Uważany jest za jeden z najstarszych pro-blemów teorii grafów. To odpowiedź na py-tanie, czy można tak przejść się po Królew-cu, by przejść przez każdy z siedmiu mostów dokładnie raz i powrócić do domu.
Problem rozwiązał w 1736 r. Leonhard Euler, tworząc graf, w którym wierzchoł-ki odpowiadały przestrzeniom na lądzie, a krawędzie mostom. Rozwiązaniem pro-blemu była odpowiedź na pytanie, czy w po-wstałym grafie istnieje droga zamknięta przechodząca przez każdą krawędź dokład-nie raz.
Pożyteczne będą pojęcia pomocnicze:
graf eulerowski – graf, w którym istnieje
za-mknięta ścieżka (ciąg różnych krawędzi łą-czących wierzchołki: w1w2, w2w3,...,wkw1), zawierająca każdą krawędź grafu. Taką ścieżkę nazywa się cyklem Eulera; graf półeulerowski – graf, w którym
istnie-je ścieżka (ciąg różnych krawędzi: w1w2, w2w3,...,wmwn, przy czym n jest różne od 1), zawierająca każdą krawędź grafu. Taką ścież-kę nazywa się drogą Eulera.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym
cyklu jest to, by każdy wierzchołek grafu miał stopień (tj. liczbę krawędzi sąsiadują-cych z wierzchołkiem) co najmniej 2.
Twierdzenie Eulera: Graf spójny jest
eu-lerowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek jest parzystego stopnia.
Zatem graf spójny jest półeulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystego stopnia.
Na podstawie twierdzenia można wysnuć wniosek, że w analizowanym grafie nie ist-nieje cykl Eulera, czyli nie można przejść się po Królewcu, przechodząc przez każdy z mo-stów dokładnie raz, i powrócić do domu.
okazać się zadowalający. Z drugiej
strony widzi potrzebę społecznego uznania dla matematyki. Odpowiadał na pytania, uwagi i komentarze. Słu-chacze nawiązali też do znajdującego się w Getyndze obrazu „Reine und an-gewandte Mathematik” przedstawia-jącego dwie kobiety – nagą i ubraną. „Obawiam się, że matematyka stoso- wana to ta ubrana” – użalał się prele-gent.
Pytany o zapotrzebowanie na ma-tematyków zajmujących się zasto-sowaniami w przemyśle prof. Neun-zert podkreślił, że tacy specjaliści są zawsze mile widziani, poszukiwani i chętnie zatrudniani. Wzywał także do bliższej współpracy między Pol-ską a Niemcami, „która na wysokich szczeblach politycznych ma się tak dobrze”.
Myśl o zastosowaniach
Drugi wykład dotyczył matematy-ki jako kluczowego narzędzia nologii („Mathematics, a key tech-nology”). Prof. Neunzert przedstawił metody rozwiązywania konkretnych problemów technicznych przy wspar-ciu narzędzi matematycznych. Taki wspomagany opis teoretyczny zakła-da w pierwszym rzędzie identyfikację systemu (układu) i opis jego parame-trów, a następnie coraz dokładniejsze matematyczne przedstawienie proce-su. Przykładem może być nadmuchi-wanie samochodowej poduszki po-wietrznej. Opisuje się zastosowane włókno i tkaninę, jej ruch w przestrze- ni i w czasie. Elementy procesu przed-stawia się jednowymiarowo, wyróż-nia odcinki, opisuje się ruch równa-niem z drugą pochodną (ewentualnie trzecią, czwartą). Bierze się pod uwagę wielkość i pęd strumienia płynu (po-wietrza). Gdy tkanina nie jest dobrze wypełniona, trzeba określić siłę, z jaką płyn ma wypełnić poduszkę. Wprowa-dza się następnie do opisu pożyteczne uproszczenia, np. pomija się grubość tkaniny. Określa się stan równowagi. Wreszcie powstaje model stochastycz- ny, który uzupełnia się analizą turbu-lencji i wpływem grawitacji. Potem następuje optymalizacja opisu.
