W szczegółowej analizie przykładu opisanego równaniem (2.7) stwierdzono:
- dla wymuszenia E7 = 35 maksymalny wpływ parametru b6, b8 na dynamikę układu, przy czym dla a6 ≤ 0,89 układ jest niestabilny w sensie Lapunova,
- dla tego samego wymuszenia wpływ parametru a3 jest minimalny.
Przedstawiono zastosowanie „zmodyfikowanej zasady Pareto” do analizy układów opisa-nych nieliniowym równaniem stanu. Została opracowana definicja układu wielo-parametrycz-nego oraz oryginalne procedury algorytmu przeznaczowielo-parametrycz-nego do badania układów nieliniowych opisanych równaniem stanu. Wykresy słupkowe ABC oraz krzywą Lorenza zastąpiono mode-lem macierzowym uzyskując identyczną interpretację uzyskanych wyników.
Definiując normę ||x||1 i na jej podstawie funkcję celu wyznaczono macierz współczynników wag dla założonych parametrów podstawowych zgodnie ze „zmodyfikowaną zasadą Pareto”.
Na podstawie otrzymanych wyników sporządzono wykresy ABC i zdefiniowano poszczególne zbiory, szczegółowo analizując wpływ poszczególnych parametrów bazowych na funkcję celu i poszczególne zmienne stanu.
7 Obwód elektryczny z nieliniową cewką
Następnym przykładem ilustrującym algorytm jest analiza obwodu elektrycznego (Rys. 7.1), dla którego została opracowana znormalizowana funkcja celu. W układzie wprowa-dzono nieliniową cewkę, w której strumień magnetyczny Ф jest aproksymowany zależnością Ф = b∙arctg(ai), gdzie a i b są współczynnikami [77]. W tym przypadku:
Rys. 6.12. Wykresy zmiennych stanu x1(t),x2(t) i x3(t) dla b6 = 0,90, E7 = 35
𝑢𝐿 = 𝑧𝑑Φ
𝑑𝑡 = 𝑧𝑑Φ 𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 𝑧𝑏𝑎 ( 1
1 + (𝑎𝑖)2)𝑑𝑖
𝑑𝑡 (7.1)
Obwód został przedstawiony na Rys. 7.1, po przekształceniach jest opisany następującym układem równań [78]:
gdzie: x1 = i (t), x2 = u1(t), x3 = u2(t).
W rozpatrywanym przypadku:
z wartościami elementów w obwodzie:
Parametry przyjęte do analizy przyjmuje się, jako parametry znamionowe obwodu. Para-metr e1 jest parametrem podstawowym zmienianym w zakresie od 200 V do 800 V, e2 = const.
W rozpatrywanym przykładzie, w celu określenia wpływu poszczególnych elementów ob-wodu na wartość funkcji celu Fkp, jako parametry pk przyjęto parametry (7.4).
Według procedury przedstawionej w p.2.3 otrzymano rezultaty przedstawione poniżej.
Rys. 7.1. Obwód elektryczny z nieliniową cewką
0
Krok 1.
Wektor P ma następujące składowe:
𝐹𝑘,𝑝 = ‖𝑥‖1= ( ∫ |𝑥0𝑡1 1(𝑡)|𝑑𝑡)/𝑤1𝑢+ (∫ |𝑥0𝑡2 2(𝑡)|𝑑𝑡)/𝑤2𝑢+ (∫ |𝑥0𝑡3 3(𝑡)|𝑑𝑡)/𝑤3𝑢 0,9pk ≤ pk ≤ 1,1pk, k = 1,2,…,8
gdzie wlu (l = 1,2,3) jest wartością ustaloną poszczególnych zmiennych stanu, a składowe ||x||1
są zależne od czasu tl ich ustalenia.
Krok 2.
Z założenia parametry obwodu ulegają zmianom o ±0,1. Wartość skumulowaną S wyzna-czono za pomocą wzoru (2.14). Poszczególne współczynniki wag ak obliczono rozwiązując 2͘∙n równanie (7.2).
Przykładowe współczynniki wag ak oraz ich udział w skumulowanej wartości S przedsta-wiono poniżej. Reszta Re zawiera ak ≤ 0,05. W nawiasach podano wartość parametru:
Krok 3
Znając współczynniki wag ak wyznaczono macierz A:
Krok 4.
Przykładowo, dla parametru podstawowego e1,4 = 500 V w zbiorach A,B i C występują na-stępujące elementy:
Na podstawie macierzy A opracowano wykresy przedstawiające zamiany elementów w zbiorach A,B i C w zależności od wartości parametru podstawowego (Rys. 7.2).
Wykorzystując do interpretacji uzyskanych wyników wykresy ABC oraz krzywą Lorenza przedstawiono je na rysunkach od 7.3 do 7.8.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120 0,0140 0,0160
R3 z b C1 a C2 R1 R2
S
Rys. 7.2. Wpływ parametru podstawowego e1 na wartość ak dla parametrów znamionowych (7.4)
Rys. 7.3. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 100 V
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200 0,1400 0,1600 0,1800
b z R3 R1 C1 C2 a R2
S
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700 0,0800
b z R3 C2 C1 R1 a R2
S
Rys. 7.4. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 200 V
Rys. 7.5. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 300 V
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500 0,0600 0,0700
R3 R1 a b z C2 C1 R2
S
Rys. 7.6. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 400 V
Rys. 7.7. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 500 V
Przykładowo na Rys. 7.9 pokazano wykresy normy ||x||1 dla e1,4 = 500 V w zależności od za-łożonych zmian parametrów R3,b,a i R2. Analizując przedstawione wykresy można zauważyć duży wpływ parametru R3 oraz minimalny R2 na wartość funkcji celu Fp = ||x||1.
