Efekt Starka w plazmie 69
4. PROFIL LINII
Lokalne pole elektryczne jonów i elektronów w plazmie zachowuje się po dobnie do funkcji, która jest wynikiem złożenia szybkich zmian przypadkowych z powoli zmieniającym się składnikiem o porównywalnej amplitudzie. Pole jonów pozostaje w przybliżeniu stale w czasie, w którym zachodzi wiele zde rzeń z elektronami. Pozwala to na zaniedbanie chwilowych zmian tego pola i policzenie zderzeniowego poszerzenia linii, powstającej przy przejściu mię dzy poziomami a i i. W warunkach plazmy poziomy s ą rozszczepione w polu jonów. Przy ustalonym polu F profil zderzeniowy linii 1 ^ (co,F) jest, jak pa miętamy, sumą profili zderzeniowych poszczególnych składowych. W naszym przypadku, gdy mamy do czynienia ze zmiennością przestrzenną pola jonów, efekty jonowe mogą być wzięte pod uwagę przez sumowanie po profilach zde rzeniowych danej linii, obliczonych dla wszelkich możliwych, lecz stałych
w
czasie pól jonowych. Z funkcją rozkładu natężenia pola !T(F) ta procedura prowadzi do profilu /a j(co) linii poszerzonej łącznym działaniem jonów i elek tronów:/a6(co) = / / $ (co,F) W{F) dF. (12)
-E f e k t S t a r k a w p l a z m i e 73
s a (1961) nie można jednak uznać za dok ład ny. O kazuje s ię bowiem, że szyb kie jony prow adzą do efektów , które nie s p e łn ia ją standartowego kryterium d la p rzybliżenia quasi-statycznego:
|Aco| » — . (13)
Pw
Podobnie powolne elektrony nie s p e łn ia ją odpowiedniego kryterium d la p rzybliżenia zderzeniowego:
| Aco| « — , (14)
Pd
gdzie v je st prędkością term iczną elektronów (je ś li przyjąć prędkość w ynika ją c ą z przybliżonego zw iązku mv2 = k T , to prawa strona nierów ności (14) bę dzie równa — znanej sk ąd in ąd — tzw . c zę s to śc i plazm y cop). P o w sta ł w ten sposób zakres prędkości c ząs te k , s to jąc y jednocześnie w sprze czno ści z wy mogami obu p rzy b liże ń .
W zwykłym p rzy bliżeniu zderzeniowym za maksymalny parametr zderzenia
P m a x można przyjąć promień D ebye’ a p p , poniew aż pole coulombow skie e lek tronu oddalonego o w ięk szy dystans je st osłaniane przez inne elektrony. Je ś li jednak is tn ie ją zderzenia, których czas trwania At je st w iększy n iż pewien określony dla p rzy b liże nia zderzeniowego przed ział c za s u , wtedy maksymalny parametr pow inien w ynosić:
Pm a x ^ A ‘ = ^ ' ( 15>
Ina c ze j efekty takich zderzeń będą przecenione. L e w i s sugeruje tę mo dyfikację w wyborze parametru pmax (który je st zwykle m niejszy od promienia Debye’a) d la odleg ło ści od środka lin ii Aco sp e łn ia jąc y ch nierów ności:
— « |A co| , (
16
)Pd p w
gdzie je st promieniem W eisskopfa (4). B ardziej dalekie skrzydła lin ii mogą ew entualnie być regionem, gdzie poszerzenie elektronowe podlega przy b liże n iu quasi-statycznem u.
Z porównania (14) i (16) w id a ć, że górna granica c zę s to śc i Aco, gdzie słu s zn e jest zwykłe p rzybliżenie zderzeniow e, pokrywa się — zgodnie z ocze kiw aniem — z d o ln ą granicą zmodyfikowanego p rzy bliżenia zderzeniow ego. Po dobnie porównanie kryteriów (13) i (16) pokazuje, że górna granica w ażności
74 S. Grabowski
zmodyfikowanego przybliżenia zderzeniowego koincyduje z dolną granicą waż ności przybliżenia quasi-statycznego. Z obu tych zbieżności granic skorzy stamy w następnych rozdziałach.
