1. Klasyfikacja zakłóceń. Powstawanie i rodzaje zakłóceń opisali szeroko np. Yilmaz (1987) i Kasina (1998). Zakłócenia spotykane w sejsmice refleksyjnej można podzielić na koherentne oraz przypadkowe (niekoherentne). Koherencja w ogólnym zarysie stanowi miarę podobieństwa dwóch obrazów falowych. Zakłócenia koherentne korelują się z trasy na trasę, co stanowi ważny aspekt ich tłumienia. 5.

(13) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. Do zakłóceń koherentnych zalicza się m.in. falę powierzchniową, fale odbite od struktur przypowierzchniowych, płytkie fale refragowane, fale wielokrotne, falę dźwiękową, fale zakłócające od linii wysokiego napięcia, energie spoza płaszczyzny obserwacji itd. Przedmiotem analiz w niniejszej pracy są koherentne zakłócenia o liniowych osiach fazowych, takie jak fala powierzchniowa, fale bezpośrednie, fale czołowe oraz fale typu guided waves, a także zakłócenia przypadkowe. Fale powierzchniowe, dominujące w sejsmice lądowej, stanowią podstawowe fale zakłócające, ograniczające śledzenie odbić na mniejszych offsetach. Wartości prędkości fal powierzchniowych wahają się z reguły w przedziale 100-1000 m/s, a ich zakres częstotliwościowy z reguły wynosi 2-30 Hz. Fale te cechuje dyspersyjność, zależna od właściwości ośrodka skalnego (homogeniczność, elastyczność). Zasięg głębokościowy fal powierzchniowych zależy od długości fali, co skutkuje istnieniem wielu harmonik o różnych prędkościach. W angielskiej nomenklaturze istnieje podział na dwa podstawowe typy fal powierzchniowych: tzw. surface wave oraz ground roll (Yilmaz 1987). Fala typu surface wave stanowi połączenie fali kompresyjnej P i fali poprzecznej spolaryzowanej pionowo (SV). Fala typu ground roll to składnik pionowy fali powierzchniowej (tzw. fala Rayleigha). Istnieje także podział fal typu surface wave na fale Love’a oraz fale Rayleigha. Fale Love’a to spolaryzowana poziomo fala powierzchniowa (ruch cząstek jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali). Prędkość fal Love’a jest mniejsza niż prędkość fal P i S, ale większa niż prędkość fal Rayleigha. Powstają wyłącznie wtedy, gdy nad warstwami wysokoprędkościowymi znajduje się strefa niskoprędkościowa. Falę Rayleigha cechuje ruch zarówno podłużny, jak i poprzeczny. Fale te rozchodzą się wyłącznie w ciałach stałych. Fale powierzchniowe w najnowszej literaturze uznawane są za źródło informacji o sztywności ośrodka, a tym samym o prędkości fal poprzecznych, co ma niemałe znaczenie zarówno w zagadnieniach inżynieryjnych, jak i ocenie zagrożeń sejsmicznych (np. Holschneider et al. 2005, Kritski et al. 2007). Fala typu guided wave zasadniczo nie jest tłumaczona na język polski, chociaż w żargonie spotyka się określenie typu fala prowadzona. W polskojęzycznych publikacjach częściej używa się określenia angielskiego. Są to fale dyspersyjne, powstające na skutek dużej różnicy impedancji na granicy dwóch ośrodków. Ten rodzaj zakłóceń jest najbardziej charakterystyczny dla sejsmiki morskiej na skutek dużego kontrastu prędkości między 6.

(14) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. warstwą wody a warstwą podścielającą. Fale te charakteryzuje duża zmienność, głównie zależna od miąższości warstwy wody i ukształtowania dna morskiego. W dużej mierze ulegają tłumieniu podczas składania w domenie CMP. W sejsmice lądowej fale typu guided waves to fale propagujące w poszczególnych warstwach strefy przypowierzchniowej. Generują one na rekordach liniowe zakłócenia koherentne, które bardzo istotnie utrudniają śledzenie odbić na różnych czasach, także na większych offsetach. Ich efektywne usunięcie w procesie przetwarzania stanowi największe wyzwanie. Fale czołowe stanowią kolejny, równie istotny rodzaj zakłóceń. Nie do pominięcia jest jednak ich rola w procesie obliczania poprawek statycznych, stanowiąc źródło informacji o budowie strefy przypowierzchniowej ośrodka geologicznego. Do ich powstania niezbędne jest spełnienie dwóch warunków (fig. 2.1):  na granicy rozdzielającej dwa ośrodki następuje wzrost prędkości (V1<V2);  fala pada pod takim kątem krytycznym i, dla którego kąt załamania β wynosi 90˚ - fala załamana (refracted wave) ślizga się wtedy po granicy sejsmicznej, w każdym punkcie tej granicy generując falę czołową (head wave), propagującą do odbiorników ustawionych na powierzchni ziemi.. Fig. 2.1. Warunki powstania fali czołowej oraz hodografy fal: refleksyjnej, refrakcyjnej i bezpośredniej.. Fale czołowe razem z falami typu guided waves w dużym stopniu kamuflują refleksy na małych czasach rejestracji i utrudniają interpretację. Fala bezpośrednia (fig. 2.1) propaguje od punktu wzbudzenia drgań do odbiorników, nie odbijając się po drodze od żadnej granicy sejsmicznej. Dla małych odległości 7.

(15) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. odbiorników od punktów strzałowych jest to pierwszy typ rejestrowanej na trasach fali, który na dalszych offsetach zastępowany jest falą czołową. Do szumu przypadkowego (niekoherentnego) zalicza się mikrosejsmy oraz tzw. szum otoczenia, m.in. krople deszczu, wiatr, liście ocierające się o geofony (Kasina 1998). Ten typ zakłóceń nie jest skorelowany z trasy na trasę, występuje jednak zawsze, nawet przy braku wzbudzania. Własność tę można wykorzystać do jego eliminacji polegającej na sumowaniu rekordów odstrzelonych w tym samym miejscu przy użyciu tego samego źródła, ale zawierających różne składowe zakłóceń przypadkowych. W sejsmice wibratorowej – oprócz wymienionych wyżej zakłóceń – występuje najczęściej także szum impulsowy (jego eliminację można uzyskać poprzez obcinanie lub zerowanie szumu przed korelacją) oraz szum ruchu (zakłócenia wysokoamplitudowe – można je eliminować poprzez odpowiedni dobór wzmocnienia w trakcie rejestracji w kolejnych oknach zapisu). W metodzie wibratorowej poprawę stosunku sygnału do szumu (S/N) uzyskuje się poprzez emitowanie jak najdłuższego sygnału wibratorowego (sweepu) oraz obliczanie funkcji kroskorelacji sygnału geofonowego oraz sweepu generowanego.. 2.2.. Przegląd. najpowszechniej. stosowanych. metod. tłumienia. zakłóceń. koherentnych. Zadanie tłumienia zakłóceń koherentnych o liniowych osiach fazowych oraz szumu przypadkowego nie jest łatwe ze względu na złożoność zjawisk i procesów zachodzących na, jak i pod powierzchnią badanego obszaru. Efektywność stworzonych technik tłumienia zakłóceń zależy w dużej mierze od właściwie dobranych wartości parametrów, ale także od charakteru zakłóceń i jakości danych. Parametry te dobiera się w oparciu o znany charakter i naturę zjawiska, którego wpływ ma zostać wyeliminowany. Ważnym aspektem doboru właściwych procedur i ich parametrów jest testowanie i sprawdzanie uzyskanych wyników na reprezentatywnych rekordach modelowych i polowych.. 8.