Innym problemem może być za- trzymywanie się taśmy transportują- cej. Tu do opisu stosuje się hamilto-nian, a więc opis układu fizycznego funkcją współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych. Problem jest jeszcze trudniejszy, gdy taśma jednak się porusza, więc trzeba brać pod uwa-gę wibracje układu. Tu potrzebny jest model białego szumu, uwzględniający w stochastycznym równaniu różnicz- kowym losową składową siły, powsta-łą na skutek przypadkowych oddzia- ływań taśmy z otoczeniem. Otrzyma-ny tą drogą opis jest bardzo dokładny. Wreszcie problem opisu jakości tka-niny. Najlepsza byłaby zupełnie jed- norodna. Jeśli nie jest to materiał jed- norodny, mamy problem. Jeśli jedno-rodność zobrazujemy jako szarość, to interesujące dla matematyków będą „białe” i „czarne dziury”. Poszcze-gólne piksele obrazu są analizowane, tworzy się rozkład „”. Teraz trzeba wybrać odpowiednią miarę odchyleń od jednorodności. Czarne dziury będą odchyleniami poniżej średniego po-ziomu, a białe – w górę. Miarą jakości tkaniny będzie skala odchyleń opisa-na teorią liczb. Czy można spodziewać się po inżynierze, że tak rozwiąże pro-blem?
Wreszcie... biżuteria! Kamienie szlachetne po wydobyciu
wygląda-ją niezbyt atrakcyjnie, zdecydowa-nie różnią się od oszlifowanych. Po-wstaje problem, jak zmaksymalizować użyteczną handlowo część znalezio- nej czy zakupionej bryły. W przypad-ku diamentów wartość wyrobu za-leży dodatkowo bardzo znacznie od szlifu (liczby płaszczyzn krystalicz- nych). Żeby zwiększyć dochód jubile-ra, stosuje się przybliżenia wielkości i kształtu bryły sumarycznymi forma- mi geometrycznymi. Takie usługi ma-tematyczne to opłacalna dziedzina gospodarki. Są specjaliści, którzy od wielu lat utrzymują się z takich prac.
Nawet w panującym od 2009 r. kry- zysie przemysł jest skłonny przezna- czać sporo pieniędzy na matematycz-ne badania podstawowych proble-mów.
Młoda generacja może zajmować się czystą nauką, ale stopniowo po-winna przesuwać swoje zaintereso- wania w kierunku zastosowań – uwa-ża prof. Neunzert. Maria Kisza Zdjęcia: Krzysztof Mazur, wikipedia
Prof. Helmut Neunzert
Profesor matematyki stosowanej z Instytu-tu Fraunhofera Matematyki Przemysłowej w Kaiserslautern w Niemczech (jednego ze światowych liderów w dziedzinie zastoso-wań matematyki w nowoczesnych techno-logiach i przemyśle), gdzie powstała m.in. koncepcja oprogramowania do odtwarza-czy MP3.
Od 1978 r. brał udział w ponad 250 pro-jektach przemysłowych na całym świe-cie. W 1979 r. utworzył pionierski kieru-nek studiów Matematyka Przemysłowa na Uniwersytecie w Kaiserslautern. W 1987 r. został współzałożycielem Europejskie-go Konsorcjum Matematyki Przemysłowej (ECMI). W 1996 r. utworzył Instytut Mate-matyki Przemysłowej (ITWM) w Kaiser-slautern, który w 2001 r. stał się pierwszym matematycznym Instytutem Fraunhofera (Fraunhofer ITWM). Prof. Neunzert był dy-rektorem tego instytutu do 2001 r. Obec-nie jako członek rady naukowej jest w nim odpowiedzialny za współpracę między-narodową i wymianę naukową. Jest też współzałożycielem szwedzkiej filii Fraun-hofer ITWM przy Uniwersytecie Technicz-nym w Chalmers.
Laureat, między innymi, Pionierskiej Na-grody Amerykańskiego Towarzystwa Mate-matyki Przemysłowej i Stosowanej (SIAM, 1999) za nowatorskie zastosowania ma-tematyki w rozwiązywaniu problemów związanych z nowoczesnymi technologia-mi oraz medalu Fraunhofera (2004). Dok-tor h.c. uniwersytetów w Linzu, Göteborgu i in., członek honorowy SIAM i ECMI. Au-tor ponad 100 prac i kilku książek, promo-tor 40 prac dokpromo-torskich z matematyki sto-sowanej.