Wracając do profilu /a j ( » ) trzeba podkreślić, że używany w tym artykule termin „profil lin ii” jest czymś innym, niż obserwowalny profil lin ii, który może być zdeformowany np. przez niejednorodność plazmy. Profil /a j(co) nale ży w tym przypadku rozumieć jako kształt lin ii powstającej w jednorodnej i optycznie cienkiej warstwie plazmy. Je ś li wprowadzimy bezwymiarową skalę a = wtedy profil /a j(w) może być zastąpiony przez zredukowany profil
r o
S(a), unormowany do 1. W tej skali profil Holtsmarka S^(a) jest jednoznaczną
funkcją zmiennej a, W ogólnym przypadku profil S(a) przy ustalonej wartości a przybiera wartości zależne od dwóch wolnych parametrów: gęstości elektronów
N i temperatury T. Pomiędzy /a j,(co) i S(a) istnieje relacja d a = S(a) da.
Z kolei współczynnik liniowej absorpcji (lub em isji) na jeden atom k{AA) wią że się z profilem S(a) w sposób:
k(A \ )=— 2^ S ( a ) . (17)
mc F 0
We wzorze tym e, m, c, A0 i F„ s ą wielkościami o zwykłym sensie, wyrażo nymi w jednostkach CGS> natomiast odległość od środka lin ii AA wyrażona jest w X; f jest mocą oscylatora danej lin ii.
4.1. P R O F IL E LINII WODORU
Jak wspomnieliśmy — operator wyraża się poprzez funkcje falowe atomu zaburzanego przez swobodne elektrony i jest zwykle bardzo złożony. W wielu przypadkach elektronowe zaburzenie dolnego poziomu a jest zaniedby- walne i wtedy operator CD^ związany jest tylko z górnym poziomem b, który je st bardziej narażony na zaburzenia. W szczególnym przypadku, gdy zaburze nia te są wystarczająco gwałtowne, wtedy pewne uproszczenia matematyczne oraz uproszczenia fizyczne typu przybliżenia klasycznej drogi dla zaburzające go elektronu, czy przyjęcie coulombowskiego Hamiltonianu zaburzenia, pozwa la ją operator 0 ^ wyrazić wzorem, który może być użyty do konkretnych obli czeń. Jednakże tak zapisany operator jest logarytmicznie rozbieżny przy gra nicznych przejściach z parametrem zderzeń p, mianowicie przy p —> 0 i p --* °°. Wiąże się to z w adliw ością traktowania elektronowych zaburzeń, jako coulom- bowskich, lub inaczej — z zaniedbaniem efektów ekranowania w aspekcie zde- rzeh z elektronami.
Przy przyjętych wyżej uproszczeniach można zapewnić zbieżność operato ra <t>£ przez podział zderzeń na 3 klasy: zderzenia silne wewnątrz sfery o pro mieniu Weisskopfa p ^; zderzenia słabe między p^ i p ^; wreszcie — zderzenia
Efekt Starka w plazmie 75
„ekranow ane” , na zewnątrz promienia Debye’a p p . Można teraz efekty zderzeń sła by c h obliczy ć za pomocą operatora w granicach p^-j-pp, a zderzenia „ekranow ane” zaniedbać, jako nie wnoszące w kładu w poszerzenie, ponieważ ła d u n k i aktualnie bardziej odległe niż o p ^ b ę d ą ekranowane w neutralnej p lazm ie . Z k olei, u ży w a jąc tradycyjnej oceny L orentza—Weisskopfa dla efek tów zderzeń siln y c h , można pokazać, że stosunek wkładów zderzeń słabych i silnych dany je st przez 2 1 n {— 1, co dla zakresu gęstości i temperatur
spoty-\Pw/
kanych w astrofizyce równe je st 5, lub w ię c e j. Dlatego wkład zderzeń silnych •do macierzy będzie m niejszy niż 20%. T en wynik w poważnym stopniu u zasa d n ia przybliżenie klasy cznej drogi dla perturbującego elektronu, ponie w aż przybliżenie to staw ia najostrzejsze wymagania d la zderzeń siln y c h . P oza tym sugeruje, aby w pierwszym p rzy bliżeniu po prostu zaniedbać efekty zde rzeń siln y c h .