(16) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. 2.2.1. Filtracja pasmowa. Filtr pasmowy Ormsby’ego należy do grupy filtrów częstotliwościowych o widmie amplitudowym. trapezowym.. Jego. charakterystyka. może. być. zerofazowa. lub. minimalnofazowa. Gdy stosuje się filtr zerofazowy, jedynie widmo amplitudowe sygnału wejściowego ulega zmianie, bez ryzyka wprowadzenia zniekształceń fazowych. Procedura ta zalicza się do najprostszych metod eliminacji zakłóceń. Widmo amplitudowe klasycznego filtru pasmowego o liniowo nachylonych zboczach zostało przedstawione na fig. 2.2. W zakresie częstotliwości od f2 do f3 sygnał nie ulega zmianie. Poniżej częstotliwości f1 oraz powyżej częstotliwości f4 sygnał jest mnożony przez bardzo małą liczbę bliską wartości zerowej. W zakresie od f1 do f2 oraz od f3 do f4 sygnał jest tłumiony liniowo poprzez mnożenie przez współczynniki od 0 do 1 i odwrotnie. Istnieją dwa sposoby konstrukcji filtrów pasmowych. Pierwszy jest oparty na znajomości charakterystyk częstotliwościowych sygnału użytecznego oraz zakłóceń. Wówczas jego konstrukcja polega na określeniu zakresu częstotliwości, który ma zostać niezmieniony podczas filtracji. Pozostałe częstotliwości, które utożsamia się z sygnałem zakłócającym, zostają wytłumione. Druga metoda polega na wykonaniu wielu filtracji przy założeniu różnych pasm częstotliwości na reprezentatywnej porcji zapisu sejsmicznego i wyborze filtru o najlepszych parametrach (Kasina 1998).. Fig. 2.2. Schematyczne widmo amplitudowe filtru pasmowego z opisanymi częstotliwościami narożnymi.. Ważną kwestią zastosowania filtrów pasmowych jest tłumienie niskich częstotliwości, powodujące zawężenie sygnału użytecznego w oktawach, natomiast wytłumienie wysokich częstotliwości rzutuje na możliwość wydzielenia cienkich warstw w górotworze. Dobór 9.

(17) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. odpowiednich parametrów filtrów pasmowych jest więc kwestią subiektywną i niezwykle istotne jest, aby filtracja pasmowa zachowywała sygnał użyteczny, jednocześnie tłumiąc fale zakłócające.. 2.2.2. Filtracja f-k. Dwuwymiarowa transformacja Fouriera (filtracja f-k) to kolejny sposób dekompozycji tras sejsmicznych na składowe falowe, gdzie każda składowa (fala płaska) opisana przez jedną częstotliwość (pojedyncza sinusoida) propaguje pod określonym kątem liczonym od pionu. Dwuwymiarowa transformacja Fouriera funkcji ciągłej f(x,t) wyraża się wzorem: (. , )=∫. ( , ). (2.1). gdzie kx oznacza liczbę falową, ω – częstość kołową, natomiast F(x,ω) jest jednowymiarową transformacją Fouriera funkcji f(x,t): ( , )=∫. ( , ). .. (2.2). Filtracja f-k należy - wraz z filtracją częstotliwościową - do najstarszych i najpowszechniej stosowanych technik osłabiania zakłóceń koherentnych, a szczególnie zakłóceń koherentnych z liniowymi osiami fazowymi. Do takich zakłóceń należą przede wszystkim fale powierzchniowe, a także fale typu guided waves, czy fale bezpośrednie. Liczba falowa k (wavenumber) określa liczbę oscylacji fali na określoną jednostkę długości, zatem reprezentuje częstość fali w przestrzeni. Dla fal rozchodzących się zarówno w czasie, jak i przestrzeni prędkość fali V można wyrazić jako iloraz częstotliwości f i liczby falowej k: =. (2.3). Skuteczność filtracji f-k w tłumieniu fal koherentnych, które interferują z falami odbitymi (tzn. osie fazowe fal odbitych i zakłóceń koherentnych przecinają się), zależy od możliwości oddzielenia odwzorowań fali użytecznej i zakłócającej w domenie f-k. Jeśli te odwzorowania zajmują wyraźnie oddzielne części płaszczyzny f-k, możliwe jest zaprojektowanie wielokąta (poligonu), obejmującego bądź falę użyteczną, bądź falę zakłócającą w zależności od wybranej wersji filtracji (odpowiednio wersja przepuszczania lub odrzucania pozostałej części płaszczyzny f-k).. 10.

(18) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. W przypadku, gdy na płaszczyźnie f-k odwzorowania fal użytecznych i zakłócających interferują ze sobą, projektuje się filtry prędkościowe (wachlarzowe) w domenie x-t w oparciu o przedział prędkości pozornych i skład częstotliwościowy fal zakłócających. Warunkiem efektywności filtrów wachlarzowych jest istotne zróżnicowanie prędkości pozornych fal zakłócających i użytecznych. Istotnym aspektem filtracji f-k jest określenie wpływu tzw. aliasingu, czyli nieodwracalnego zniekształcenia sygnału w procesie próbkowania, wynikającego z niespełnienia założeń twierdzenia o próbkowaniu: =. (2.4). ∆. gdzie Δt to krok próbkowania danych, a fNyq jest częstotliwością Nyquista, czyli maksymalną częstotliwością poprawnie odwzorowaną w procesie próbkowania danych. Zniekształcenia te objawiają się obecnością w sygnale składowych o błędnych częstotliwościach. Aliasing 1D eliminuje się poprzez stosowanie dolnoprzepustowych filtrów antyaliasyjnych. Aliasing dwuwymiarowy (2D) występuje, gdy odległość odbiorników na profilu sejsmicznym jest większa od ilorazu V*/2fNyq, gdzie V* to prędkość pozorna osi fazowych fal sejsmicznych. Na płaszczyźnie f-k aliasing 2D występuje jako silne zliniowania, pojawiające się dla dodatnich oraz ujemnych wartości liczb falowych k. Powoduje on niejednokrotnie znaczne. osłabienie. skuteczności. tłumienia. fal. zakłócających. oraz. wprowadzenie. zniekształceń do danych. Aliasing 2D eliminuje się poprzez stosowanie podczas akwizycji danych małych interwałów pomiarowych. Obecność fal o bardzo niskich prędkościach pozornych (z reguły poniżej 300 m/s) powoduje również nasilenie zjawiska aliasingu 2D.. 2.2.3. Transformacja Radona. Transformacja Radona może być wykonywana w trzech wersjach: liniowej (tzw. składanie ukośne), parabolicznej oraz hiperbolicznej. Składanie ukośne stosuje się w celu eliminacji zarówno fal wielokrotnych, jak i zakłóceń o liniowych osiach fazowych (m.in. fali powierzchniowej). Transformacja w wersji parabolicznej oraz hiperbolicznej stosowana jest głównie do tłumienia fal wielokrotnych (Kasina 2009).. 11.