Młoda generacja może zajmować się czystą nauką, ale stopniowo powinna przesuwać swoje zainteresowania w kierunku zastosowań
W
2020 r. strumień unijnych pieniędzy nie będzie pły-nął do Polski już tak wart-kim nurtem, jak obecnie, na co Dolny Śląsk zaczął się przygotowywać. Dys-kutowana jest strategia rozwoju wo-jewództwa dolnośląskiego, w której kluczowe znaczenie dano mariażowi nauki z gospodarką. Problem w tym, że egzaminy zewnętrze w gimnazjach i liceach nie wypadają obecnie w na- szym regionie na zadowalającym po-ziomie.Diagnozę mamy, teraz czas na le-czenie. Strategia zakłada podniesie-nie poziomu nauczania i proponuje wprowadzenie w szkołach przedmio-tu „przedsiębiorczość”. Musimy się jej szybko nauczyć, żeby żyć za swoje. Nie uda się nam to, jeśli nie wykorzysta- my potencjału wyższych uczelni. Naj-lepiej skorzystają z niego Wrocław (bo tu skupiły się główne uczelnie regio-nu) i powiat wrocławski (bo w natu- ralny sposób łączą go więzy komuni-kacyjne ze stolicą regionu). Z drugiej strony właśnie komunikacja jest piętą achillesową powiatu wrocławskiego. A bez dostępności komunikacyjnej nie ma co marzyć o właściwym funkcjo-nowaniu aglomeracji wrocławskiej.
Drogi łatwej zbudować, niż zmienić myślenie decydentów. Bez tego stra-tegia rozwoju Dolnego Śląska trafi do szuflady i osiądzie na niej gruby kurz. Wójtowie, burmistrzowie i prezyden-ci, którzy główkują, jak zbudować nowe hale fabryczne w swych gmi-nach, według strategii wojewódzkiej grzeszą, bo czas takiego myślenia mi- nął i teraz najważniejsza jest inwesty-cja w człowieka. Siłą Dolnego Śląska powinna być innowacyjność i uczel-nie wyższe regionowi w tym pomogą. Tereny inwestycyjne stoją otworem w wielu miejscach Polski, ale biznes, który przynosi duże pieniądze, lokuje się głównie tam, gdzie jest odpowied-nia kadra.
Lokalna społeczność musi wiedzieć, do jakiego chce wsiąść wagonu. Na-wet w obrębie jednego składu mogą być zróżnicowane cele. Na przykład, w powiecie wrocławskim gmina Ko- bierzyce postawiła na usługi (ogrom-ne centrum handlowe na Bielanach) i przemysł (fabryki w Biskupicach Podgórnych), natomiast Sobótka i jej okolice kojarzą się z turystyką, więc byłoby dziwne, gdyby te samorządy lokalne wskazały inne determinanty rozwoju.
Strategia nie będzie kolejnym doku-mentem, który trafi na półkę, i świat o niej zapomni – zapewnia dr Jerzy Tutaj, wicemarszałek województwa dolnośląskiego. Jej realizacji będzie podporządkowany budżet samorządu
wojewódzkiego i co pół roku kontro-lowany ma być sposób wydatkowania pieniędzy. Wyznaczono dziesięć ob- szarów interwencji, wobec których sa- morząd wojewódzki będzie mógł po-dejmować działania, mające na celu rozwiązanie sytuacji konfliktowych, pobudzenie rozwoju i pomoc w sfe-rach jednoznacznie wymagających pomocy publicznej.
