Poprzednio mówiliśmy o tym, w jaki sposób w doświadczeniach ciągłych zmniejszyć lub wyeliminować „błąd pochodzący od badanych” (zmienność wewnętrzną materiału) poprzez pogrupowanie obiektów w bloki. W układzie doświadczalnym naprzemiennym, czyli szeregowym {cross-over), błąd kierunkowy może wynikać z powiązania odpo
wiedzi na pierwszy i drugi zabieg wykonywany kolejno na tym samym obiekcie. Dla zabezpieczenia się przed tym błędem przydzielamy losowo kolejność zabiegów w ob
rębie każdego obiektu. W tym celu zalecane jest posługiwanie się tzw. „układem kwa
dratu łacińskiego”.
Kwadrat łaciński jest to uporządkowanie w kwadracie zbioru liter łacińskich (A,B ...) w taki sposób, że żadna litera nie występuje więcej niż raz w tym samym wierszu i kolumnie. W układzie kwadratu k x k umiejscowienie k zabiegów w komórkach jest więc takie, że każdy zabieg występuje tylko raz w każdym wierszu i kolumnie, a kolej
ność ich jest losowa. Kwadrat łaciński 4 x 4 o czterech zabiegach A, B, C, D może mieć następującą postać:
Rozpatrzmy przykład doświadczenia z układem naprzemiennym na temat wpływu diety leczniczej w ciągu trzech dwutygodniowych okresów w grupie chorych z chorobą wrzodową. W takiej sytuacji musimy wyłączyć różnice pomiędzy chorymi oraz powią
zania wzajemne efektów pomiędzy dwutygodniowymi okresami. Ponieważ mamy trzy diety (zabiegi), musimy zastosować kwadrat 3x3. Pierwszy pacjent otrzymuje w ko
lejnych okresach najpierw dietę C, następnie A i B, drugi też zaczyna od diety B, ale później otrzymuje C i A; trzeci rozpoczyna eksperyment od diety A, później przecho
dzi do diet B i C.
Diety oznaczono literami: A, B, C.
Dieta - okresy dwutygodniowe 1-2 tyg. 3-4 tyg. 5-6 tyg.
Pacjent 1 C A B
Pacjent 2 B C A
Pacjent 3 A B C
Cały eksperyment nie ograniczy się oczywiście tylko do tych trzech pacjentów, po
nieważ liczebność badanych byłaby zbyt mała. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, aby przewidzieć kilka lub nawet kilkanaście tego rodzaju kwadratów. Dla każdej ko
lejnej trójki pacjentów wybieramy inny układ kwadratu łacińskiego 3x3. Zbiory róż
nego rodzaju kwadratów łacińskich zamieszczone są w tablicach statystycznych lub podręcznikach statystyki.
Analiza wyników badania według kwadratu łacińskiego odbywa się tak samo, jak w przypadku bloków zrandomizowanych. Efekty zabiegów są szacowane na podstawie średnich w grupach zabiegowych i błędów standardowych, jeśli analizowane są zmien
ne ilościowe. Pewnym ograniczeniem przy stosowaniu kwadratu łacińskiego jest ko
nieczność spełnienia warunku, że liczba wierszy, kolumn i zabiegów musi być jedna
kowa.
Przedstawiony wyżej przykład ilustruje najczęstszy układ doświadczenia, kiedy element czasu wpływa na jego wynik. Innym przykładem zastosowania tego modelu jest doświadczenie z udziałem np. kilku obserwatorów i kilku aparatów (przyrządów, metod). W takim przypadku wierszom możemy przypisać chorych, a kolumnom in
strumenty lub obserwatorów.