(19) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. Transformacja Radona w wersji tzw. składania ukośnego (transformacja tau-p, slant stack) jest procesem symulującym rozkład fali propagującej ze źródła na fale płaskie generowane przez źródła liniowe i opisywana jest następującą relacją: N. h( p, )   g ( xi ,  pxi ). (2.5). i 1. gdzie funkcja g(xi) to dane sejsmiczne składające się z N tras, a funkcja h(p,) to wynik składania ukośnego. Wartość h w punkcie (p,) jest uzyskana na drodze sumowania danych g(x,t) wzdłuż linii prostej t =  + px, gdzie p jest nachyleniem tej linii, a - czasem t0. Parametr p (tzw. spowolnienie) jest odwrotnością prędkości pozornej, określonej z nachylenia hodografu. Jest powiązany z prędkością rzeczywistą V rozchodzenia się fali następującą zależnością: p. sin v. (2.6). gdzie Θ jest kątem, pod którym fala sejsmiczna pada na powierzchnię ziemi. Z prawa Snelliusa wynika, że w trakcie propagacji fali wartość współczynnika p nie zmienia się. Poszczególne punkty na płaszczyźnie τ-p reprezentują efekt sumowania tras sejsmicznych wzdłuż prostych o kształcie i ilości regulowanych poprzez odpowiednie parametry procedury transformacji Radona. Każda trasa kolekcji parametru promienia p może być traktowana jako suma wszystkich tras kolekcji punktu wzbudzenia, określona dla stałego nachylenia p okna sumowania odcinającego na osi pionowej czas, określony relacją:.  = t –px. (2.7). Idea składania ukośnego dla kolekcji CDP (CDP gather) została zilustrowana na fig. 2.3. W procesie transformacji danych do domeny τ-p hiperboliczne osie fazowe pochodzące od refleksów odbitych odwzorowują się w osie eliptyczne i mają mniejsze wartości parametru p, natomiast prostoliniowe osie fazowe (np. fal powierzchniowych, czołowych) przekształcają się w punkty w obszarze większych wartości parametru p (fig. 2.3). Składanie ukośne jest jednym z najpowszechniej wykorzystywanych narzędzi do usuwania liniowych zakłóceń koherentnych, w szczególności fal powierzchniowych. Jednym z największych atutów transformacji Radona jest jedynie niewielkie zakłócenie stosunków amplitudowych na różnych offsetach (jest to szczególnie ważny aspekt w analizie AVO z uwagi na konieczność zachowania rzeczywistych relacji amplitud).. 12.

(20) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. Fig. 2.3. Transformacja kolekcji CDP do domeny  -p, w której każdej wartości parametru p odpowiada fala płaska (wg Yilmaza 1987).. 2.2.4. Transformacja radialna Transformacja radialna (radial transform, RT) powoduje przekształcenie amplitud trasy sejsmicznej z domeny offset-czas do domeny prędkość pozorna-przesunięty czas propagacji zgodnie z relacją (Henley 2003): RT{S(x,t)} = S' (V*, t'). (2.8). gdzie: t' = t - t0, ∗. =. (2.9) (2.10). (x0 , t0 ) są współrzędnymi początku (źródła) transformacji RT. Odwrotna transformacja radialna przyjmuje postać: RT-1 {S'(V*,t')} = S (x,t). (2.11). Każda trasa radialna na fig. 2.4 składa się z wartości amplitud odczytanych wzdłuż numerowanej trajektorii o stałej prędkości pozornej (trajektorie radialne) z zastosowaniem takiego samego kroku próbkowania czasowego t, jak w przypadku oryginalnych tras kolekcji x-t. Bezpośrednią konsekwencją stałego kroku próbkowania jest rozciągnięcie lub kompresja czasu trwania sygnału w domenie RT, gdzie "czas trwania sygnału" jest definiowany jako czas zajęty przez formę falową sygnału na trasie w domenie x-t lub na trasie 13.

(21) 2. Metody podnoszenia stosunku sygnału do zakłóceń na danych sejsmicznych. w domenie RT. Czas trwania sygnału jest identyczny w obu domenach tylko w przypadku sygnałów z poziomymi osiami fazowymi. Transformacja radialna może izolować zakłócenia liniowe, scharakteryzowane przez prędkość i długość fali, od pozostałego pola. W rezultacie sygnały koherentne ze stałą prędkością pozorną w domenie x-t mogą być osłabione lub wzmocnione w relacji do pozostałej części pola falowego na drodze prostych filtracji częstotliwościowych na pojedynczych trasach w domenie RT.. Fig. 2.4. Schemat transformacji radialnej na przykładzie rekordu sejsmicznego (wg Henley 2001).. Do niewątpliwych zalet transformacji radialnej należą: jej prostota przekładająca się na szybkość obliczeń, możliwość wykorzystania nieregularnie spróbkowanych w przestrzeni danych oraz zachowanie takich nieciągłości pola falowego, które związane są z drobnymi elementami strukturalnymi i wpływem statyki w rzeczywistym ich wymiarze (Henley 2001). Filtr w domenie RT może być zaprojektowany do osłabiania fal z liniowymi, równoległymi osiami fazowymi o stałej prędkości pozornej lub fal o szerokim zakresie prędkości pozornych, dowiązanych do wspólnego punktu strzałowego, rzeczywistego lub pozornego. Co więcej, filtrację RT można stosować wielokrotnie, każdorazowo osłabiając wybraną modę szumu. Filtracji w domenie RT mogą być poddane zarówno kolekcje przed składaniem, jak i sekcje sejsmiczne.. 14.

(22) 3. Teoria transformacji falkowej. 3. Teoria transformacji falkowej. Zainteresowanie wykorzystaniem transformacji falkowej w geofizyce wynika z możliwości zastosowania okien o zmiennej rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej (fig.3.1). Rozdzielczość czasowa określana jest jako zdolność rozróżniania dwóch sygnałów na osi czasu, natomiast rozdzielczość częstotliwościowa - jako zdolność rozdzielenia sygnału na składowe różniące się częstotliwością. Krótkoczasowa transformacja Fouriera (short time Fourier transform, STFT) powoduje rozkład sygnału na składowe charakteryzujące się tą samą rozdzielczością, podczas gdy dyskretna transformacja falkowa (discrete wavelet transform, DWT) bazuje na oknach o zmiennej rozdzielczości (fig.3.1). Niskie częstotliwości sygnału są badane z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości, lecz z niską w domenie czasu. Problem stanowią częstotliwości. pośrednie,. dla. których. rozdzielczość. transformacji. falkowej. jest. niewystarczająca, porównywalna z STFT. Stosowanie takiej taktyki ma sens jedynie dla sygnałów, których składowe wysokoczęstotliwościowe trwają bardzo krótko, natomiast niskoczęstotliwościowe – długo (Polikar 1999). Większość sygnałów spotykanych w praktyce ma taką charakterystykę.. Fig. 3.1. Porównanie krótkoczasowej transformacji Fouriera STFT (po lewej) i dyskretnej transformacji falkowej DWT (po prawej) – stosowane funkcje i ich rozdzielczość czasowo-częstotliwościowa (a) oraz ich schematyczna lokalizacja na płaszczyźnie czas - częstotliwość (b) (wg Vetterli 1992).. 15.