Wartość normy ||x||1 zależy od ∑ 𝑡𝑙 𝑙 czasów tl. Rys. 7.10 ilustruje zmiany średniego czasu 𝑡𝑠 = ∑ 𝑡𝑙
𝑙3 dla zmiennych stanu xl (l=1,2,3) w zależności od założonych zmian parametru a,b,R3 i R2, dla e1,4 = 500 V.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
110%
120%
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000
R3 a b z C1 R1 R2 C2
Fk,pw
S
Rys. 7.8. Wykres ABC i krzywa Lorenza układu opisanego nieliniowym równaniem stanu (7.2), dla e1,4 = 800 V
Rys. 7.9. Wykresy normy ||x||1 w zależności od parametrów R3,b,a i parametru R2 (e1,4 = 500 V)
W przykładzie opisanym równaniem (7.2) podstawowy wpływ na jego dynamikę mają pa-rametry R3,a,b i z. Na Rys. 7.10 przedstawiono wpływ R3 (podstawowy) i R2 (minimalny) na stan nieustalony układu.
Względną funkcję celu Fwp na podstawie, której określamy zbiory A,B i C można zdefinio-wać według różnych kryteriów. Do jej definicji można przyjąć jedną z podstawowych norm wektora [79] [78], którego składowymi są wartości średnie zmiennych stanu w czasie tl, średni czas ustalenia, lub czas tl wybranej zmiennej stanu. Wybór funkcji celu Fpzależy od wybranego kryterium, lub w dalszym postępowaniu, wybranej procedury optymalizacji układu.
W analizowanych przykładach parametry układu przyjęto, jako parametry znamionowe, za-kładając w analizie ich odchyłki o ±0,1.
Analizowany układ zdefiniowano, jako układ wielo-parametryczny wykorzystując do opisu uzyskanych rezultatów, zamiast klasycznej metody zbiorów A,B i C i krzywej Lorenza [3] ele-menty algebry liniowej.
W pracy nie przedstawiono wnikliwej analizy stabilności układu nieliniowego (w sensie Lapunova) w oparciu o przedstawioną metodę, jak również procedur optymalizacji układu, które wykorzystują np. zbiór A parametrów mających podstawowy wpływ na jego dynamikę.
Wykazano jednak jej oryginalność i duże możliwości w badaniach obwodów nieliniowych.
8 Przyłączanie jednostki wytwórczej do elektroenergetycznej linii SN
Udział energii elektrycznej pochodzący ze źródeł odnawialnych ma w ostatnich latach istotne znaczenie.
Występujące zagadnienia optymalizacyjne związane z przyłączaniem jednostek wytwór-czych do elektroenergetycznej sieci dystrybucyjnej średniego napięcia kwalifikujemy według:
- optymalnego przyłączenia jednostek wytwórczych na określonym obszarze do określo-nego węzła sieci, gdzie funkcją celu jest ilość generowanej energii elektrycznej (na przy-Rys. 7.10. Wpływ parametru R3 (podstawowy) i R2 (minimalny) na średni czas ts, e1,4=500 V
kład farmy wiatrowej [80] [81] [82] [83]). Parametrami badanego układu są czynniki cha-rakteryzujące określony typ jednostek wytwórczych, zjawiska pogodowe (dla farm wia-trowych – parametry wiatru) oraz współrzędne terenowe ich rozmieszczenia,
- minimalizacji strat energii elektrycznej w sieci elektroenergetycznej dla wybranej, stałej lokalizacji jednostek wytwórczych przy zmieniających się warunkach obciążenia. Parame-trami układu dla farm wiatrowych będą: losowa zmienność poboru mocy przez odbior-ców, rozkład stochastyczny prędkości wiatru, parametry sterowania współczynnikiem mocy turbozespołów wiatrowych [84]. Funkcją celu są straty energii elektrycznej w elek-troenergetycznej sieci dystrybucyjnej [85] [86] [87],
- optymalnej lokalizacji jednostek wytwórczych w istniejącej infrastrukturze elektroenerge-tycznej. Funkcją celu jest minimalna wartość strat energii w liniach zasilających. Parame-trami układu: moc obciążenia, parametry elektryczne jednostek wytwórczych (podłączo-nych do określo(podłączo-nych węzłów sieci elektroenergetycznej), parametry linii zasilającej [88] [89].
Obecnie omówimy badanie strat mocy w sieci elektroenergetycznej przy zmianie lokalizacji jednostki wytwórczej w infrastrukturze elektro-energetycznej przedstawionej na Rys. 8.1, gdzie do kolejnych węzłów podłączono turbinę wiatrową o mocy 2MW. W tym przypadku funkcją celu będzie wartość strat mocy czynnej w liniach zasilających odbiory a parametrami bazowymi ich impedancje.
Inne elementy układu energetycznego mające wpływ na ekonomiczną minimalizację kosz-tów eksploatacji systemu energetycznego takie jak: przerwy awaryjne i czas usuwania awarii urządzeń, ceny sprzedaży energii elektrycznej, przedstawiono w pracy [90].