Kwadrat łaciński 4x4
Pacjent Aparat 1 Aparat 2 Aparat 3 Aparat 4
1 0i O4 03 O1
2 Ü3 O, O2 04
3 Ol 03 04 02
4 04 O2 Ol 03
0i_4 - obserwatorzy
Kwadrat grecko-łaciński. Wyobraźmy sobie sytuację, że czterech obserwatorów wykonuje pomiar czynności płuc wśród czterech grup pacjentów w ciągu 4 dni i w 4 różnych porach dnia (rano, południe, wieczór, noc). Mamy w tym przypadku cztery potencjalne źródła zmienności: (a) materiał (chorzy), (b) instrumenty, (c) dni, (d) pory dnia. Zwykły kwadrat łaciński wyglądałby w następujący sposób:
91 Pory dnia
Dni 1 2 3 4
1 A C B D
2 D B A C
3 C A B D
4 B D C A
A, B, C, D: różne grupy chorych (np. w różnym wieku, stadium choroby)
W tego rodzaju doświadczeniach błąd pochodzący od obserwatora nie mógłby być wyłączony i dlatego na ten kwadrat „nakładamy” dodatkowe symbole O1-4, odpowia
dające obserwatorom w taki sposób, aby:
a) każdy obserwator tylko jeden raz wykonywał pomiar na jednej grupie pacjentów;
b) każdy obserwator wykonywał pomiary raz w każdym dniu oraz w każdej porze dnia.
Po rozlosowaniu („nałożeniu”) symboli literowych obserwatorów układ doświad
czenia wyglądałby w sposób następujący:
a) rozlosowanie chorych i obserwatorów wg dni i pory dnia
Dzień Rano Południe Wieczór Noc
1 P2O3 P4O1 P3O2 P1O4
2 P3O4 P1O2 P2O1 P4O3
3 P1O1 P3O3 P4O4 P2O2
4 P4O2 P2O4 P1O3 P3O1
P1-4 pacjenci, Ou obserwatorzy
Zwróćmy uwagę, że każdy obserwator tylko jeden raz wykonuje pomiar o tej samej porze dnia, w tym samym dniu i w tej samej grupie chorych.
b) to samo w układzie liter grecko-łacińskim
BP
DS Cy AaCy Aa BP DS
Aa Cy DS BP
DS BP Aa
C
yPowodem przyjęcia nazwy „kwadrat grecko-łaciński” jest to, że występuje tutaj kombinacja liter łacińskich i greckich. Kwadrat grecko-łaciński zawiera „n” liter łaciń
skich i „n” liter greckich, rozlosowanych w ten sposób, że każda litera łacińska i każda litera grecka pojawia się tylko jeden raz w danym wierszu i tylko jeden raz w danej kolumnie i każda z kombinacji liter grecko-łacińskich występuje też tylko jeden raz.
Analiza statystyczna wyników takiego doświadczenia jest podobna jak w przypad
ku kwadratu łacińskiego. Efekty zależne od dnia tygodnia, pory dnia, chorych i obser
watora są określane przez obliczenie średniej arytmetycznej i błędu standardowego.
Analiza czynnikowa. Omówiliśmy dotąd doświadczenia, w których mieliśmy do czynienia z zabiegami zestawionymi w pewnej kolejności. Niekiedy jednak naszym zamierzeniem jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie, w jaki sposób kilka zabiegów wpływa łącznie na stan zdrowia pacjenta. Na przykład, chcemy zbadać wpływ nie tyl
ko oddzielny leków A, B i C, lecz interesuje nas ich efekt łączny, np. dwóch z nich lub wszystkich trzech. W takim przypadku tworzymy różne kombinacje leków A, B i C.
Eksperyment nazywamy doświadczeniem czynnikowym, jeżeli wszystkie lub prawie wszystkie kombinacje czynników występują w planowanym układzie.
Przykład z lekami A, B, C (czynniki)
A B C
nie nie nie zabieg 1
nie tak nie zabieg 2
nie nie tak zabieg 3
nie tak tak zabieg 4
tak nie tak zabieg 5
tak tak nie zabieg 6
tak nie tak zabieg 7
tak tak tak zabieg 8
Powyżej przedstawiono eksperyment z trzema czynnikami, każdy z nich na dwóch poziomach (zabiegi): poziom 1 - lek nie występuje, poziom 2 - lek występuje. W tym przypadku mówimy, że mamy do czynienia z eksperymentem czynnikowym 2x2x2, lub 23.