(23) 3. Teoria transformacji falkowej. Pomimo stosowania okien o różnej rozdzielczości (fig. 3.1) w dyskretnej transformacji falkowej, wszystkie okna mają jednakowe pola powierzchni, zatem reprezentują jednakowe porcje płaszczyzny czas-częstotliwość (jedynie o różnych proporcjach czasu do częstotliwości). Na fig. 3.2a przedstawiono schematycznie podział płaszczyzny częstotliwości na okna (pasma częstotliwości) o stałej szerokości (skala liniowa), charakterystyczny dla STFT, natomiast fig. 3.2b przedstawia zmienną szerokość okien (skala logarytmiczna), charakterystyczną dla dyskretnej transformacji falkowej (DWT). W przypadku DWT względna szerokość pasma częstotliwościowego na poszczególnych poziomach dekompozycji jest stała (stały tzw. współczynnik Q falki, definiowany jako stosunek jej częstotliwości środkowej do szerokości jej pasma) (Misiti et al. 2013). Mimo rosnącego zainteresowania transformacją falkową, powszechnie stosowane systemy sejsmiczne nie są wyposażone w implementację algorytmu transformacji falkowej. Spotykane w publikacjach zastosowania mają charakter autorski. Jednym z dostępnych narzędzi realizujących transformację falkową jest np. program Matlab®, w którym zawarte jest archiwum falek.. Fig. 3.2. Schematyczny podział płaszczyzny częstotliwości w realizacji transformacji Fouriera (a) oraz transformacji falkowej (b) (wg Rioul i Vetterli 1991).. 16.

(24) 3. Teoria transformacji falkowej. 3.1. Teoria wielorozdzielczości (multiresolution theory). Bardzo skutecznym narzędziem analizy i przetwarzania sygnałów jest analiza wielorozdzielcza (multiresolution analysis, MRA) (np. Gonzalez i Woods 2002). Podejście to polega na analizie i przetwarzaniu danych na różnych poziomach rozdzielczości (fig. 3.3) poprzez ich rozkład na część uproszczoną (tzw. aproksymację), możliwie dobrze przybliżającą sygnał oryginalny, oraz pozostałą składową – tzw. detal. Zaleta takiego podejścia jest oczywista: pewne cechy sygnału, które na jednym poziomie rozdzielczości nie są wykrywalne, na innym mogą okazać się bardzo wyraźne. Obiekty o małych rozmiarach bądź małych kontrastach prędkości/gęstości wykrywalne są na wyższych poziomach rozdzielczości, natomiast ciała duże lub o silnym kontraście – przeciwnie. Gdy obie grupy obiektów występują wspólnie, studiuje się je na różnych poziomach rozdzielczości. MRA została tak zaprojektowana, aby dawać dobrą rozdzielczość czasową (i gorszą rozdzielczość częstotliwościową) dla składowych wysokoczęstotliwościowych, a dobrą rozdzielczość częstotliwościową (i gorszą rozdzielczość czasową) dla składników niskoczęstotliwościowych. Podejście to ma sens szczególnie wtedy, gdy sygnał zawiera składowe. wysokoczęstotliwościowe. o. krótkim. czasie. trwania. oraz. składowe. niskoczęstotliwościowe o długim czasie trwania. Większość sygnałów sejsmicznych jest sygnałami tego typu. Teorię wielorozdzielczości Gonzalez i Woods (2002) omówili w aspekcie trzech technik:  piramidy obrazów (image pyramids) – obliczanie kolejnych aproksymacji na drodze obniżania rozdzielczości obrazu za pomocą np. dolnoprzepustowej filtracji Gaussa. Schemat techniki pokazano na fig. 3.3. Po filtracji otrzymuje się wersję sygnału o niższej rozdzielczości, następnie na jej podstawie przewiduje się sygnał oryginalny, a na koniec oblicza różnicę między sygnałem rzeczywistym a przewidywanym (Vetterli i Herley 1992). W procesie rekonstrukcji sygnał oryginalny otrzymuje się poprzez zsumowanie sygnału przewidywanego i różnicowego;  kodowanie podpasmowe (subband coding) – podział obrazu na składniki o ograniczonym paśmie za pomocą np. filtracji pasmowej;  transformacja Haara (Haar transform) – dekompozycja sygnału z udziałem falek Haara. 17.

(25) 3. Teoria transformacji falkowej. Fig. 3.3. Schemat tworzenia struktury piramidy. Na dole piramidy jest obraz bazowy – poziom J (wg Gonzalez i Woods 2002).. 3.2. Ciągła transformacja falkowa (CWT). Do opisu transformacji falkowej używa się następujących pojęć: falka (), skala (a) oraz translacja (b). Falka (wavelet) definiowana jest jako forma falowa o efektywnie ograniczonym czasie trwania (posiadająca zwarty nośnik, czyli przedział, poza którym dana funkcja jest równa zero (Hennel i Olejniczak 2010)) oraz wartości średniej równej zero, zlokalizowana w czasie i przestrzeni. Szerszy opis falek oraz warunki ich wykorzystania w transformacji falkowej zawarto w podrozdziale 3.5. Falka podstawowa, nazywana również falką - matką (mother wavelet), podlega procesom skalowania a i translacji b, dając w wyniku transformacji falkowej cały zbiór falek. Skalowanie falki oznacza jej rozciąganie bądź kompresję (fig. 3.4), a tym samym zmianę jej pasma częstotliwości (Misiti et al. 2013). Im wyższy współczynnik skalowania a, tym bardziej rozciągnięta w czasie jest falka i współczynniki falkowe odpowiadają bardziej ogólnym, globalnym cechom sygnału. Niskie skale oznaczają natomiast kompresję falki oraz uwydatnienie lokalnych cech sygnału.. 18.

(26) 3. Teoria transformacji falkowej. Fig. 3.4. Proces skalowania a falki  (wg Misiti et al. 2013).. Przesunięcie b oznacza opóźnienie falki na osi czasu (fig. 3.5) (Misiti et al. 2013). Jest to miara czasu.. Fig. 3.5. Translacja b falki (wg Misiti et al. 2013).. Skalę a można powiązać w prosty sposób z tzw. pseudoczęstotliwością fa (Misiti et al. 2013): =. ∙∆. ,. (3.1). gdzie: Δt - krok próbkowania sygnału w s, fc – częstotliwość środkowa (tzw. center frequency) falki podstawowej w Hz, fa – pseudoczęstotliwość (częstotliwość środkowa falki dla skali a) w Hz. Częstotliwość środkowa fc falki obejmuje jej główne oscylacje. Stanowi więc. niejako. charakterystykę. jej. częstotliwości. dominującej.. Celem. obliczania. pseudoczęstotliwości fa falki jest jej powiązanie (przyporządkowanie) z prostym sinusoidalnym sygnałem o danej częstotliwości środkowej fc.. 19.