R ys. 2. Porównanie różnych przybliżeń profilu przy T - 104 [°K] i N - 10“ [cm'3]:
c. . . . ,, . , f ... wg Holtsmarka Statystyczna teon a dla jonów <
l --- wg Eckera Równoczesne poszerzenie 1 in ii ^
----przez jony i elektrony
-obliczone z pom ocą (Tjj(F) -obliczone z pomocą IPg(F)
P o m ijając więc w <t>^ wyraz dla zderzeń siln y c h , G r i e m , K o l b i S h e n (1959) dokonali numerycznych o b lic z e ń zredukowanych profili S(a) dla p ocząt kowych lin ii serii Lym ana i Balmera przy w ie lu kom binacjach gęstości elek tronów i temperatur. O b lic ze n ia były oparte o formułę (12) z fu n k c ją rozkładu natężenia pola JPjr(F) E ck e ra . Na rys. 2 statystyczny profil H oltsmarka dla H p, przy T = 104 [CK] i N = 1016 [cm '3], je st przykładowo porównany z
odpo-76 B . G rabow ski
wiednim profilem E c k e ra . Dla porównania przedstaw ione s ą t a k ż e dwa inne profile: z funkcją rozkładu Holtsmarka oraz z fu n k cją E c k e ra , każdy „ s p l e cio n y ” z odpowiednim profilem zderzeniowym. Można zauw ażyć, że wpływ po s z e r z e n ia elektronowego na s z e r o kość połówkową linii j e s t do pew nego stopnia kompensowany przez zjaw isko ekranowania pól jonowych i korelacje jonów. Je d n a k ż e profile s ą zupełnie różne.
Nowsze o b liczen ia profili linii H p (G r i e m, K o l b i S h e n 1962) s ą dokonane z dokładną fu n k c ją r o z k ła du pola Wr(F), opracowaną, przez
M o z e r a i B a r a n g e r a (1960). P o z a tym obejm ują one zaniedbane po przednio w efekty zderzeń silnych oraz p o szerzen ie dolnych poziomów przez zderzenia z elektronam i. W sk rzy d łach — o b lic z e n ia wkładu elektronów s ą oparte o przybliżenie zderzeniow e zmodyfikowane przez L e w i s a . Dla i l u s tr a c ji zn ac z en ia z aburzeń elektronowych oraz ekrano wania D ebye’a i korelacji jonów na r y s . 3 ze sta w io n e s ą dwa ek strem
al-—A * [A]
R ys. 3. Porównanie profilu Holtsmarka (po szerzenie przez jony sta ty sty c z n ie n ieza leżne i nieekranowane) dla linii Hp, ze szczegółowymi obliczeniam i poszerzenia
starkow skiego (poszerzenie przez elektrony . .. ..
oraz przez jony, które s ą skorelow ane
ne P « y b h z e n ia
p ro filu lin ii Hp przy i ekranowane; w skrzydłach wzięte s ą pod T = 10 [°K] i JV = 10 [cm J, m ian o -uwagę modyfikacje L ew isa) w ic i e : pro fil H o lts m a rk a (ty lk o q u a s i--s ta ty c z n e p o szerzen ie górnego po ziomu przez jony nieekranowane i s t a t y s ty c z n ie n ie z a le żn e ) oraz rezu ltat naj bardziej obecnie dokładnych o b lic z e ń . Spadek n a tę ż e n ia w środku linii spowodowany j e s t brakiem składow ej cen traln ej.
D o ty ch czas rozpatryw aliśm y elektronowe zaburzenia jako coulombowskie. Je d n a k ż e w ś c i s ł y c h rozw ażaniach nad tym zjaw iskiem w plazm ie, coulombow- sk i p o te n c ja ł pochodzący od je dnostkow ego ładunku Vq = powinien być z a stą p io n y przez prawidłowy p o te n c ja ł z ekranowaniem D e b y e ’a : V D = = — exp l — — ). Chwilowe coulombowskie z ab u rzen ie c z ę s t o ś c i (3), które
r \ Pd/
w przypadku liniowego e fe k tu Starka można z a p is a ć Aco = 2n C 2 E ę { t ) , przyjmie te ra z p o sta ć Aco = 2ir E ^ ( t ) , gdzie natężen ie pola E D j e s t równe:
£d
=-d V,
d T