Jeśli ktoś patrzył przez pryzmat Wrocławia na Dolny Śląsk i był prze- konany, że to kraina mlekiem i mio-dem płynąca, po przeczytaniu pro-jektu Strategii odkryje, że do tego obrazu nam daleko. W opisie obsza-ru interwencyjnego „Kotlina Kłodz-ka” czytamy, że jest obszarem o wyso-kiej atrakcyjności turystycznej, lecz ni-skim stopniu dostępności transportowej i miejscach zagrożonych wykluczeniem społecznym. Obszar koniecznych inter-wencji inwestycji w infrastrukturę trans-portową i elektroenergetyczną, a także w rozwinięcie usług uzdrowiskowych. Obszar problemów wynikających z za-grożenia powodziowego. Z kolei „Aglo-meracja Wałbrzyska” to obszar, który po likwidacji przemysłu wydobywczego węgla kamiennego stracił swoją pozycję ekonomiczną. Problemy spotęgowane zostały trudnościami dostosowania się społeczeństwa do nagłych zmian
struk-turalnych w gospodarce. Obecnie obszar objęty modelowym porozumieniem sa-morządów lokalnych, wspólnie budują-cych strategię rozwoju aglomeracji wał-brzyskiej jako obszaru funkcjonalnego, wykorzystującego własne zasoby, w tym także walory turystyczne. Obszar wy-maga wielu skoordynowanych działań, skierowanych na przełamanie stagnacji społecznej i gospodarczej. Jednym z nich jest poprawa dostępności transporto-wej do stolicy regionu oraz sieci auto-strad i dróg szybkiego ruchu. W przy-padku „Aglomeracji Jeleniogórskiej” zauważono nie tylko, że to obszar ba- zujący na bogatych tradycjach subre-gionu, łączący aspiracje centrum tu-rystycznego i wypoczynkowego oraz aglomeracji skupiającej nowocze-sną gospodarkę, ale także to, że musi poprawić stan dróg i uwagi wymaga także sfera społeczna zagrożona margi-nalizacją.
Wrocławski Obszar Metropolital- ny płaci zagrożeniem norm emisji za- nieczyszczeń za wysoki rozwój cywi-lizacyjny, ponadto obszar ten wymaga konkurencyjnej w skali krajowej i eu-ropejskiej oferty edukacyjnej, reagują-cej na potrzeby rynku, stałego podno-szenia standardów technologicznych w dziedzinie teleinformatycznej, wysoce wykwalifikowanych usług medycznych oraz podniesienia sprawności trans-portu publicznego i koordynacji rozwoju sieci osadniczej z infrastrukturą trans-portową, szczególnie kolejową.
Projekt Strategii na: http://www. umwd.dolnyslask.pl/rozwoj/aktualiza- cja-strategii-rozwoju-wojewodztwa-dolnoslaskiego/. Tekst i zdjęcie: Marek Perzyński
Nauka, głupcze!
Przeprowadzono kilkadziesiąt konsultacji społecznych w sprawie Strategii rozwoju województwa dolnośląskiego 2020. Spotkanie dotyczące subregionu wrocławskiego odbyło się 15 listopada 2012 r. w Starostwie. Na zdjęciu: wicemarszałek dolnośląski Jerzy Tutaj (po lewej) i starosta wrocławski Andrzej Szawan
P
racownia Arch-E poszła o krok dalej, wykorzystując w rozbudo-wie tradycyjne materiały w no-woczesnym ujęciu, co pozwoliło na nadanie realizacji ponadczasowego charakteru. We Wrocławiu przy ul. Włodarskiej (boczna ul. Mydlanej) na terenie zakładów Volvo powstała re- alizacja, która stanowi odpowiedź ar-chitektów Marka Murawskiego, Marka Skorupskiego i Rafała Zygiela zpra-cowni Arch-E kierowanej przez Mar-ka Skorupskiego (pracowniMar-ka Wy-działu Architektury PWr) na złożony problem rozbudowy budynków po-wstałych w przeszłych epokach.
Budynek może być również dobrym przykładem rewitalizacji i dostoso-wania do nowych potrzeb biurowych i administracyjnych obiektu pełniące-go pierwotnie funkcje mieszkalne. Co
więcej, od dłuższego czasu nieużytko-wanego, w związku z czym w dużym stopniu zniszczonego. Warto rów-nież zauważyć, że budynek był objęty ochroną konserwatorską, co wymaga- ło od projektantów uzyskania stosow-nych uzgodnień.
Już na wstępnym etapie prac pro- jektowych okazało się, że zapotrzebo- wanie inwestora na powierzchnie biu-rowe jest większe, niż istniejąca po-wierzchnia użytkowa. Stąd wziął się pomysł, aby obiekt historyczny nad-budować o kondygnację i rozbudować o nowe skrzydło. Całość została ściśle związana przestrzennie i funkcjonal-nie, tak że we wnętrzach podział jest niewidoczny. Wyeksponowano go na-tomiast w bryle zewnętrznej.