(27) 3. Teoria transformacji falkowej. Ciągła transformacja falkowa (continuous wavelet transform, CWT) jest definiowana jako suma po czasie sygnału f(t) pomnożonego przez przeskalowane i przesunięte wersje falki-matki(t) (Mallat 1989), wybranej z bazy danych pakietu Wavelet Toolbox programu Matlab®: ( , )=∫. ( ). ,. ( ). (3.2). gdzie współczynniki falkowe Fψ(a,b) są funkcją skali a i pozycji b na osi czasu, natomiast ,. ( ) to rodzina przeskalowanych i przesuniętych wersji wybranej falki(t):. . ,. ( )=. (3.3). √. Analiza falkowa pozwala na obliczenie współczynników falkowych Fψ(a,b), które są miarą podobieństwa falki (wybranej z archiwum programu Matlab ®) do sygnału sejsmicznego wybranego z rekordu sejsmicznego. Zgodnie z teorią analizy falkowej każdy sygnał można poddać procesowi dekompozycji na przesunięte i przeskalowane wersje falki ψ(t) (fig. 3.6). Składowe elementarne oryginalnego sygnału uzyskuje się poprzez pomnożenie każdego współczynnika falkowego przez odpowiednio przeskalowaną i przesuniętą falkę ψ(t) (fig. 3.6).. Fig. 3.6. Przeskalowane i przesunięte falki będące wynikiem analizy falkowej (wg Misiti et al. 2013).. Czynnik. √. we wzorze 3.3 służy normalizacji energii, co oznacza, że energia falki nie. zmienia się ze zmianą skali. Współczynniki falkowe. ( , ) można wtedy rozpatrywać jako. miarę korelacji falki ψ(t) z analizowanym sygnałem przy zadanej skali. Efektem analizy falkowej jest powstanie skalogramu, czyli dwuwymiarowej reprezentacji sygnałów, gdzie na osi poziomej jest czas, a na pionowej – skala (na spektrogramie, będącym produktem STFT, jest to częstotliwość). Skalogram określa więc dystrybucję energii sygnału w domenie czas-skala. W przeciwieństwie do spektrogramu energia sygnału na skalogramie jest rozmieszczona z różną rozdzielczością (fig. 3.1).. 20.

(28) 3. Teoria transformacji falkowej. Transformację odwrotną funkcji f(t) w oparciu o jej transformację falkową. ( , ). uzyskuje się z relacji (Mallat 1989): ( )=. ∫. ∫. ( , ). ,. ( ). (3.4). gdzie C jest stałą dla falki ψ(t), definiowaną następująco: . =∫. | ( )|. (3.5). gdzie Ψ(f) jest transformatą Fouriera falki(t). Wzór 3.4 opisywany jest w literaturze jako tzw. Calderon’s reproducing identity (Calderon 1964, Meyer 1992).. Rekonstrukcja sygnału w oparciu o CWT nie może być wykonana wprost. W najprostszym przypadku wykorzystuje się w tym celu tzw. formułę Morleta (Misiti et al. 2013), która, poprzez konieczność aproksymacji sygnału, nie gwarantuje idealnej rekonstrukcji. Wykonanie odwrotnej ciągłej transformacji falkowej możliwe jest dopiero w najnowszych wersjach programu Matlab® (poczynając od wersji 2011a).. 3.3. Dyskretna transformacja falkowa (DWT). Obliczanie współczynników falkowych dla każdej możliwej skali zajmuje dużo czasu i generuje dużą ilość danych. Co więcej, analityczne wzory na ciągłą transformację falkową dla stosunkowo prostych sygnałów są praktycznie nie do wykonania. W przypadku, gdy energia sygnału jest skończona, wystarcza dyskretna transformacja falkowa (Discrete Wavelet Transform, DWT), pozwalająca na zmniejszenie czasu obliczeniowego i ilości generowanych danych. Zaletą CWT jest jednak możliwość analizy nawet bardzo subtelnych cech sygnału. Wyniki ciągłej analizy są w wielu przypadkach łatwiejsze do interpretacji ze względu na wzmocnienie i wyeksponowanie pewnych powtarzalnych cech sygnału. Ideę dyskretnej transformaty falkowej stworzył Mallat (np. Polikar 1999, Misiti et al. 2013). Oparta jest ona o takie techniki, jak kodowanie podpasmowe (subband coding) i tzw. kwadraturowe filtry lustrzane (quadrature mirror filters, QMF). Odtworzenie sygnału pierwotnego w oparciu o jego DWT jest z matematycznego punktu widzenia procesem bezstratnym (tzw. perfect reconstruction). W środowisku obliczeniowym Matlab® dyskretną transformację falkową uzyskuje się w wyniku spróbkowania parametrów skali a i translacji b (wzór 3.1), otrzymując w ten sposób szereg falkowy. Gdy zmiana skali następuje z potęgą dwójki, mówi się o tzw. 21.

(29) 3. Teoria transformacji falkowej. skalowaniu diadycznym. W tak rozumianym pojęciu skala a związana jest z poziomem dekompozycji j (level) relacją (Misiti et al. 2013): a=2j. (3.6). Parametr b określa się jako wielokrotność a: b=ka. (3.7). Rozdzielczość dekompozycji określa się natomiast jako odwrotność skali. Powiązania skali z poziomem dekompozycji i rozdzielczością przedstawia tabela 3.1.. poziom dekompozycji. 1. 2. 3. 4. 5. skala. 2. 4. 8. 16. 32. rozdzielczość. 1/2. 1/4. 1/8. 1/16. 1/32. Tab. 3.1. Powiązanie skali i rozdzielczości z poszczególnymi poziomami dekompozycji.. Rozdzielczość reprezentacji czasowo – częstotliwościowych definiowana jest przez tzw. zasadę nieoznaczoności (Cohen 1989), która określa zależność między wariancją sygnału x(t) (wzór 3.8) a wariancją jego widma Sx(t) (wzór 3.9): (t ) 2   (t t ) 2 x (t ) 2 dt. (3.8) 2. (f ) 2   ( f  f ) 2 S x ( f ) dt gdzie t i. f. (3.9). oznaczają odpowiednio średni czas i średnią częstotliwość. Zasada. nieoznaczoności głosi wtedy, że niemożliwe jest jednoczesne osiągnięcie dużej rozdzielczości czasowej i częstotliwościowej, bowiem zmniejszając wariancję sygnału x(t), zwiększamy wariancję jego widma Sx(t) i odwrotnie: tf . 1 4. (3.10). W praktycznej realizacji dyskretnej transformaty wykorzystuje się filtry: dolno- i górnoprzepustowy, ściśle określone dla każdej falki (Mallat 1989). Do analizy falkowej służą tzw. filtry dekompozycji, natomiast do transformacji odwrotnej – filtry rekonstrukcji (fig. 3.7). Celem uzyskania w procesie rekonstrukcji dokładnie takiego samego sygnału filtry dekompozycji oraz rekonstrukcji muszą być ze sobą ściśle powiązane, tworząc tzw. kwadraturowe filtry lustrzane (quadrature mirror filters, QMF). Podstawy matematyczne szeroko omówili np. Strang i Nguyen (1996).. 22.

(30) 3. Teoria transformacji falkowej. Fig. 3.7. Filtry (dolno- i górnoprzepustowy) do dekompozycji sygnału oraz dwa filtry do rekonstrukcji sygnału, odpowiadające falce Daubechies rzędu 6 (opis falki zawarto w podrozdziale 3.5).. Proces dekompozycji sygnału przedstawia się następująco: sygnał s (fig. 3.8) jest filtrowany przez filtr dolnoprzepustowy oraz filtr górnoprzepustowy, a następnie poddany jest tzw. decymacji (downsampling), czyli procesowi zmniejszenia kroku próbkowania poprzez usunięcie co drugiej próbki. Decymacja powoduje wprowadzenie pewnych zniekształceń sygnału, które mogą zostać w procesie późniejszej rekonstrukcji w pełni zniwelowane tylko poprzez użycie komplementarnych filtrów dekompozycji i rekonstrukcji. Sygnał podzielony w ten sposób na aproksymację (wydzielony za pomocą filtracji dolnoprzepustowej) i detal (wydzielony za pomocą filtracji górnoprzepustowej) poddawany jest kolejnej filtracji dolno- i górnoprzepustowej (fig. 3.8 – 3.9), a proces ten kontynuowany jest do momentu uzyskania pożądanego poziomu dekompozycji, uzależnionego od celu realizacji transformacji falkowej. Przykładowo, jeśli celem jest usunięcie fali powierzchniowej, pożądany poziom dekompozycji będzie rozumiany jako taki, na którym fala powierzchniowa najlepiej koreluje się ze współczynnikami falkowymi. ( , ). Każdy poziom dekompozycji odpowiada. kolejnej iteracji (fig. 3.8 – 3.9). W wyniku każdej iteracji uzyskuje się składową zwaną detalem D (nie podlega dalszej filtracji) oraz składową A, zwaną aproksymacją analizowanego sygnału. Powstaje wówczas struktura, zwana drzewem dekompozycji falkowej (wavelet decomposition tree). Przyjmuje się, że filtracji podlegają kolejne aproksymacje sygnałów, chociaż możliwe jest również filtrowanie obu składników 23.

(31) 3. Teoria transformacji falkowej. (aproksymacji i detalu). W wyniku takiego procesu otrzymuje się strukturę zwaną wavelet packet decomposition tree. Analizowany sygnał może być w tej sytuacji odtworzony na wiele różnych sposobów poprzez sumowanie różnych składników dekompozycji. Możliwości zastosowania takiego podejścia prezentuje obszernie Misiti et al. (2013).. Fig. 3.8. Dekompozycja sygnału na kolejne aproksymacje Ak i detale Dk (wg Misiti et al. 2013).. Fig. 3.9. Dekompozycja sygnału na aproksymacje Ak i detale Dk w dziedzinie częstotliwości. Szczególnym przypadkiem skalowania jest skalowanie diadyczne, gdzie każdy poziom dekompozycji oznacza podział widma amplitudowego aproksymacji na pół.. Aproksymacje, traktowane jako pewne przybliżenie sygnału, oraz detale, określające cechy lokalne sygnałów, pozwalają na rekonstrukcję sygnału na dowolnym poziomie dekompozycji j (fig. 3.8): s  Aj   D j. (3.11). j. 24.

(32) 3. Teoria transformacji falkowej. 3.4. Falki (wavelets) i funkcje skalujące (scaling functions). W teorii transformacji falkowej operuje się pojęciem falki oraz funkcji skalującej. Za pomocą falek wyodrębnia się z sygnału detale (falki traktowane są jako odpowiedź impulsowa filtru górnoprzepustowego). Funkcje skalujące stanowią odpowiedź impulsową filtru dolnoprzepustowego - służą więc do wyodrębniania z sygnału aproksymacji. Definicja i opis obu funkcji zostaną przedstawione poniżej. Falka-matka (mother wavelet) jest taką funkcją, z której poprzez operacje skalowania a i translacji b generowany jest cały zespół falek służący do transformacji falkowej. Falkę-matkę może stanowić każda funkcja, która spełnia pewne warunki (Misiti et al. 2013):  jest ciągła;  posiada zwarty nośnik;  jej wartość średnia jest bliska wartości zerowej;  spełnia tzw. warunek dopuszczalności (wzory 3.12-3.14). Zwarty nośnik falki oznacza, że jedynie w pewnym domkniętym przedziale posiada ona niezerowe współczynniki, natomiast poza przedziałem wszystkie współczynniki przyjmują wartość zero (innymi słowy posiada ona efektywnie ograniczony czas trwania). Długość nośnika precyzyjnie wyznacza zakres analizy czasowej i częstotliwościowej falki (Białasiewicz 2004). W analizie wielorozdzielczej oraz w kompresji sygnałów najczęściej stosuje się falki o zwartym nośniku i zerowej wartości średniej ze względu na to, że ich cała energia skoncentrowana jest na skończonym przedziale. Sygnały poddane analizie na bazie takiej falki mają większość współczynników falkowych bliskich wartości zerowej, co w konsekwencji daje detale bliskie lub równe zero. Ich pominięcie w procesie rekonstrukcji nie wpłynie na utratę własności dokładnej rekonstrukcji sygnału (Białasiewicz 2004). Nie wszystkie falki zawarte w pakiecie Wavelet Toolbox spełniają warunek zwartego nośnika, jak na przykład tzw. falka Meyera. Warunki dopuszczalności (admissibility conditions) zostały sformułowane przez Calderona (1964). Chakraborty i Okaya (1995) podają je w następującej formie: ( ) | ( )|. <∞ <∞. (3.12) (3.13). 25.

(33) 3. Teoria transformacji falkowej. =∫. | ( )| | |. =∫. | ( )| | |. gdzie ψ(t) oznacza wybraną falkę, a. <∞. (3.14). ( ) oznacza jej transformatę Fouriera.. Warunki 3.12 i 3.13 oznaczają, że dana funkcja ψ(t) musi mieć skończoną energię, natomiast z warunku 3.14 wynika, że funkcja ψ(t) ma ograniczone pasmo częstotliwości (wzór 3.15) i zerową wartość średnią (wzór 3.16): | ( )| | ∫ ( ). =0 =0. (3.15) (3.16). gdzie Ψ(f) jest transformacją Fouriera funkcji ψ(t). Polikar (1999) wyjaśnia, iż nazwa „falka” („mała fala”) wywodzi się z warunku dopuszczalności (wzory 3.12-3.14) – dana funkcja musi mieć skończony nośnik („mała”) oraz oscylować wokół zera („fala”). Dzięki tym cechom falki posiadają możliwości lokalizacji częstotliwości i czasu trwania jednocześnie. Spełnienie warunku dopuszczalności pozwala na wykonanie odwrotnej transformacji falkowej przedstawionej we wzorze 3.4 (Calderon 1964, Meyer 1992).. Poza spełnieniem tych podstawowych warunków falkę należy dobrać pod kątem pełnionego zadania (np. analiza sygnału, kompresja sygnału, filtracja itp.). Pakiet Wavelet Toolbox programu Matlab® zawiera blok o nazwie New Wavelet for CWT, w którym opisane są szczegółowe wymagania oraz warunki do stworzenia nowej falki. Szczegółowe schematy tworzenia nowych falek opisuje np. Sweldens i Schröder (1996). Rodzina falek jest bardzo duża. Pakiet Wavelet Toolbox programu Matlab® oferuje m.in. następujące rodzaje: falka Haara (haar), Morleta (morl), mexican hat (mexh), falki Daubechies (db), Coifmana (coif), Meyera (meyr), biortogonalne (bior), symlets (sym) itp. Poszczególne rodziny falek różnią się między sobą posiadanymi własnościami. Zestawienie najważniejszych własności wybranych rodzin falek przedstawia tab. 3.2. Plusy oznaczają, że dana rodzina falek posiada wymienioną własność. Misiti et al. (2013) definiuje regularność falek i funkcji skalujących w następujący sposób. Analiza falkowa posiada regularność r, jeśli funkcje użyte w analizie mają zwarty nośnik i wszystkie mają r ciągłych pochodnych. Aby analiza falkowa miała wysoki stopień regularności, należy wybierać falki o najwyższej regularności. Wtedy współczynniki falkowe dobrze odzwierciedlają gładkość analizowanej funkcji. Należy pamiętać, że im większa regularność falki, tym dłuższa odpowiedź impulsowa filtru. W ostatnim czasie wzrosło znaczenie regularności falek, zwłaszcza w odniesieniu do analizy fraktali oraz opisu ruchów Browna z uwagi na ich lokalne nieregularności (Misiti et 26.

(34) 3. Teoria transformacji falkowej. al. 2013). Stosowanie regularnej falki gwarantuje bowiem wygładzenie sygnału/obrazu po procesie rekonstrukcji. Każda opisana w pakiecie Wavelet Toolbox falka ma obliczony stopień regularności. Misiti et al. (2013) podaje również zależność między rozmiarem nośnika falek Daubechies ich regularnością s: s ≈ N/5. (3.18). gdzie N oznacza połowę długości nośnika falki.. Własność. morl mexh meyr haar. Regularność Symetria. +. +. +. db. sym. coif. bior. +. +. +. +. +. Asymetria. + +. Zwarty nośnik i ortogonalność. +. +. +. +. Zwarty nośnik i biortogonalność. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. +. Obecność funkcji skalującej Wierna rekonstrukcja sygnału. ≈. +. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (tzw. FIR) Ciągła transformacja Dyskretna transformacja. +. +. Tab. 3.2. Zestawienie wybranych własności niektórych rodzin falek (wg Misiti et al. 2013).. Na uwagę zasługuje fakt, że widma amplitudowe falek na dwóch sąsiednich poziomach dekompozycji częściowo zachodzą na siebie (fig. 3.2b, 3.9). W przypadku skalowania diadycznego dwukrotne zawężenie falki w domenie czasu powoduje dwukrotne poszerzenie jej widma amplitudowego (zależność ta wynika z zasady nieoznaczoności – wzory 3.8-3.9) i przesunięcie widma w stronę wyższych częstotliwości (poprzez pomnożenie danej pozycji przez 2). Kombinacja wszystkich rozciągniętych i przesuniętych funkcji całkowicie pokrywa obszar widma częstotliwościowego aż do częstotliwości Nyquista, nie pozostawiając „pustych” miejsc (jest to tzw. baza do przekształceń falkowych). Dla procesów filtracji, które odbywają się w domenie falkowej, należy dążyć do tego, aby widma falek podlegających skalowaniu i translacji jak najmniej zachodziły na siebie, tak aby zminimalizować ryzyko wprowadzenia do sygnału dodatkowych błędów (Deighan i Watts 1997). Sam proces transformacji prostej i odwrotnej nie powoduje dodania tego rodzaju 27.

(35) 3. Teoria transformacji falkowej. zniekształceń, jednak filtracja współczynników falkowych i późniejsza rekonstrukcja mogą spowodować zniekształcenia sygnału, które są wprost proporcjonalne do stopnia zachodzenia na siebie widm kolejnych wersji falek (fig. 3.10). Właściwie dobierając falkę, można zminimalizować ten stopień, minimalizując w ten sposób zniekształcenia wynikające z procesu decymacji (downsampling). Aby klasa sygnałów powstałych ze skalowania i translacji falki-matki mogła posłużyć za bazę do przekształceń falkowych, wszystkie falki muszą być wzajemnie ortogonalne. Oznacza to, że żadna z falek nie może być zapisana jako liniowa kombinacja dowolnych pozostałych ze zbioru (jest to tzw. liniowa niezależność). Białasiewicz (2004) wyjaśnia, iż filtry ortogonalne zapewniają kompletność informacji na wszystkich poziomach dekompozycji oraz jej rozłączność w odpowiadających sobie szeregach aproksymacji i detali.. Fig. 3.10. Diadyczne skalowanie funkcji skalującej (a) oraz ich transformata Fouriera (b), diadyczne skalowanie falki (c) oraz ich transformata Fouriera(d) (wg Vetterli i Herley 1992).. 28.

(36) 3. Teoria transformacji falkowej. Daubechies (1992) udowodniła, że ze specjalnie dobranych falek można skonstruować ortogonalną bazę, jeśli kolejne skale będą tworzyły sekwencję diadyczną (wzory 3.6-3.7). Pozwoliło to na zachowanie energii reprezentacji oraz prostą formułę transformacji odwrotnej, a także na powstanie szybkich algorytmów obliczeniowych. W rezultacie tego odkrycia nastąpił szybki rozwój zastosowań czasowo-częstościowych metod analizy sygnałów. Falki biortogonalne – w porównaniu z falkami ortogonalnymi - cechuje większa swoboda ich tworzenia z uwagi na mniejszą liczbę warunków do spełnienia. Są to falki symetryczne, gdzie symetria została osiągnięta przez zastosowanie dwóch niezależnych zestawów filtrów zamiast jednego. W tym przypadku funkcje skalujące i falki stosowane do analizy falkowej (jedna baza falkowa) są inne niż te stosowane do rekonstrukcji sygnału (druga baza falkowa). Obie bazy nie są ortogonalne, ale pary falek – analizująca oraz syntetyzująca – są względem siebie ortogonalne. Istnieją specjalne warunki na funkcję skalującą (tzw. biorthogonality condition). Warunki te zostały przedstawione przez Daubechies et al. (1992). Najbardziej pożądaną własnością falek biortogonalnych jest uzyskanie symetrycznych (czyli o liniowym przesunięciu fazowym) filtrów. Jedną z najbardziej znanych i rozpowszechnionych rodzin falek są falki Daubechies, oznaczane odpowiednio db1, db2, db3, …, gdzie pierwsze dwie litery pochodzą od nazwiska ich twórcy, natomiast liczba z prawej strony symbolu określa stopień regularności falki (Białasiewicz 2004). Falka oznaczana jako db1 jest falką Haara. Cechuje ją brak ciągłości, co przekłada się na brak możliwości aproksymacji ciągłych wygładzonych funkcji, ma ponadto bardzo słabe możliwości lokalizacji częstotliwościowej. Białasiewicz (2004) wskazuje na główne zalety falek Daubechies: zwarty nośnik, dokładna aproksymacja funkcji oraz stosunkowo prosta postać. Falki Daubechies są doskonale zlokalizowane w czasie, jednak po procesie skalowania ich widma znacznie nachodzą na siebie (Daubechies 1988). Lepszą zwartość zarówno w czasie, jak i częstotliwości, posiadają atomy Gabora, nie są one jednak ortogonalne (Chakraborty i Okaya 1995). Falki Daubechies są ortogonalne, co oznacza stabilizację obliczeń oraz brak błędów samego procesu transformacji (Daubechies 1988). Z kolei są to falki asymetryczne, wprowadzają więc nieliniowe przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem na wejściu i sygnałem na wyjściu. Falki coiflets posiadają stosunkowo niewielką asymetrię w grupie falek o zwartym nośniku kosztem wydłużenia nośnika. Dla potrzeb sejsmiki Morlet (np. Grossmann i Morlet 1984) stworzył falkę o kształcie odpowiadającym sygnałowi sejsmicznemu, jednak nie jest ona ortogonalna i nie można jej 29.

(37) 3. Teoria transformacji falkowej. użyć w procesie odwrotnej transformacji falkowej. Jak donosi Wang (2007) falka Morleta nadaje się do reprezentacji danych sejsmiki refleksyjnej, w szczególności do ilościowego określania tłumienia w ośrodku i dyspersji fal akustycznych w ośrodkach porowatych. Funkcja skalująca Φ(t), nazywana także falką-ojcem (father wavelet) jest funkcją, za pomocą której falka-matka ulega rozciągnięciu. Dobiera się ją tak, aby umożliwić zastosowanie falek w całej dziedzinie częstotliwości. Ponieważ diadyczne rozciąganie falki powoduje zawężanie widma i jednoczesne przesuwanie go w kierunku niskich częstotliwości, trzeba byłoby zastosować nieskończoną liczbę falek, aby zapewnić pokrycie całej płaszczyzny częstotliwości, aż do 0 Hz (fig. 3.9 – 3.10). Aby zatem ograniczyć liczbę falek, wprowadza się funkcję skalującą powiązaną z daną falką ściśle określonymi zależnościami (Daubechies 1988). Widmo funkcji skalującej pokrywa płaszczyznę niskich częstotliwości w sposób przedstawiony na fig. 3.11 (jest filtrem dolnoprzepustowym). Użycie funkcji skalującej powoduje pewną utratę informacji zawartej w wysokich skalach. Szerokość widma funkcji skalującej jest zatem bardzo ważnym parametrem. Im węższe widmo, tym więcej współczynników falkowych zostanie zachowanych.. Fig. 3.11. Schematyczny podział płaszczyzny częstotliwości na widmo funkcji skalującej i falki poddanej skalowaniu (wg Valens 2004).. Funkcje skalujące i falki są do siebie podobne, choć w rzeczywistości istnieją między nimi istotne różnice. Z matematycznego punktu widzenia wartość średnia falki jest równa zero, natomiast wartość średnia funkcji skalującej jest różna od zera (Hennel i Olejniczak 2010). Warunki, które musi spełnić funkcja, aby mogła być funkcją skalującą przedstawiają np. Gonzalez i Woods (2002) oraz Hennel i Olejniczak (2010).. Falki ψ(t) i funkcje skalujące Φ(t) są ze sobą ściśle powiązane. W środowisku obliczeniowym Matlab® są jednak takie falki, dla których nie znaleziono odpowiadających im funkcji skalujących. W niektórych przypadkach falek można nawet udowodnić brak 30.

(38) 3. Teoria transformacji falkowej. powiązanych z nimi funkcji skalujących. Taki przypadek obejmuje na przykład falkę zwaną mexican hat oraz falkę Morleta (Polikar 1999, Misiti et al. 2013). Hermann (1997) wskazuje, że jeśli do analizy wybierze się niewłaściwą falkę (jej kształt nie odpowiada analizowanemu sygnałowi), wynik analizy falkowej będzie zdominowany przez własności samej falki, a nie przez analizowany sygnał. Ponadto lepsze dopasowanie kształtu falki do sygnału zagwarantuje, iż mniejsza liczba ich przeskalowanych i przesuniętych wersji będzie potrzebna do aproksymacji samego sygnału.. 3.4. Transformacja jedno- i dwuwymiarowa. Proces transformacji jedno- i dwuwymiarowej opisywany jest przez tzw. algorytm Mallata (Mallat 1989). Jednowymiarowa analiza falkowa oparta jest na wyborze falki ψ(m) oraz odpowiadającej jej funkcji skalującej Φ(m) (Misiti et al. 2013). Funkcja skalująca Φ(m) używana jest do wyodrębniania z sygnału aproksymacji, natomiast za pomocą falki ψ(m) definiuje się detale. Zatem w każdym kroku dekompozycji z jednego sygnału otrzymuje się dwie składowe: aproksymację i detal. Do wykonania dwuwymiarowej dyskretnej transformacji falkowej na funkcji dwóch zmiennych x(m,n) wymagana jest jedna funkcja skalująca Φ(m,n) oraz trzy falki ψH(m,n), ψV(m,n), ψD(m,n). Funkcja skalująca Φ(m,n) definiowana jest w następujący sposób: ( , )=. ( ) ( ). (3.19). Falki (wzory 3.20-3.22) można określić mianem „kierunkowo czułych” (tzw. directionally sensitive) – pokazują bowiem zmienność badanej funkcji wzdłuż różnych kierunków:  ψH(m,n) wskazuje zmiany wzdłuż kolumn: ( , )= ( ) ( ). (3.20).  ψV(m,n) wskazuje zmiany wzdłuż rzędów: ( , )=. ( ) ( ). (3.21).  ψD(m,n) wskazuje zmiany wzdłuż przekątnych: ( , )=. ( ) ( ). (3.22). Proces praktycznej realizacji dwuwymiarowej dyskretnej transformacji falkowej można opisać następująco (fig. 3.12-3.13). Funkcja dwóch zmiennych x(m,n) filtrowana jest dwoma filtrami: dolnoprzepustowym h0(m) oraz górnoprzepustowym h1(m) i podlega decymacji (usunięciu co drugiej próbki w zapisie). Uzyskany w ten sposób górnoprzepustowy 31.

(39) 3. Teoria transformacji falkowej. składnik (detal) charakteryzuje część wysokoczęstotliwościową funkcji x(m,n) w orientacji pionowej. Dolnoprzepustowy składnik (aproksymacja) zawiera informację o niskich częstotliwościach funkcji x(m,n) w orientacji pionowej. Oba składniki są następnie filtrowane dwoma filtrami h0(n) oraz h1(n) wzdłuż kolumn i podlegają decymacji. W wyniku całego cyklu dekompozycji otrzymuje się cztery podzbiory danych: aproksymację a(m,n), detal pionowy dV(m,n), detal poziomy dH(m,n) oraz detal diagonalny dD(m,n), każdy o rozmiarze jednej czwartej rozmiaru wyjściowego funkcji x(m,n). Transformacja falkowa 2D – będąc dwukrotnie wykonywaną transformacją 1D w różnych kierunkach (fig. 3.12-3.13) - nie angażuje znacząco więcej pamięci komputera. W takim rozumieniu algorytm dwuwymiarowej transformacji falkowej umożliwia oddzielenie sygnału użytecznego od zakłóceń zarówno w domenie czasu, jak i częstotliwości. . Fig. 3.12. Proces dekompozycji funkcji dwóch zmiennych x(m,n) za pomocą dwuwymiarowej transformacji falkowej. Produktem dekompozycji są cztery składniki: a(m,n), dV(m,n), dH(m,n) oraz dD(m,n).. 32.

(40) 3. Teoria transformacji falkowej. Fig. 3.13. Schemat działania dwuwymiarowej transformacji falkowej na macierzy 2D.. 33.